PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO

Prévia do material em texto

Álgebra Linear - ProfaAna Paula
PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO
Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma qualquer B � �v1, v2,� , vn� desse espaço, é
possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V.
Supondo que v1, v2,� , vn não são ortogonais, considere-se
w1 � v1
e determine-se o valor de w2 � v2 � �w1 seja ortogonal a w1:
�v2 � �w1� � w1 � 0
� �
v2 � w1
w1 � w1
Isto é,
w2 � v2 �
v2. w1
w1. w1
w1
Assim os vetores w1 e w2 são ortogonais.
Considere-se o vetor: w3 � v3 � �2w2 � �1w1 e determine-se os valores de �2 e �1 de maneira
que o vetor w3 seja ortogonal aos vetores w2 e w1 :
�v3 � �2w2 � �1w1� � w1 � 0
�v3 � �2w2 � �1w1� � w2 � 0
Tendo em vista que w2 � w1 � 0, tem-se:
�1 �
v3 � w1
w1 � w1 e �2 �
v3 � w2
w2 � w2
.
Isto é,
w3 � v3 �
v3 � w2
w2 � w2 w2 �
v3 � w1
w1 � w1 w1
Assim os vetores w3, w2 e w1são ortogonais.
Pode-se concluir o teorema por indução, admitindo que, por esse processo, tenham sido
obtidos (n-1) vetores w1, w2,� , wn�1 e considerar o vetor:
wn � vn � �n�1wn�1 ����2w2 � �1w1
sendo �1,�2,� ,�n�1 tais que o referido vetor wn seja ortogonal aos vetores w1, w2,� , wn�1.
Os valores de �1,�2,� ,�n�1 que aparecem em wn são:
�1 �
vn � w1
w1 � w1 ,�2 �
vn � w2
w2 � w2 ,�3 �
vn � w3
w3 � w3 ,� ,�n�1 �
vn � wn�1
wn�1 � wn�1 .
Assim, a partir de B � �v1, v2,� , vn�, obtivemos a base ortogonal �w1, w2,� , wn�.
31
O processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma base qualquer
chama-se Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
Para se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada wi.Fazendo ui � w i|w i | ,obtemos a
base B � � �u1, u2,� , un� que é uma base ortonormal obtida a partir da base B � �v1, v2,� , vn�.
Sendo assim, os vetores w1, w2,� , wn podem ser expressos do seguinte modo:
1) w1 � v1
2) w2 � v2 � �w1 � v2 � �v2 � u1� w1|w1 | � w2 � v2 � �v2 � u1�u1
3) w3 � v3 � �2w2 � �1w1 � v3 � �v3 � u2� w2|w2 | � �v3 � u1�
w1
|w1 | � w3 � v3 � �v3 � u2�u2 � �v3 � u1�u1
�
wn � vn � �vn � un�1�un�1 ����vn � u2�u2 � �vn � u1�u1
Exemplo: Seja B � ��1, 1, 1�, �0, 1, 1�, �0, 0, 1�� uma base do �3.Verifique se esta base é
ortonormal, considerando o produto interno usual. Se não for, obtenha, a partir de B, uma base B�
que seja ortonormal.
Exercício 1: Construir, a partir de �1,�2, 1�, uma base ortogonal do �3 relativamente ao produto
interno usual e obter, a partir dela, uma base ortonormal.
Exercício 2: Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do seguinte
subespaço vetorial do �3 : S � ��x, y, z� � �3/x � y � z � 0�.
Consultar o livro: Steinbruch, A. Winterle, P. Álgebra Linear. 2a. ed. Makron Books. 1987.
Fazer os exercícios 1 a 25 (páginas 142 a 147) do capítulo 3.
32