[P26] Gradiente, Divergência e Rotacional (revisitados)
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[P26] Gradiente, Divergência e Rotacional (revisitados)


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gradiente, 
divergência e 
rotacional 
(revisitados) 
 
 
 
2010 
Prof. Carlos R. Paiva 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
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NOTA PRÉVIA 
Os apontamentos que se seguem não são um texto matemático: não se procura, aqui, o 
rigor de uma formulação matemática. O que se procura, nestas notas abreviadas sobre 
os três operadores diferenciais \u2013 gradiente, divergência e rotacional \u2013 é, antes de mais, 
a formação de uma intuição. O objectivo é o de, deste modo, fazer com que as equações 
de Maxwell \u2013 que são escritas em termos de rotacional e divergência \u2013 possam ser mais 
do que fórmulas com uma pura existência formal, evitando-se assim que o seu conteúdo 
físico permaneça vago e nebuloso. 
Apesar de uma interpretação em termos mecânicos poder ser considerada 
filosoficamente ambígua \u2013 no sentido em que o campo electromagnético não deve ser 
interpretado, e.g., como um fluido (como, de resto, o próprio Maxwell o fez amiúde) \u2013 
não resta qualquer dúvida de que uma tal interpretação física ajuda a construir uma 
intuição útil \u2013 desde que esta precisão filosófica fique clara desde o início. 
Assim, no caso da divergência, os conceitos de «fonte» e de «sorvedouro» são 
fundamentais para se entender, em electrostática, o papel das cargas eléctricas positivas 
e negativas, respectivamente. No caso do rotacional, a ideia de colocar um torniquete 
(constituído por uma espécie de roda com pás) \u2013 em que o movimento rotativo depende 
do momento angular transmitido ao dispositivo \u2013 parece, também, fundamental para 
distinguir, e.g., o campo eléctrico conservativo em regime estacionário (onde 
0\uf0d1\uf0b4 \uf03dE
) 
do campo eléctrico em regime não-estacionário (regulado pela equação de Maxwell-
Faraday, 
t\uf0d1\uf0b4 \uf03d \uf02d \uf0b6 \uf0b6E B
). No caso do gradiente, a ideia de um declive associado a 
um conjunto de curvas de nível, é também fundamental \u2013 de forma a entender que este 
operador diferencial nos informa, e.g., sobre qual a encosta de uma montanha que é 
mais íngreme (e, portanto, menos recomendável para uma subida mais acessível). 
 
 
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Comecemos por recordar a definição dos operadores diferenciais gradiente, divergência 
e rotacional num sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Para tal 
consideremos a base ortonormada 
\uf07b \uf07d1 2 3, ,\uf03d e e e
, i.e., tem-se 
1,
0,
m n mn
m n
m n
\uf064
\uf03d\uf0ec
\uf0d7 \uf03d \uf03d \uf0ed
\uf0b9\uf0ee
e e
 
e, nesta base do espaço vectorial 3 , definamos o operador nabla 
\uf0d1
 tal que 
1 2 1
x y z
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0d1 \uf03d \uf02b \uf02b
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
e e e
. 
Sejam 
\uf028 \uf029, ,x y z\uf046 \uf03d\uf046
 um campo escalar 
3:\uf046 \uf0ae
 e 
\uf028 \uf029, ,x y z\uf03dF F
 um campo 
vectorial 
3 3: \uf0aeF
 tal que 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf0291 2 3, , , , , , , ,x y z x y zF F F F x y z F x y z F x y z\uf03d \uf03d \uf02b \uf02bF e e e
. 
Definem-se, então, os operadores diferenciais: 
1 2 3
1 2 3
gradiente ,
divergência ,
rotacional .
yx z
y yx xz z
x y z
FF F
x y z
F FF FF F
y z z x x y
\uf0b6\uf046 \uf0b6\uf046 \uf0b6\uf046
\uf0ae \uf0d1\uf046 \uf03d \uf02b \uf02b
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0b6\uf0b6 \uf0b6
\uf0ae \uf0d1\uf0d7 \uf03d \uf02b \uf02b
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0b6 \uf0b6\uf0e6 \uf0f6 \uf0e6 \uf0f6\uf0e6 \uf0f6\uf0b6 \uf0b6\uf0b6 \uf0b6
\uf0ae \uf0d1\uf0b4 \uf03d \uf02d \uf02b \uf02d \uf02b \uf02d\uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0e8 \uf0f8\uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8
e e e
F
F e e e
 
Como mnemónica usa-se, ainda, a definição alternativa de rotacional em termos do 
«determinante» formal 
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1 2 3
11 1 12 2 13 3
x y z
x y z
F F F
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0d1\uf0b4 \uf03d \uf03d \uf044 \uf02b \uf044 \uf02b \uf044
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
e e e
F e e e 
em que 11
12
13
,
,
.
yz
x z
y x
FF
y z
F F
z x
F F
x y
\uf0b6\uf0b6
\uf044 \uf03d \uf02d
\uf0b6 \uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
\uf044 \uf03d \uf02d
\uf0b6 \uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
\uf044 \uf03d \uf02d
\uf0b6 \uf0b6
 
 
Definições 
 Um campo vectorial 
F
 diz-se conservativo quando existe um campo escalar 
\uf046
 tal 
que 
\uf03d\uf0d1\uf046F
. Diz-se, neste caso, que 
\uf046
 é o potencial associado a 
F
. 
 Um campo vectorial 
F
 diz-se solenoidal quando 
0\uf0d1\uf0d7 \uf03dF
. 
 Um campo vectorial 
F
 diz-se irrotacional quando 
0\uf0d1\uf0b4 \uf03dF
. 
 
Facilmente se verificam as seguintes identidades: 
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029
0,
0.
\uf0d1\uf0d7 \uf0d1\uf0b4 \uf03d
\uf0d1\uf0b4 \uf0d1\uf046 \uf03d
F 
Por exemplo, 
\uf028 \uf029
2 22 22 2
0
y yx xz z
y yx xz z
F FF FF F
x y z y z x z x y
F FF FF F
x y y x y z z y z x x z
\uf0b6 \uf0b6\uf0e6 \uf0f6 \uf0e6 \uf0f6\uf0e6 \uf0f6\uf0b6 \uf0b6\uf0b6 \uf0b6\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0d1\uf0d7 \uf0d1\uf0b4 \uf03d \uf02d \uf02b \uf02d \uf02b \uf02d\uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0e8 \uf0f8\uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8
\uf0e6 \uf0f6\uf0b6 \uf0b6\uf0e6 \uf0f6\uf0e6 \uf0f6 \uf0b6 \uf0b6\uf0b6 \uf0b6
\uf03d \uf02d \uf02b \uf02d \uf02b \uf02d\uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8
\uf03d
F
 
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uma vez que 
2 2
2 2
2 2
,
,
.
z z
x x
y y
F F
x y y x
F F
y z z y
F F
z x x z
\uf0b6 \uf0b6
\uf03d
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
\uf03d
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
\uf03d
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
 
Assim, se um campo 
F
 é solenoidal, existe um campo vectorial 
A
 tal que 
\uf03d\uf0d1\uf0b4F A
. 
Por outro lado, se o campo 
F
 é irrotacional, então é conservativo. Ou seja, 
0 ,
0 .
\uf0d1\uf0d7 \uf03d \uf0de \uf03d\uf0d1\uf0b4
\uf0d1\uf0b4 \uf03d \uf0de \uf03d\uf0d1\uf046
F F A
F F
 
Também de define o operador laplaciano 
2\uf0d1 \uf03d\uf0d1\uf0d7\uf0d1
. Tem-se, 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
1 2 3
,
.x y z
x y z
F F F
\uf0b6 \uf046 \uf0b6 \uf046 \uf0b6 \uf046
\uf0d1 \uf046 \uf03d \uf02b \uf02b
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0d1 \uf03d \uf0d1 \uf02b \uf0d1 \uf02b \uf0d1F e e e
 
Demonstra-se que 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 2\uf0d1\uf0b4 \uf0d1\uf0b4 \uf03d\uf0d1 \uf0d1\uf0d7 \uf02d\uf0d1F F F
. 
 
Vejamos, agora, a definição de derivada direccional do campo escalar 
\uf028 \uf029, ,x y z\uf046
 ao 
longo de uma dada direcção. Seja, então, 
1 2 3x y zu u u\uf03d \uf02b \uf02bu e e e
 um vector constante que 
caracteriza a direcção em causa. O correspondente vector unitário 
u\u2c6
 (em que 
\u2c6 1\uf03du
) é 
dado por 
1 2 3
1 2 3
2 2 2
\u2c6 x y z
x y z
x y z
u u u
a a a
u u u
\uf02b \uf02b
\uf03d \uf03d \uf03d \uf02b \uf02b
\uf02b \uf02b
e e eu
u e e e
u
, 
em que 
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2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
yx z
x y z
x y x y x y
uu u
a a a
u u u u u u u u u
\uf03d \uf03d \uf03d
\uf02b \uf02b \uf02b \uf02b \uf02b \uf02b
. 
Seja agora dado um ponto 
\uf028 \uf0290 0 0 0, ,P x y z
 e seja 
\uf028 \uf029, ,P x y z
 um ponto tal que 
0
0
0
x
y
z
x x s a
y y s a
z z s a
\uf03d \uf02b
\uf03d \uf02b
\uf03d \uf02b
 
em que 
0s \uf0b3
 é um parâmetro que mede a distância entre o ponto 
P
 e o ponto 
0P
, 
tendo-se (note-se que 
0 0P P P P\uf03d \uf02b
) portanto 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf0290 0 0 1 0 2 0 3 1 2 3 \u2c6x y zP P P P x x y y z z s a a a s\uf03d \uf02d \uf03d \uf02d \uf02b \uf02d \uf02b \uf02d \uf03d \uf02b \uf02b \uf03de e e e e e u
. 
Nestas condições, a derivada direccional de 
\uf046
 ao longo da direcção 
u
 é 
x y z
d d x d y d z
a a a
d s x d s y d s z d s x y z
\uf046 \uf0b6\uf046 \uf0b6\uf046 \uf0b6\uf046 \uf0b6\uf046 \uf0b6\uf046 \uf0b6\uf046
\uf03d \uf02b \uf02b \uf03d \uf02b \uf02b
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
 
\u2c6
d
d s
\uf046
\uf05c \uf03d\uf0d1\uf046\uf0d7u
. 
Por exemplo: se 
2x y x z\uf046 \uf03d \uf02b
 e 
1 2 32 2\uf03d \uf02d \uf02bu e e e
, vem 
\uf028 \uf0291 2 3\u2c6 2 2 3\uf03d \uf02d \uf02bu e e e
 e ainda 
\uf028 \uf029 21 2 32 xy z x x\uf0d1\uf046 \uf03d \uf02b \uf02b \uf02be e e
, de forma que 
24 2 2
\u2c6
3
d x y z x x
d s
\uf046 \uf02b \uf02d \uf02b
\uf03d\uf0d1\uf046\uf0d7 \uf03du
 
a que corresponde, e.g., um valor 
5 3d ds\uf046 \uf03d
 para o ponto 
\uf028 \uf0291, 2, 1\uf02d
. Em geral, 
notando que se tem 
cos
d
d s
\uf071
\uf046
\uf03d \uf0d1\uf046
, 
onde 
\uf071
 é o ângulo entre o vector 
\uf0d1\uf046
 e o vector unitário 
u\u2c6
, infere-se que a derivada 
direccional 
d ds\uf046
 é a projecção do gradiente ao longo da direcção 
u
. O valor 
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máximo da derivada direccional obtém-se quando 
0\uf071 \uf03d
, i.e., quando a direcção de 
u
 
coincide com a direcção de 
\uf0d1\uf046
. O gradiente dá-nos, portanto, o valor máximo da 
derivada direccional do campo 
\uf046
 no ponto em causa. Fazendo, ainda, 
\u2c6d ds\uf03dr u
 vem 
d d\uf046 \uf03d\uf0d1\uf046\uf0d7 r
. 
Quando se considera um deslocamento 
dr
 sobre uma superfície de nível 
\uf028 \uf029 0, ,x y z\uf046 \uf03d\uf046
, é 
0d \uf046 \uf03d
 pelo que 
0d\uf0d1\uf046\uf0d7 \uf03dr
, donde se tira que 
d\uf0d1\uf046