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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 19 Assunto: Interpretação geométrica do gradiente Palavras-chaves: gradiente, curva de nível, superfície de nível, reta tangente, reta normal, palno tangente Interpretação geométrica do gradiente Sejam z = f(x, y) uma função de classe C1 em um aberto A do R2, c ∈ Imf, f(x, y) = c uma curva de nível correspondente ao nível c e (x0, y0) um ponto dessa curva de nível. Portanto f(x0, y0) = c. Suponhamos que ∇f(x0, y0) 6= (0, 0) Logo ∂f ∂x (x0, y0) 6= 0 ou ∂f ∂y (x0, y0) 6= 0 Consideremos a função F (x, y) = f(x, y)− c Temos que ∂F ∂x (x, y) = ∂f ∂x (x, y) e ∂F ∂y (x, y) = ∂f ∂y (x, y) Logo, F é de classe C1 em A. Além disso, F (x0, y0) = f(x0, y0)− c = c− c = 0 ∂F ∂x (x0, y0) 6= 0 ou ∂F ∂y (x0, y0) 6= 0 Assim, a primeira ou a segunda versão do teorema das funções implícitas (Caso F (x, y) = 0) se aplica a F e (x0, y0) e, então, concluímos que a equação F (x, y) = 0 representa uma curva que pode ser parametrizada por uma função diferenciável α : I → A, em que I é um intervalo aberto no qual existe t0 com α(t0) = (x0, y0). A imagem de α está contida na curva de nível f(x, y) = c, pois F (x, y) = 0⇒ f(x, y) = c Portanto, temos f(α(t)) = c, (∀t ∈ I) Derivando ambos os membros dessa igualdade, temos d dt [f(α(t))] = d dt [c] No qual implica em ∇f(α(t)).α′(t) = 0 Em particular ∇f(α(t0)).α′(t0) = 0 Portanto, ∇f(α(t0)) é perpendicular a α′(t0). Observamos que ∇f(α(t0)) = ∇f(x0, y0). Por conta disso, diremos que o vetor gradiente ∇f(x0, y0) é perdendicular a curva de nível f(x, y) = c em (x0, y0). A reta que passa por (x0, y0) e é perpendicular a ∇f(x0, y0) é chamada de reta tangente a curva de nível f(x, y) = c no ponto (x0, y0). A equação dessa reta é dada por ∇f(x0, y0).[(x, y)− (x0, y0)] = 0 A reta que passa por (x0, y0) e tem a direção do vetor ∇f(x0, y0) é chamada de reta normal a curva de nível f(x, y) = c no ponto (x0, y0). Uma equação para essa reta é a que segue (x, y) = (x0, y0) + λ∇f(x0, y0), λ ∈ R Exemplo 1 Determine equações para as retas tangente e normal a curva x2 9 + y2 4 = 1 no ponto ( 3 √ 3 2 , 1 ) . 2 Resolução: Observamos que o ponto dado de fato pertence a curva dada pois, ( 3 √ 3 2 ) 2 9 + 12 4 = 27 4 9 + 1 4 = 3 4 + 1 4 = 1 Consideremos a curva em questão como sendo a curva de nível da função x2 9 + y2 4 correspondente ao nível 1. Temos que ∇f(x, y) = ( 2 9 x, 2 4 y ) = ( 2 9 x, 1 2 y ) Portanto ∇f ( 3 √ 3 2 , 1 ) = ( �2 9 . 3 √ 3 �2 , 1 2 .1 ) = (√ 3 3 , 1 2 ) Assim, a equação da reta tangente é dada por ∇f ( 3 √ 3 2 , 1 ) . [ (x, y)− ( 3 √ 3 2 , 1 )] = 0 (√ 3 3 , 1 2 ) . ( x− 3 √ 3 2 , y − 1 ) = 0 √ 3 3 ( x− 3 √ 3 2 ) + 1 2 (y − 1) = 0 √ 3 3 x− 3 2 + 1 2 y − 1 2 = 0 √ 3 3 x+ 1 2 y − 2 = 0 1 2 y = − √ 3 3 x+ 2 y = −2 √ 3 3 x+ 4 Podemos obter a equação da reta normal a partir dessa, como segue y = 3 2 √ 3 x+ b ⇒ y = √ 3 2 x+ b 3 Como ( 3 √ 3 2 , 1 ) é um ponto dessa reta, temos 1 = √ 3 2 . 3 √ 3 2 + b⇒ 1 = 9 4 + b⇒ b = 1− 9 4 ⇒ b = −5 4 Portanto y = √ 3 2 x− 5 4 Consideremos agora o caso em que a função em questão é de três variáveis. Sejam f(x, y, z) uma função de classe C1 em um aberto A do R3, c ∈ Imf, f(x, y, z) = c a curva de nível de f correspondente ao nível c e (x0, y0, z0) um ponto dessa curva de nível. Portanto f(x0, y0, z0) = c. Suponhamos que ∇f(x0, y0, z0) 6= (0, 0, 0) Portanto ∂f ∂x (x0, y0, z0) 6= 0 ou ∂f ∂y (x0, y0, z0) 6= 0 ou ∂f ∂z (x0, y0, z0) 6= 0 Assim, podemos aplicar uma das três versões do teorema das funções implícitas (Caso F (x, y, z) = 0) e concluímos que a equação f(x, y, z) = c representa uma superfície que é localmente o gráfico de uma função diferenciável x = x(y, z) ou y = y(x, z) ou z = z(x, y), respectivamente. Seja α : I → R3, I é um intervalo aberto, uma curva diferenciável contida na superfície f(x, y, z) = c e que passa pelo ponto (x0, y0, z0). Portanto, f(α(t)) = c, (∀t ∈ I) e existe t0 ∈ I tal que α(t0) = (x0, y0, z0). Derivando ambos os membros de f(α(t)) = c, obteremos d dt [f(α(t))] = d dt [c] No que implica em ∇f(α(t)).α′(t) = 0 Em particular, 4 ∇f(α(t0)).α′(t0) = 0⇒ ∇f(x0, y0, z0).α′(t0) = 0 Portanto, o vetor gradiente é ortogonal ao vetor tangente de toda curva diferenciável contida na superfície de nível f(x, y, z) = c que passa pelo ponto (x0, y0, z0) Por essa razão, diremos que o vetor gradiente ∇f(x0, y0, z0) é perdendicular a superfície de nível f(x, y, z) = c no ponto (x0, y0, z0). O plano que passa pelo ponto (x0, y0, z0) e é perpendicular ao vetor ∇f(x0, y0, z0) é chamada de plano tangente a superfície de nível f(x, y, z) = c no ponto (x0, y0, z0). Uma equação para esse plano é a seguinte ∇f(x0, y0, z0).[(x, y, z)− (x0, y0, z0)] = 0 A reta que passa por (x0, y0, z0) e tem a direção do vetor gradiente ∇f(x0, y0, z0) é chamada de reta normal a tal superfície de nível. Uma equação vetorial para essa reta é a que segue (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ∇f(x0, y0, z0), λ ∈ R Exemplo 2 Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície xyz + x3 + y3 + z3 = 3z no ponto (1,-1,2). Resolução: A equação dada é equivalente à: xyz + x3 + y3 + z3 − 3z Seja f(x, y, z) = xyz + x3 + y3 + z3 − 3z Observemos que f(1,−1, 2) = 1.(−1).2 + 13 + (−1)3 + 23 − 3.2 = −2 + 1− 1 + 8− 6 = 0 Portanto, o ponto (1,−1, 2) pertence a superfície de nível f(x, y, z) = 0. Temos que: ∇f(x, y, z) = ( ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z ) = (yz + 3x2, xz + 3y2, xy + 3z2 − 3) 5 Portanto ∇f(1,−1, 2) = (−1.2 + 3.12, 1.2.3.(−1)2, 1.(−1) + 3.22 − 3) = (1, 5, 8) Assim, o plano tangente será dado por: ∇f(1,−1, 2).[(x, y, z)− (1,−1, 2)] = 0 (1, 5, 8).(x− 1, y + 1, z − 2) = 0 x− 1 + 5(y + 1) + 8(z − 2) = 0 x− 1 + 5y + 5 + 8z − 16 = 0 x+ 5y + 8z − 12 = 0 x+ 5y + 8z = 12 A reta normal em (1,−1, 2) será (x, y, z) = (1,−1, 2) + λ∇f(1,−1, 2), λ ∈ R = (1,−1, 2) + λ(1, 5, 8) = (1 + λ,−1 + 5λ, 2 + 8λ) Assim x = 1 + λ y = −1 + 5λ z = 2 + 8λ 6
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