Aula 2- Juros Compostos

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Correção dos Exercícios
1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:
a) 14,4% a.a. b) 6,8% ao quadrimestre c) 11,4% a.s.
2) Uma mercadoria é oferecida num magazine por $130,00 a vista, ou 
na seguinte condição:20% de entrada e um pagamento de $106,90 
em 30 dias. Calcular a taxa linear de juros que está sendo cobrada.
3) Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de $ 2.800,00,
$4.200,00 e $7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente.
Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 4,5% ao mês.
Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar os pagamentos:
a) hoje;
b) daqui a 7 meses.
b2) Data focal = 7
C= 11.983,54 (1 + 0,045 x 7) 
C = $ 15.758,35
JUROS COMPOSTOS
Profª. Ana Elisa Périco
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA (UNESP)
Campus de Araraquara
Departamento de Economia
Plano de Aula
1. Juros Simples x Juros Compostos
2. Montante e Capital 
3. Cálculo do Juro
4. Valor Presente e Valor Futuro
5. Taxa Equivalente
6. Períodos Não Inteiros
7. Taxa Efetiva e Taxa Nominal
Juros Simples x Juros Compostos
Diferença entre os regimes de 
capitalização
C = $ 1.000
i = 20% a.a.
n = 4 anos
Montante e Capital
J1 = C x i
Como a soma do capital e juros é igual ao montante, tem-se:
N1 = C + J1
N1 = C + (C x i)
N1 = C x (1 + i )
No final de 2 períodos, o montante será:
N2 = N1 x (1 + i ) N2 = C x (1 + i ) x (1 + i ) N2 = C x (1 + i )
2
No final de n períodos, deduzindo-se a expressão genérica, obtém-se:
Nn = C x (1 + i )
n
No final do 1º período, teremos como juros:
Montante e Capital
Nn = C x (1 + i )
n
VARIAÇÃO DA FÓRMULA:
0 n
0 n
capitalização
descapitalização
Exemplo
Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 
10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?
Resolução:
C = 1.000,00
i = 2% a.m.
n = 10 meses
Nn = C x (1 + i )
n
N10 = 1.000 x (1 + 0,02 )
10
N10 = 1.000 x (1,02 )
10
N10 = 1.218,99
Cálculo do Juro
O juro é dado pela fórmula seguinte:
Jn = juros após n períodos
C0 = Capital inicial
i = taxa de juros por período
n = número de períodos
Exemplo
Qual o juro pago no caso de um empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros 
compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses?
Resolução:
C = 1.000,00
i = 2% a.m.
n = 10 meses
Jn = C0 *[(1+i)n -1]
Jn = 1.000 *[(1+0,02)10 -1]
Jn = 1.000 *[(1,02)10 -1]
Jn = 1.000 *(0,21899)
Jn = $ 218,99
Exemplo
Qual o juro pago no caso de um empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros 
compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses?
Resolução:
C = 1.000,00
i = 2% a.m.
n = 10 meses
FV = PV (1+i) n
FV = 1.000 (1+0,02)10
FV = 1.000 (1,02)10
FV= 1.000 (1,2189)
FV = $ 1.218,99
J = FV – PV
J = 1.218,99 – 1.000,00
J = $218,99
Valor Presente e Valor Futuro
• O Valor Presente corresponde a uma aplicação em uma data inferior ao
seu vencimento.
• O Valor Futuro corresponde a uma aplicação em uma data posterior ao
momento atual.
FÓRMULA DO CAPITAL 
FÓRMULA DO MONTANTE 
Exemplos
a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor
nominal (futuro) de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos for de 2,5% a.m.?
FV = $ 1.131,40PV = ?
FV = 1.131,40
n = 5
i = 2,5% a.m.
FV título 1 = 1.344,89FV título 2 = 1.080,00
O valor na data zero da letra de câmbio que vence em 12 meses é dado por:
Calculemos agora o valor atual na data zero , da letra que vence em 3 meses:
Taxa Equivalente
Duas taxas de juros são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de
aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra.
iq = taxa equivalente ao período “q”
i = taxa de juros do período inteiro
n2 = período da taxa equivalente (q)
n1 = período inteiro da taxa dada
Exemplos
a) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros
equivalente mensal.
Resolução:
i = 9,2727% a.t.
n1 = 3 meses
n2 = 1 mês 
3% a.m.
b) Suponhamos que PV = 1.000; iq =2% a.m.; i = 26,824% a.a. e n = 1 ano.
Verificar se i e iq são equivalentes.
O Valor Futuro à taxa i é:
FV =
FV =
O Valor Futuro à taxa iq é:
FV =
FV =
FV =
b) Suponhamos que PV = 1.000; iq =2% a.m.; i = 26,824% a.a. e n = 1 ano.
Verificar se i e iq são equivalentes.
i = (1+0,02) 12/1 – 1 = 0,26824  26,824% a.a
i = (1+0,26824) 1/12 – 1 = 0,0200  2% a.m.
Períodos Não Inteiros
Nesta convenção, os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se
a taxa equivalente.
Exemplo:
Resolução:
• Calculamos o Valor Futuro para os períodos inteiros:
FV = PV (1+i)n
FV = 1.000 (1+0,10)5
FV = $ 1.610,51
• Calculamos o Valor Futuro para os períodos não-inteiros:
FV = PV (1+i)n2/n1
FV = 1.610,51 (1+0,10)6/12
FV = $ 1.689,12
Outra alternativa:
FV = PV (1+i)n
FV = 1.000 (1+0,10)5,5
FV = $ 1.689,12
5 anos e 6 meses
= 5 anos + 0,5 ano = 5,5 anos
Taxa Efetiva e Taxa Nominal
Taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo
formada exponencialmente através dos períodos de capitalização.
Taxa efetiva (if) = (1+i)
q - 1
Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros.
Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de 
juros de 56,44% ao ano, ou seja:
If = (1+ 0,038)
12/1 - 1 = 56,44%
Taxa Efetiva e Taxa Nominal
Quando se diz que uma taxa de juros é nominal, é admitido que o prazo
de capitalização dos juros não é o mesmo daquele definido para a taxa
de juros.
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada 
mensalmente.
Quando se trata de uma taxa nominal é comum admitir-se que a
capitalização ocorre por juros proporcionais simples (a não ser que o
contrário seja expresso). Assim, a taxa por período de capitalização é
de 36%/12 = 3% a.m.
• Taxa nominal da operação para o período = 36% a.a.
• Taxa definida para o período de capitalização = 3% a.m.
• Taxa efetiva de juros: if = (1+0,03)12/1 – 1 = 42,6% ao ano!
A Taxa Nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma 
operação! 
Exercícios
1. Capitalizar as seguintes taxas:
a) 2,3% ao mês para um ano;
b) 0,14% ao dia para 23 dias;
c) 7,45% ao trimestre para um ano;
d) 6,75% ao semestre para um ano;
e) 1,87% equivalente a 20 dias para um ano.
2. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um
ano a uma taxa nominal de juros de 32% a.a., capitalizados trimestralmente.
Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo.
Referência Bibliográfica
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo:
Atlas, 2003.