livro Colaborativo Análise de Fourier

Prévia do material em texto

Análise de Fourier
Um Livro Colaborativo
19 de agosto de 2020
Organizadores
Esequia Sauter - UFRGS
Fabio Souto de Azevedo - UFRGS
ii
Licença
Este trabalho está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-
CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença,
iii
Nota dos organizadores
Estamos escrevendo este livro de forma colaborativa desde 2011 e, recente-
mente, decidimos por abrir a colaborações externas. Nosso objetivo é produzir
um material didático em nível de graduação de excelente qualidade e de acesso
livre pela colaboração entre professores e alunos de universidades, institutos de
educação e demais interessados na análise, estudo e aplicação das transformadas
integrais nos mais diversos ramos da ciência e da tecnologia.
O sucesso do projeto depende da colaboração! Edite você mesmo o livro, dê
sugestões ou nos avise de erros e imprecisões. Toda a colaboração é bem vinda.
Saiba mais visitando o site oficial do projeto:
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/main.html
Nada disso estaria completo sem uma licença apropriada à colaboração. Por
isso, escolhemos disponibilizar o material do livro sob licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual
Ou seja, você pode copiar, redistribuir, alterar e construir um novo material para
qualquer uso, inclusive comercial. Leia a licença para maiores informações.
Desejamos-lhe ótimas colaborações!
iv
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/main.html
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
Prefácio
Este livro busca abordar os tópicos de um curso moderno de transformadas
de Laplace oferecido a estudantes de matemática, física, engenharias e outros. A
ênfase é colocada na formulação e resolução de problemas e interpretação de re-
sultados. Estudam-se a propriedades da transformada de Laplace e seu uso na
resolução de equações diferenciais. Evita-se sempre que possível o uso de conheci-
mentos de variável compleza. Pressupõe-se que o estudante domine conhecimentos
e habilidades típicas desenvolvidas em cursos de graduação de cálculo, álgebra li-
near e equações diferenciais.
v
Sumário
Organizadores ii
Licença iii
Nota dos organizadores iv
Prefácio v
1 Introdução 1
2 Revisão de números complexos e funções trigonométricas 2
2.1 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Números complexos e fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Séries de Fourier 12
3.1 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Representações da série de Fourier e diagramas de espectro 26
4.1 Forma harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Diagramas de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Propriedades das Séries de Fourier 35
5.1 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Fenômeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Transformada de Fourier 40
6.1 Passagem do discreto para o contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
vi
SUMÁRIO vii
7 Representações da transformada de Fourier e diagramas de espectro 46
7.1 Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2 Diagramas de espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Propriedades da transformada de Fourier 51
8.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 O teorema de Parseval e o princípio da Incerteza . . . . . . . . . . . 64
8.3 Passagem do contínuo para o discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4 Aplicação: Sinais Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9 Equações diferenciais parciais 74
9.1 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.2 Equação do calor com termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.3 Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.4 Vibrações livres transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A Tabelas 83
Respostas dos Exercícios 86
Referências Bibliográficas 103
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
Capítulo 1
Introdução
Em construção ... Gostaria de participar na escrita deste livro? Veja como em:
https://www.ufrgs.br/reamat/participe.html
1
https://www.ufrgs.br/reamat/participe.html
Capítulo 2
Revisão de números complexos e
funções trigonométricas
2.1 Funções trigonométricas
Definição 2.1.1. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < π
2
, seno de θ (sen (θ)) é
definido pelo número real associado ao triângulo retângulo de ângulos θ rad, π
2
− θ
rad e π
2
rad como a razão do cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa. O cosseno
é a razão do cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa.
Definição 2.1.2. (Extensão das funções trigonométricas)
a) Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, as funções trigonométricas são esten-
didas da seguinte forma:
cos(θ) = − cos(π − θ) se θ ∈
(
π
2
,π
]
sen (θ) = sen (π − θ) se θ ∈
(
π
2
,π
]
cos(θ) = − cos(θ − π) se θ ∈
[
π,
3π
2
)
sen (θ) = − sen (θ − π) se θ ∈
[
π,
3π
2
)
cos(θ) = cos(2π − θ) se θ ∈
(3π
2
,2π
]
sen (θ) = − sen (2π − θ) se θ ∈
(3π
2
2π
]
2
2.1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 3
b) A extensão para todos os números reais se dá pela periodicidade:
cos(θ + 2kπ) = cos(θ), k ∈ Z
sen (θ + 2kπ) = sen (θ), k ∈ Z
Definição 2.1.3. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, define-se tangente de θ
por
tan(θ) =
sen (θ)
cos(θ)
, θ 6= π
2
e θ 6= 3π
2
,
secante de θ por
sec(θ) =
1
cos(θ)
, θ 6= π
2
e θ 6= 3π
2
,
cossecante de θ por
csc(θ) =
1
sen (θ)
, θ 6= 0 e θ 6= π
e cotangente de θ por
cot(θ) =
cos(θ)
sen (θ)
, θ 6= 0 e θ 6= π.
Proposição 2.1.1. Dado x, y ∈ R, valem as seguintes afirmações:
a) sen 2(x) + cos2(x) = 1
b) sen (x + y) = sen (x) cos(y) + sen (y) cos(x)
c) sen (x − y) = sen (x) cos(y) − sen (y) cos(x)
d) sen (2x) = 2 sen (x) cos(x)
e) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen (y) sen (x)
f) cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sen (y) sen (x)
g) cos(2x) = cos2(x) − sen 2(x)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
4 Análise de Fourier
h) tan(x + y) = tan(x)+tan(y)
1−tan(x) tan(y) , x 6= π2 + kπ, k ∈ Z.
i) As séries de Taylor do seno e cosseno são dadas por
sen (x) =
∞∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!
= x − x
3
3!
+
x5
5!
− · · · (2.1)
cos(x) =
∞∑
k=0
(−1)kx2k
(2k)!
= 1 − x
2
2!
+
x4
4!
− · · · (2.2)
Exercícios
E 2.1.1. Relacione A e θ com os valores conhecidos de B e C que satisfazem
a identidade
A cos(x − θ) = B cos(x) + C sen (x), ∀x ∈ R (2.3)
sabendo que 0 ≤ θ < 2π e A ≥ 0.
E 2.1.2. Encontre A e θ com A ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π tal que
a) A cos(x − θ) = 3 cos(x) + 4 sen (x)
b) A cos(x − θ) = 3 cos(x) − 4 sen (x)
c) A cos(x − θ) = −3 cos(x) + 4 sen (x)
d) A cos(x − θ) = −3 cos(x) − 4 sen (x)
e) A cos(x − θ) = sen (x)
f) A cos(x − θ) = 2 cos(x)
g) A cos(x − θ) = −2 cos(x)
E 2.1.3. Deduza as seguintes identidades trigonométricas
a) cos(x) cos(y) = cos(x+y)+cos(x−y)
2
b) sen (x) sen (y) = cos(x−y)−cos(x+y)
2
c) sen (x) cos(y) = sen (x+y)+sen (x−y)
2
E 2.1.4. Calcule as seguintes integrais onde n e m são inteiros não negativos.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 5
a)
∫ 2π
0 sen (nx)
2dx
b)
∫ 2π
0 sen (nx) sen (mx)dx, n 6= m
c)
∫ 2π
0 cos(nx)
2dx
d)
∫ 2π
0 cos(nx) cos(mx)dx, n 6= m
e)
∫ 2π
0 sen (nx) cos(mx)dx
2.2 Números complexos e fórmula de Euler
Definição 2.2.1. Um número complexo é definido pelo par ordenado (a,b) de
números reais que satisfazemas seguintes operações de adição e multiplicação:
(a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 + b2)
(a1,b1) · (a2,b2) = (a1a2 − b1b2,a1b2 + a2b1).
O conjunto dos números complexos é denotado por C.
Observação 2.2.1. (Números complexos)
a) Os números complexos da forma (a,0) são identificados com os números reais
(a,0) ≡ a.
b) O número complexo (0,1) é chamado de unidade imaginária e denotada por
i. Observe que i2 = −1
c) Os números complexos da forma z = (a,b) são rotineiramente denotados na
sua forma retangular por z = a + bi, onde a é a parte real de z (Re (z) = a
) e b é a parte imaginária de z (Im (z) = b ).
d) A representação geométrica do número z = a + bi no plano complexo é dada
por um plano cartesiano onde um eixo marca a parte real e o outro marca a
parte imaginária (veja figura 2.1).
Definição 2.2.2. Dado um número complexo z = a + bi, definimos módulo de
z (|z|) por |z| =
√
a2 + b2. Também definimos argumento θ para z 6= 0 como
qualquer solução do sistema
cos(θ) =
a√
a2 + b2
, (2.4)
sen (θ) =
b√
a2 + b2
. (2.5)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
6 Análise de Fourier
Observe que este sistema possui infinitas soluções. Ademais, se θ1 e θ2 são duas
soluções, então diferem por um múltiplo inteiro de 2π, isto é, θ1 − θ2 = 2nπ, n
inteiro.
Observe que uma possível solução, com −π
2
< θ ≤ 3π
2
é dada por
θ =



tan−1
(
b
a
)
se a > 0
π
2
se a = 0 e b > 0
3π
2
se a = 0 e b < 0
tan−1
(
b
a
)
+ π se a < 0
(2.6)
Se desejamos π
2
≤ θ < π
2
, podemos usar a seguinte expressão:
θ =



tan−1( b
a
) se a > 0,
tan−1( b
a
) + π se a < 0 e b ≥ 0,
tan−1( b
a
) − π se a < 0 e b < 0,
+π
2
se a = 0 e b > 0,
−π
2
se a = 0 e b < 0,
(2.7)
A representação geométrica de |z| e θ está na figura 2.1.
Im
Re
a
b
θ
|z| =
√
a2 + b2
Figura 2.1:
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 7
Definição 2.2.3. A forma trigonométrica de um número complexo z = a + bi é
z = |z| (cos(θ) + i sen (θ)) , (2.8)
onde |z| =
√
a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen (θ)
é o argumento.
Exemplo 2.2.1. Para escrever o número z = 2 − 2i na forma trigonométrica,
calculamos o módulo |z| =
√
22 + (−2)2 = 2
√
2 e o argumento, que satisfaz
sen (θ) = − 2
2
√
2
= −
√
2
2
e cos(θ) = 2
2
√
2
=
√
2
2
, ou seja, θ = 7π
4
. Logo, z =
2
√
2
(
cos
(
7π
4
)
+ i sen
(
7π
4
))
.
Definição 2.2.4. Dado z ∈ C, definimos exponencial de z por
ez = 1 + z +
z2
2!
+
z3
3!
+
z4
4!
+ · · · = 1 +
∞∑
k=1
zk
k!
(2.9)
Proposição 2.2.1. (Fórmula de Euler) Dado θ ∈ R, vale a identidade
eiθ = cos(θ) + i sen (θ). (2.10)
Demonstração. De fato,
eiθ = 1 + iθ +
(iθ)2
2!
+
(iθ)3
3!
+
(iθ)4
4!
+
(iθ)5
5!
+ · · ·
= 1 + iθ − θ
2
2!
− iθ
3
3!
+
θ4
4!
+ i
θ5
5!
+ · · ·
= 1 − θ
2
2!
+
θ4
4!
+ · · · + i
(
θ − θ
3
3!
+
θ5
5!
+ · · ·
)
= cos(θ) + i sen (θ)
Definição 2.2.5. A forma exponencial de um número complexo z = a + bi é
z = |z|eiθ, (2.11)
onde |z| =
√
a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sen (θ)
é o argumento.
Exemplo 2.2.2. Para escrever o número z = 2 − 2i na forma exponencial, calcu-
lamos o módulo |z| = 2
√
2 e o argumento θ = 7π
4
e escrevemos z = 2
√
2ei
7π
4 .
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8 Análise de Fourier
Exemplo 2.2.3. Mostre que
sen (θ) =
eiθ − e−iθ
2i
(2.12)
e
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
(2.13)
Observe que pela fórmula de Euler vale
eiθ = cos(θ) + i sen (θ) (2.14)
e
e−iθ = cos(θ) − i sen (θ). (2.15)
A diferença das equações (2.14) e (2.15) nos dá a expressão para o seno e a soma
delas nos dá a expressão para o cosseno.
Exemplo 2.2.4. Para calcular cos2(θ) usando as expressões do problema 2.2.3
fazemos o seguinte:
cos2(θ) =
(
eiθ + e−iθ
2
)2
=
(
eiθ
)2
+ 2eiθe−iθ +
(
e−iθ
)2
4
=
2 + e2iθ + e−2iθ
4
=
1 + e
2iθ+e−2iθ
2
2
=
1 + cos(2θ)
2
Exercícios
E 2.2.1. Escreva os seguintes números complexos na forma exponencial. Cal-
cule também o complexo conjugado de cada um. Represente-os no plano complexo
e identifique no gráfico as partes real e complexa, o argumento e o módulo.
a) 2 + 3i
b) −2 + 3i
c) 3 − 4i
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 9
d) −3 − 4i
e) 4
f) 5i
g) −5
h) −4i
E 2.2.2. Escreva os seguintes números complexos na forma retangular. Represente-
os no plano complexo e identifique no gráfico as partes real e complexa, o argu-
mento e o módulo.
a) e5πi
b) e3πi+2
c) 4e2πi
d) 2e
π
2 i+1e−2
e) 4e−
π
4 i
f) 5e
π
4 i
E 2.2.3. Calcule e escreva na forma retangular.
a) (2 − 3i)(4 + 2i) − eiπ(2i + 1)
b)
(√
2
2
+ i
√
2
2
)3
c) 3−2i−1+i
d) 5+5i
3−4i +
20
4+3i
e) 3i
30−i19
2i−1
E 2.2.4. Mostre a identidade
[cos(θ1) + i sen (θ1)] · [cos(θ2) + i sen (θ2)] = cos(θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2) (2.16)
diretamente a partir das identidades trigonométricas para soma de ângulos.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
10 Análise de Fourier
E 2.2.5. Use a identidade anterior e o princípio da indução matemática para
mostrar a fórmula de De Moivre:
[cos(θ) + i sen (θ)]n = cos(nθ) + i sen (nθ) (2.17)
E 2.2.6. Use a identidade anterior para calcular a razão
1
[cos(θ) + i sen (θ)]n
= cos(nθ) − i sen (nθ) (2.18)
sem usar a exponencial complexa.
E 2.2.7. Repita os três problemas anteriores usando a exponencial complexa
dada por
eiθ = cos(θ) + i sen (θ). (2.19)
E 2.2.8. Calcule
a)
cos(π4 )+i sen (π4 )
cos(π6 )+i sen (π6 )
b)
[
cos
(
π
4
)
+ i sen
(
π
4
)] [
cos
(
π
6
)
+ i sen
(
π
6
)]3
E 2.2.9. Mostre as seguintes identidades:
sen 3θ =
3
4
sen θ − 1
4
sen 3θ
cos4 θ =
1
8
cos 4θ +
1
2
cos 2θ +
3
8
Dica: Expresse as funções trigonométricas em termos de exponenciais e use o
binômio de Newton
E 2.2.10. Use o binômio de Newton para verificar que as funções sen n(t) e
cosn(t) podem ser escritas na forma
a0
2
+
n∑
k=1
[ak cos(kt) + bk sen (kt)] (2.20)
E 2.2.11. Entenda e familiarize-se com as seguintes identidades e observe a
primeira identidade implica todas as outras:
a) eix = cos(x) + i sen (x).
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 11
a) e−ix = cos(x) − i sen (x).
c) |eiθ| = 1, ∀θ ∈ R.
d) eiθ = e−iθ, ∀θ ∈ R.
e) |ez| = eRe (z).
f) cos(x) = e
ix+e−ix
2
g) sen (x) = e
ix−e−ix
2i
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
Capítulo 3
Séries de Fourier
Neste capítulo, apresentamos o conceito de Série de Fourier de uma função
periódica f(t) e apresentamos exemplos de expansão. A brevidade da apresentação
se deve ao fato que esperamos que o estudante já tenha tido um contato prévio
com o conceito.
3.1 Funções periódicas
Definição 3.1.1. Uma função f : R → R é dita periódica de período T (também
chamada de T-periódica) se existe uma constante positiva T tal que
f(t) = f(t + T ) (3.1)
para todo t ∈ R.
Observação 3.1.1. Se uma função f é periódica de período T , então, f também
é periódica de período nT onde n ∈ N., já que
f(t) = f(t + T ) = f(t + 2T ) = f(t + 3T ) = · · · = f(t + nT ). (3.2)
Exemplo 3.1.1. As funções f(t) = sen (t) e g(t) = cos(t) são periódicas de
período 2π.
Exemplo 3.1.2. A função constante f(t) = 1 é periódica e admite qualquer T > 0
como período.
Definição 3.1.2. Algumas funções periódicas admitem um menor período, cha-
mado de período fundamental. A frequência fundamental é então dada por ff = 1T
e a frequência angular fundamental é dada por wf = 2πT .
Proposição 3.1.1. O período fundamental dasfunções f(t) = sen (wt) e g(t) =
cos(wt) é 2π
w
.
12
3.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 13
Demonstração. Para provar isso, supomos que T é um período de f(t), isto é,
f(t + T ) = f(T ) para todo t. Em especial, para t = 0, temos:
sen (wT ) = sen (0) = 0. (3.3)
Logo, wT = nπ, onde n é um natural positivo. Observe que π
w
não pode ser o
período fundamental, pois tomando t = π
2w
, temos
1 = sen
(
w
(
π
2w
))
6= sen
(
w
(
π
2w
+
π
w
))
= −1. (3.4)
Como, por construção do círculo trigonomético, temos:
sen
(
w
(
t +
2π
w
))
= sen (wt + 2π) = sen (wt), (3.5)
então 2π
w
é o período fundamental. Observe que w é a frequência angular funda-
mental. Um raciocínio análogo vale para g(t).
Exemplo 3.1.3. Vamos calcular o período fundamental da função f(t) = sen (w1t)+
sen (w2t). Ambas as parcelas que compoem f(t) são periódicas, com períodos
T1 = 2πw1 n e T2 =
2π
w2
m, onde n e m são inteiros positivos. A função f(t) é perió-
dica se existirem m e n tais que T1 = T2, ou seja, 2πw1 n =
2π
w2
m. Isso implica em
w2
w1
= m
n
. Essa identidade só é possível se w1
w2
for racional, pois m e n são inteiros.
Por exemplo,
i) se w1 = 23 e w2 =
3
2
, então 3/2
2/3
= 9
4
= m
n
e os menores inteiros positivos que
satisfazem a identidade são m = 9 e n = 4. Logo, o período fundamental
da função f(t) = sen
(
2
3
t
)
+ sen
(
3
2
t
)
é 2π
2/3
· 4 = 12π e a frequência angular
fundamental é 2π
12π
= 1
6
;
ii) se w1 =
√
3 e w2 =
√
4
3
, então
√
4/3√
3
= 2
3
= m
n
e os menores inteiros positivos
que satisfazem a identidade são m = 2 e n = 3. Logo, o período fundamental
da função f(t) = sen
(√
3t
)
+sen
(√
4
3
t
)
é 2π√
3
·3 = 6π√
3
e a frequência angular
fundamental é
√
3
3
;
iii) a função f(t) = sen (2t)+ sen (πt) não é periódica, pois não existem inteiros
positivos n e m que satisfazem 2
π
= m
n
.
Teorema 3.1.1. Se f(t) é uma função integrável T -periódica, então o valor da
integral definida dentro de um período não depende do ponto inicial, isto é:
∫ x+T
x
f(t)dt (3.6)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
14 Análise de Fourier
não depende do valor x. Em especial, vale a identidade:
∫ T
0
f(t)dt =
∫ T/2
−T/2
f(t)dt. (3.7)
Demonstração. Primeiro, escrevemos x
T
= n + α, isto é, como um número inteiro
n mais uma parte fracionária α ∈ [0,1) e concluímos que podemos escrever x =
nT + y, onde y = αT , isto é 0 ≤ y < T .
I :=
∫ x+T
x
f(t)dt =
∫ (n+1)T +y
nT +y
f(t)dt
=
∫ (n+1)T
nT +y
f(t)dt +
∫ (n+1)T +y
(n+1)T
f(t)dt
Inserimos a mudança de variáveis t = nT + u e t = (n + 1)T + v:
I =
∫ T
y
f(u + nT )du +
∫ y
0
f(v + (n + 1)T )dv (3.8)
Da periodicidade, temos que f(u) = f(u + nT ) e f(v) = f(v + (n + 1)T ):
I =
∫ T
y
f(u)du +
∫ y
0
f(v)dv
=
∫ y
0
f(v)dv +
∫ T
y
f(u)du
Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser escritas em
termos de t da seguinte forma:
I =
∫ y
0
f(t)dt +
∫ T
y
f(t)dt
=
∫ T
0
f(t)dt
Exercícios
E 3.1.1. Verifique as seguintes afirmações são verdadeiras e justifique:
1. A soma de funções periódicas é uma função periódica.
2. Toda função periódica possui uma representação em série de Fourier.
3. Séries de Fourier convergentes são contínuas.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
3.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 15
4. Seja f(x) uma função real ímpar, então f(0) = 0.
5. Seja f(x) uma função real par, então f(0) = 0.
6. Seja f(x) uma função real ímpar diferenciável, então f ′(0) = 0.
7. Seja f(x) uma função real par diferenciável, então f ′(0) = 0.
8. Seja f(x) uma função real par diferenciável, então f ′(x) é uma função ímpar.
9. Seja f(x) uma função real ímpar diferenciável, então f ′(x) é uma função par.
10. Seja f(x) uma função real par integrável, então
∫ x
0 f(s)ds é uma função
ímpar.
11. Seja f(x) uma função real ímpar integrável, então
∫ x
0 f(s)ds é uma função
par.
12. A única função real par e ímpar é a função f(x) = 0.
13. Toda função real pode ser escrita de forma única como a soma de uma função
ímpar e outra par.
E 3.1.2. Identifique a paridade das sequintes funções. Verique quais delas são
periódicas.
1. f(x) = sen (x2).
2. f(x) = sen 2(x).
3. f(x) = cos(x) + esen (x)
4. f(x) = cos(πx) + esen (x)
5. f(x) = 2
6. f(x) = (sen (x) + cos(x) + 1)5
7. f(x) = (cos(2x) + 1)7
8. f(x) = sen 2(πx) + cos(πx)
9. f(x) = sen (x) cos(x)
10. f(x) = sen (1 + cos(x))
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
16 Análise de Fourier
E 3.1.3. Seja f(t) um função periódica integrável de período T e F (t) =
∫ t
0 f(τ)dτ . Encontre uma condição necessária e suficiente para que F (t) seja pe-
riódica de período T .
E 3.1.4. Encontre a frequência angular fundamental das seguintes funções
periódicas:
a) f(t) = sen (πt)
b) cos2(πt)
c) cos3(πt)
d) ecos(t)
e) cos(2t) + cos(4t)
f) cos(2t) + sen (3t)
h) cos(6t) + sen (10t) + sen (15t)
i) 2 + cos(3t)
3.2 Séries de Fourier
Definição 3.2.1. Seja T > 0, definimos polinômio trigonomético de grau N uma
função do tipo:
f(t) =
a0
2
+
N∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sen (wnt)] (3.9)
onde wn = 2πnT .
Definição 3.2.2. Seja T > 0, definimos série trigonométrica toda função do tipo:
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sen (wnt)] (3.10)
onde wn = 2πnT .
Exemplo 3.2.1. Mostre que T é um período para séries e polinômios trigonomé-
tricos acima definidos.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
3.2. SÉRIES DE FOURIER 17
Teorema 3.2.1 (Relações de ortogonalidade). As funções trigonométricas admi-
tem as seguintes relações de ortogonalidade:
∫ T
0
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt =



0, n 6= m
T
2
, n = m 6= 0
(3.11a)
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
dt =



0, n 6= m
T
2
, n = m 6= 0
T, n = m = 0
(3.11b)
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt = 0 (3.11c)
aqui n e m são inteiros não negativos.
Demonstração. Para obter (3.11a), usamos a seguinte identidade trigonométrica:
sen (a) sen (b) =
cos(a − b) − cos(a + b)
2
(3.12)
com a = 2πnt
T
e b = 2πmt
T
, isto é:
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
=
cos
(
2π(n−m)t
T
)
− cos
(
2π(n+m)t
T
)
2
(3.13)
Se n = m 6= 0, temos:
∫ T
0
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
1 − cos
(4πnt
T
)]
dt =
T
2
(3.14)
Se n 6= m, temos:
∫ T
0
sen
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
cos
(
2π(n − m)t
T
)
− cos
(
2π(n + m)t
T
)]
dt = 0
(3.15)
Para obter (3.11b), usamos a seguinte identidade trigonométrica:
cos(a) cos(b) =
cos(a − b) + cos(a + b)
2
(3.16)
com a = 2πnt
T
e b = 2πmt
T
, isto é:
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
=
cos
(
2π(n−m)t
T
)
+ cos
(
2π(n+m)t
T
)
2
(3.17)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
18 Análise de Fourier
Se n = m 6= 0, temos:
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
1 + cos
(4πnt
T
)]
dt =
T
2
(3.18)
Se n 6= m, temos: Caso n = m = 0, então cos
(
2πnt
T
)
= 1, isto é:
∫ T
0
cos
(2πnt
T
)
cos
(2πmt
T
)
dt =
∫ T
0
1dt = T (3.19)
Para obter (3.11c), usamos a seguinte identidade trigonométrica:
cos(a) sen (b) =
sen (a + b) + sen (a − b)
2
(3.20)
com a = 2πnt
T
e b = 2πmt
T
, isto é:
cos
(2πnt
T
)
sen
(2πmt
T
)
=
sen
(
2π(n+m)t
T
)
+ sen
(
2π(n−m)t
T
)
2
(3.21)
E integrando conforme feito para os casos anteriores, temos o resultado.
Teorema 3.2.2. Seja f(t) uma função definida por uma série trigonométrica da
forma
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sen (wnt)] (3.22)
Então sob determinadas hipóteses de convergência, os coeficientes an e bn são
dados pelas seguintes expressões:
a0 =
2
T
∫ T
0
f(t)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt (3.23a)
an =
2
T
∫ T
0
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt (3.23b)
bn =
2
T
∫ T
0
f(t) sen (wnt)dt =2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sen (wnt)dt (3.23c)
onde wn = 2πnT .
Demonstração. Multiplicamos a equação (3.22) por cos(wmt) e obtemos
cos(wmt)f(t) =
a0
2
cos(wmt) +
∞∑
n=1
[an cos(wnt) cos(wmt) + bn sen (wnt) cos(wmt)] .
(3.24)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
3.2. SÉRIES DE FOURIER 19
Seguimos integrando em [0,T ] e temos:
∫ T
0
cos(wmt)f(t)dt =
∫ T
0
a0
2
cos(wmt)dt +
∞∑
n=1
[
an
∫ T
0
cos(wnt) cos(wmt)dt
+ bn
∫ T
0
sen (wnt) cos(wmt)dt
]
.
Pelo teorema 3.2.1, se m 6= n, as parcelas do lado direito são nulas. A única parcela
não nula é aquela onde m = n. Supondo m = n 6= 0, temos:
∫ T
0
cos(wmt)f(t)dt = am
T
2
, (3.25)
onde obtemos a expressão (3.23b). Supondo m = n = 0, obtemos a expressão
(3.23a). Um argumento análoga para calcular bn.
Observação 3.2.1. Observe que como cos(0) = 1, a fórmula de an com n = 0
recai na fórmula para a0.
Definição 3.2.3. Seja f(t) uma função T -periódica integrável em [0,T ]. Defini-
mos como a série de Fourier associada à função f , a série trigonométrica cujos
coeficientes são dados por (3.23).
Observe que a série de Fourier de uma função f(t) não é necessariamente igual
a função f(t). De fato, não se pode se quer garantir que a série de Fourier associada
a uma função integrável seja convergente. Estas questões teóricas fogem do escopo
do nosso curso e são normalmente tratadas em cursos de análise matemática (veja,
por exemplo, [?], [?] e [?]).
Teorema 3.2.3. Seja f uma função periódica de período T , suave por partes e
descontínua no máximo em um número finito de saltos dentro de cada intervalo,
então a série de Fourier converge em cada ponto t para
f(t+) + f(t−)
2
, (3.26)
onde f(t+) e f(t−) são os limites laterais à direita e à esquerda, respectivamente.
Observe que nos pontos t onde f(t) é contínua, então f(t+) = f(t−) e a série de
Fourier converge para f(t).
Exemplo 3.2.2. Seja f(t) uma função dada por
f(t) = |t|, −1 ≤ t < 1
f(t + 2) = f(t), ∀t ∈ R.
Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos. Portanto se aplica
o teorema 3.2.3.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
20 Análise de Fourier
1
1 2 3 4−1
y = f(t)
t
Observamos que essa é uma função par, ou seja, f(t) = f(−t). A fim de explorar
essa simetria, utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais simétricas, isto
é,
a0 =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt
an =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt
bn =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sen (wnt)dt
onde T = 2 e wn = 2πnT = πn. Logo,
a0 =
∫ 1
−1
|t|dt = 2
∫ 1
0
tdt = 2
[
t2
2
]1
0
= 1
an =
∫ 1
−1
|t| cos(πnt)dt = 2
∫ 1
0
t cos(πnt)dt
= 2
[
t sen (πnt)
πn
]1
0
− 2
∫ 1
0
sen (πnt)
πn
dt
= 2
[
t sen (πnt)
πn
+
cos(πnt)
π2n2
]1
0
= 2
(−1)n − 1
π2n2
bn =
∫ 1
−1
|t| sen (πnt)dt = 0.
onde se usou que |t|, |t| cos(πnt) são funções pares em t e |t| sen (πnt) é ímpar em
t. Assim, temos
f(t) =
1
2
− 4
π2
(
cos(πt) +
1
32
cos(3πt) +
1
52
cos(5πt) + · · ·
)
(3.27)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
3.2. SÉRIES DE FOURIER 21
Observe que, quando t = 0, obtemos como subproduto da série de Fourier da f(t)
a soma da seguinte série numérica:
1 +
1
32
+
1
52
+ · · · = π
2
8
. (3.28)
A figura 3.1 apresenta os gráficos da série que representa a função f(t) com um
termo, dois termos e três termos.
1
1 2 3 4−1
t
Figura 3.1: Gráficos de f0(t) = 12 (azul), f1(t) =
1
2
− 4
π2
cos(πt) (verde) e f2(t) =
1
2
− 4
π2
(
cos(πt) + 1
32
cos(3πt)
)
(vermelho).
Exemplo 3.2.3. Seja g(t) uma função dada por
g(t) = −1, −1 < t < 0
g(t) = 0, t = 0 ou t = 1
g(t) = 1, 0 < t < 1
g(t + 2) = g(t), ∀t ∈ R.
Essa função é suave por partes e contínua em todos os pontos exceto por saltos
nos inteiros, onde a função vale a média aritmética dos limites laterais. Portanto
se aplica o teorema 3.2.3. Observamos que essa é uma função ímpar, ou seja,
f(t) = −f(−t). Novamente, utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais
simétricas:
a0 =
∫ 1
−1
g(t)dt = 0
an =
∫ 1
−1
g(t) cos(πnt)dt = 0
bn =
∫ 1
−1
g(t) sen (πnt)dt = 2
∫ 1
0
g(t) sen (πnt)dt = 2
∫ 1
0
sen (πnt)dt
=
2
πn
[− cos(πnt)]10 = 2
1 − (−1)n
πn
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
22 Análise de Fourier
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
Logo,
g(t) =
4
π
(
sen (πt) +
1
3
sen (3πt) +
1
5
sen (5πt) + · · ·
)
. (3.29)
A figura 3.2 apresenta os gráficos da série que representa a função g(t) com um
termo, dois termos, três termos e quatro termos.
1
−1
1 2 3 4−1
t
Figura 3.2: Gráficos de g0(t) = 4π sen (πt) (azul), g1(t) =
4
π
(
sen (πt) + 1
3
sen (3πt)
)
(verde), g2(t) = g(t) = 4π
(
sen (πt) + 1
3
sen (3πt) + 1
5
sen (5πt)
)
(vermelho) e
g3(t) = g(t) = 4π
(
sen (πt) + 1
3
sen (3πt) + 1
5
sen (5πt) + 1
7
sen (7πt)
)
(preto).
Exemplo 3.2.4. Seja h(t) uma função dada por
f(t) = t, 0 < t < 1
f(t) =
1
2
, t = 1
f(t + 1) = f(t), ∀t ∈ R.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
3.2. SÉRIES DE FOURIER 23
Essa função é suave por partes e contínua exceto por salto nos inteiros onde h(t)
assume o valor médio dos limites laterais. Portanto se aplica o teorema 3.2.3.
Utilisaremos as fórmulas (3.23) envolvendo integrais no intervalo [0,1], isto é,
1
1 2 3 4−1
y = h(t)
t
a0 = 2
∫ 1
0
tdt = 2
[
t2
2
]1
0
= 1
an = 2
∫ 1
0
t cos(2πnt)dt = = 2
[
t sen (2πnt)
2πn
]1
0
− 2
∫ 1
0
sen (2πnt)
2πn
dt
= 2
[
t sen (2πnt)
2πn
+
cos(2πnt)
4π2n2
]1
0
= 0
bn = 2
∫ 1
0
t sen (2πnt)dt = = 2
[
−t cos(2πnt)
2πn
]1
0
+ 2
∫ 1
0
cos(2πnt)
2πn
dt
= 2
[
−t cos(2πnt)
2πn
+
sen (2πnt)
4π2n2
]1
0
= − 1
πn
Logo,
h(t) =
1
2
− 1
π
(
sen (2πt) +
1
2
sen (4πt) +
1
3
sen (6πt) + · · ·
)
. (3.30)
Observação 3.2.2. Os coeficiente bn da série de Fourier de uma função par são
nulos bem como os coeficiente an da série de Fourier de uma função ímpar também
o são.
Exemplo 3.2.5. Demonstre a observação 3.2.2.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
24 Análise de Fourier
Exercícios
E 3.2.1. Considere a função periódica de período T dada na região (−T/2,T/2)
por
f(t) =



0, −T/2 ≤ t < −d/2,
1, −d/2 ≤ t ≤ d/2,
0, d/2 < t ≤ T/2.
(3.31)
onde d é uma constante entre 0 e T . Estude a paridade desta função. Encontre
sua representação em série de Fourier.
E 3.2.2. Calcule a soma da série
f(t) =
∞∑
n=0
bn sen (nt) (3.33)
onde 0 < b < 1 e mostre que
f(t) =
b sen (t)
1 − 2b cos(t) + b2 . (3.34)
Com base neste resultado, obtenha o valor da integral definida dada por
∫ 2π
0
b sen (t) sen (kt)
1 − 2b cos(t) + b2 dt. (3.35)
E 3.2.3. Considere a função periódica de período T dada para −T/2 < t <
T/2 por
f(t) =



t, |t| ≤ d/2,
0, d/2 < |t| < T/2,
(3.36)
onde 0 < d ≤ T . Calcule sua representação em série de Fourier. Estude o caso
particular d = T . Dica:
∫
u cos(u)du = cos(u) + u sen (u) + C e
∫
u sen (u)du =
sen (u) − u cos(u) + C
E 3.2.4. Trace o gráfico e obtenha a representação em série de Fourier das
seguintes funções:
a) f(t) = | sen (πt)|
b) g(t) =
∑∞
n=−∞ δ(t − nT ) onde T > 0.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
3.2. SÉRIES DE FOURIER 25
E 3.2.5. Use o item a do exercício anterior para obter uma representação em
Série de Fourier da função
h(t) = | cos(πt)|. (3.37)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
Capítulo 4
Representações da série de
Fourier e diagramas de espectro
No capítulo anterior, vimos que uma função periódica pode ser representa
como uma série trigonométrica. No entanto, sobretudo em aplicações em Física e
Engenharia, a série de Fourier é apresentadaem outras formas, a forma harmônica
(ou amplitude-fase) e a forma exponencial. Neste capítulo veremos como construir
estas representações e introduziremos o conceito de diagramas de espectro de uma
função periódica.
4.1 Forma harmônica
A forma harmônica, também chamada de forma amplitude-fase, da série de
Fourier de uma função f(t) é dada conforme a seguir:
f(t) = A0 +
∞∑
n=1
An cos(wnt − θn), (4.1)
onde wn = 2πnT , An são constantes não negativas chamadas de amplitude e θn são
ângulos de fase. Para relacionar esta representação com a forma trigonométrica,
usamos a identidade trigonométrica
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sen (a) sen (b), (4.2)
26
4.1. FORMA HARMÔNICA 27
com a = wnt e b = θn. Assim temos:
f(t) = A0 +
∞∑
n=1
An cos(wnt − θn)
= A0 +
∞∑
n=1
An [cos(wnt) cos(θn) + sen (wnt) sen (θn)]
= A0
︸︷︷︸
a0/2
+
∞∑
n=1
[An cos(θn)
︸ ︷︷ ︸
an
cos(wnt) + An sen (θn)
︸ ︷︷ ︸
bn
sen (wnt)]
Comparando os termos da representação trigonométrica, temos que:
a0
2
= A0
an = An cos(θn)
bn = An sen (θn)
Observe que
a2n + b
2
n = A
2
n (4.3)
e, como An ≥ 0 por hipótese, temos que
An =
√
a2n + b2n. (4.4)
Também temos
cos(θn) =
an
√
a2n + b2n
sen (θn) =
bn
√
a2n + b2n
Observe que sempre é possível converter uma forma na outra e os ângulos de fase
estão unicamente definidos em cada volta do ciclo trigonométrico.
Exemplo 4.1.1. Considere um função periódica (T = 4) dada pelo gráfico Os
coeficientes de Fourier são dados por
a0
2
=
1
4
∫ 4
0
f(t)dt =
1
4
∫ 1
0
1dt =
1
4
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
28 Análise de Fourier
1
−1
1 2 3 4 5 6−1
y = f(t)
t
an =
2
4
∫ 4
0
f(t) cos(wnt)dt =
1
2
∫ 1
0
cos
(
πn
2
t
)
dt
=
1
πn
[
sen
(
πn
2
t
)]1
0
=



0, n par
1
πn
(−1)n−12 n ímpar
bn =
2
4
∫ 4
0
f(t) sen (wnt)dt =
1
2
∫ 1
0
sen
(
πn
2
t
)
dt
=
1
πn
[
− cos
(
πn
2
t
)]1
0
=



1
πn
, n ímpar
1
πn
(
1 − (−1)n2
)
n par
Para escrever a forma harmônica da série de Fourier da função f(t) calculamos as
amplitudes An e as fases θn. Para n = 0, temos a0 = 12 e, portanto, A0 =
a0
2
= 1
4
.
Para n = 1, temos a1 = b1 = 1π e, consequentemente, A1 =
√
1
π2
+ 1
π2
=
√
2
π
e
θ1 = π4 . Os cálculos foram repetidos de forma análoga para n = 2, 3, 4 e 5 e
apresentados na tabela 4.1. Portanto,
f(t) =
1
4
+
1
π
[√
2 cos
(
π
2
t − π
4
)
+ cos
(
πt − π
2
)
+
+
√
2
3
cos
(3π
2
t − 3π
4
)
+
√
2
5
cos
(5π
2
t − π
4
)
+ · · ·
]
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
4.2. FORMA EXPONENCIAL 29
4.2 Forma exponencial
A forma exponencial de uma série de Fourier é obtida quando se substiuem as
funções trigonométricas sen (wnt) e cos(wnt) por suas representações em termos
de exponenciais complexos, isto é
cos(wnt) =
eiwnt + e−iwnt
2
e sen (wnt) =
eiwnt − e−iwnt
2i
(4.5)
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos(wnt) +
∞∑
n=1
bn sen (wnt)
=
a0
2
+
∞∑
n=1
an
(
eiwnt + e−iwnt
2
)
+
∞∑
n=1
bn
(
eiwnt − e−iwnt
2i
)
Reagrupando os termos e usando o fato que 1
i
= −i, temos:
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an − ibn
2
eiwnt +
∞∑
n=1
an + ibn
2
e−iwnt (4.6)
Agora observamos que as definições 3.23 dadas por
a0 =
2
T
∫ T
0
f(t)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt
an =
2
T
∫ T
0
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt
bn =
2
T
∫ T
0
f(t) sen (wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sen (wnt)dt
Embora estas expressões estejam definadas apenas para n > 0, elas fazem sentidos
para qualquer n inteiro. Neste caso, valem as seguintes identidades:
a−n = an, b−n = −bn b0 = 0. (4.7)
onde se usou que w−n =
2π(−n)
T
= −2πn
T
= −wn e a paridade das funções cos-
seno e seno. Estendendo estas definições para qualquer inteiro, introduzimos os
coeficientes Cn dados por:
Cn =
an − ibn
2
(4.8)
Observe que estes coeficientes estão definidos para para número inteiro n, assim
temos:
C0 =
a0 − ib0
2
=
a0
2
(4.9)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
30 Análise de Fourier
e
C−n =
a−n − ib−n
2
=
an + ibn
2
(4.10)
Substituindo estas expressões para C0, Cn e C−n em (4.6), obtemos:
f(t) = C0 +
∞∑
n=1
Cne
iwnt +
∞∑
n=1
C−ne
−iwnt
Escrevemos agora esta última expressão em um único somatório:
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt (4.11)
onde se usou que w−n =
2π(−n)
T
= −2πn
T
= −wn Observamos também que os
coeficientes Cn podem ser escritos das seguinte forma mais enxuta:
Cn =
an − ibn
2
=
1
T
∫ T
0
f(t) [cos(wnt) − i sen (wnt)] dt
=
1
T
∫ T
0
f(t)e−iwntdt =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(t)e−iwntdt
Exemplo 4.2.1. A função f(t) dada no exemplo 3.2.2 pode ser escrita na forma
exponencial com os seguintes coeficientes:
C0 =
a0
2
=
1
2
(4.12)
Cn =
an − ibn
2
=
2 (−1)
n−1
π2n2
+ 0
2
=
(−1)n − 1
π2n2
, n 6= 0 (4.13)
Exemplo 4.2.2. A função g(t),
g(t) =
4
π
(
sen (πt) +
1
3
sen (3πt) +
1
5
sen (5πt) + · · ·
)
, (4.14)
calculada no exemplo 3.2.3 pode ser escrita na forma exponencial com os seguintes
coeficientes:
C0 =
a0
2
= 0 (4.15)
e
Cn =
an − ibn
2
=
0 − i21−(−1)n
πn
2
= i
(−1)n − 1
πn
, n 6= 0. (4.16)
Logo,
g(t) = · · ·+ 2i
5π
e−5iπt +
2i
3π
e−3iπt +
2i
π
e−iπt − 2i
π
eiπt − 2i
3π
e3iπt − 2i
5π
e5iπt −· · · , (4.17)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
4.3. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 31
Exercícios
E 4.2.1. Mostre que se f(t) =
∑∞
n=−∞ Cne
iwnt é uma função real, então
C−n = Cn. Em especial, |C−n| = |Cn|.
4.3 Diagramas de espectro
Diagramas espectro são representações gráficas dos coeficientes de Fourier Cn
associados a uma função periódica f(t). Como os coeficientes Cn são números
complexos, é comum representá-los na forma de módulo e fase, isto é:
Cn = |Cn|eiφn . (4.18)
O ângulo de fase assim definido coincide com o conceito de argumento do número
Cn.
Exemplo 4.3.1. A função
f(t) = −1 + 2 cos(t) + 4 sen (2t) (4.19)
é periódica com periodo fundamental 2π e pode ser escrita na forma exponencial
da seguinte forma:
f(t) = −1 + 2
(
eit + e−it
2
)
+ 4
(
e2it − e−2it
2i
)
= 2ie−2it + e−it − 1 + eit − 2ie2it
Assim, identificamos cinco coeficientes não nulos:
C−2 = 2i = 2e
iπ
2 =⇒ |C−2| = 2, φ−2 = π2
C−1 = 1 =⇒ |C−1| = 1, φ−1 = 0
C0 = −1 = 1eπ =⇒ |C0| = 1, φ0 = π
C1 = 1 =⇒ |C1| = 1, φ1 = 0
C2 = −2i = 2e
−iπ
2 =⇒ |C2| = 2, φ2 = −π2
Os digramas de espectro de amplitude e fase são dados a seguir:
Exemplo 4.3.2. As primeiras raias do digrama de espectro da função do exemplo
4.2.2,
g(t) = · · ·+ 2i
5π
e−5iπt +
2i
3π
e−3iπt +
2i
π
e−iπt − 2i
π
eiπt − 2i
3π
e3iπt − 2i
5π
e5iπt −· · · , (4.20)
são dados na figura a seguir
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
32 Análise de Fourier
1
2
1 2 3−1−2−3
|Cn|
wn
1 2 3−1−2−3
φn
wn
π
2
−π
2
π
−π
−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π
2
π
|Cn|
wn
−5π −4π −3π −2π −π
π 2π 3π 4π 5π
φn
wn
π
2
−π
2
π
−π
Exercícios
E 4.3.1. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro das seguintes
funções periódicas:
a) f(t) = sen (t)
b) f(t) = 3 cos(πt)
c) f(t) = 1 + 4 cos(πt)
d) f(t) = 2 cos2(2πt)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
4.3. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 33
e) f(t) = 8 sen 3(2πt) + 2 cos(6πt)
f) f(t) = sen (2πt) + cos(3πt)
Observação: Considere a fase φ no intervalo −π < φ ≤ π
E 4.3.2. Esboce os diagramas de amplitude e fase do espectro, indicando
pelo menos as cinco primeiras raias positivas e negativas, das seguintes funções
periódicas:
a) f(t) =
∑∞
n=−∞
eiπnt
n2+1
b) f(t) =
∑∞
n=1
sen (nt)
n2
E 4.3.3. Esboce os diagramas de espectro das séries de Fourier dos problemas
3.2.4 e 3.2.5 da página 24.
E 4.3.4. Mostre que se f(t) é um deslocamento no tempo de g(t), isto é,
f(t) = g(t − k), então os coeficiente de Fourier Cfn da função f e Cgnda função
g são iguais em módulo e, portanto, possuem o mesmo diagrama de espectro de
amplitude.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
34 Análise de Fourier
n an bn An θn
0 1
2
0 1
4
1 1
π
1
π
√
2
π
π
4
2 0 1
π
1
π
π
2
3 − 1
3π
1
3π
√
2
3π
3π
4
4 0 0 0
5 1
5π
1
5π
√
2
5π
π
4
Tabela 4.1:
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
Capítulo 5
Propriedades das Séries de
Fourier
5.1 Teorema de Parseval
Definição 5.1.1. Define-se a potência média de um função periódica f(t) como
P f =
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt (5.1)
Exemplo 5.1.1. A potência média da função f(t) = A cos(wt) é dada por
P f =
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt
=
1
T
∫ T
0
A2 cos
(2π
T
t
)2
dt
=
A2
T
∫ T
0


cos
(
4π
T
t
)
+ 1
2

 dt
=
A2
2
onde se usou que w = 2π
T
e identidade trigonométrica dada por:
cos2(x) =
(
eix + e−ix
2
)2
=
e2ix + 2 + e−2ix
4
=
cos(2x) + 1
2
. (5.2)
Exemplo 5.1.2. Seja V (t) = A cos(wt) uma fonte de tensão com frequência w =
60Hz = 120πrad/s ligado a um resistor de resitência RΩ. A potência no resistor é
P (t) =
V (t)2
R
(5.3)
35
36 Análise de Fourier
e a potência média Pm é
Pm =
1
T
∫ T
0
P (t)dt =
1
T
∫ T
0
V (t)2
R
dt, (5.4)
onde T = 1
60
s. Por outro lado, a potência média é calculada em termos da tensão
média por
Pm =
V 2m
R
, (5.5)
ou seja,
V 2m =
1
T
∫ T
0
V (t)2dt. (5.6)
O exemplo 5.1.1 nos dá o valor da potência média do sinal V (t) = A cos(wt). Logo,
Vm =
A√
2
. (5.7)
Se Vm = 127V , então a amplitude do sinal é aproximadamente A ≈ 180.
Observação 5.1.1. Na expressão (5.6), Vm também é chamado de valor RMS do
sinal v(t) (Root mean square):
VRMS =
√
1
T
∫ T
0
V (t)2dt. (5.8)
Teorema 5.1.1 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função periódica represen-
tável por uma série de Fourier, então vale a seguinte identidade.
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
∞∑
n=−∞
|Cn|2. (5.9)
Demonstração.
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt = 1
T
∫ T
0
f(t)f(t)dt
Como f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt, temos
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt =
∞∑
n=−∞
Cn eiwnt =
∞∑
n=−∞
Cne
−iwnt
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
5.1. TEOREMA DE PARSEVAL 37
Substituindo esta expressão para f(t) na definição de potência média, temos:
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt = 1
T
∫ T
0
f(t)f(t)dt =
1
T
∫ T
0
f(t)
[ ∞∑
n=−∞
Cne
−iwnt
]
dt
=
1
T
∞∑
n=−∞
[
Cn
∫ T
0
f(t)e−iwntdt
]
Como Cn = 1T
∫ T
0 f(t)e
−iwntdt, temos:
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
∞∑
n=−∞
CnCn =
∞∑
n=−∞
|Cn|2
Exemplo 5.1.3. Seja g(t) um função dada no exemplo 3.2.3, isto é,
g(t) = −1, −1 < t < 0
g(t) = 0, t = 0 ou t = 1
g(t) = 1, 0 < t < 1
g(t + 2) = g(t), ∀t ∈ R.
Vimos no exemplo 3.2.3 que sua expansão em série de Fourie é da forma:
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
g(t) =
4
π
(
sen (πt) +
1
3
sen (3πt) +
1
5
sen (5πt) + · · ·
)
. (5.10)
Calcularemos agora a potência média desta função através de sua representação
no tempo e depois em frequência:
Pf =
1
T
∫ T
0
|g(t)|2dt = 1
2
∫ 2
0
|g(t)|2dt = 1
2
∫ 2
0
1dt = 1
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
38 Análise de Fourier
Alternativamente, temos pelo Teorema de Parseval:
Pf =
∞∑
n=−∞
|Cn|2 =
∞∑
n=−∞
∣
∣
∣
∣
∣
an − ibn
2
∣
∣
∣
∣
∣
2
=
1
4
∞∑
n=−∞
|bn|2
Como b−n = bn, temos que |b−n| = |bn| e ainda temos que b0 = 0, portanto:
Pf =
1
2
∞∑
n=1
|bn|2 =
1
2
( 4
π
)2 (
1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · ·
)
usando a equação (3.28) da página 21, temos:
Pf =
1
2
( 4
π
)2 π2
8
= 1
Exercícios
E 5.1.1. Dado o diagrama de espectro de amplitude de uma função periódica
f(t), marque as alternativas que representam, respectivamente, o módulo do valor
médio e a potência média da função
(∣
∣
∣
1
T
∫ T
0 f(t)dt
∣
∣
∣ e 1
T
∫ T
0 |f(t)|2dt
)
.
1
2
3
1 2 3−1−2−3
|Cn|
wn
Valor Médio
a) 0
b) 0.5
c) 1
d) 1.5
e) 2
f) 2.5
g) 3
Potência Média
a) 11.5
b) 10
c) 8.5
d) 6
e) 4.5
f) 3
g) 0.5
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
5.2. FENÔMENO DE GIBBS 39
5.2 Fenômeno de Gibbs
A convergência das somas parciais da série de Fourier de uma função suave por
partes em torno de um salto apresenta oscilações cujas amplitudes não convergem
para zero. A convergência ponto a ponto acontece, mas se olharmos para o valor
absoluto da diferença entre a função e soma parcial sempre encontramos um ponto
onde esse valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto. Esse fenômeno é
chamado de Fenômeno de Gibbs
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
1
0.1 0.2 0.3 0.4
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
Capítulo 6
Transformada de Fourier
A série de Fourier é uma ferramenta para representar funções periódicas. Como
os problemas de interesse podem envolver funções não periódicas, neste capítulo
definiremos uma representação para essas funções que possuem interpretação como
extensão do conceito de série de Fourier.
6.1 Passagem do discreto para o contínuo
Podemos construir uma representação em séries de Fourier para um função
f(t) não-periódica sempre que nos restringimos a um intervalo finito [−T/2,T/2],
isto é, construímos a função fT (t) T-periódica que coincide com f(t) no intervalo
citado:
fT (t) = f(t), −T/2 ≤ t < T/2
fT (t + T ) = fT (t), ∀t ∈ R
(6.1)
Exemplo 6.1.1. Considerando a função f(t) = e−|t|, definimos funções fT (t) como
na equação (6.1) e apresentamos os gráficos de f(t) e fT (t) para T = 2 e T = 4
na figura 6.1. Observe que a função fT (t) carrega consigo informação sobre a
função f(t). Naturalmente, gostaríamos de poder obter o limite T → ∞, a fim de
aproximar fT (t) tanto quando possível de f(t). Como T representa o período da
função fT (t), quando T cresce a frequência fundamental wF descresce. A função
fT (t) possui série de Fourier da forma
fT (t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt, (6.2)
40
6.1. PASSAGEM DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO 41
y = f(t) = e−|t|
t
y = fT (t), T = 2
t
y = fT (t), T = 4
t
Figura 6.1:
onde
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
e−|t|e−iwntdt =
1
T
∫ T/2
−T/2
e−|t| (cos(wnt) − i sen (wnt)) dt
=
2
T
∫ T/2
0
e−|t| cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
0
e−t cos(wnt)dt
=
2
T
[
wn sen (twn) − cos(twn)
w2n + 1
e−t
]T/2
0
=
2
T
[
wn sen
(
T wn
2
)
− cos
(
T wn
2
)]
e−
T
2 + 1
w2n + 1
=
2
T
[wn sen (nπ) − cos (nπ)] e−
T
2 + 1
w2n + 1
=
2
T
1 − (−1)ne− T2
w2n + 1
(6.3)
Observemos os diagramas de especto para fT (t) multiplicado por T quando T = 2,
T = 4 e T = 8 na figura 6.2.
Como a distância entre duas raias espectrais é igual a frequência fundamental
wF = w1, a densidade de raias aumenta, tornando mais densa na reta. A serie de
Fourier da função fT (t) é dada por
fT (t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt, (6.4)
onde
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
fT (τ)e−iwnτ dτ =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(τ)e−iwnτ dτ. (6.5)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
42 Análise de Fourier
1
2
|TCn|
wn
T = 2
π 2π 3π−π−2π−3π
1
2
|TCn|
wn
T = 4
π 2π 3π−π−2π−3π
1
2
|TCn|
wn
T = 8
π 2π 3π−π−2π−3π
Figura 6.2:
Definimos agora a função
FT (w) =
∫ T/2
−T/2
f(τ)e−iwτdτ (6.6)
e escrevemos fT (t) em termos de FT (w):
fT (t) =
∞∑
n=−∞
1
T
FT (wn)eiwnt
=
∞∑
n=−∞
wF
2π
FT (wn)eiwnt (6.7)
=
∞∑
n=−∞
∆w
2π
FT (wn)eiwnt
=
1
2π
∞∑
n=−∞
FT (wn)eiwnt∆w (6.8)
Observe que a função FT (w) converge para cada frequência w para a função
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt. (6.9)
Fazendo T → ∞, a soma a direita na equação (6.8) é uma soma de Riemann que
converge para uma integral:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw, (6.10)
onde
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt (6.11)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
6.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 43
Exemplo 6.1.2. Continuamoscom o exemplo 6.1.1. Dada a função f(t) = e−|t|,
podemos escrever
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw, (6.12)
onde
F (w) = lim
T →∞
∫ T/2
−T/2
e−|t|e−iwtdt
= lim
T →∞

2
(−1)ne− T2 + 1
w2 + 1


=
2
w2 + 1
,
onde usamos a expressão para TCn dada por (6.3). De fato, usando uma tabela
de integrais (ou método dos resíduos), temos
1
2π
∫ ∞
−∞
2
w2 + 1
cos(wt)dw =
1
π
∫ ∞
0
1
w2 + 1
cos(wt)dw (6.13)
= e−|t| (6.14)
6.2 Transformada de Fourier
Definição 6.2.1. Seja f(t) uma função real (ou complexa), define-se a transfor-
mada de Fourier F (w) de f(t) como:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt. (6.15)
Definição 6.2.2. Seja F (w) uma função real (ou complexa), define-se a transfor-
mada inversa de Fourier f(t) de F (w) como:
f(t) = F−1{F (w)} = 1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw. (6.16)
Observação 6.2.1. É costumeiro em Física e Engenharia usar a variável k na
transformada de Fourier de função em x, isto é,
F (k) = F{f(x)} =
∫ ∞
−∞
f(x)e−ikxdx
f(x) = F−1{F (k)} = 1
2π
∫ ∞
−∞
F (k)eikxdk.
Os pares de variáveis t-w e x-k são chamados de pares de variáveis recíprocas. A
letra k é o número de onda, conceito análogo no espaço ao conceito de frequência
angular no tempo, isto é, enquanto w = 2π
T
, k = 2π
λ
, onde λ é o comprimento de
onda.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
44 Análise de Fourier
Exemplo 6.2.1. Seja
f(t) =



eat se t < 0
e−bt se t > 0
(6.17)
onde a e b são constantes positivas. A figura 6.3 mostra o gráfico de f(t) para
a = 1 e b = 3. A transformada de Fourier de f(t) é calculada da seguinte forma:
1
1 2 3−1−2−3
y = f(t)
t
Figura 6.3: Gráfico de f(t) = et, se t < 0 ou f(t) = e−3t se t > 0.
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ 0
−∞
eate−iwtdt +
∫ ∞
0
e−bte−iwtdt
=
∫ 0
−∞
eat (cos(wt) − i sen (wt)) dt +
∫ ∞
0
e−bt (cos(wt) − i sen (wt)) dt
=
∫ ∞
0
e−at (cos(wt) + i sen (wt)) dt +
∫ ∞
0
e−bt (cos(wt) − i sen (wt)) dt
=
a
a2 + w2
+
iw
a2 + w2
+
b
b2 + w2
− iw
b2 + w2
=
a
a2 + w2
+
b
b2 + w2
+ i
(
w
a2 + w2
− w
b2 + w2
)
onde se usou os itens 1 e 2 da tabela A.
Exemplo 6.2.2. Calculamos a transformada de Fourier do delta de Dirac δ(t−a),
a ∈ R da seguinte forma:
F (w) = F{δ(t − a)} =
∫ ∞
−∞
δ(t − a)e−iwtdt
= e−iwa
Exemplo 6.2.3. Considere a função dada por
f(x) =



1 se |x| < ℓ
0 se |x| ≥ ℓ
(6.18)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
6.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 45
A transformada de Fourier desta função é dada por:
F (k) =
∫ ∞
−∞
f(x)e−ikxdx =
∫ ℓ
−ℓ
e−ikxdx
=
∫ ℓ
−ℓ
(cos(kx) − i sen (kx)) dx
= 2
∫ ℓ
0
cos(kx)dx
=
2
k
sen (kx)|x=ℓx=0 =
2 sen (kℓ)
k
Exercícios
E 6.2.1. Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante positiva
e u(t) é a função Heaviside. Trace o gráfico de f(t) e obtenha sua transformada
de Fourier (use a = 1 no gráfico).
E 6.2.2. Considere a função f(t) = e−at
2
onde a é uma constante positiva.
Trace o gráfico de f(t) e obtenha sua transformada de Fourier (use a = 1 no
gráfico).
E 6.2.3. Calcule a transformada inversa da função F (w) = δ(w −w0) + δ(w +
w0)
E 6.2.4. Calcule a transformada inversa da função F (k) = e−k
2
E 6.2.5. Mostre que se f(t) é uma função real par, então sua transformada
de Fourier é uma função real.
E 6.2.6. Mostre que se f(t) é uma função real ímpar, então sua transformada
de Fourier é uma função imaginária.
E 6.2.7. Mostre que se f(t) é uma função real, então sua a parte real da
tranformada de Fourier de f(t) é uma função par e a parte imaginária é ímpar.
E 6.2.8. Calcule a transformada de Fourier da função
f(t) =
∞∑
j=0
δ(t − j)e−j. (6.19)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
Capítulo 7
Representações da transformada
de Fourier e diagramas de
espectro
Neste capítulo apresentaremos as representações da transformada de Fourier e
introduziremos o conceito de diagramas de espectro.
7.1 Forma trigonométrica
A forma exponencial da transformada de Fourier de uma função f(t) foi definida
no capítulo 6 e é dada por
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt. (7.1)
Se f(t) é uma função real, então podemos separar a parte real e imaginária da
transformada de Fourier, conforme a seguir:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t) (cos(wt) − i sen (wt)) dt
=
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt − i
∫ ∞
−∞
f(t) sen (wt)dt
:= A(w) − iB(w),
onde
A(w) =
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt
B(w) =
∫ ∞
−∞
f(t) sen (wt)dt
46
7.1. FORMA TRIGONOMÉTRICA 47
Nesses termos, a função f(t) pode ser escrita como:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) − iB(w)) (cos(wt) + i sen (wt)) dw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw
+
i
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) sen (wt) − B(w) cos(wt)) dw
Usando o fato que A(w) é uma função par e B(w) é uma função ímpar, temos:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw
=
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw
A tabela abaixo compara as formas trigonométrica e exponencial das séries e trans-
formadas de Fourier
Forma exponencial Forma trigonométrica
Série de Fourier f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cos(wnt) + bn sen (wnt))
Transformada de Fourier f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw f(t) =
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw
(7.2)
Exemplo 7.1.1. Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante
positiva e u(t) é a função Heaviside. A transformada de Fourier F (w) de f(t) foi
calculada no exercício 6.2.1 da página 45 e é dada por:
F (w) =
a
a2 + w2
− iw
a2 + w2
.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
48 Análise de Fourier
Usando representação trigonométrica da transformada de Fourier, temos:
f(t) =
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) + B(w) sen (wt)) dw,
onde
A(w) =
a
a2 + w2
B(w) =
w
a2 + w2
Exercícios
E 7.1.1. Mostre que a representação trigonométrica da transformada de Fou-
rier F (w) de uma função real f(t) separa-a em parte ímpar e parte par. Isto
é,
1
π
∫ ∞
0
A(w) cos(wt)dw =
f(t) + f(−t)
2
e
1
π
∫ ∞
0
B(w) sen (wt)dw =
f(t) − f(−t)
2
.
E 7.1.2. Mostre que se f(t) é real, F (−w) = F (w).
7.2 Diagramas de espectro
Diagrama de espectro da transformada de Fourier é a representação gráfica da
transformada de Fourier F (w) associadas a uma função f(t). Da mesma forma
como o diagrama de espectro da série de Fourier se divide em amplitude e fase, o
diagrama de espectro da transformada de Fourier se divide em magnitude e fase.
Ou seja, o gráfico de |F (w)| é a diagrama de magnitude e o gráfico de φ(w) é o
diagrama de fase, onde
F (w) = |F (w)|eiφ(w), (7.3)
Exemplo 7.2.1. No exemplo 6.1.1 da página 40 calculamos a transformada de
Fourier da função f(t) = e−|t|:
F (w) =
2
w2 + 1
. (7.4)
O gráfico da magnitude |F (w)| é dado na figura 7.1. Devido o fato de F (w) ser
real, a fase é uma função nula.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
7.2. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 49
|F (w)|
w
Figura 7.1:
Exemplo 7.2.2. O exemplo 7.1.1 da página 47 apresenta a transformada de Fou-
rier da função f(t) = e−atu(t) onde a é uma constante positiva e u(t) é a função
Heaviside:
F (w) =
a
a2 + w2
− iw
a2 + w2
.
Observe que
|F (w)| =
√
(
a
a2 + w2
)2
+
(
w
a2 + w2
)2
=
√
√
√
√
a2 + w2
(a2 + w2)2
=
1√
a2 + w2
e, como a > 0, temos a
a2+w2
> 0. Portanto,
φ(w) = tan−1
(− w
a2+w2
a
a2+w2
)
= − tan−1
(
w
a
)
. (7.5)
A figura 7.2 apresenta o diagrama de espectro de magnitude e fase da transformada
F (w) de f(t) quando a = 1.
Exercícios
E 7.2.1. Calcule a transformada de Fourier e trace o diagrama de espectro da
função f(t) = te−t
2
. [Dica: Use integração por partes para transformar a integral
dada numa integral tabelada.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
50 Análisede Fourier
|F (w)|
w
1
−1
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
φ(w)
w
π
2
−π
2
Figura 7.2:
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
Capítulo 8
Propriedades da transformada de
Fourier
8.1 Propriedades
Teorema 8.1.1 (Linearidade ou superposição). Dadas duas funções f(t) e g(t)
com transformadas de Fourier F (w) e G(w), respectivamente, e α e β duas cons-
tantes reais ou complexas, então
F {αf(t) + βg(t)} = αF{f(t)} + βF{g(t)} = αF (w) + βG(w) (8.1)
Demonstração. O resultado é direto da linearidade da integral:
F {αf(t) + βg(t)} =
∫ ∞
−∞
(αf(t) + βg(t)) e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
αf(t)e−iwtdt +
∫ ∞
−∞
βg(t)e−iwtdt
= α
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt + β
∫ ∞
−∞
g(t)e−iwtdt
= αF (w) + βG(w)
Exemplo 8.1.1. As transformadas das funções f(t) = e−|t| e g(t) = 1
2
√
π
e−
t2
4 são
F (w) = 2
w2+1
e G(w) = e−w
2
, respectivamente. Logo,
F {5f(t) − 3g(t)} = 5 2
w2 + 1
− 3e−w2 (8.2)
Teorema 8.1.2 (Transformada da derivada). Dada uma função diferenciável f(t)
tal que
lim
t→±∞
f(t) = 0 (8.3)
51
52 Análise de Fourier
e sua transformada de Fourier F (w), então
F{f ′(t)} = iwF (w) (8.4)
Demonstração. De fato, usando integração por partes, temos
F {f ′(t)} =
∫ ∞
−∞
f ′(t)e−iwtdt
=
[
f(t)e−iwt
]∞
−∞
−
∫ ∞
−∞
−iwf(t)e−iwtdt
= iw
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
= iwF (w)
Observação 8.1.1. Essa propriedade reflete o fato de que a transformada de
Fourier decompõe a função f(t) em funções do tipo eiwt cuja derivada é iweiwt. De
fato, esta propriedade poderia ter sido deduzida a partir da representação de f(t)
em sua integral de Fourier, isto é:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw. (8.5)
Diferenciando em t, obtemos
f ′(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)iweiwtdw =
1
2π
∫ ∞
−∞
[iwF (w)] eiwtdw. (8.6)
Exemplo 8.1.2. Considere a função f(t) = e−at
2
, a > 0, e sua transformada de
Fourier (ver exercício 6.2.2 da página 45):
F (w) =
√
π√
a
e−
w2
4a (8.7)
Usando a propriedade 8.1.2, a transformada de Fourier da derivada f ′(t) = −2ate−at2
é dada por:
F{−2ate−at2} = iwF (w) = iw
√
π√
a
e−
w2
4a . (8.8)
Usando a linearidade, encontramos a transformada de Fourier da função te−at
2
:
F{te−at2} = −iw
√
π
2a
√
a
e−
w2
4a . (8.9)
Compare com o exercício 7.2.1 da página 49.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.1. PROPRIEDADES 53
Observação 8.1.2. As derivadas de ordem superior são calculadas a partir da
propriedade 8.1.2:
F{f ′′(t)} = F
{
d
dt
(f ′(t))
}
= iwF {f ′(t)}
= (iw)2F {f(t)}
= (iw)2F (w).
De modo geral,
F{f (n)(t)} = (iw)nF (w).
Teorema 8.1.3 (Deslocamento no eixo w). Dada uma função f(t) e sua trans-
formada de Fourier F (w), então
F
{
eatf(t)
}
= F (w + ia). (8.10)
Demonstração. De fato,
F
{
eatf(t)
}
=
∫ ∞
−∞
f(t)eate−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e(a−iw)tdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(ia+w)tdt
= F (w + ia)
Exemplo 8.1.3. Do exemplo 8.1.2 temos que a transformada de Fourier da função
f(t) = te−at
2
, a > 0, é dada por
F (w) = −iw
√
π
2a
√
a
e−
w2
4a . (8.11)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
54 Análise de Fourier
Logo, a transformada G(w) da função g(t) = tebt−at
2
, b > 0, é dada por
G(w) = F
{
tebt−at
2
}
= F
{
ebtte−at
2
}
= F (w + ib)
= −i(w + ib)
√
π
2a
√
a
e−
(w+ib)2
4a
= (b − iw)
√
π
2a
√
a
e−
w2+2wib−b2
4a
=
√
w2 + b2e−i arctan(
w
b )
√
π
2a
√
a
e−
w2−b2
4a e−i(
wb
2a )
=
√
w2 + b2
√
π
2a
√
a
e−
w2−b2
4a e−i(
wb
2a +arctan(wb ))
= |G(w)|eiφ(w),
onde
|G(w)| =
√
π
2a
√
a
e−
b2
4a
√
w2 + b2e−
w2
4a e φ(w) = −
(
wb
2a
+ arctan
(
w
b
))
Veja os diagramas de espectro de G(w) quando a = b = 1 na figura 8.1.
Teorema 8.1.4 (Deslocamento no eixo t). Dada uma função f(t) e sua transfor-
mada de Fourier F (w), então
F {f(t − a)} = e−iawF (w). (8.12)
Demonstração. De fato,
F {f(t − a)} =
∫ ∞
−∞
f(t − a)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(s)e−iw(s+a)ds
=
∫ ∞
−∞
f(s)e−iwae−iwsds
= e−iwa
∫ ∞
−∞
f(s)e−iwsds
= e−iawF (w)
Exemplo 8.1.4. Do exemplo 6.1.1 da página 40 temos que a transformada de
Fourier da função f(t) = e−|t| é dada por F (w) = 2
w2+1
. Logo, a transformada de
Fourier da função g(t) = e−|t−2| é
G(w) =
2
w2 + 1
e−2iw (8.13)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.1. PROPRIEDADES 55
1
|G(w)|
w
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
φ(w)
w
π
−π
Figura 8.1:
Observação 8.1.3. Um deslocamento real no tempo não altera o módulo da
transformada de Fourier, pois |e−iaw| = 1 sempre que a e w são reais.
Teorema 8.1.5 (Transformada da integral). Dada uma função integrável f(t) tal
que sua transformada de Fourier F (w) satisfaça F (0) = 0, então
F
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
=
1
iw
F (w). (8.14)
Demonstração. Definimos g(t) =
∫ t
−∞ f(τ)dτ e, usando o teorema fundamental do
cálculo, temos g′(t) = f(t). Aplicamos a transformada de Fourier na igualdade e
temos:
F{g′(t)} = F{f(t)}, (8.15)
ou seja,
F{g′(t)} = F (w). (8.16)
Observe que
lim
t→∞
g(t) =
∫ ∞
−∞
f(τ)dτ =
∫ ∞
−∞
f(τ)ei·0·τ dτ = F (0) = 0 (8.17)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
56 Análise de Fourier
e
lim
t→−∞
g(t) =
∫ −∞
−∞
f(τ)dτ = 0, (8.18)
portanto, podemos usar a propriedade 8.1.2 da transformada de Fourier da deri-
vada e obter:
F{g′(t)} = iwF{g(t)}. (8.19)
Assim,
F (w) = iwF
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
. (8.20)
Portanto,
F
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
=
1
iw
F (w). (8.21)
Teorema 8.1.6 (Teorema da modulação). Dada uma função f(t) e sua transfor-
mada de Fourier F (w), então
F {f(t) cos(w0t)} =
1
2
F (w − w0) +
1
2
F (w + w0), (8.22)
para w0 ∈ R.
Demonstração. De fato,
F {f(t) cos(w0t)} = F
{
f(t)
(
eiw0t + e−iw0t
2
)}
=
∫ ∞
−∞
f(t)
eiw0t + e−iw0t
2
e−iwtdt
=
1
2
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(w−w0)tdt +
1
2
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(w0+w)tdt
=
1
2
F (w − w0) +
1
2
F (w + w0)
Exemplo 8.1.5. Considere a função f(t) = cos(w0t)e−a|t|, a > 0. Podemos obter
a transformada de Fourier de f(t) a partir da transformada de Fourier da função
g(t) = e−a|t|. Basta aplicar o teorema da modulação à função g(t), cuja transfor-
mada de Fourier é dada por G(w) = 2a
w2+a2
:
F {g(t) cos(w0t)} =
1
2
G(w − w0) +
1
2
G(w + w0)
=
1
2
2a
(w − w0)2 + a2
+
1
2
2a
(w + w0)2 + a2
=
a
(w − w0)2 + a2
+
a
(w + w0)2 + a2
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.1. PROPRIEDADES 57
Teorema 8.1.7 (Teorema da convolução). Dadas duas funções f1(t) e f2(t) com
suas respectivas transformadas de Fourier, F1(w) e F2(w), então
a) (Convolução no tempo)
F{(f1 ∗ f2)(t)} = F1(w)F2(w), (8.23)
b) (Convolução na frequência)
(F1 ∗ F2)(w) = 2πF{f1(t)f2(t)} (8.24)
ou
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} = 2πf1(t)f2(t), (8.25)
onde ∗ indica a convolução de duas funções:
(f1 ∗ f2)(t) =
∫ ∞
−∞
f1(τ)f2(t − τ)dτ (8.26)
Demonstração. a) Usando as definições de transformada de Fourier e convolu-
ção de duas funções, temos:
F{(f1 ∗ f2)(t)} =
∫ ∞
−∞
(f1 ∗ f2)(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞
f1(τ)f2(t − τ)dτ
)
e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)
∫ ∞
−∞
f2(t − τ)e−iwtdt
]
dτ (8.27)
Uma das integrais pode ser calculada fazendo uma mudança de variável:
∫ ∞
−∞
f2(t − τ)e−iwtdt =
∫ ∞
−∞
f2(s)e−iw(s+τ)ds
= e−iwτ
∫ ∞
−∞
f2(s)e−iwsds
= e−iwτF2(w) (8.28)
Substituindo a equação (8.28) na equação (8.27), temos
F{(f1 ∗ f2)(t)} =
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)
∫ ∞
−∞
f2(t − τ)e−iwtdt
]
dτ
=
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)e−iwτ F2(w)
]
dτ
= F2(w)
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)e−iwτ
]
dτ
= F1(w)F2(w)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
58 Análise de Fourier
b) Analogamente, usando as definições, temos:
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} =
1
2π
∫ ∞
−∞
(F1 ∗ F2)(w)eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞
F1(v)F2(w − v)dv
)
eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
[
F1(v)
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw
]
dv (8.29)
Também,
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw =
∫ ∞
−∞
F2(y)ei(y+v)tdy
= eivt
∫ ∞
−∞
F2(y)eiytdy
= 2πeivtf2(t)(8.30)
Substituindo a equação (8.30) na equação (8.29), temos
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} =
1
2π
∫ ∞
−∞
[
F1(v)
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw
]
dv
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F1(v)eivt2πf2(t)dv
= f2(t)
∫ ∞
−∞
F1(v)eivtdv
= 2πf1(t)f2(t)
Exemplo 8.1.6. Considere as funções f(t) = te−t
2
e g(t) = e−a|t|, a > 0 e suas
respectivas transformadas de Fourier F (w) = −iw
√
π
2
e−
w2
4 e G(w) = 2a
w2+a2
. A
transformada de Fourier da função
h(t) =
∫ ∞
−∞
f(t − τ)g(τ)dτ =
∫ ∞
−∞
(t − τ)e−(t−τ)2e−a|τ |dτ (8.31)
é calculada usando o teorema da convolução e é dada por
H(w) = F (w)G(w) = −iwa
√
π
w2 + a2
e−
w2
4 (8.32)
Teorema 8.1.8 (Conjugação). Dada uma função real f(t) e sua transformada de
Fourier F (w), então
F (w) = F (−w) (8.33)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.1. PROPRIEDADES 59
Demonstração. De fato,
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt, pois f(t) = f(t)
=
∫ ∞
−∞
f(t)eiwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(−w)tdt
= F (−w)
Observação 8.1.4. Se f(t) não é uma função real, esta propriedade não se aplica.
Exemplo 8.1.7. Considere as funções f(t) = te−t
2
e sua transformada de Fourier
F (w) = −iw
√
π
2
e−
w2
4 . Então,
F (−w) = iw
√
π
2
e−
w2
4 (8.34)
e
F (w) = −iw
√
π
2
e−
w2
4 = iw
√
π
2
e−
w2
4 . (8.35)
Teorema 8.1.9 (Inversão temporal). Dada uma função f(t) e sua transformada
de Fourier F (w), então
F {f(−t)} = F (−w). (8.36)
Demonstração.
F {f(−t)} =
∫ ∞
−∞
f(−t)e−iwtdt
procedemos com a mudança de variáveis τ = −t:
F {f(−t)} =
∫ ∞
−∞
f(−t)e−iwtdt
=
∫ −∞
∞
f(τ)eiwτ (−dτ)
=
∫ ∞
−∞
f(τ)eiwτ dτ
=
∫ ∞
−∞
f(τ)e−i(−w)τ dτ
= F (−w)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
60 Análise de Fourier
Teorema 8.1.10 (Simetria ou dualidade). Dada uma função f(t) e sua transfor-
mada de Fourier F (w), então
f(−w) = 1
2π
F{F (t)} (8.37)
Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw (8.38)
Podemos trocas t e w e calcular f(w) em função de F (t):
f(w) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (t)eitwdt. (8.39)
Ou seja,
f(−w) = 1
2π
∫ ∞
−∞
F (t)e−itwdt =
1
2π
F{F (t)}. (8.40)
Teorema 8.1.11 (Mudança de escala). Dada uma função f(t) e sua transformada
de Fourier F (w), então
F{f(at)} = 1|a|F
(
w
a
)
, ∀a 6= 0. (8.41)
Demonstração. Da definição de transformada de Fourier, temos
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt (8.42)
Fazendo a mudança τ = at, distinguindo dois casos: a > 0 e a < 0. Para o caso
a > 0, temos:
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a
dτ
a
=
1
a
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a dτ
Para o caso a < 0, temos:
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ −∞
∞
f(τ)e−
iwτ
a
dτ
a
= −1
a
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a dτ
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.1. PROPRIEDADES 61
Em ambos os casos, temos:
F{f(at)} = 1|a|
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a dτ
=
1
|a|F
(
w
a
)
Observação 8.1.5. A propriedade da inversão temporal (propriedade 8.1.9) é um
caso particular desta propriedade quando a = −1.
Exercícios
E 8.1.1. O diagrama de magnitudes da transformada de Fourier F (w) de
uma função f(t) é dado na figura (8.2). Esboce o diagrama de magnitudes da
transformada de Fourier da função f ′(t).
1
|F (w)|
w
Figura 8.2:
E 8.1.2. Faça o diagrama de espectro da transformada de Fourier do exemplo
8.1.4 da página 54.
E 8.1.3. Em geral não é verdade que módulo da soma é igual a soma dos
módulos, isto é, |x + y| = |x| + |y|, x,y ∈ C.
a) Encontre um caso particular onde |x + y| = |x| + |y| com |x| 6= 0 e |y| 6= 0.
b) Encontre um caso particular onde |x + y| = 0 com |x| 6= 0 e |y| 6= 0. Mostre
que, nesse caso, x = −y.
c) Encontre um caso particular onde |x + y| = 1 com |x| = |y| = 1.
d) Mostre que |x + y| = |x| + |y| sempre que xy = 0.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
62 Análise de Fourier
Observe que não é possível, em geral, conhecer o diagrama de magnitudes da soma
de duas funções, F (w) e G(w), conhecendo apenas seus diagramas de magnitudes.
As fases precisam ser levadas em conta. Um exceção é quando, para todos w, ou
F (w) = 0 ou G(w) = 0.
E 8.1.4. Mostre que, dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier
F (w), então
F {f(t) sen (w0t)} =
i
2
F (w + w0) −
i
2
F (w − w0), (8.43)
para w0 ∈ R.
E 8.1.5. Considere uma função real f(t) tal que o diagrama de magnitude é
dado na figura abaixo.
5
10
100 200 300 400 500−100−200−300−400−500
|F (w)|
w
a) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t − a) onde a é uma
constante real.
b) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(2t).
c) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(−t).
d) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = 3f(t).
e) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos(1000t).
f) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) cos2(1000t).
g) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) sen (1000t).
h) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t)| sen (1000t)|.
[Dica: Use a expansão em Série de Fourier do retificador de onda completa1]
i) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f ′(t).
j) Trace o diagrama de magnitude do espectro de g(t) = f(t) ∗ f(t).
1| sen (x)| = 2π − 4π
(
cos(2x)
1·3 +
cos(4x)
3·5 +
cos(6x)
5·7 + · · ·
)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.1. PROPRIEDADES 63
k) Calcule o valor da energia do sinal dada por
∫ ∞
−∞
f(t)2dt. (8.44)
l) Calcule o módulo do valor médio do sinal dado por
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
f(t)dt
∣
∣
∣
∣ . (8.45)
E 8.1.6. Considere o sinal f(t) associado ao seguinte diagrama de espectro:
25
50
75
100
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
|F (w)|
w (em 1000 rad/s)a) Calcule o valor de
∫∞
−∞ f(t)dt.
b) Obtenha o valor aproximado da frequência fundamental em Hz e identifique
a nota.
c) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f
′(t)
5000
d) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(−t).
e) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(t − 2).
f) Trace o diagrama de amplitudes do sinal g(t) = f(1.12t), obtenha o valor
aproximado da frequência fundamental em Hz e identifique a nota.
g) Calcule o valor da "taxa de aceleração", a > 0, para que o sinal g(t) = f(at)
represente a nota sol na mesma oitava.
E 8.1.7. Trace o gráfico das seguintes funções, calcule sua transformada de
Fourier e trace o diagrama de magnitudes:
a) f(t) = e−|t| cos(10t).
b) g(t) = e−t
2/2 cos(10t).
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
64 Análise de Fourier
c) h(t) =



0, t < −4,
cos(10t), −4 ≤ t ≤ 4,
0, t > 4.
E 8.1.8. Considere uma aproximação do diagrama de espectro de magnitudes
de uma nota tocada por um instrumento musical e representado por uma função
f(t):
0.5
1.0
220π 440π 660π 880π w (rad/s)
|F (w)|
a) Identifique a frequência fundamental wf (em rad/s) e ff (em Hz).
b) Identifique a nota musical correspondente a acelerar em 1,5 a velocidade de
reprodução do sinal.
c) Identifique a nota musical correspondente a modular o sinal na frequência
1110π rad/s (f(t) cos(1100πt)).
d) Identifique a nota musical correspondente à função f(2t).
e) Identifique a nota musical correspondente à função g(t) = f(t)+f(2t). Qual
a sensação fisiológica produzida?
8.2 O teorema de Parseval e o princípio da In-
certeza
Teorema 8.2.1 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função real ou complexa e
F (w) sua transformada de Fourier, então vale a identidade:
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt = 1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw (8.48)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.2. O TEOREMA DE PARSEVAL E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA65
Demonstração. Partimos da representação de f(t) em sua integral de Fourier:f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
e consequentemente:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)e−iwtdw
e inserimos essa expressão na integral envolvida:
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
f(t)f(t)dt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
f(t)
∫ ∞
−∞
F (w)e−iwtdwdt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(t)F (w)e−iwtdwdt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(t)F (w)e−iwtdtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)F (w)dw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw
Observação 8.2.1. Esta integral está associada ao conceito de energia total de
um sinal.
Exemplo 8.2.1. Considere a função f(t) = e−a|t|, a > 0, e sua transformada de
Fourier F (w) = 2a
w2+a2
. A energia associada a essa função pode ser calculada de
duas maneiras distintas:
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
|e−a|t||2dt
=
∫ ∞
−∞
e−2a|t|dt
= 2
∫ ∞
0
e−2atdt
= 2
[
− 1
2a
e−2at
]∞
0
=
1
a
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
66 Análise de Fourier
ou
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw = 1
2π
∫ ∞
−∞
( 2a
w2 + a2
)2
dw
=
4a2
π
∫ ∞
0
1
(w2 + a2)2
dw
Usando o item 19 da tabela de integrais definidas A da página 83 com m = 0,
temos:
∫ ∞
0
1
(w2 + a2)2
dw =
π
4a3
.
Portanto,
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw = 4a
2
π
π
4a3
=
1
a
.
Teorema 8.2.2 (Princípio da Incerteza*). Seja f(t) uma função real que satisfaz
limt→±∞ f(t) = 0 e F (w) = F{f(t)} sua transformada de Fourier. Então vale a
seguinte estimativa:
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|wF (w)|2 dw ≥ π
2
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣
2
Demonstração. Primeiro observamos que
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
f(t)f(t)dt
Procedemos com intregação por partes onde u(t) = f(t)f(t), du(t) = f ′(t)f(t) +
f(t)f ′(t), v(t) = t e dv(t) = dt.
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt = −
∫ ∞
−∞
t
(
f ′(t)f(t) + f(t)f ′(t)
)
dt
= −
∫ ∞
−∞
tf ′(t)f(t)dt −
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz2 temos
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣ ≤
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
∣
∣
∣
∣+
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
∣
∣
∣
∣
≤
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
+
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
= 2
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
.
2
∣
∣
∫
f(x)g(x)dx
∣
∣ ≤
[∫
|f(x)|2dx ·
∫
|g(x)|2dx
]1/2
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.3. PASSAGEM DO CONTÍNUO PARA O DISCRETO 67
Agora, usando o teorema de Parseval (ver propriedade 8.2.1), temos
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣
2
≤ 4
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
= 4
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt · 1
2π
∫ ∞
−∞
|F {f ′(t)}|2 dw
=
2
π
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|iwF (w)|2 dw
e, finalmente,
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|wF (w)|2 dw ≥ π
2
∣
∣
∣
∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣
∣
∣
∣
2
8.3 Passagem do contínuo para o discreto
Nesta seção vamos calcular a transformada de Fourier de uma função periódica
f(t) que possui representação em série de Fourier. Para esse propósito, observe
que, colocando F (w) = 2πδ(w − w0), temos
f(t) = F−1{2πδ(w − w0)} =
2π
2π
∫ ∞
−∞
δ(w − w0)eiwtdw = eiw0t.
ou seja,
F{eiw0t} = 2πδ(w − w0). (8.49)
Agora, considere uma função f(t) que possui representação em série de Fourier:
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt. (8.50)
A definição de transformada de Fourier nos dá:
F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
( ∞∑
n=−∞
Cne
iwnt
)
e−iwtdt
=
∞∑
n=−∞
Cn
(∫ ∞
−∞
eiwnte−iwtdt
)
= 2π
∞∑
n=−∞
Cnδ(w − wn),
onde usamos a equação (8.49) na última passagem.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
68 Análise de Fourier
Exemplo 8.3.1. Dada a função f(t) = cos(w0t), sua representação em série tri-
gonométrica exponencial é
f(t) =
1
2
ew0it +
1
2
e−w0it. (8.51)
Logo, a sua transformada de Fourier F (w) é dada por:
F (w) = πδ(w − w0) + πδ(w + w0) (8.52)
Exemplo 8.3.2. Considere a função não periódica g(t) = e−a|t| cos(w0t), a > 0.
A transformada de Fourier de g(t) é dada por G(w) = a
(w−w0)2+a2 +
a
(w+w0)2+a2
(ver
exemplo (8.1.5)). Observe que
lim
a→0
g(t) = lim
a→0
e−a|t| cos(w0t) = cos(w0t). (8.53)
Comparando com o exemplo 8.3.1, é esperado que G(w) convirja para F (w). De
fato, observe que a área abaixo da curva é constante com respeito a a:
∫ ∞
−∞
G(w)dw = a
∫ ∞
−∞
(
1
(w − w0)2 + a2
+
1
(w + w0)2 + a2
)
dw
= a
[1
a
tan−1
(
w − w0
a
)
+
1
a
tan−1
(
w + w0
a
)]∞
−∞
=
π
2
−
(
−π
2
)
+
π
2
−
(
−π
2
)
= 2π
e a curva G(w) converge para 0, exceto em w = w0 e w = −w0. Portanto o limite
de G(w) é F (w). Os diagramas de magnitude de F (w) e de G(w) para alguns
valores de a > 0 e w0 = 1 são apresentados na figura 8.3.
8.4 Aplicação: Sinais Discretos
Nessa seção vamos discutir sobre discretização de sinais, em especial, preten-
demos responder com que frequência precisamos amostrar um sinal real para po-
dermos reconstruí-lo. Vamos considerar que o espectro da função f(t) é composto
apenas por frequências inferiores a wc, onde wc é chamado de frequência de corte.
Mostraremos que se conhecermos apenas os valores de f(t) para t = kT , k ∈ Z,
onde T é o período de amostragem e wa := 2πT > 2wc é a frequência de amostra-
gem, então podemos reconstruir exatamente f(t) em todos instantes de tempo.
Considere f(t) uma função real, definiremos fT (t) uma versão discretizada deste
sinal da seguinte forma:
fT (t) =
∞∑
k=−∞
f(kT )δ(t − kT ), (8.54)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.4. APLICAÇÃO: SINAIS DISCRETOS 69
1
2
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 1
1
2
3
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 0.5
1
2
3
4
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 0.25
1
2
3
1 2−1−2
|F (w)|
w
Figura 8.3:
assim fT (t) é um trem de Dirac’s cujas amplitudes coincidem com o valor da
função f(t) nos pontos de amostragem kT . Veja um exemplo na figura 8.4. A fim
de calcularmos a transforma de Fourier de fT (t), observamos que:
fT (t) =
∞∑
k=−∞
f(kT )δ(t − kT )
=
∞∑
k=−∞
f(t)δ(t − kT )
= f(t)
∞∑
k=−∞
δ(t − kT )
= f(t)δT (t)
onde δT (t) =
∑∞
k=−∞ δ(t−kT ) é uma função periódica cuja série de Fourier é dada
por:
δT (t) =
∞∑
k=−∞
δ(t − kT ) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt (8.55)
e
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
δT (t)e−iwntdt =
1
T
(8.56)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
70 Análise de Fourier
t
f(t), fT (t)
T
2T 3T
4T 5T
−T
−2T−3T
−4T−5T
Figura 8.4:
assim,
δT (t) =
1
T
∞∑
n=−∞
eiwnt (8.57)
e, portanto:
fT (t) = f(t)δT (t)
= f(t)
1
T
∞∑
n=−∞
eiwnt
=
1
T
∞∑
n=−∞
f(t)eiwnt
e finalmente:
FT (w) = F {fT (t)}
=
1
T
F
{ ∞∑
n=−∞
f(t)eiwnt
}
=
1
T
∞∑
n=−∞
F (w − wn)
onde se usou a propriedade do deslocamento no eixo w (8.1.3). Veja um exemplo
na figura 8.5.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
8.4. APLICAÇÃO: SINAIS DISCRETOS 71
|F (w)|
wc−wc
w
|FT (w)|
w
wc−wc wa−wa
1
T
wa−wa
Figura 8.5:
Observação 8.4.1. Observamos que se a frequência de amostragem wa for su-
perior a 2wc, então FT (w) = 1T F (w) no intervalo [−wc,wc] e, portanto, toda a
informação de f(t) é preservada. De fato, neste caso, podemos escrever:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ wc
−wc
F (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ wc
−wc
TFT (w)eiwtdw
Como FT (w) pode ser calculada apenas com base nos pontos de amostragem,
f(t) pode ser reconstruída. Se wa < 2wc, então existe superposição espectral, o
que impede a reconstrução da f(t). Este resultado é conhecido como teorema da
amostragem de Nyquist-Shannon ou teorema cardinal da interpolação.
Teorema 8.4.1. Suponha que f(t) é uma função real cujo espectro é limitado pela
frequência wc, isto é, F (w) = 0 se |w| > wc, e T < πwc , então
f(t) =
∞∑
n=−∞
f(nT )
2 sen
(
wa
2
(t − nT )
)
wa(t − nT )
(8.58)
Demonstração. Seja FT (w) a transformada de Fourier do sinal amostrado, con-
forme vimos, vale a expressão:
TFT (w) =
∞∑
n=−∞
F (w − wn). (8.59)
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br