Aula 19 Interpretação geométrica do gradiente

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 19
Assunto: Interpretação geométrica do gradiente
Palavras-chaves: gradiente, curva de nível, superfície de nível, reta tangente, reta normal,
palno tangente
Interpretação geométrica do gradiente
Sejam z = f(x, y) uma função de classe C1 em um aberto A do R2, c ∈ Imf, f(x, y) = c uma curva de
nível correspondente ao nível c e (x0, y0) um ponto dessa curva de nível. Portanto f(x0, y0) = c.
Suponhamos que
∇f(x0, y0) 6= (0, 0)
Logo
∂f
∂x
(x0, y0) 6= 0 ou ∂f
∂y
(x0, y0) 6= 0
Consideremos a função
F (x, y) = f(x, y)− c
Temos que
∂F
∂x
(x, y) =
∂f
∂x
(x, y) e
∂F
∂y
(x, y) =
∂f
∂y
(x, y)
Logo, F é de classe C1 em A. Além disso,
F (x0, y0) = f(x0, y0)− c = c− c = 0
∂F
∂x
(x0, y0) 6= 0 ou ∂F
∂y
(x0, y0) 6= 0
Assim, a primeira ou a segunda versão do teorema das funções implícitas (Caso F (x, y) = 0) se aplica a F
e (x0, y0) e, então, concluímos que a equação F (x, y) = 0 representa uma curva que pode ser parametrizada
por uma função diferenciável α : I → A, em que I é um intervalo aberto no qual existe t0 com α(t0) = (x0, y0).
A imagem de α está contida na curva de nível f(x, y) = c, pois
F (x, y) = 0⇒ f(x, y) = c
Portanto, temos
f(α(t)) = c, (∀t ∈ I)
Derivando ambos os membros dessa igualdade, temos
d
dt
[f(α(t))] =
d
dt
[c]
No qual implica em
∇f(α(t)).α′(t) = 0
Em particular
∇f(α(t0)).α′(t0) = 0
Portanto, ∇f(α(t0)) é perpendicular a α′(t0). Observamos que ∇f(α(t0)) = ∇f(x0, y0).
Por conta disso, diremos que o vetor gradiente ∇f(x0, y0) é perdendicular a curva de nível f(x, y) = c em
(x0, y0).
A reta que passa por (x0, y0) e é perpendicular a ∇f(x0, y0) é chamada de reta tangente a curva de nível
f(x, y) = c no ponto (x0, y0). A equação dessa reta é dada por
∇f(x0, y0).[(x, y)− (x0, y0)] = 0
A reta que passa por (x0, y0) e tem a direção do vetor ∇f(x0, y0) é chamada de reta normal a curva de
nível f(x, y) = c no ponto (x0, y0). Uma equação para essa reta é a que segue
(x, y) = (x0, y0) + λ∇f(x0, y0), λ ∈ R
Exemplo 1 Determine equações para as retas tangente e normal a curva
x2
9
+
y2
4
= 1 no ponto
(
3
√
3
2
, 1
)
.
2
Resolução:
Observamos que o ponto dado de fato pertence a curva dada pois,
( 3
√
3
2 )
2
9
+
12
4
=
27
4
9
+
1
4
=
3
4
+
1
4
= 1
Consideremos a curva em questão como sendo a curva de nível da função
x2
9
+
y2
4
correspondente ao nível 1.
Temos que
∇f(x, y) =
(
2
9
x,
2
4
y
)
=
(
2
9
x,
1
2
y
)
Portanto
∇f
(
3
√
3
2
, 1
)
=
(
�2
9
.
3
√
3
�2
,
1
2
.1
)
=
(√
3
3
,
1
2
)
Assim, a equação da reta tangente é dada por
∇f
(
3
√
3
2
, 1
)
.
[
(x, y)−
(
3
√
3
2
, 1
)]
= 0
(√
3
3
,
1
2
)
.
(
x− 3
√
3
2
, y − 1
)
= 0
√
3
3
(
x− 3
√
3
2
)
+
1
2
(y − 1) = 0
√
3
3
x− 3
2
+
1
2
y − 1
2
= 0
√
3
3
x+
1
2
y − 2 = 0
1
2
y = −
√
3
3
x+ 2
y = −2
√
3
3
x+ 4
Podemos obter a equação da reta normal a partir dessa, como segue
y =
3
2
√
3
x+ b ⇒ y =
√
3
2
x+ b
3
Como
(
3
√
3
2
, 1
)
é um ponto dessa reta, temos
1 =
√
3
2
.
3
√
3
2
+ b⇒ 1 = 9
4
+ b⇒ b = 1− 9
4
⇒ b = −5
4
Portanto
y =
√
3
2
x− 5
4
Consideremos agora o caso em que a função em questão é de três variáveis.
Sejam f(x, y, z) uma função de classe C1 em um aberto A do R3, c ∈ Imf, f(x, y, z) = c a curva de nível
de f correspondente ao nível c e (x0, y0, z0) um ponto dessa curva de nível. Portanto f(x0, y0, z0) = c.
Suponhamos que
∇f(x0, y0, z0) 6= (0, 0, 0)
Portanto
∂f
∂x
(x0, y0, z0) 6= 0 ou ∂f
∂y
(x0, y0, z0) 6= 0 ou ∂f
∂z
(x0, y0, z0) 6= 0
Assim, podemos aplicar uma das três versões do teorema das funções implícitas (Caso F (x, y, z) = 0) e
concluímos que a equação f(x, y, z) = c representa uma superfície que é localmente o gráfico de uma função
diferenciável x = x(y, z) ou y = y(x, z) ou z = z(x, y), respectivamente.
Seja α : I → R3, I é um intervalo aberto, uma curva diferenciável contida na superfície f(x, y, z) = c e
que passa pelo ponto (x0, y0, z0). Portanto,
f(α(t)) = c, (∀t ∈ I)
e existe t0 ∈ I tal que α(t0) = (x0, y0, z0).
Derivando ambos os membros de f(α(t)) = c, obteremos
d
dt
[f(α(t))] =
d
dt
[c]
No que implica em
∇f(α(t)).α′(t) = 0
Em particular,
4
∇f(α(t0)).α′(t0) = 0⇒ ∇f(x0, y0, z0).α′(t0) = 0
Portanto, o vetor gradiente é ortogonal ao vetor tangente de toda curva diferenciável contida na superfície
de nível f(x, y, z) = c que passa pelo ponto (x0, y0, z0)
Por essa razão, diremos que o vetor gradiente ∇f(x0, y0, z0) é perdendicular a superfície de nível f(x, y, z) =
c no ponto (x0, y0, z0).
O plano que passa pelo ponto (x0, y0, z0) e é perpendicular ao vetor ∇f(x0, y0, z0) é chamada de plano tangente
a superfície de nível f(x, y, z) = c no ponto (x0, y0, z0). Uma equação para esse plano é a seguinte
∇f(x0, y0, z0).[(x, y, z)− (x0, y0, z0)] = 0
A reta que passa por (x0, y0, z0) e tem a direção do vetor gradiente ∇f(x0, y0, z0) é chamada de reta normal
a tal superfície de nível. Uma equação vetorial para essa reta é a que segue
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ∇f(x0, y0, z0), λ ∈ R
Exemplo 2 Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
xyz + x3 + y3 + z3 = 3z
no ponto (1,-1,2).
Resolução:
A equação dada é equivalente à:
xyz + x3 + y3 + z3 − 3z
Seja
f(x, y, z) = xyz + x3 + y3 + z3 − 3z
Observemos que
f(1,−1, 2) = 1.(−1).2 + 13 + (−1)3 + 23 − 3.2 = −2 + 1− 1 + 8− 6 = 0
Portanto, o ponto (1,−1, 2) pertence a superfície de nível f(x, y, z) = 0. Temos que:
∇f(x, y, z) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)
= (yz + 3x2, xz + 3y2, xy + 3z2 − 3)
5
Portanto
∇f(1,−1, 2) = (−1.2 + 3.12, 1.2.3.(−1)2, 1.(−1) + 3.22 − 3) = (1, 5, 8)
Assim, o plano tangente será dado por:
∇f(1,−1, 2).[(x, y, z)− (1,−1, 2)] = 0
(1, 5, 8).(x− 1, y + 1, z − 2) = 0
x− 1 + 5(y + 1) + 8(z − 2) = 0
x− 1 + 5y + 5 + 8z − 16 = 0
x+ 5y + 8z − 12 = 0
x+ 5y + 8z = 12
A reta normal em (1,−1, 2) será
(x, y, z) = (1,−1, 2) + λ∇f(1,−1, 2), λ ∈ R
= (1,−1, 2) + λ(1, 5, 8)
= (1 + λ,−1 + 5λ, 2 + 8λ)
Assim

x = 1 + λ
y = −1 + 5λ
z = 2 + 8λ
6