ME210 - Lista de Exercícios 07 Solução

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ME-210A: Resoluc¸a˜o da Lista 07
Resoluc¸a˜o extra-oficial feita por um dos monitores.
Questa˜o 01:
• A´rea superficial S: Para 0 < S < 4pi (pois S = 4piR2 e R ∈ [0, 1]), temos
FS(s) = P (S ≤ s) = P (4piR2 ≤ s)
Como R ≥ 0
FS(s) = P
(
R ≤ 1
2
√
s
pi
)
= FR
(
1
2
√
s
pi
)
Derivando
dFS(s)
ds
= fS(s) =
dFR
(
1
2
√
s
pi
)
ds
= fR
(
1
2
√
s
pi
)
1
2
√
pi
1
2
√
s
Logo
fS(s) = 6
1
2
√
s
pi
(
1− 1
2
√
s
pi
)
1
4
√
pis
⇒ fS(s) = 3
4pi
(
1− 1
2
√
s
pi
)
Para os valores de S < 0 e S > 4pi, temos fS(s) = 0. Resumindo
FS(s) =
{
3
4pi
(
1− 1
2
√
s
pi
)
, se 0 < s < 4pi
0, caso contra´rio
• Volume V: Para 0 < V < 4
3
pi (pois V = 4
3
piR3 e R ∈ [0, 1]), temos
FV (v) = P (V ≤ v) = P
(
4
3
piR3 ≤ v
)
Como R ≥ 0
FV (v) = P
(
R ≤
(
3v
4pi
) 1
3
)
= FR
((
3v
4pi
) 1
3
)
Derivando
dFV (v)
dv
= fV (v) =
dFR
((
3v
4pi
) 1
3
)
dv
= fR
((
3v
4pi
) 1
3
)
1
3
(
3v
4pi
)− 2
3 3
4pi
Logo
fV (v) =
6
4pi
(
3v
4pi
) 1
3
(
1−
(
3v
4pi
) 1
3
)(
3v
4pi
)− 2
3
⇒ fV (v) = 3
2pi
[(
3v
4pi
)− 1
3
− 1
]
Para os valores de V < 0 e V > 4
3
pi, temos fV (v) = 0. Resumindo
FV (v) =
{
3
2pi
[(
3v
4pi
)− 1
3 − 1
]
, se 0 < v < 4
3
pi
0, caso contra´rio
Observac¸a˜o: podemos verificar que∫ ∞
−∞
fS(s) ds = 1 e
∫ ∞
−∞
fV(v) dv = 1
como deveria ser.
Questa˜o 02:
b = (2a)1/3; fW (w) =
a
2
√
2w
m
e−b
√
2w
m , w > 0.
Questa˜o 03:
(a) Supondo FX cont´ınua, temos FY (y) = 1− FX((y − 1)/b).
(b) Sabemos, por definic¸a˜o, que FX(x) e´ crescente. Ja´ que ela e´ estritamente mono´tona, temos
que ela e´ estritamente crescente. Ale´m disso, tambe´m por definic¸a˜o, temos que 0 ≤ FX(x) ≤ 1.
Para mostrar que Z ∼ U(0, 1), vamos encontrar a func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada de Z.
FZ(z) = P (Z ≤ z) = P (FX(X) ≤ z)
Ja´ que FX(X) e´ estritamente crescente, sua func¸a˜o inversa tambe´m e´. Podemos, enta˜o, escrever
que
FZ(z) = P (X ≤ F−1X (z)) = FX(F−1X (z))⇒ FZ(z) = z
Esta e´ exatamente a func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel aleato´ria U(0, 1). Assim,
conclu´ımos que Z ∼ U(0, 1).
(c) Para mostrar que W = F−1X (U) tem func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada FX , vamos encontrar
FW (w):
FW (w) = P (W ≤ w) = P (F−1X (U) ≤ w)
Usando mais uma vez o fato de que FX(x) e´ estritamente crescente, podemos escrever que
FW (w) = P (U ≤ FX(w)) = FU(FX(w))
Mas como
FU(x) =

0, se x ≤ 0
x, se 0 < x < 1
1, se x ≥ 1
e
0 ≤ FX(x) ≤ 1
2
temos
FU(FX(w)) = FX(w)
Enta˜o, conclu´ımos que
FW (w) = FX(w)
Questa˜o 04:
fR(r) =
1
piA cos(arcsen( r
A
))
, se |r| ≤ A.
Questa˜o 05:
Vamos primeiramente calcular f(x):
f(x) =
dF (x)
dx
= e−e
−(x−a)
(−e−(x−a))(−1)⇒ f(x) = e−(e−(x−a)+x−a)
Com este resultado, podemos calcular MX(t):
MX(t) =
∫ ∞
−∞
extf(x) dx =
∫ ∞
−∞
exte−(e
−(x−a)+x−a) dx
Logo
MX(t) =
∫ ∞
−∞
ex(t−1)−e
−(x−a)+a dx
Questa˜o 06:
MX(t) = E[e
Xt] = E[et ln(U)] = E[eln(U)
t
] = E[U t]
Como
fU(u) =
{
1, se 0 < u < 1
0, caso contra´rio
temos
MX(t) =
∫ 1
0
ut du =
[
ut+1
t+ 1
]1
0
⇒MX(t) = 1
t+ 1
Para encontrar E[X], fazemos
E[X] =
dMX(0)
dt
=
[ −1
(t+ 1)2
]
t=0
= −1⇒ E[X] = −1
Para calcular V ar[X], precisamos de E[X2], que pode ser obtido a partir de
E[X2] =
d2MX(0)
dt2
=
[
d( −1
(t+1)2
)
dt
]
t=0
=
[
2(t+ 1)
(t+ 1)3
]
t=0
=
[
2
(t+ 1)2
]
t=0
= 2
Enta˜o
V ar[X] = E[X2]− E[X]2 = 2− 12 ⇒ V ar[X] = 1
3