Aula 04 Produto vetorial (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 04
Assunto:Produto escalar, bases canônicas do R2 e R3, produto vetorial, produto misto, equa-
ção da reta no R2
Palavras-chaves: Produto escalar, determinante, produto vetorial, produto misto, equação
da reta.
Vetores(continuação)
No R2, a norma de −→v = (x, y) é dada por
||−→v || =
√
x2 + y2
O produto escalar de dois vetores
−→u = (x1, y1) e (x2, y2) é dado por
−→u .−→v = x1x2 + y1y2
e temos que
−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v
Semelhante ao R2, no R3 a norma de −→v = (x, y, z) é dada por
||−→v || =
√
x2 + y2 + z2
O produto escalar de
−→u = (x1, y1, z1) com −→v = (x2, y2, z2) será
−→u .−→v = x1x2 + y1y2 + z1z2
e temos também que
−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v
Agora, Rn, tudo é feito com o uso de coordenadas. Logo, a norma de −→u = (x1, x2, ..., xn) é dada por
||−→u || =
√
x21 + x
2
2 + ...+ x
2
n
O produto escalar de
−→u = (x1, x2, ..., xn) e −→v = (y1, y2, ..., yn) será
−→u .−→v = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn
Definimos como ângulo entre dois vetores não nulos do Rn o número θ ∈ R que satisfaça

0 ≤ θ ≤ pi e
cos θ =
−→u .−→v
||−→u ||||−→v ||
Assim,
−→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ
e também temos que
−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v
As propriedades do produto escalar, considerando
−→u , v−→v ∈ Rn, com n = 2, 3, 4, ... e α, β ∈ R, são
1. (α−→u ).−→v = −→u .(α−→v ) = α(−→u .−→v )
2.
−→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w
3. (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w
4.
−→u .−→v = −→v .−→u
5.
−→u .−→u = ||−→u ||2
6. |−→u .−→v | ≤ ||−→u ||||−→v || (desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Bases Canônicas do R2 e R3
Base Canônica do R2
Sejam
−→
i = (1, 0) e
−→
j = (0, 1) vetores do R2.
2
Seja
−→v um vetor genérico do R2. Note que, o vetor −→v pode ser escrito como combinação linear de −→i e −→j
como segue
−→v = (x, y)
= (x, 0) + (0, y)
= x(1, 0) + y(0, 1)
= x
−→
i + y
−→
j
Por exemplo,
(5, 7) = 5
−→
i + 7
−→
j
(3,−2) = 3−→i − 2−→j
O conjunto {−→i ,−→j } é chamado de base canônica do R2
Base Canônica do R3
Sejam
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1) vetores do R3.
3
Seja
−→v = (x, y, z) um vetor genérico do R3. Note que, o vetor −→v pode ser escrito da forma
−→v = (x, y, z)
= (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)
= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
= x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k
Por exemplo,
(5, 2, 7) = 5
−→
i + 2
−→
j + 7
−→
k
(−1, 4,−2) = −1−→i + 4−→j − 2−→k
O conjunto {−→i ,−→j ,−→k } é chamado de base canônica do R3
Produto Vetorial
Revisão: Cálculo de determinante de matrizes 3× 3.
Consideremos a matriz
A =
 a b cα β γ
x y z

O determinante de A é a soma de três parcelas obtidas como segue
4
Portanto,
detA = aβz − yγa+ bγx− zαb+ cαy − xβc
Exemplo 1 Calcule o determinante da matriz
 1 3 22 5 4
2 1 5

Resolução:
∣∣∣∣∣∣∣
1 3 2
2 5 4
2 1 5
∣∣∣∣∣∣∣ = 25− 4 + 24− 30 + 4− 20 = 21− 6− 16 = −1
O produto vetorial é um conceito exclusivo do R3.
Sejam
−→u = (z1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2). Consideremos o vetor
−→w = (y1z2 − y2z1, z1x2 − z2x1, x1y2 − x2y1)
Temos que
5
−→w ⊥ −→u e −→w ⊥ −→v
De fato,
−→u .−→v = x1(y1z2 − y2z1) + y1(z1x2 − z2x1) + z1(x1y2 − x2y1)
= ����x1y1z2���
�−x1y2z1����+y1z1x2����−y1z2x1����+z1x1y2����−z1x2y1
= 0
Portanto,
−→u ⊥ −→w
−→v .−→v = x2(y1z2 − y2z1) + y2(z1x2 − z2x1) + z2(x1y2 − x2y1)
= ����x2y1z2���
�−x2y2z1����+y2z1x2����−y2z2x1����+z2x1y2����−z2x2y1
= 0
Portanto,
−→v ⊥ −→w
O vetor
−→w é chamado de produto vetorial de −→u por −→v e é denotado por −→u ×−→v .
Método prático para o cálculo de
−→u ×−→v
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣ = y1z2
−→
i − y2z1−→i + z1x2−→j − x2z1−→j + x1y2−→k − x2y1−→k
= (y1z2 − y2z1)−→i + (z1x2 − x2z1)−→j + (x1y2 − x2y1)−→k
O sentido de
−→u ×−→v é obtido pela regra da mão direita
Exemplo 2 Calcule os produtos vetoriais indicados
(a)
−→u = (2, 1, 3),−→v = (−3, 2, 1),−→u ×−→v e −→v ×−→u .
6
Resolução:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
2 1 3
−3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (1− 6)
−→
i + (−9− 2)−→j + (4− (−3))−→k
= −5−→i − 11−→j + 7−→k
= (−5,−11, 7)
−→v ×−→u =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
−3 2 1
2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣ = (6− 1)
−→
i + (2− (−9))−→j + (−3− 4)−→k
= 5
−→
i + 11
−→
j − 7−→k
= −1(−5,−11, 7)
= −1−→u ×−→v
Portanto,
−→u ×−→v = −−→v ×−→u
(b)
−→u = (1, 3, 4),−→v = (−2,−6,−8),−→u ×−→v
−→v ×−→u =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1 3 4
−2 −6 −8
∣∣∣∣∣∣∣ = (−24 + 24)
−→
i + (−8 + 8)−→j + (−6 + 6)−→k
= 0
−→
i + 0
−→
j + 0
−→
k
=
−→
0
Obs:
−→v = −2(1, 3, 4) = −2−→u
Norma do produto vetorial
Seja
−→u = (x1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2). Temos que
−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1, z1x2 − z2x1, x1y2 − x2y1)
Portanto,
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||−→u ×−→v ||2 = (y1z2 − y2z1)2 + (z1x2 − z2x1)2 + (x1y2 − x2y1)2
= y21z
2
2 − 2y1z1y2z2 + y22z21 + x22z21 − 2x1x2z1z2 + x21z22 + x21y22 − 2x1x2y1y2 + x22y21
= x21(y
2
2 + z
2
2) + y
2
1(x
2
2 + z
2
2) + z
2
1(x
2
2 + y
2
2)− 2y1z1y2z2 − 2x1x2z1z2 − 2x1x2y1y2
= x21(x
2
2 + y
2
2 + z
2
2) + y
2
1(x
2
2y
2
2 + z
2
2) + z
2
1(x
2
2 + y
2
2 + z
2
2)− x21x22 − y21y22 − z21z22 − 2y1z1y2z2 − 2x1x2z1z2 − 2x1x2y1y2
= (x21 + y
2
1 + z
2
1)(x
2
2 + y
2
2 + z
2
2)− (x1x‘2 + y1y2 + z1z2)2
= ||−→u ||2||−→v ||2 − (−→u .−→v )2
= ||−→u ||2||−→v ||2 − (||−→u ||||−→v || cos θ)2
= ||−→u ||2||−→v ||2 − ||−→u ||2||−→v ||2 cos2 θ
= ||−→u ||2||−→v ||2(1− cos2 θ)
= ||−→u ||2||−→v ||2 sin2 θ
Assim,
||−→u ×−→v ||2 = ||−→u ||2||−→v ||2 sin2 θ 0 ≤ θ ≤ pi
Logo,
||−→u ×−→v || = ||−→u ||||−→v || sin θ
Quando os vetores
−→u e −→v são paralelos escrevemos −→u //−→v . Neste caso existem duas possibilidades:
Suponhamos que
−→u //−→v . Logo,
θ = 0 ou θ = pi ⇒ sin θ = 0⇒ ||−→u ×−→v || = 0⇒ −→u ×−→v = 0
Suponhamos agora que
−→u ×−→v = 0 com −→u 6= 0 e −→v 6= 0. Portanto,
||−→u ×−→v || = 0⇒ ||−→u ||||−→v ||︸ ︷︷ ︸
6=0
sin θ = 0⇒ sin θ = 0⇒ θ = 0 ou θ = pi, (pois 0 ≤ θ ≤ pi)⇒ −→u //−→v
Assim, teremos
Proposição 1 Sejam
−→u e −→v vetores não nulos do R3. Então
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−→u //−→v ⇔ −→u ×−→v
Produto misto
Sejam
−→u e −→v vetores do R3 e θ o ângulo entre eles
Queremos determinar a área do paralelogramos acima
Área = ||−→u ||h
onde h é a altura do paralelogramo. Assim,
sin θ =
h
||−→v || ⇒ h = ||
−→v || sin θ
Portanto,
Área = ||−→u ||||−→v || sin θ ⇒ ||−→u × ||−→v ||
Obs: Se
−→u //−→v , então −→u e −→v não formam um paralelogramo.
Consideremos agora três vetores não nulos
−→u ,−→v e −→w do R3
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Queremos determinar o volume do paralelepípedo acima
Volume = (área da base) h
onde h é a altura do paralelepípedo. Temos que,
Área da base = ||−→v ×−→w ||
e
| cos θ| = h||−→u || ⇒ h = ||
−→u ||| cos θ|
Portanto,
Volume = ||−→v ×−→w ||||−→u ||| cos θ|
= ||−→u ||||−→v ×−→w ||| cos θ|
=
∣∣∣∣||−→u ||||−→v ×−→w || cos θ∣∣∣∣
= |−→u .(−→v ×−→w )|
O produto |−→u .(−→v ×−→w )| é chamado de produto misto ou produto triplo escalar.
Se
−→u = (x1, y1, z1),−→v = (x2, y2, z2) e −→w = (x3, y3, z3), então
−→u .(−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣
Obs: Se os vetores são coplanares o produto misto é nulo.
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Propriedades do produto vetorial
Sejam
−→u ,−→v e −→w vetores do R3 e α ∈ R. As seguintes propriedades valem
1.
−→u ×−→v = −−→v ×−→u
2. (α−→u )×−→v = −→u × (α−→v ) = α(−→u )×−→v
3.
−→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w
4. (−→u +−→v )×−→w = −→u ×−→w +−→v ×−→w
5.
−→u .(−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v ).−→w
6.
−→u × (−→v ×−→w ) = (−→u .−→w )−→v + (−→u .−→v )−→w
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