Integrais_07_Exs_Resolvidos

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Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
Integrais que envolvem √𝑎2 − 𝑢2, √𝑎2 + 𝑢2, √𝑢2 − 𝑎2, 𝑎2 − 𝑢2 𝑒 𝑎2 + 𝑢2 
Estas integrais podem ser calculadas utilizando-se as identidades: 
{
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1
1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃
 
E pelas substituições: 
𝐴) 𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 − 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 
𝐵) 𝑢 = 𝑎𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 + 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 
𝐶) 𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑢2 − 𝑎2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑡𝑔2𝜃 
1) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑎2 − 𝑥2
 
Usando a substituição indicada em (A), pois temos 𝑎2 − 𝑢2 (𝑢 = 𝑥): 
𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑎2(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 
1) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑎2 − 𝑥2
= ∫
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃
= ∫
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∫ 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝑎 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝑎(−𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝐶 = −𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição: 
𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
𝑎
 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = √1 −
𝑥2
𝑎2
= √
𝑎2 − 𝑥2
𝑎2
=
√𝑎2 − 𝑥2
𝑎
 
Conclusão: 
1) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑎2 − 𝑥2
= − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 = −𝑎
√𝑎2 − 𝑥2
𝑎
+ 𝐶 = −√𝑎2 − 𝑥2 + 𝐶 
 
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2) ∫
𝑑𝑥
√1 − 4𝑥2
= ∫
𝑑𝑥
√1 − (2𝑥)2
 
Usando a substituição indicada em (A), pois temos 𝑎2 − 𝑢2 (𝑎 = 1 𝑒 𝑢 = 2𝑥): 
2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 2𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝑒 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2
 
2) ∫
𝑑𝑥
√1 − 4𝑥2
= ∫
𝑑𝑥
√1 − (2𝑥)2
= ∫
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 2⁄
√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃
=
1
2
∫
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√𝑐𝑜𝑠2𝜃
=
1
2
∫
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
1
2
∫ 𝑑𝜃 =
1
2
𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 
Conclusão: 
2) ∫
𝑑𝑥
√1 − 4𝑥2
=
1
2
𝜃 + 𝐶 =
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 
Observação: a fórmula 15 da tabela de integrais permite uma solução bem mais 
rápida, como se pode ver. 
2) ∫
𝑑𝑥
√1 − 4𝑥2
= ∫
𝑑𝑥
√1 − (2𝑥)2
 
∫
1
√𝑎2 − 𝑢2
𝑑𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 
𝑢
𝑎
+ 𝐶 (𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 15 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎) 
𝐶𝑜𝑚 𝑎 = 1 𝑒 
𝑢 = 2𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 ⇒
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥 
2) ∫
𝑑𝑥
√1 − 4𝑥2
= ∫
𝑑𝑥
√1 − (2𝑥)2
= ∫
𝑑𝑢 2⁄
√1 − 𝑢2
=
1
2
∫
𝑑𝑢
√1 − 𝑢2
=
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 
 
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3) ∫
𝑑𝑥
√4 + 𝑥2
 
Usando a substituição indicada em (B), pois temos 𝑎2 + 𝑢2 (𝑎 = 2 𝑒 𝑢 = 𝑥): 
𝑥 = 2𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 
√4 + 𝑥2 = √4 + (2𝑡𝑔𝜃)2 = √4 + 4𝑡𝑔2𝜃 = √4(1 + 𝑡𝑔2𝜃) = √4𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 
3) ∫
𝑑𝑥
√4 + 𝑥2
= ∫
2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
2𝑠𝑒𝑐𝜃
= ∫ 2𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 2 ln|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃| + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
𝑥 = 2𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑡𝑔𝜃 =
𝑥
2
 
1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 1 +
𝑥2
4
=
4 + 𝑥2
4
⇒ 𝑠𝑒𝑐𝜃 = √
4 + 𝑥2
4
=
√4 + 𝑥2
2
 
Terminando o exercício 
3) ∫
𝑑𝑥
√4 + 𝑥2
= 2 ln|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃| + 𝐶 = 2𝑙𝑛 |
√4 + 𝑥2
2
+
𝑥
2
| + 𝐶 
 
4) ∫
𝑑𝑥
√4 − (𝑥 − 1)2
 
Usando a substituição (A), pois temos 𝑎2 − 𝑢2 (𝑎 = 2 𝑒 𝑢 = 𝑥 − 1): 
𝑥 − 1 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
√4 − (𝑥 − 1)2 = √4 − (2𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = √4 − 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 = √4(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 2√𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 
4) ∫
𝑑𝑥
√4 − (𝑥 − 1)2
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∫ 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
𝑥 − 1 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥 − 1
2
⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥 − 1
2
 
Concluindo 
4) ∫
𝑑𝑥
√4 − (𝑥 − 1)2
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∫ 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥 − 1
2
+ 𝐶 
 
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5) ∫ √𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 
Usando a substituição (A), pois temos 𝑎2 − 𝑢2 (𝑢 = 𝑥): 
𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
√𝑎2 − 𝑥2 = √𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = √𝑎2(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = √𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 
5) ∫ √𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝜃 = ∫ 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝑑𝜃 = 𝑎2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 
Como já vimos: 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 
5) ∫ √𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑎2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 = 𝑎2 ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑑𝜃 =
𝑎2
2
(∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃) 𝑑𝜃)
=
𝑎2
2
(∫ 𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃) =
𝑎2
2
(𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃) 
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 
Mudança de variável 
𝑢 = 2𝜃 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑑𝜃 ⇒
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝜃 
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶 =
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶 
5) ∫ √𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑎2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 = 𝑎2 ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑑𝜃 =
𝑎2
2
(∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃) 𝑑𝜃)
=
𝑎2
2
(∫ 𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃) =
𝑎2
2
(𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃) =
𝑎2
2
(𝜃 +
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃) + 𝐶 
Concluindo o exercício: 
𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
𝑎
⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑎
 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑎
) 
 
5) ∫ √𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑎2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 = 𝑎2 ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑑𝜃 =
𝑎2
2
(∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃) 𝑑𝜃)
=
𝑎2
2
(∫ 𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃) =
𝑎2
2
(𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃) =
𝑎2
2
(𝜃 +
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃) + 𝐶
=
𝑎2
2
(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑎
+
1
2
𝑠𝑒𝑛 (2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑎
)) + 𝐶 
 
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6) ∫
𝑑𝑥
√4 − 𝑥2
 
Usando a substituição indicada em (A), pois temos 𝑎2 − 𝑢2 (𝑎 = 2 𝑒 𝑢 = 𝑥): 
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
√4 − 𝑥2 = √4 − (2𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = √4 − 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 = √4(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = √4𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 
6) ∫
𝑑𝑥
√4 − 𝑥2
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∫ 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶 
Concluindo 
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
2
 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
 
6) ∫
𝑑𝑥
√4 − 𝑥2
= ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∫ 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
+ 𝐶 
 
7) ∫
𝑥𝑑𝑥
√4 + 𝑥2
 
Usando a substituição indicada em (B), pois temos 𝑎2 + 𝑢2 (𝑎 = 2 𝑒 𝑢 = 𝑥): 
𝑥 = 2𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 
√4 + 𝑥2 = √4 + (2𝑡𝑔𝜃)2 = √4 + 4𝑡𝑔2𝜃 = √4(1 + 𝑡𝑔2𝜃) = √4𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 
7) ∫
𝑥𝑑𝑥
√4 + 𝑥2
= ∫
2𝑡𝑔𝜃2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
2𝑠𝑒𝑐𝜃
= ∫ 2𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃
= 2 ∫ 𝑡𝑔𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝐶 (𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 9 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑖𝑠) 
Desfazendo a substituição 
𝑥 = 2𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑡𝑔𝜃 =
𝑥
2
 
1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 1 +
𝑥2
4
=
4 + 𝑥2
4
⇒ 𝑠𝑒𝑐𝜃 = √
4 + 𝑥2
4
=
√4 + 𝑥2
2
 
7) ∫
𝑥𝑑𝑥
√4 + 𝑥2
= ∫
2𝑡𝑔𝜃2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
2𝑠𝑒𝑐𝜃
= ∫ 2𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃
= 2 ∫ 𝑡𝑔𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝐶 = 2 ×
√4 + 𝑥2
2
+ 𝐶 = √4 + 𝑥2 + 𝐶 
 
 
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8) ∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2 − 𝑎2
 
Usando a substituição indicada em (C), pois temos 𝑢2 − 𝑎2 (𝑢 = 𝑥 𝑒 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥): 
𝑢 = 𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑢2 − 𝑎2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑡𝑔2𝜃 ∗ 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃 
𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎2𝑡𝑔2𝜃 ⇒ 𝑥√𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃√𝑎2𝑡𝑔2𝜃 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃𝑎𝑡𝑔𝜃 
8) ∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2 − 𝑎2
= ∫
𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃
𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃𝑎𝑡𝑔𝜃
= ∫
𝑑𝜃
𝑎
=
1
𝑎
∫ 𝑑𝜃 =
1
𝑎
𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑥
𝑎
⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐
𝑥
𝑎
 
Terminando o exercício 
8) ∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2 − 𝑎2
= ∫
𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃
𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃𝑎𝑡𝑔𝜃
= ∫
𝑑𝜃
𝑎
=
1
𝑎
∫ 𝑑𝜃 =
1
𝑎
𝜃 + 𝐶 =
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐
𝑥
𝑎
+ 𝐶 
 
∗ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃 ⇒ 𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 𝑎2 = 𝑎2(𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1) = 𝑎2𝑡𝑔2𝜃 
 
9) ∫
𝑑𝑥
√2 − 5𝑥2
 
Usando a substituição indicada em (A), pois temos 𝑎2 − 𝑢2 (𝑎2 = 2 𝑒 𝑢2 = 5𝑥): 
√5𝑥 = √2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 − 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 2𝑐𝑜𝑠2𝜃 
√5𝑑𝑥 = √2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 =
√2
√5
 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
9) ∫
𝑑𝑥
√2 − 5𝑥2
= ∫
√2
√5
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√2𝑐𝑜𝑠2𝜃
=
√2
√5
∫
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√2𝑐𝑜𝑠𝜃
=
1
√5
∫ 𝑑𝜃 =
1
√5
𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
√5𝑥 = √2𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
√5
√2
⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
√5
√2
 
9) ∫
𝑑𝑥
√2 − 5𝑥2
=
1
√5
𝜃 + 𝐶 =
1
√5
 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
√5
√2
+ 𝐶