Lista Exercícios - Anéis de Polonômios

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Álgebra I
Lista de exercícios - 2
(i) (a) Seja K um corpo. Prove que todos os unitários em K[x] são dados, unicamente,
pelos polinômios não nulos de grau 0.
(b) Prove, usando o algoritmo de divisão Euclidiana, que sempre existeMDC(a(x), b(x))
in K[x]. Prove que o MDC é um dado resto de divisão.
(c) Prove a identidade de Bézout no caso de K[x]
(d) Em Z[
√−1], prove que os únicos elementos unitários, são ±1, ±i.
(e) Prove que em Z[
√−1] existem primos em p de Z que não são irredutíveis em
Z[
√−1].
(ii) Prove que Z[
√−5] satisfaz a condiçao de cadeia de divisibilidade.
(iii) Sejam p um inteiro natural primo da forma 4k + 1, e q um inteiro natural primo tal
que ( q
p
) = −1. Prove que Z[√pq] não é Domínios de Fatorização Única.
(iv) Prove que A é um domínio se, e somente se, A[x1, · · · , xn], n ≥ 1 é um domínio.
(v) Considere o subanel D = {f(x) ∈ Q[x]|f(0) ∈ Z} de Q[x]. Prove que os elementos
unitários são±1, que os inteiros primos são irredutíveis emD e que, se f(x) irredutível
em D, então f(x) = ±p, para p inteiro natural primo, ou f(x) é irredutível em Q[x].
Concluir que tudo irredutível em D é primo. A condião de cadeia da divisão está
satisfeita?
(vi) Se (A,+, ·) é um anel (comutativo ou não comutativo) com unidade. Prove que se
β(x) ∈ A[x] um polinômio não nulo, com coeficiente diretivo unitário e para qualquer
polinômio α existem, e são univocamente determinados, q(x), r(x) ∈ A[x] tais que{
α(x) = β(x)q(x) + r(x)
r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(β(x))
1
No caso de divisão a esquerda e{
α(x) = q(x)β(x) + r(x)
r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(β(x))
no caso da divisÃčo a direita.
(vii) Determine se a divisão existe nos seguintes casos:
(a) in M3(Z12)[x];
α(x) =
 0 3 00 1 2
3 1 1
x2 +
 1 0 00 1 0
0 0 1
 , β(x) =
 6 1 00 1 2
3 0 1
x.
(b) in M2(Z2)[x];
α(x) =
(
2 0
1 1
)
x+
(
1 1
1 0
)
, β(x) =
(
1 0
0 2
)
x.
e determine o quociente e o resto quando a divisão existe.
(viii) Determine o quociente e o resto da divisão (quando existem) nos seguintes casos
(a) α(x) = x2 + x+ 1, β(x) = x− 1 em R[x].
(b) α(x) = x2 + x+ 1, β(x) = x− 1 em Z2[x].
(c) α(x) = x2 + x+ 1, β(x) = x− 1 em Z3[x].
(ix) Determine os fatores irredutíveis as multiplicidades de cada fator e a mul-
tiplicidade de cada raíz:
(a) α(x) = (x3 − 2x2 + x)(x3 + 6x2 + 12x+ 8) em Z[x]
(b) α(x) = 4x2 − 12x+ 9 Z[x] e inQ[x]
(c) α(x) = 3x3 − 3x2 + 3x− 3 em Z[x]. Escreve α(x), em cada caso, como pro-
duto de irredutíveis mônicos vezes um polinômio constante, quando possv´el.
Calcule também MDC(α(x), α′(x)).
(x) Seja p um inteiro natural primo, e considere o polinômio f(x) = 1+(1+x)+
(1+x)2+ · · ·+(1+x)p−1 ∈ Q[x]. Prove que f(x) = (p
1
)
+
(
p
2
)
x+ · · ·+(p
p
)
xp−1
e que f(x) é irredutível em Q[x]. Concluir que g(x) = 1 + x+ x2 + ·+ xp−1
é irredutível em Q[x].
(xi) Consideramos f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Z[x] com conteúdo igual
a 1. Seja p um número natural primo que não divide an. Pondo fp(x) =
[a0]p + [a1]px+ · · ·+ [an]pxn ∈ Zp[x], prove que se fp é irredutível em Zp[x],
então f(x) é irredutível em Z[x].
(xii) Sejam a(x), b(x) ∈ Z[x]; pondo a(x) = n·a(x) b(x) = m·b(x), ondem,n ∈ Z
e a(x), b(x) ∈ Z[x] primitivos. Prove que
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(a) MDCZ[x](a(x), b(x)) = MDCZ(m,n) ·MDCZ[x](a(x), b(x)),
(b) MDCZ[x](a(x), b(x)) é um polinômio primitivo e queMDCZ[x](a(x), b(x)) =
MDCQ[x](a(x), b(x))
(xiii) Sejam
a(x) = 2x4 − 5x3 + 9x2 − 8x+ 4,
b(x) = 2x5 − 3x4 − 2x3 + 8x2 − 7x+ 2
polinômios em Z[x]
(a) Determine d(x) = MDCZ[x](a(x), b(x)).
(b) Prove que não existem f(x), g(x) ∈ Z[x] tais que d(x) = f(x)a(x) +
g(x)b(x).
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