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Aulas Prof(a) Ãngela UFJF + Tabelas
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Matéria Prof(a) Ãngela/Experimentos.pdf
Planejamento de
Experimentos
Primeiro Semestre/2016
1
Exercício 1
• Suponha que um pesquisador queira estudar o efeito de cinco
formulações diferentes de combustível para foguetes
(utilizados no sistema de escape de aeronaves) quanto a taxa
de queima observada. Cada formulação é misturada de uma
remessa de materiais crus, grande o suficiente para testar
apenas cinco formulações. Além disso, as formulações são
preparadas por vários operadores, e pode haver diferenças na
habilidade e experiência dos operadores.
• Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para
respeitar os princípios básicos da experimentação.
2
Exercício 2
• Suponha que uma empresa de calculadoras esteja interessada
em estudar o tempo para realizar cálculos em calculadoras de
diferentes marcas, a fim de otimizar o tempo de cálculo da sua
calculadora. Para tal, o responsável pela pesquisa adquiri 6
calculadoras de diferentes marcas (incluindo uma da própria
empresa) e seleciona o seguinte cálculo:
1,687 −
��
�
��
+ 9951 × �����
���. Além das 6 calculadoras, a
empresa pode liberar um máximo de 8 funcionários para
participarem da pesquisa, e dado que eles perderão tempo de
trabalho, o experimento deve ser completado em um mesmo
período do dia.
• Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para
respeitar os princípios básicos da experimentação.
3
Exercício 3
• Um engenheiro civil está interessado em estudar 4 maneiras
distintas de misturar cimento, acreditando que os diferentes
métodos de mistura de cimento podem afetar a resistência do
mesmo. Para tal, ele pretende utilizar os diferentes métodos
de mistura para criar corpos de prova e verificar suas
resistências. A os ingredientes (areia, água e cimento) serão
todos da mesma fonte, e as quantidades dos mesmos serão
mantidas exatamente iguais. O próprio engenheiro será
responsável por fazer as misturas.
• Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para
respeitar os princípios básicos da experimentação.
4
Exercício 4
• Uma pesquisadora deseja testar o efeito de quatro elementos
químicos na resistência de determinado tipo de tecido. Ela
possui diferentes peças de tecido que podem ser utilizadas, e
não sabe se a diferença na peça pode ter efeito ou não no
resultado do experimento. A variável que será observada é a
resistência do tecido (força necessária para rasga-lo, medida
em Newtons) após a aplicação de um dos elementos
químicos.
• Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para
respeitar os princípios básicos da experimentação.
5
Exercício 5
• Um empresa de materiais médicos se especializa na produção de veias
artificiais. Essas veias artificiais são produzidas pelo processo de
extrusão de resina de politetrafluoretileno combinada com um
lubrificante em tubos. É comum alguns dos tubos, de uma linha de
produção, apresentarem saliências duras na superfície externa. Essas
saliências são consideradas como defeitos, e as veias artificiais,
apresentado esses defeitos, são rejeitadas.
• O responsável pelo desenvolvimento do produto suspeita que a pressão
de extrusão tem efeito na ocorrência das saliências e decide investigar
essa hipótese. No entanto, a resina é produzida por um fornecedor
externo, e é entregue à empresa em remessas. O engenheiro também
suspeita da existência de uma variação significante de remessa para
remessa, pois, ao mesmo tempo que o material deveria ser consistente
quanto a parâmetros relativos a peso molecular, tamanho médio das
partículas, retenção e razão de pico máximo, é impossível dizer se o
fornecedor consegue repetir cada processo com exatidão e se não existe
uma variação natural relativa ao material utilizado.
• Qual o tipo de delineamento mais indicado para estudar o efeito das
diferentes pressões de extrusão na criação de saliências?
6
Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/F de Snedecor.pdf
TABELA VI Distribuição
F de Snedecor
α = 0,10
gl graus de liberdade no numerador
denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87
26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86
27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85
28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84
29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82
35 2,85 2,46 2,25 2,11 2,02 1,95 1,90 1,85 1,82 1,79
40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76
45 2,82 2,42 2,21 2,07 1,98 1,91 1,85 1,81 1,77 1,74
50 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 1,73
100 2,76 2,36 2,14 2,00 1,91 1,83 1,78 1,73 1,69 1,66
F
área =
= 0,10
(valor tabulado)
F
TABELA VI Distribuição
F de Snedecor
α = 0,05
gl graus de liberdade no numerador
denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41
19 4,38 3,52 3,13
2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16
35 4,12 3,27 2,87 2,64 2,49 2,37 2,29 2,22 2,16 2,11
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08
45 4,06 3,20 2,81 2,58 2,42 2,31 2,22 2,15 2,10 2,05
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93
área =
= 0,05
(valor tabulado)
F
TABELA VI Distribuição
F de Snedecor
α = 0,01
gl graus de liberdade no numerador
denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4052,2 4999,3 5403,5 5624,3 5764,0 5859,0 5928,3 5981,0 6022,4 6055,9
2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69
17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37
21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26
23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17
25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09
27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03
29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98
35 7,42 5,27 4,40 3,91 3,59 3,37 3,20 3,07 2,96 2,88
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80
45 7,23 5,11 4,25 3,77 3,45 3,23 3,07 2,94 2,83 2,74
50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70
100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50
área =
= 0,01
(valor tabulado)
Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/Tabela Normal Padrão.pdf
Tabela de Probabilidades Associadas à Cauda Direita da Distribuição Normal Padronizada
Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/duncan.pdf
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Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/hartley.pdf
Table Critical values for the Hartley test (right-sided)
Level of significance ���� = 0.01
k
n - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
�
199
47.5
23.2
14.9
11.1
8.89
7.50
6.54
5.85
4.91
4.07
3.32
2.63
1.96
1.00
448
85
37
22
15.5
12.1
9.9
8.5
7.4
6.1
4.9
3.8
3.0
2.2
1.0
729
120
49
28
19.1
14.5
11.7
9.9
8.6
6.9
5.5
4.3
3.3
2.3
1.0
1036
151
59
33
22
16.5
13.2
11.1
9.6
7.6
6.0
4.6
3.4
2.4
1.0
1362
184
69
38
25
18.4
14.5
12.1
10.4
8.2
6.4
4.9
3.6
2.4
1.0
1705
216*
79
42
27
20
15.8
13.1
11.1
8.7
6.7
5.1
3.7
2.5
1.0
2069
249*
89
46
30
22
16.9
13.9
11.8
9.1
7.1
5.3
3.8
2.5
1.0
2432
281*
97
50
32
23
17.9
14.7
12.4
9.5
7.3
5.5
3.9
2.6
1.0
2813
310*
106
54
34
24
18.9
15.3
12.9
9.9
7.5
5.6
4.0
2.6
1.0
3204
337*
113
57
36
26
19.8
16.0
13.4
10.2
7.8
5.8
4.1
2.7
1.0
3605
361*
120
60
37
27
21
16.6
13.9
10.6
8.0
5.9
4.2
2.7
1.0
*The third-digit figures for n - 1 = 3 are uncertain.
Level of significance ���� = 0.05
k
n - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
30
60
�
39.0
15.4
9.6
7.15
5.82
4.99
4.43
4.03
3.72
3.28
2.86
2.46
2.07
1.67
1.00
87.5
27.8
15.5
10.8
8.38
6.94
6.00
5.34
4.85
4.16
3.54
2.95
2.40
1.85
1.00
142
39.2
20.6
13.7
10.4
8.44
7.18
6.31
5.67
4.79
4.01
3.29
2.61
1.96
1.00
202
50.7
25.2
16.3
12.1
9.70
8.12
7.11
6.34
5.30
4.37
3.54
2.78
2.04
1.00
266
62.0
29.5
18.7
13.7
10.8
9.03
7.80
6.92
5.72
4.68
3.76
2.91
2.11
1.00
333
72.9
33.6
20.8
15.0
11.8
9.78
8.41
7.42
6.09
4.95
3.94
3.02
2.17
1.00
403
83.5
37.5
22.9
16.3
12.7
10.5
8.95
7.87
6.42
5.19
4.10
3.12
2.22
1.00
475
93.9
41.1
24.7
17.5
13.5
11.1
9.45
8.28
6.72
5.40
4.24
3.21
2.26
1.00
550
104
44.6
26.5
18.6
14.3
11.7
9.91
8.66
7.00
5.59
4.37
3.29
2.30
1.00
626
114
48.0
28.2
19.7
15.1
12.2
10.3
9.01
7.25
5.77
4.49
3.36
2.33
1.00
704
124
51.4
29.9
20.7
15.8
12.7
10.7
9.34
7.48
5.93
4.59
3.39
2.36
1.00
Kanji, Gopal K. 100 Statistical Tests. London : SAGE Publication Ltd., 1993.
Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/lilliefors.pdf
Table O Lilliefors’s Test for Normal Distribution Critical Values
Table entries for any sample size N are the values of a Lilliefors’s random variable with
right-tail probability as given in the top row.
Sample Size
Significance level
(N) 0.100 0.05 0.010 0.001
4 .344 .375 .414 .432
5 .320 .344 .398 .427
6 .298 .323 .369 .421
7 .281 .305 .351 .399
8 .266 .289 .334 .383
9 .252 .273 .316 .366
10 .240 .261 .305 .350
11 .231 .251 .291 .331
12 .223 .242 .281 .327
14 .208 .226 .262 .302
16 .195 .213 .249 .291
18 .185 .201 .234 .272
20 .176 .192 .223 .266
25 .159 .173 .202 .236
30 .146 .159 .186 .219
40 .127 .139 .161 .190
50 .114 .125 .145 .173
60 .105 .114 .133 .159
75 .094 .102 .119 .138
100 .082 .089 .104 .121
Over 100 :816=
ffiffiffiffiffi
N
p
:888=
ffiffiffiffiffi
N
p
1:038=
ffiffiffiffiffi
N
p
1:212=
ffiffiffiffiffi
N
p
Source: Adapted from R. L. Edgeman and R. C. Scott (1987), Lilliefors’s tests for
transformed variables, Brazilian Journal of Probability and Statistics, 1, 101–112, with
permission.
APPENDIX OF TABLES 599
Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/t de Student.pdf
TABELA IV Distribuição t de Student
0 t
Área na cauda superior
gl 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005
1 1,000 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6
2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60
3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92
4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610
5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365
4,032 4,773 5,894 6,869
6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959
7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408
8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041
9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781
10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587
11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437
12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318
13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221
14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140
15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073
16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015
17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965
18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922
19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883
20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850
21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819
22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792
23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,768
24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745
25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725
26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707
27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,689
28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674
29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,660
30 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646
35 0,682 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 2,996 3,340 3,591
40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551
45 0,680 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 2,952 3,281 3,520
50 0,679 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496
z 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291
área
indicada
(valor tabulado)
Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/tukey.pdf
Table: Q scores for Tukey’s method
α = 0.05
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10
df
1 18.0 27.0 32.8 37.1 40.4 43.1 45.4 47.4 49.1
2 6.08 8.33 9.80 10.88 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99
3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46
4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83
5 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99
6 3.46 4.34 4.90 5.30 5.63 5.90 6.12 6.32 6.49
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00 6.16
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.92
9 3.20 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74
10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.30 5.46 5.60
11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49
12 3.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39
13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32
14 3.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25
15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.20
16 3.00 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03 5.15
17 2.98 3.63 4.02 4.30 4.52 4.70 4.86 4.99 5.11
18 2.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07
19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04
20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.90 5.01
24 2.92 3.53 3.90 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92
30 2.89 3.49 3.85 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72 4.82
40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73
60 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.65
120 2.80 3.36 3.68 3.92 4.10 4.24 4.36 4.47 4.56
∞ 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47
α = 0.01
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10
df
1 90.0 135 164 186 202 216 227 237 246
2 13.90 19.02 22.56 25.37 27.76 29.86 31.73 33.41 34.93
3 8.26 10.62 12.17 13.32 14.24 15.00 15.65 16.21 16.71
4 6.51 8.12 9.17 9.96 10.58 11.10 11.54 11.92 12.26
5 5.70 6.98 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.24
6 5.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10
7 4.95 5.92 6.54 7.00 7.37 7.68 7.94 8.17 8.37
8 4.75 5.64 6.20 6.62 6.96 7.24 7.47 7.68 7.86
9 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.33 7.49
10 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21
11 4.39 5.15 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84 6.99
12 4.32 5.05 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81
13 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53 6.67
14 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54
15 4.17 4.84 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44
16 4.13 4.79 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35
17 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15 6.27
18 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.20
19 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02 6.14
20 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.09
24 3.96 4.55 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81 5.92
30 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5.40 5.54 5.65 5.76
40 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.26 5.39 5.50 5.60
60 3.76 4.28 4.59 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.45
120 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30
∞ 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16
Matéria Prof(a) Ãngela/aula 1.pdf
Planejamento de
Experimentos
Primeiro Semestre/2016
Objetivos
• Apresentar os conceitos de delineamento e análise de
experimentos:
• Fornecer os princípios básicos da experimentação;
• Introduzir os delineamentos experimentais mais comuns,
juntamente com os modelos matemáticos a eles relativos;
• Utilizar a teoria da Análise da Variância na análise dos dados
obtidos;
• Estudar técnicas de contraste e comparação entre médias.
Referência Bibliográfica
• Montgomery, D.C. Design and analysis of experiments. 6ªed.,
John Wiley: New York, 1978.
• Barbin, D. Planejamento e análise estatística de
experimentos agronômicos. Editora Midas: Araponga, PR,
2003.
Avaliação
• Primeira prova – 25 pontos
• Segunda prova – 30 pontos
• Terceira prova – 30 pontos
• Listas – 5 pontos (média de todas as listas entregues no
semestre, cada uma valendo 10 pontos)
• Trabalhos – 10 pontos
• Alunos com presença inferior à 75% serão reprovados por
frequência insuficiente.
���� = �� + � + �
+ � + �
Segunda Chamada
• Aqueles alunos que perderem alguma avaliação terão o direito
de fazer a Segunda Chamada, sendo que:
• Para ter o direito de fazer a segunda chamada da matéria
contemplada na prova perdida o aluno deverá fazer um
requerimento de Segunda Chamada – com justificativa da falta –
num prazo de 72 horas da data da avaliação perdida (o qual
poderá ser deferido ou não)
• Aqueles alunos que tiverem seu pedido indeferido, ou que
deixem de fazer o requerimento, também terão o direito de fazer
a Segunda Chamada, porém da matéria do período todo, e não
apenas a contemplada na Avaliação perdida.
Avaliação Substitutiva
• Aqueles alunos que tiverem feito as 3 avaliações e não
conseguirem uma nota final de 60 poderão fazer uma
Avaliação Substitutiva no dia final do semestre.
• Os alunos que tiverem perdido uma, ou mais provas, terão o
direito de fazer a Segunda Chamada no mesmo dia da Avaliação
Substitutiva, mas não terão o direito de fazer a Avaliação
Substitutiva.
• A Avaliação Substitutiva é opcional e tem as seguintes
qualidades:
• A nota tirada na Substitutiva substituirá a menor nota das 3
Avaliações feitas, se e somente se, a nota da Substitutiva for
superior à menor nota, caso contrário a nota da Substitutiva será
ignorada;
• Aqueles alunos que tiverem perdido uma ou mais avaliações não
terão o direito a fazer a Avaliação Substitutiva.
Introdução
• O que é um experimento?
• Um teste ou série de testes nos quais mudanças propositais são
feitas nas variáveis inseridas em um processo de maneira a poder
identificar e observar as causas de mudanças que podem ser
observadas no resultado. (Montgomery, 2005)
Introdução
• A experimentação ocorre naturalmente;
• Acompanha a evolução humana:
• Técnicas de caça,
• Técnicas de construção,
• Agricultura,
• Medicina,
• ...
• Sua formalização veio do trabalho de sir Ronald A. Fisher
(1890-1962) na Estação Experimental de Agricultura de
Rothamstead (Inglaterra).
Introdução
• Variação ao acaso:
• Toda a variação devida a fatores não controlados.
Delineamento Estatístico de
Experimentos
• Processo de planejamento de experimentos:
• Resulta (quando feito corretamente) em observações confiáveis e
apropriadas, permitindo que os dados coletados ao final do
processo sejam analizados por métodos estatísticos e que as
conclusões tiradas sejam objetivas e válidas;
• Necessário quando se deseja tirar conclusões confiáveis dos
dados observados;
• Envolve dois aspectos: o delineamento do experiemento e a
análise dos dados observados.
Terminologia
• Parcela ou Unidade Experimental:
• Indivíduos, animais, plantas ou quaisquer outros elementos/objetos
que receberão os tratamentos.
• Tratamento:
• O que se deseja comparar.
• Testemunha ou Controle: grupo de parcelas que não recebe nenhum
tratamento.
• Variação ao Acaso:
• Toda a variação devida a fatores não controláveis.
• Erro Experimental:
• Erro proveniente da variação ao acaso.
• Bordadura:
• Utilizado na experimentação agronômica, quando a proximidade
entre parcelas pode acarretar em mistura dos tratamentos aplicados.
Princípios Básicos da
Experimentação
• Repetição:
• Mais de uma parcela ou unidade experimental deve receber cada
tratamento;
• Forma de estimar o erro experimental e de confirmar a resposta
das unidades experimentais ao tratamento.
• Aleatorização:
• Os tratamentos devem ser designados às unidades experimentais
de maneira aleatória;
• Forma de controlar o viés e de “garantir” a independência dos
erros.
• Controle Local:
• Necessário apenas quando existir heterogeneidade na: área
experimental, parcelas;
• Ou na presença de outros fatores, controláveis e sem interesse
prático, que podem afetar os resultados do experimento.
OBRIGATÓRIOS
O Fator Homem – Experimentos na
Área da Saúde
• Experimentos Cegos:
• Quando o responsável por observar as parcelas não sabe o
tratamento a elas designados.
• Experimentos Duplamente Cegos:
• Quando as parcelas são seres humanos;
• A pessoa que recebe o tratamento não deve saber a qual
tratamento foi assinalada;
• Nenhum técnico ou pesquisador, envolvido no trato dos
indivíduos, deve conhecer a divisão de tratamentos.
Unidade Experimental ou
Parcela
• Indivíduos, animais ou objetos que devem receber um determinado
tratamento e fornecer os dados (resposta ao tratamento);
• De um modo geral, para materiais homogêneos, as parcelas podem
ser menores e, para materiais heterogêneos (até certo ponto) as
parcelas podem ser maiores.
• No caso de não existirem experimentos anteriores, ou informações
confiáveis sobre o tamanho da parcela para determinado material,
pode ser útil instalar um experimento “em branco” (experimento
que não contém tratamentos);
• Mede-se a Variância dentro das parcelas
��
� e a variância entre
parcelas
��
� :
• Se
��
�
>
��
� deve-se aumentar o tamanho da parcela;
• Se
��
�
≤
��
� pode-se manter ou até diminuir o tamanho da parcela.
Unidade Experimental ou
Parcela
• Em muitos casos, usam-se dados de ensaios “em branco” ou
de simulação de dados e aplica-se o método da curvatura
máxima (Federer, 1955).
• Esse método consiste em colocar os tamanhos das parcelas no
eixo das abscissas e os Coeficientes de Variação nas
ordenadas;
• Traça-se a curva e, no ponto de curvatura máxima, obtém-se a
abscissa que nos dá o tamanho ideal da parcela.
• Porém, nem sempre a solução ideal é possível. É necessário
levar em consideração a quantidade de material disponível
para a instalação do experimento.
• Se a escolha ficar entre aumentar o número de repetições, ou
o número de indivíduos por parcela, a escolha de aumentar o
número de repetições costuma ser a mais acertada.
Etapas do Planejamento
Experimental
1. Reconhecer o problema e Definir os objetivos;
2. Selecionar a variável resposta;
3. Reconhecimento e classificação das variáveis/fatores
envolvidos no experimento;
4. Escolha do delineamento experimental;
5. Implantação do experimento;
6. Análise estatística dos dados;
7. Conclusões e recomendações.
Reconhecer o problema e
Definir os objetivos
• Deve-se reconhecer os tipos de problemas que podem ser
resolvidos através da Experimentação;
• Com o conhecimento do problema, é necessário estabelecer
de maneira clara o objetivo do experimento;
• É indicado construir uma lista de problemas ou questões
específicas que serão abordadas pelo experimento.
Selecionar a variável resposta
• A variável resposta deve ser escolhida de maneira a,
realmente, fornecer informações úteis sobre o processo
estudado;
• Costuma ser de fundamental importância a identificação de
possíveis problemas relacionados com a definição e
mensuração da variável resposta antes do início do
experimento.
Reconhecimento e classificação das
variáveis/fatores envolvidos no experimento
• O experimentador deve considerar os fatores que podem
influenciar a performance do processo e, então, classificá-los
em:
• Fatores em potencial: aqueles que o experimentador pode querer
variar durante o experimento (tratamentos)
• Fatores de perturbação: podem ter efeitos que devem ser lavados
em consideração, e no entanto, não haver interesse em estudá-
los no experimento em questão. Podem ser classificados de três
maneiras:
• Controláveis;
• Não controláveis, porém mensuráveis;
• Não controláveis e não mensuráveis.
Reconhecimento e classificação das
variáveis/fatores envolvidos no experimento
• Fatores de Perturbação:
• Controláveis: aquele cujos níveis podem ser definidos e
controlados pelo experimentador (controle local);
• Incontroláveis:
• Mensurável: pode ser utilizado como uma co-variável, sendo
utilizado um processo de análise de covariância para compensá-lo;
• Não Mensurável: denominado de fator de ruído, são aqueles não
mensuráveis, ou não controláveis, que irão inflacionar a variação do
acaso. No caso de haverem fatores de ruído, deve-se procurar por
um processo robusto, para que haja um impacto mínimo dos
mesmos.
• Após selecionados os fatores do delineamento, o
experimentador, juntamente com o pesquisador, deve definir
o quanto que esses fatores deverão variar e os níveis
específicos que serão utilizados no experimento, devendo ser
definido como esses fatores serão controlados e/ou medidos.
Escolha do delineamento
experimental
• Se os três passos iniciais tiverem sido feitos corretamente, a
parte da escolha do delineamento fica relativamente fácil.
• A escolha do delineamento envolve considerações sobre:
• número de repetições,
• necessidade ou não de controle local,
• ordem de aplicação dos tratamentos (quando necessário),
• como será feita a aleatorização.
Implantação do experimento
• Deve-se monitorar a implementação e desenvolvimento do
experimento, já que erros nesses passos podem afetar
gravemente os resultados do experimento e a validade das
conclusões.
Análise estatística dos dados
• Se os cinco passos anteriores tiverem sido seguidos
corretamente os métodos estatísticos apropriados não
costumam ser complexos;
• Existem muitos softwares estatísticos equipados para lidar
com a análise de dados provenientes de experimentação;
• Costuma ser de grande utilidade:
• Gráficos ilustrativos,
• Testes de hipóteses,
• Intervalos de confiança,
• Análise da variância,
• ...
Conclusões e recomendações
• Após a análise dos dados, o experimentador deve apresentar
as conclusões
de maneira clara, objetiva e prática,
interpretando os resultados e recomendando uma estratégia a
ser tomada pelo pesquisador;
• Lembrando que a interpretação e recomendação deve ter por
base o objetivo inicial do experimento.
Exemplo
• Suponha que você quer planejar um experimento visando
estudar a proporção de milhos de pipoca que não estouram.
Complete as etapas de 1 a 3 dadas no slide anterior. Existe
alguma fonte de variação que seja forte e difícil de controlar?
Matéria Prof(a) Ãngela/aula 10.pdf
Planejamento de
Experimentos
Primeiro Semestre/2016
1
Recapitulação
• Quadro de sinais para os contrastes de interesse
em um experimento fatorial 2�:
2
Contrastes 000 100 010 001 110 101 011 111
Y� = Y� = efeito de A - + - - + + - +
Y� = Y� = efeito de B - - + - + - + +
Y� = Y�= efeito de C - - - + - + + +
Y� = Y��= efeito de AxB + - - + + - - +
Y� = Y��= efeito de AxC + - + - - + - +
Y = Y��= efeito de BxC + + - - - - + +
Y
= Y���= efeito de AxBxC - + + + - - - +
Confundimento no Fatorial �
• Num experimento de nutrição mineral de plantas, geralmente,
a interação tripla N × P × K não é significativa;
• Logo, é o efeito dessa interação que costuma-se confundir
com o efeito de blocos;
• Pelo quadro de sinais dos contrastes tem-se:
• É esse o contraste que mede o efeito da interação tripla.
3
Contrastes 000 100 010 001 110 101 011 111
Y
= Y���= efeito de AxBxC - + + + - - - +
Confundimento no Fatorial �
• Tem-se, então:
• ��� = −���� + ���� + ���� + ���� − ���� − ���� − ���� +
���� ou ��� = ���� + ���� + ���� + ���� − (���� + ���� +���� + ����);
• Para efetuar o confundimento deste contraste com o efeito de
blocos, deve-se repartir um bloco com os 8 tratamentos, em
dois blocos (ou sub-blocos) de 4 tratamentos cada um;
• De modo que:
• Um deles tenha os tratamentos com sinal (+) no contraste ���, e
• O outro, com os tratamentos com sinal (−).
4
Confundimento no Fatorial �
• Neste caso,
• ����� = ����� �
= �� ���� + ���� −
�
�
�
5
1° Bloco 2° Bloco Total
100 000
010 110
001 101
111 011
���
��� ��
Método Alternativo – Geometria
Finita
• Pode-se utilizar a geometria finita como ferramenta para fazer
o confundimento;
• Utiliza-se as seguintes equações:
• ��� + �� + � = 0�� + �� + � = 1,
• Em que:
• �� representa os níveis de N (0, 1);
• �� representa os níveis de P (0, 1);
• � representa os níveis de K (0, 1).
• Admite-se o módulo 2, toda soma cuja divisão por 2 der resto
zero terá os tratamentos em um bloco. As divisões cujos
restos forem 1, terão os tratamentos no outro bloco
6
Método Alternativo – Geometria
Finita
• Em outras palavras, toda soma par terá os tratamentos
em um sub-bloco, e toda soma ímpar terá os
tratamentos no outro sub-bloco:
7
�� �� �� ∑ Bloco
0 0 0 0 Par 2°
0 0 1 1 Ímpar 1°
0 1 0 1 Ímpar 1°
0 1 1 2 Par 2°
1 0 0 1 Ímpar 1°
1 0 1 2 Par 2°
1 1 0 2 Par 2°
1 1 1 3 Ímpar 1°
Método Alternativo – Geometria
Finita
8
1° Bloco 2° Bloco
100 000
010 110
001 101
111 011
OBS: Ambos os métodos chegam ao mesmo resultado.
Confundimento no Fatorial �
9
Bl 1 010 111 000 001 101 110 011 100
Bl 1 010 100 001 111
Fatorial 2� sem confundimento e 2 repetições
Fatorial 2� com confundimento e 2 repetições
Bl 2 100 000 110 001 011 010 111 101
Bl 2 101 000 011 110
Bl 3 111 001 010 100 Bl 4 011 101 000 110
Sorteio 1
Sorteio 2
Sorteio 1 Sorteio 2
Sorteio 3 Sorteio 4
Repetição 1
Repetição 2
Repetição 1
Repetição 2
Somas de Quadrados
• As SQ’s para esse esquema com confundimento e duas
repetições são obtidas pelas expressões:
• ����
�� = ∑ ��
��
,�,�,
− �;
• � = ��
����
;
• �����
= �
�
∑ T�
− � − ���� T���� + T���� − � ;
• ����� �
= �
(��� �� )
∑ T���
− �;
• ����
= ����
�� − �����
− ����� �
.
• O método de calcular as somas relativas ao fatorial não muda,
lembrando que não se calcula a soma da interação tripla. 10
Esquema da ANOVA Supondo 2
Repetições
Causa de Variação GL – Sem
Confundimento
GL – Com
Confundimento
Nitrogênio (N) 1 1
Fósforo (P) 1 1
Potássio (K) 1 1
Int NxP 1 1
Int NxK 1 1
Int PxK 1 1
Int NxPxK 1 ---
(Trat) (7) (6)
Blocos 1 3
Resíduos 7 6
Total 15 15
11
Fatorial �
• Assim como o fatorial 2 , o fatorial 3 é muito utilizado em
experimentos de adubação de solo, com os 3 nutrientes
principais N, P e K, em três níveis cada
N�, N�, N�, P�, P�, P�, K�, K�, K� ;
• No total são considerados 27 tratamentos, obtidos através das
combinações dos 3 níveis de cada nutriente;
• Como a presença de 27 tratamentos pode afetar a
homogeneidade da área experimental, esse tipo de fatorial é
normalmente instalado utilizando o confundimento de 2 graus
de liberdade da interação tripla N × P × K, com blocos.
12
Fatorial �
13
Ausência de N
Ausência de P
Dose 1 de P
Ausência de K
Dose 1 de K
000
002Dose 2 de K
Ausência de K
Dose 1 de K
Dose 2 de K
Dose 2 de P Dose 1 de K
Dose 2 de K
Ausência de K
001
010
012
011
020
022
021
Fatorial �
14
Dose 1 de N
Ausência de P
Dose 1 de P
Ausência de K
Dose 1 de K
100
102Dose 2 de K
Ausência de K
Dose 1 de K
Dose 2 de K
Dose 2 de P Dose 1 de K
Dose 2 de K
Ausência de K
101
110
112
111
120
122
121
Fatorial �
15
Dose 2 de N
Ausência de P
Dose 1 de P
Ausência de K
Dose 1 de K
200
202Dose 2 de K
Ausência de K
Dose 1 de K
Dose 2 de K
Dose 2 de P Dose 1 de K
Dose 2 de K
Ausência de K
201
210
212
211
220
222
221
Confundimento no Fatorial �
• Diferentemente do 2 o 3 tem 8 graus de liberdade na
Interação tripla;
• Costuma-se confundir 2 desses 8 graus de liberdade com
blocos;
• Logo, cada bloco de 27 tratamentos é dividido em 3 blocos de
9 tratamentos cada.
16
Esquema da ANOVA
Causa de Variação GL – Sem
Confundimento
GL – Com
Confundimento
Nitrogênio (N) 2 2
Fósforo (P) 2 2
Potássio (K) 2 2
Int NxP 4 4
Int NxK 4 4
Int PxK 4 4
Int NxPxK 8 6
(Trat) (26) (24)
Blocos 1 5
Resíduos 26 24
Total 53 53
17
Obtensão dos Grupos de
Confundimento
• Para se obterem os grupos de confundimento usam-se as equações:
•
�� + �� + �� = 0,1,2 (�)
2�� + �� + �� = 0,1,2 (�)
�� + 2�� + �� = 0,1,2 (�)
�� + �� + 2�� = 0,1,2 (�)
• �� representa as doses de N (0, 1 ou 2);
• �� representa as doses de P (0, 1 ou 2);
• �� representa as doses de K (0, 1 ou 2).
• Admite-se o módulo 3, de forma que:
• Se o resto da divisão da soma por 3 der zero, o tratamento é
designado ao primeiro dos 3 sub-blocos;
• Se der 1 será designado ao segundo sub-bloco;
• Se der 2 será designado ao terceiro sub-bloco.
18
Obtensão dos Grupos de
Confundimento
• Cada uma das 4 equações:
•
�� + �� + �� = 0,1,2 (�)
2�� + �� + �� = 0,1,2 (�)
�� + 2�� + �� = 0,1,2 (�)
�� + �� + 2�� = 0,1,2 (�)
• Dá um grupo de confundimento diferente;
• São portanto 4 grupos de confundimento,
aos quais Yates
denominou de W, X, Y e Z;
• A cada grupo correspondem 2 dos 8 graus de liberdade da
Interação N × P × K;
• Sendo que cada grupo é constituído de 3 sub-blocos com 9
tratamentos cada um. 19
Exemplo
• Tomemos como exemplo, os dados de produção de algodão
herbáceo, em kg/ha, de um experimento de adubação N, P, K
(3 ), com confundimento de 2 graus de liberdade da Interação
N × P × K, em que se usou o grupo W de Yates.
• Foram feitas 2 repetições.
• As doses utilizadas foram:
• N: 0 – 40 – 80 kg de N/ha;
• P: 0 – 60 – 120 kg deP�O�/ha;
• K: 0 – 60 – 120 kg de K�O/ha.
20
Obtenção dos Grupos de Confundimento
21
x1 x2 x3 2(x1)+x2+x3 x1+2(x2)+x3 x1+x2+2(x3) x1+x2+x3
Trat N P K W X Y Z
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 1 1 1 2 1
3 0 0 2 2 2 4 2
4 0 1 0 1 2 1 1
5 0 1 1 2 3 3 2
6 0 1 2 3 4 5 3
7 0 2 0 2 4 2 2
8 0 2 1 3 5 4 3
9 0 2 2 4 6 6 4
10 1 0 0 2 1 1 1
11 1 0 1 3 2 3 2
12 1 0 2 4 3 5 3
13 1 1 0 3 3 2 2
14 1 1 1 4 4 4 3
15 1 1 2 5 5 6 4
16 1 2 0 4 5 3 3
17 1 2 1 5 6 5 4
18 1 2 2 6 7 7 5
19 2 0 0 4 2 2 2
20 2 0 1 5 3 4 3
21 2 0 2 6 4 6 4
22 2 1 0 5 4 3 3
23 2 1 1 6 5 5 4
24 2 1 2 7 6 7 5
25 2 2 0 6 6 4 4
26 2 2 1 7 7 6 5
27 2 2 2 8 8 8 6
Obtenção dos Grupos de
Confundimento
22
Bloco 1 resultado (módulo 3) = 0
Bloco 2 resultado (módulo 3) = 1
Bloco 3 resultado (módulo 3) = 2
W
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3
OOO OO1 OO2
O12 O1O O11
O21 O22 O2O
1O1 1O2 1OO
11O 111 112
122 12O 121
2O2 2OO 2O1
211 212 21O
22O 221 222
X
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3
OOO OO1 OO2
O11 O12 O1O
O22 O2O O21
1O2 1OO 1O1
11O 111 112
121 122 12O
2O1 2O2 2OO
212 21O 211
22O 221 222
Y
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3
OOO OO2 OO1
O11 O1O O12
O22 O21 O2O
1O1 1OO 1O2
112 111 11O
12O 122 121
2O2 2O1 2OO
210 212 211
221 22O 222
Z
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3
OOO OO1 OO2
O12 O1O O11
O21 O22 O2O
1O2 1OO 1O1
111 112 11O
12O 121 122
2O1 2O2 2OO
21O 211 212
222 22O 221
Exemplo – Dados Sub-bloco 1
Trat Rep1 Rep2 Total
000 868 319 1187
012 951 521 1472
021 694 868 1562
101 972 486 1458
110 1319 1139 2458
122 812 868 1680
202 951 1076 2027
211 1493 1146 2639
220 1076 1215 2291
Total 9136 7638 16774 23
Exemplo – Dados Sub-bloco 2
Trat Rep1 Rep2 Total
001 625 764 1389
010 1319 1042 2361
022 1042 729 1771
102 729 833 1562
111 764 1215 1979
120 806 625 1431
200 1285 604 1889
212 972 1153 2125
221 1042 729 1771
Total 8584 7694 16278 24
Exemplo – Dados Sub-bloco 3
Trat Rep1 Rep2 Total
002 465 1181 1646
011 833 729 1562
020 1069 660 1729
100 1215 937 2152
112 729 1083 1812
121 660 625 1285
201 1076 972 2048
210 1250 1139 2389
222 1076 1264 2340
Total 8373 8590 16963 25
Exemplo - Fatorial
P� P� P� Totais de N
N� 4222 5395 5062 14679
N� 5172 6249 4396 15817
N� 5964 7153 6402 19519
Totais de P 15258 18797 15860 50015
26
N� N� N� Totais de K
K� 5277 6041 6569 17887
K� 4513 4722 6458 15693
K� 4889 5054 6492 16435
P� P� P�
K� 5228 7208 5451
K� 4895 6180 4618
K� 5235 5409 5791
Exemplo - ANOVA
CV GL SQ QM F
N 2 711582,37 355791,18 6,59**
P 2 383420,26 191710,13 3,55*
K 2 138879,70 69189,85 1,28
Int N×P 4 147562,96 36890,74 0,68
Int N×K 4 68241,19 17060,30 0,32
Int P×K 4 267152,63 66788,16 1,24
Int N×P×K 6 282311,45 47051,91 0,88
(Trat/n.c.) (24) (1998650,56) ----
Blocos 5 185195,20 37039,04
Resíduos 24 1294817,00 53950,71
Total 53 3478662,76 27
CV(%) = 25,08%
Conclusões
• Como não houve significância para as Interações (tripla ou
duplas) pode-se tirar conclusões para N, P e K
independentemente;
• Embora um teste de comparações múltiplas pudesse ser
utilizado, costuma-se fazer um estudo de regressão polinomial
quando se estuda um experimento com fatores quantitativos
ao invés de qualitativos;
• Cada fator principal (N, P e K) possui 2 graus de liberdade,
logo, pode-se estabelecer regressões de 1° e 2° grau;
• Mesmo sendo não significativo será feito o estudo para K.
28
Regressão Polinomial
• SQRegressão Linear = ���� = ∑ �����
�
∑ ���
�
,
• SQRegressão Quadrática = ���� = ∑ �����
�
∑ ���
�
,
• Em que:
• �� representa o total do nutriente na dose ;
•
� representa o coeficiente polinomial, obtido em tabela para a
regressão linear, ou na tabela para a regressão quadrática,
respectivamente;
• � representa o número de parcelas somadas para se obterem os
totais ��.
29
Exemplo
Níveis
Coeficientes Totais
�� �� N P K
0 -1 1 14679 15358 17887
1 0 -2 15817 18797 15693
2 1 1 19519 15860 16435
M 1 3
Total 50015
30
Exemplo
CV GL SQ QM F
N’ 1 650711,11 650711,11 12,06 **
N’’ 1 60871,26 60871,26 1,13 ns
P’ 1 7000,11 7000,11 0,13 ns
P’’ 1 376420,15 376420,15 6,68 *
K’ 1 58564,00 58564,00 1,08 ns
K’’ 1 79815,70 79815,70 1,48 ns
Resíduo 24 1294817,00 53950,71
31
���� � �� = 1�� = 24 → 4,26 5% ; 7,82 (1%)
Interpretação
• Como o teste F para a regressão linear em N, e o teste F para a
regressão quadrática em P foram significativos, deve-se
construir as equações de regressão linear para N e regressão
quadrática para P, a fim de tirar conclusões sobre as doses
ótimas de cada nutriente;
• Confirmou-se o fato de que a adição de potássio no solo não
traz diferença na produção de algodão, ou seja, pode-se dizer
ao pesquisador que não se deve desperdiçar tempo ou
dinheiro com esse nutriente.
32
Obtensão das Equações de
Regressão
• Para N (Regressão Linear):
• Y�� − Y
= B�M�P�,
• Em que:
• Y�� é a produção em função de doses de N;
• Y� é a média geral do experimento;
• B� é o coeficiente angular dado por B� =
∑ ���
���
� ∑ ��
�
;
• M� é um coeficiente obtido em tabela e que foi usado na obtenção
de números inteiros para os coeficientes polinomiais;
• P� é o polinômio de 1º grau P� =
�
�
;
• Em que:
• X são as doses do nutriente;
• X� é a média das doses;
• q é a distância entre duas doses consecutivas.
33
Obtensão das Equações de
Regressão
• Y�� = 791,76 + 3,361. X
• Essa equação nos dá a estimativa da produção de
algodão em kg/ha em função de diferentes doses de N
(X), com X ∈ 0; 80 . Vê-se que, para cada kg de N
obtém-se um acréscimo de 3,361kg de algodão/ha.
• Verificação da precisão da interpolação da Regressão
Linear:
34
X Y(obs) Y(est) Desvio
0 815,5 791,76 23,74
40 878,72 926,20 -47,48
80 1084,39 1060,64 23,75
∑ 0,01
Obtensão das Equações de
Regressão
• Para P (Regressão Quadrática):
• Y�� − Y� = B�M�P� + B�M�P�,
• Em que:
• Y��, Y
, B� , M� , P� tem o mesmo significado já visto;
• B� é o coeficiente angular dado por B� =
∑ ��
��
� ∑ ���
�
;
• M� é um coeficiente obtido em tabela e que foi usado na
obtenção de números inteiros para os coeficientes polinomiais;
• P� é o polinômio de 2º grau P� =
�
�
�
�
−
����
��
;
• Em que:
• � é o número de níveis dentro do fator (� = 3) 35
Obtensão das Equações de
Regressão
•
Y�� = 853,219 + 6,1361. X − 0,0492. X
�
• Essa equação nos dá a estimativa da produção
de algodão em kg/ha em função de diferentes
doses de P (X), com X ∈ 0; 120 .
• Verificação da precisão da interpolação da
Regressão Quadrática:
36
X Y(obs) Y(est) Desvio
0 853,22 853,21 -0,01
60 1044,28 1044,25 -0,03
120 881,11 881,05 -0,06
∑ -0,1
Interpretação
• Como o coeficiente de X� é negativo, temos um ponto de
máximo que ocorre para X = 62,358kg de P�O�/ha;
• A produção máxima correspondente é de 1044,523kg de
algodão/ha.
37
Coeficiente de Determinação
• �
� =
���_____
���
��
�
(quantifica a porcentagem da produção que
é dependente da Regressão);
• ���
� =
�����
���
=
���.���,��
���.���,��
= 0,9144 ou 91,44%,
• a produção de algodão é explicada em 91,44% pela Regressão
Linear em N;
• ���
� =
�����
���
=
���.���,��
���.���,��
= 0,9817 ou 98,17%,
• a produção de algodão é explicada em 98,17% pela Regressão
Quadrática em P.
38
Matéria Prof(a) Ãngela/aula 2.pdf
Planejamento de
Experimentos
Primeiro Semestre/2016
Exemplo
• Um pesquisador pretende comparar 4 cultivares de pêssego quanto ao
enraizamento de estacas.
• A área experimental disponibilizada para o experimento é um viveiro em
condições controladas com capacidade para 20 parcelas.
• O pesquisador pode conseguir um máximo de 100 estacas por cultivar.
• Na literatura o número de estacas por parcela varia de 8 a 15.
Experimento Inteiramente
Casualizado
• Sem a necessidade de controle local;
• Exemplo (Barbin, 2003):
• Objetivo: Comparar 4 cultivares de pêssego quanto ao
enraizamento de estacas;
• Var. Resp.: número de estacas enraizadas por parcela;
• Fator em potencial / Trat: 4 cultivares de pêssego.
• Fator de perturbação: Não tem, pois a área experimental é um
viveiro em condições controladas.
• Parcela: 20 estacas.
• Área Exp.: Viveiro em condições controladas com capacidade
para 20 parcelas.
• Cada tratamento foi repetido 5 vezes;
• Os tratamentos foram designados às parcelas por meio de
sorteio.
Experimento Inteiramente
Casualizado
Croqui da Área Experimental
P1 P5 P9 P13 P17
P2 P6 P10 P14 P18
P3 P7 P11 P15 P19
P4 P8 P12 P16 P20
V2
V1
V4
V3
Urna com 5 rep. de cada cartão
V2
V4
V1
V1 V3
V3
V4
V2 V3
V4
V1
V2 V3
V4
V1
V2
V1
V3
V4
V2
Em cada parcela serão plantadas 20
estacas provenientes da variedade a ela
designada. Passado o tempo necessário
será observado o número de estacas
enraizadas por parcela.
Experimento Inteiramente
Casualizado
Resultados:
Tratamentos
Repetições
Total
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Var 1 (A) 2 2 1 1 0 6
Var 2 (B) 1 0 0 1 1 3
Var 3 (C) 12 10 14 17 11 64
Var 4 (D) 7 9 15 8 10 49
122
Análise dos Dados
• Análise da Variância:
• Nem sempre pode ser utilizada;
• Só é indicada se o modelo matemático respeitar certas
exigências.
• Modelo Matemático:
• Representação simplificada da realidade;
• Na experimentação é a representação da variável resposta
levando em consideração os fatores envolvidos no experimento.
Exemplo: Variedades de Pêssego
��� = � + �� + ���
Número de estacas, da variedade i (i = 1,
..., 4), fixadas na repetição j (j = 1, ..., 5),
Média geral (número médio de estacas
fixadas por parcela, independente de
tratamento ou repetição)
Efeito do tratamento i, ou
variedade i.
Erro aleatório ligado à
variedade i na repetição j.
Pressuposições da Análise da
Variância (ANOVA)
• O modelo deve ser aditivo;
• Os erros devem ter distribuição normal;
• Os erros devem ser independentes;
• Os erros dever ter a mesma variância (Homocedasticidade dos
erros).
Pressuposições da Análise da
Variância (ANOVA)
• É comum unir as 3 últimas exigências na seguinte expressão:
��� ~ N I D ( 0 , �
� )
Erro Experimental
Segue uma distribuição
Normal
Independentemente
Distribuida
Média 0
Variância constante ��
Verificação das Pressuposições
• Geralmente considera-se o modelo como aditivo por hipótese:
• Teste de não aditividade de Tukey.
• Normalidade dos erros:
• Teste de ��;
• Teste de Lilliefors;
• Teste de Shapiro Wilk;
• Teste de Kolmogorov-Smirnov.
• Independência dos erros:
• Princípio da casualização;
• Verificação gráfica.
• Homocedasticidade das variâncias:
• Teste de Hartley ou da razão máxima (Fmáx);
• Teste de Cochran e de Bartlett.
Análise de Resíduos
• Para aplicar um teste de normalidade dos erros, primeiro, é
necessário obter as estimativas dos erros;
• Quanto mais simples o modelo matemático e o delineamento
experimental, mais simples a obtenção das estimativas dos
erros experimentais;
• A análise de resíduos permite a verificação da normalidade
dos erros, homocedasticidade das variâncias e independência
dos erros.
Como Obter os resíduos?
• Basta conhecer o modelo matemático:
• No caso do delineamento inteiramente casualizado, tem-se:
• ��� = � + �� + ���, em que i representa o tratamento (de 1 a I) e
j as repetições (de 1 a J)
• A estimativa da média geral (�� ) é dada por:
• �� = �
��
, em que � = ∑ ����,� .
• As estimativas dos efeitos de tratamento (�̂�) são dadas por:
• �̂� = ��� −�� , em que �� = ∑ ���� .
• As estimativas dos erros são dadas por:
• �̂�� = ��� −�� − �̂�.
Exemplo
Trat
Repetições
��
��
�
���
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Var 1 (A) 2 2 1 1 0 6 1,2 1,2 – 6,1 = -4,9
Var 2 (B) 1 0 0 1 1 3 0,6 0,6 – 6,1 = -5,5
Var 3 (C) 12 10 14 17 11 64 12,8 12,8 – 6,1 = 6,7
Var 4 (D) 7 9 15 8 10 49 9,8 9,8 – 6,1 = 3,7
Total 122
�� = 122
20
= 6,1
Trat
Repetições
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Var 1 (A) 0,8 0,8 -0,2 -0,2 -1,2
Var 2 (B) 0,4 -0,6 -0,6 0,4 0,4
Var 3 (C) -0,8 -2,8 1,2 4,2 -1,8
Var 4 (D) -2,8 -0,8 5,2 -1,8 0,2
Tabela dos erros:
Trat
Repetições
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Var 1 (A) 2 2 1 1 0
Var 2 (B) 1 0 0 1 1
Var 3 (C) 12 10 14 17 11
Var 4 (D) 7 9 15 8 10
Tabela dos resultados:
�̂�� = ��� − 6,1 − �̂�
�̂� = −4,9�̂� = −5,5�̂� = 6,7�̂� = 3,7
Exemplo
Exemplo de Teste de Normalidade
• Teste de Lilliefors:
• Consiste em se obter os valores D = supr|�(
�) − �(
�)| ou D
= supr|�(
�) − �(
�� )|.
• Em que �( �) são as probabilidades da variâvel normal reduzida:
• � = ����
, no nosso caso,
� = ���, sendo assim
� = 0 e � é a
estimativa do desvio padrão médio dos erros: � = ���
̅ =
�� =
desvios padronizados; �̅ = �̅�; �̅� = ∑ ����
�(���)
=
∑
�
�
�
;
• �( �) = ��, em que � é o número de desvios ≤ ���, e � representa o
número total de observações, em outras palavras �( �) representa a
frequência acumulada dos erros.
Exemplo de Teste de Normalidade
Trat
Repetições
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Total ��
�
Var 1 (A) 0,64 0,64 0,04 0,04 1,44 2,8 0,7 Total / (5-1)
Var 2 (B) 0,16 0,36 0,36 0,16 0,16 1,2 0,3
Var 3 (C) 0,64 7,84 1,44 17,64 3,24 30,8 7,7
Var 4 (D) 7,84 0,64 27,04 3,24 0,04 38,8 9,7
Total 73,6 4,6 Média (�̅�)
Total / 16 4,6
Tabela contendo os valores dos erros elevados ao quadrado (����)
� � − 1 = 4 5 − 1 = 16
Trat
Repetições
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Var 1 (A) 0,373 0,373 -0,093 -0,093 -0,560
Var 2 (B) 0,187 -0,280 -0,280
0,187 0,187
Var 3 (C) -0,373 -1,306 0,560 1,958 -0,839
Var 4 (D) -1,306 -0,373 2,425 -0,839 0,093
Tabela dos desvios padronizados:
Trat
Repetições
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Var 1 (A) 0,8 0,8 -0,2 -0,2 -1,2
Var 2 (B) 0,4 -0,6 -0,6 0,4 0,4
Var 3 (C) -0,8 -2,8 1,2 4,2 -1,8
Var 4 (D) -2,8 -0,8 5,2 -1,8 0,2
Tabela dos erros:
�� =
���
�̅
Exemplo
Exemplo
erros freq �� F(��) S(��) |F(��)-S(��)| |F(��)-S(����)|
-2,8 2 -1,3 0,0968 0,10 0,0032 0,0968
-1,8 2 -0,84 0,2005 0,20 0,0005 0,1005
-1,2 1 -0,56 0,2877 0,25 0,0377 0,0877
-0,8 2 -0,37 0,3557 0,35 0,0057 0,1057
-0,6 2 -0,28 0,3897 0,45 0,0603 0,0397
-0,2 2 -0,09 0,4641 0,55 0,0859 0,0141
0,2 1 0,09 0,5359 0,60 0,0641 0,0141
0,4 3 0,19 0,5753 0,75 0,1747 0,0247
0,8 2 0,37 0,6443 0,85 0,2057 0,1057
1,2 1 0,56 0,7123 0,9 0,1877 0,1377
4,2 1 1,96 0,9750 0,95 0,0025 0,0750
5,2 1 2,42 0,9922 1 0,0078 0,0432
Exemplo
• Após montada a tabela basta comparar o maior valor das
distâncias calculadas com o valor tabelado.
• D = supr|�(��) − �(��)| = 0,2057 (Valor observado)
• Os valores obtidos pela tabela de Lilliefors com = 20 e
= 0,05 ou
= 0,01 são:
• �
��(�
;
,
�) = 0,190 e �
��(�
;
,
) = 0,231.
• Como 0,2057 > 0,190, rejeita-se a hipótese inicial de que os
erros sigam uma distribuição normal.
Q-Q Plot
O Q-Q Plot é um gráfico
bastante útil na análise dos
resíduos. Se os resíduos se
posicionarem de maneira a
formar uma reta
(aproximada), tem-se
evidência de normalidade
dos mesmos, se não, tem-se
evidência de falta de
normalidade (como é o caso
do exemplo dado).
Histograma
O histograma dos resíduos
também é um bom indicador
de normalidade dos dados. Se
os resíduos forem normais, o
seu histograma deve
representar uma amostra
retirada de uma distribuição
normal com média zero.
Novamente, o gráfico
produzido com os dados do
exemplo é um indicativo da
falta de normalidade dos
resíduos.
Verificação das Pressuposições
• Já não é indicado aplicar a ANOVA aos dados do experimento
de estacas de pessegueiro (não hà normalidade dos erros);
• Antes de procurar soluções para esse problema, vamos
verificar a homocedasticidade das variâncias (graficamente).
• Para testar a Homocedasticidade vamos utilizar o teste de
Hartley, ou da razão máxima (��á�)
Exemplo de Teste de
Homocedasticidade
• Para calcular a estatística do teste de
Hartley basta conhecer as variâncias dos
erros para cada tratamento:
• O teste consiste em calcular a razão entre
a maio e a menor variância:
Trat
��
�
Var 1 (A) 0,7
Var 2 (B) 0,3
Var 3 (C) 7,7
Var 4 (D) 9,7
4,6
��á� = ��á�
�
����� =
9,7
0,3
= 32,33 ��á�(���) � � = 4 variâncias� = 4 g. l. (por ���)�
20,6 (5%)
49,0(1%)
32,33 > 20,6
Rejeita-se a hipótese inicial de
homocedasticidade das
variâncias
Visualização Gráfica
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12 14
E
r
r
o
s
P
a
d
r
o
n
i
z
a
d
o
s
Valores Preditos
Preditos vs Erros Padronizados
Indicativo de uma possível heterogeneidade das variâncias
Verificação das Pressuposições
• O experimento respeita 2 pressuposições: Aditividade do
modelo (por hipótese); Independência dos erros
(aleatorização).
• Porém duas pressuposições não foram respeitadas:
Normalidade dos erros (Lilliefors); Homocedasticidade das
variâncias (Hartley).
• Os problemas de falta de Homocedasticidade e/ou
Normalidade podem ser resolvidos (algumas vezes) com a
transformação dos dados.
• Qual transformação usar?
Transformação de Dados
• Mais Comuns:
• � + �, com � sendo uma constante positiva, para dados de
contagem;
• ��� ��� �/100, para dados de percentagem, geralmente para
0 ≤ � ≤ 30% ou 70 ≤ � ≤ 100%;
• log (� + �), quando hà proporcionalidade entre médias e desvios
padrões.
• Box Cox:
• log ��� = � ∗ log(�� �) + �;
• � = 1 − �� �� .
• � ≠ 0 → �∗ = ��;
• � = 0 → �∗ = log(�);
�� Transformação
0 1 Nenhuma
1 1/2
2 0 log (
)
3 -1/2 1
�
4 -1 1
�
Exemplo de Transformação de
Dados
Trat
Repetições
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª total �� � ���
Var 1 (A) 2 2 1 1 0 6 1,2 0,7
Var 2 (B) 1 0 0 1 1 3 0,6 0,3
Var 3 (C) 12 10 14 17 11 64 12,8 7,7
Var 4 (D) 7 9 15 8 10 49 9,8 9,7
Tabela com os dados do experimento, média e variância por tratamento:
Trat ���(�� �) ���(���) ��� �� � ∗ ���(���) ���(�� �) �
Var 1 (A) 0,079181 -0,1549 -0,01227 0,00627
Var 2 (B) -0,22185 -0,52288 0,116 0,049217
Var 3 (C) 1,10721 0,886491 0,981531 1,225914
Var 4 (D) 0,991226 0,986772 0,978114 0,982529
Total 1,955769 1,195482 2,06338 2,26393
Média 0,488942 0,29887
Tabela de auxílio para o cálculo de b:
Alternativas à Transformação
• Existem casos em que não é possível encontrar uma
transformação que resolva todos os problemas e permita a
utilização da técnica da ANOVA.
• Nesses casos, recomenda-se:
• Análises não paramétricas; ou
• Modelos Lineares Generalizados.
Transformação dos dados
Trat
Repetições
total mi si2
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Var 1 (A) 1,581 1,581 1,225 1,225 0,707 6,319 1,264 0,128
Var 2 (B) 1,225 0,707 0,707 1,225 1,225 5,088 1,018 0,078
Var 3 (C) 3,536 3,240 3,808 4,183 3,391 18,158 3,632 0,139
Var 4 (D) 2,739 3,082 3,937 2,915 3,240 15,914 3,183 0,214
Total 45,479
A tranformação recomendada foi �, porém, como existem parcelas com
observações iguais a zero, recomenda-se a soma de uma constante dentro
da raiz, logo a transformação utilizada foi: � + 0,5
��á� = �, !"�,�#$ = ,#% < �,&
Corrigido o problema da
heterogeneidade das variâncias
Q-Q Plot dos Resíduos – pós
transformação dos dados
Pode-se notar que os
resíduos estão bem mais
aproximados da reta após a
transformação dos dados, o
que indica uma alta
possibilidade de não se
rejeitar a hipótese da
normalidade dos resíduos
após a transformação dos
dados .
Histograma dos Resíduos – pós
transformação dos dados
Assim como o Q-Q Plot, o
histograma dos resíduos
encontrados após a
transformação dos dados,
também indica uma
possível normalidade dos
mesmos.
Gráfico – Dados
Transformados
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4
E
r
r
o
s
P
a
d
r
o
n
i
z
a
d
o
s
Valores Preditos
Preditos vs Erros Padronizados (Dados
Transformados
Pressuposições – Dados
Transformados
• Após a transformação dos dados passamos a respeitar todas
as pressuposições do modelo matemático;
• Se torna possível a utilização do método da ANOVA na análise
dos resultados do experimento.
Análise da Variância
• Como fazer a Análise da Variância?
• Primeiro passo: Definir o esquema da ANOVA
Causa da
Variação
Graus de
Liberdade
Soma de
Quadrados
Quadrado
Médio
F
Tratamentos I-1 SQTrat QMTrat QMTrat/QMRes
Resíduos I(J-1) SQRes QMRes
Total IJ-1 SQTotal
Somas de Quadrados
• As Somas de Quadrados (SQ) são obtidas pelas seguintes
expressões:
• SQTotal = ∑ �����,� − ∑ ����,�
�
��
;
• em que
∑ ����,�
�
��
= ' é denominado correção
• SQTrat =
�
∑ ��∙�� − � = �∑ ���� − �;
• SQRes = SQTotal − SQTrat.
QuadradosCompartilhar
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