Aula 4- Descontos - parte II

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1. Calcular o valor descontado racional e bancário nas seguintes 
condições:
a) Valor nominal: $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% a.a.
b) Valor nominal: $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% a.a.
c) Valor nominal: $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% a.a.
RACIONAL
a) Valor nominal: $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% a.a.
Dr = 17.000 x 0,041617 x 3 / (1+ 0,041617 x 3) = 2.124,99/1,124999 = $1.888,89
Vr = 17.000 – 1.888,89 = $15.111,11
b) Valor nominal: $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% a.a.
Dr = 52.000 x 0,03 x 4 / (1+0,03 x 4) = 6.240/1,12 = $ 5.571,43
Vr = 52.000 – 5.571,43 = $ 46.428,57
c) Valor nominal: $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% a.a.
Dr = 35.000 x 0,01566 x 2 /(1+0,01566 x2) = 1.096,66/ 1,0313 = $1.063,37
Vr = 35.000 – 1.063,37 = $33.936,63
BANCÁRIO
a) Valor nominal: $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% a.a.
Df = 17.000 x 0,041617 x 3 = $2.125,
Vf = 17.000 – 2.125 = $14.875,00
b) Valor nominal: $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% a.a.
Df = 52.000 x 0,03 x 4 = $ 6.240,00
Vf = 52.000 – 6.240 = $ 45.760,00
c) Valor nominal: $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% a.a.
Df = 35.000 x 0,01566 x 2 = $ 1.096,67
Vf = 35.000 – 1.096,67 = $33.903,33
DESCONTOS (PARTE 2)
Profª. Ana Elisa Périco
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA (UNESP)
Campus de Araraquara
Departamento de Economia 
acionalPlano de Aula
1. Desconto Composto
2. Desconto Composto “por fora”
3. Desconto Composto “por dentro”
O desconto simples, racional ou bancário é aplicado somente aos
títulos de curto prazo, geralmente inferiores a 1 ano.
Quando os vencimentos têm prazos longos, não é conveniente
transacionar com esses tipos de descontos, porque podem
conduzir a resultados que ferem o bom senso. Exemplo:
EXEMPLO
Calcular o desconto bancário de um título de R$ 100.000,00, resgatado 5 anos antes 
do vencimento, à taxa de 36% ao ano.
SOLUÇÃO
Fórmula: d = N i n
N = $ 100.000,00 i = 36% a.a. (0,36) 
n= 5 anos
d = 100.000 . 0,36 . 5 = $ 180.000
O valor do desconto é superior ao valor nominal do título!
Desconto Composto “por fora”
Caracterizado pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o Valor 
Nominal (Valor de Resgate) do título, o qual é deduzido, em cada período, dos
descontos obtidos em períodos anteriores.  Para cada período há, dessa forma, 
um novo Valor Nominal.
VF = N - DF
DF = N . d
VF1 = N – N . d
VF1 = N (1 – d) N (1 - d) é o novo valor nominal
sobre o qual incidirá a taxa de 
desconto no período seguinte.
DF2 = N (1 – d) x d
VF2 = VF1 - DF2 VF2 = N (1 – d) – [N (1 – d) x d]
...
...
...
VF2 = N (1 – d)
2
... e assim sucessivamente até o enésimo período.
VF = N (1 – d)
n
Como:
DF = N - VF DF = N – N (1 – d)
n DF = N [1 – (1 – d)
n]
VF1 = N (1 – d)  Novo Valor Nominal no momento 2!
Exemplo: Um título de valor nominal de $ 35.000, com vencimento em 3 anos,
é negociado através de uma operação de desconto composto “por fora” 3
meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês.
Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a taxa de juros efetiva
da operação.
a) Desconto
b) Valor Descontado
VF = N – DF
VF = 35.000 – 4.991,88 VF = $ 30.008,12
c) Taxa Efetiva de Juros
0 3
VF = 30.008,12 N = 35.000
FV = PV (1+i)n
35.000 = 30.008,12 (1+ i)3
i = 5,26% a.m.
Desconto Composto “por dentro”
O desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido segundo
as conhecidas relações do regime de juros compostos. Assim sendo, o valor
descontado racional (Vr) equivale ao valor presente de juros compostos:
Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o valor 
nominal (resgate/FV) e o valor descontado (PV):
4Por exemplo, suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes do seu vencimento. O Valor nominal deste título é de $ 50.000. 
Sendo a taxa de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor líquido 
recebido pela pessoa na operação atinge:
O valor do desconto racional, por seu lado:
Por se tratar do regime de juros compostos e de desconto racional (“por dentro” 
– taxa incide sobre o valor atual do título), a taxa efetiva de juros é a própria taxa 
de desconto considerada!
1. (Desconto Simples) Um título no valor de $ 22.000 é descontado 2 meses antes de 
seu vencimento. O conceito usado na operação é o desconto por fora, sendo a taxa 
de desconto considerada de 48% ao ano. Pede-se calcular a taxa efetiva mensal de 
juros desta operação.
Exercícios
Taxa implícita!
if = (1+0,087)
1/2 - 1 = 
if = 0,0426  4,26% a.m
2. Calcular o valor descontado “por fora” (desconto simples) nas seguintes condições:
a) Valor nominal: $ 66.000
Prazo do desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 24% a.a.
b) Valor nominal: $ 105.000
Prazo do desconto: 130 dias
Taxa de desconto: 15% a.a.
3. (Desconto Simples) Calcular a taxa efetiva mensal e anual de juros das operações de 
desconto “por fora” nas seguintes condições de prazo e taxa :
Prazo de Desconto Taxa de Desconto “por fora”
1 mês 4,5% a.m.
3 meses 3,5% a.m.
4. (Desconto Simples) Calcular a taxa mensal de desconto racional de um título com
valor nominal de $ 5.400, negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor
atual deste título é de $ 4.956,90.
5. (Desconto Simples) Um banco oferece um empréstimo à taxa efetiva de 4,7% a.m.
para um prazo de 40 dias. Nessa alternativa, o pagamento do principal, acrescido
dos juros é efetuado ao final do período contratado.
O banco deseja oferecer este mesmo empréstimo, porém mediante uma operação
de desconto, cobrando uma taxa antecipada “por fora”. Qual deve ser a taxa de
desconto mensal de forma que o custo efetivo da operação não se altere?
(1+0,047)40/30 -1 = 0,06315 
Taxa efetiva de juros para 40 dias 6,315%
6. (Desconto Simples) Uma empresa realiza uma operação de desconto bancário com 
uma instituição financeira pelo prazo de 23 dias. O banco opera com uma taxa 
efetiva de juros de 45,76% a.a. Determinar a taxa de desconto “por fora” que deve 
ser utilizada na operação.
(1+ 0,4576) 23/360 – 1 = 0,02436  2,436% para 23 dias!
d = 0,02436/ (1,02436) = 0,02378  2,378% para 23 dias
Referência Bibliográfica
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo:
Atlas, 2003.