Aula 15 Concavidade Teste da Segunda Derivada

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula n
o
15: Concavidade. Teste da Segunda Derivada.
Objetivos da Aula
• Definir concavidade de uma função;
• Definir ponto de inflexão;
• Apresentar e utilizar o Teste da Segunda Derivada.
1 Concavidade
Considere um intervalo I e uma função f : I → R derivável cujo gráfico é dado abaixo.
Figura 1: Gráfico de uma Função f
Sejam p, x ∈ I tais que x 6= p, sendo representados no gráfico como mostra abaixo:
Figura 2: Gráfico de uma Função f
1
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Agora, tracemos a reta tangente ao gráfico de f que passa pelo ponto (p, f(p)), como está ilustrado
abaixo.
Figura 3: Gráfico de uma Função f
Como já foi observado em aulas anteriores, sabemos que a equação da referida reta tangente em (p, f(p))
é dada por
y = f(p) + f ′(p)(x− p)
que denotaremos por
T (x) = f(p) + f ′(p)(x− p)
Note que para x 6= p, temos que a reta tangente possui um valor menor que f(x) como foi ilustrado a
seguir
Figura 4: Gráfico de uma Função f
Dessa forma, definimos que f tem concavidade para cima em um intervalo aberto I se
f(x) > T (x)
para quaisquer x, p ∈ I com x 6= p.
De forma análoga, dizemos que f possui concavidade para baixo em um intervalo aberto I se
f(x) < T (x)
para quaisquer x, p ∈ I com x 6= p.
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Definição 1. Sejam f uma função contínua em um intervalo I e p ∈ I. Dizemos que p é ponto de inflexão
de f se existirem números reais a e b com p ∈ (a, b) ⊂ I, tal que f tenha concavidade de nomes contrários
em (a, p) e (p, b).
Em outras palavras, p é um ponto de inflexão de f se p ∈ I e se existir um intervalo aberto (a, b) ⊂ I
com p ∈ (a, b) tal que f tem concavidade para cima em (a, p) e concavidade para baixo em (p, b) ou
vice-versa.
Vejamos alguns exemplos de pontos de inflexão.
Figura 5: Ponto de Inflexão de uma Função f
Figura 6: Pontos de Inflexão de uma Função f
O próximo resultado é de extrema importância para determinarmos com mais facilidade a concavidade
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de uma função.
Teorema 1. Seja f uma função que admite derivada até 2a ordem no intervalo aberto I.
(i) Se f ′′(x) > 0 em I, então f terá concavidade para cima em I;
(ii) Se f ′′(x) < 0 em I, então f terá concavidade para baixo em I;
Vejamos alguns exemplos de aplicação desse teorema.
Exemplo 1. Estude a função f(x) = x3 − 3x2 − 9x com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Solução: Pelo teorema anterior, basta estudar o sinal da função f ′′(x). Sendo assim, note que
f(x) = x3 − 3x2 − 9x
f ′(x) = 3x2 − 6x− 9
f ′′(x) = 6x− 6
Agora, note que f ′′ é uma função polinomial do primeiro grau que possui raiz em x = 1. Logo, notamos que
f ′′(x) < 0 para x ∈ (−∞, 1) e f ′′(x) > 0 para x ∈ (1,+∞). Então pelo teorema 1, f tem concavidade
para baixo em (−∞, 1) e concavidade para cima em (1,+∞). É comum representarmos essas informações
através do seguinte diagrama:
Figura 7: Exemplo 1
Utilizando o diagrama acima, vê-se facilmente que p = 1 é ponto de inflexão de f . �
Exemplo 2. Estude a função f(x) =
x
1 + x2
com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Solução: Como fizemos anteriormente, devemos determinar primeiramente a função f ′′ e estudar o seu
sinal. Dito isso, note que
f ′(x) =
[
x
1 + x2
]′
=
(x)′(1 + x2)− x(1 + x2)′
(1 + x2)2
=
1 + x2 − 2x2
(1 + x2)2
=
1− x2
(1 + x2)2
Agora, observe que
f ′′(x) =
[
1− x2
(1 + x2)2
]′
=
(1− x2)′(1 + x2)2 − (1− x2) [(1 + x2)2]′
(1 + x2)4
=
(−2x)(1 + x2)2 − (1− x2).4x.(1 + x2)
(1 + x2)4
=
−2x− 4x3 − 2x5 − 4x+ 4x5
(1 + x2)4
=
2x(x4 − 2x2 − 3)
(1 + x2)4
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Note que (1 + x2)4 > 0, para qualquer valor real atribuído a x. Dessa forma, para estudar o sinal da
função f ′′, basta estudar o sinal da função 2x(x4 − 2x2 − 3). Sendo assim, vamos estudar o sinal do fator
x4− 2x2− 3. Tomando y = x2, podemos reescrever o polinômio como sendo y2− 2y− 3 que possui raízes
y1 = −1 e y2 = 3. Como y só admite valores positivos, temos que x1 = −
√
3 e x2 = −
√
3. Dessa forma,
a concavidade de f é dada por
Figura 8: Exemplo 2
Logo, f possui concavidade para baixo em (−∞,−√3)∪(0,√3) e concavidade para cima em (−√3, 0)∪
(
√
3,+∞). Portanto, p = −√3, p = 0 e √3 são os pontos de inflexão de f .
�
Observação 1. De posse desse resultado, podemos buscar os pontos de inflexão de f analisando os pontos
em f ′′(x) = 0. Contudo, só verificar as raízes de f ′′ não basta, devemos também analisar a concavidade
da função em pontos próximos dessas raízes.
O exemplo a seguir ilustra essa observação.
Exemplo 3. Considere a função f(x) = x4. Determine seus pontos de inflexão, caso existam.
Solução: Note que
f ′(x) = 4x3
e que
f ′′(x) = 12x2
Estudando o sinal de f ′′, temos que a concavidade de f é dada por
Figura 9: Exemplo 3
Dessa forma, 0 não é um ponto de inflexão de f , pois a concavidade em pontos próximos de 0 não
muda. Logo, f não possui pontos de inflexão.
�
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Exemplo 4. Estude a função f(x) = sen x− cosx com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Solução: Note que
f ′(x) = cosx+ sen x
e
f ′′(x) = cosx− sen x
Dessa forma, fazendo f ′′(x) = 0 para encontrar as raízes de f ′′, obtemos que
f ′′(x) = 0
cosx− sen x = 0
cosx = sen x
tg x = 1
Desse modo, como a função f é periódica de período 2pi (Verifique!), faremos o estudo da concavidade
primeiramente para o intervalo [0, 2pi] e depois estenderemos para x ∈ R. Sendo assim, note que os valores
de 0 ≤ x ≤ 2pi que satisfazem a equação encontrada são x = pi
4
e x =
5pi
4
. Para estudar o sinal de f ′′,
podemos verificar os gráficos das funções g(x) = cosx e h(x) = sen x, como abaixo:
Logo, podemos notar que para 0 ≤ x < pi
4
e
5pi
4
< x ≤ 2pi, temos que cosx > sen x e para
pi
4
< x <
5pi
4
, temos que cosx < sen x. Desse modo:
f ′′(x) > 0 para 0 ≤ x < pi
4
ou
5pi
4
< x ≤ 2pi
e
f ′′(x) < 0 para
pi
4
< x <
5pi
4
E assim obtemos o seguinte quadro:
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Assim, a função f , restrita ao intervalo (0, 2pi) é côncava para cima em
(
0, pi4
)∪(5pi4 , 2pi) e côncava para
baixo em
(
pi
4 ,
5pi
4
)
. Note também que os pontos x =
pi
4
e x =
5pi
4
são pontos de inflexão. Para estender os
resultados encontrados para todo x ∈ R, basta notar que os pontos da forma x = pi4 + kpi são pontos de
inflexão da função f e tendo em mente o quadro anterior podemos facilmente determinar a concavidade de
f , como pode ser visto no gráfico abaixo
�
2 Teste da Segunda Derivada
Sejam f uma função que admite derivada de 2a ordem contínua no intervalo I e p ∈ I.
(i) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) > 0 então p é um ponto de mínimo local ou relativo;
(ii) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) < 0 então p é um ponto de máximo local ou relativo
Os exemplos a seguir ilustram a utilização desse importante resultado.
Exemplo 5. Utilizando o Teste da Segunda Derivada, determine os máximos e mínimos relativos da função
f(x) =
x4
4
− x3 − 2x2 + 3.
Solução: Primeiramente, vamos determinar f ′. Desse modo,
f ′(x) = x3 − 3x2 − 4x
Agora, vamos determinar os pontos críticos de f . Sendo assim, note que
f ′(x) = 0
x3 − 3x2 − 4x = 0
x.(x2 − 3x− 4) = 0
Sendo assim, x = 0 ou x2 − 3x− 4 = 0. Resolvendo essa última equação, obtemos que os pontos críticos
de f são x = 0, x = 4 e x = −1. Agora, note que
f ′′(x) = 3x2 − 6x− 4
E assim,
f ′′(0) = −4 < 0
f ′′(4) = 20 > 0
f ′′(−1) = 5 > 0
Pelo Teste da Segunda Derivada, temos que x = 4 e x = −1 são mínimos locais de f e x = 0 é um ponto
de máximo localde f .
�
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Exemplo 6. Considere a função f(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1. Podemos afirmar algo sobre seu(s) ponto(s)
crítico(s), utilizando o Teste da Segunda Derivada?
Solução: Note que f(x) = (x− 1)3. Logo, pela regra da cadeia, note que
f ′(x) = 3(x− 1)2.(x− 1)′ = 3(x− 1)2
Assim, o ponto crítico de f é x = 1. Agora, calculando f ′′ obtemos que
f ′′(x) = 6(x− 1).(x− 1)′ = 6(x− 1)
Mas observe que
f ′′(1) = 6(1− 1) = 0
Isso implica que não podemos utilizar o teste da segunda derivada, pois ele não se aplica quando f ′′(p) = 0
ou quando f ′′(p) não existe. �
Observação 2. Note que o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo se f ′′(c) = 0 ou se f ′′(c) não existir
no ponto crítico c. Contudo, no exemplo anterior, estudando a concavidade de f notamos que x = 1 é um
ponto de inflexão de f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1. Observando o gráfico, podemos notar esse fato.
Figura 10: Gráfico de f(x) = (x− 1)3
Exemplo 7. Dada a função f(x) = 3x5 − 5x3. Classifique os pontos críticos de f em máximos locais,
mínimos locais ou pontos de inflexão.
Solução: Note que
f ′(x) = 15x4 − 15x2
Fazendo f ′(x) = 0, obtemos que
15x4 − 15x2 = 0⇒ 15x2(x2 − 1) = 0
implicando que os pontos críticos de f são x1 = x2 = 0, x3 = −1 e x4 = 1. Calculando a segunda derivada
de f , obtemos que
f ′′(x) = 60x3 − 30x = x(60x2 − 30)
logo,
f ′′(0) = 0
f ′′(−1) = −30 < 0
f ′′(1) = 30 > 0
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Então, pelo Teste da Segunda Derivada, podemos afirmar que x = −1 é ponto de máximo local e x = 1 é
ponto de mínimo local de f . Analisando a concavidade de f , temos que
Figura 11: Concavidade de f(x) = 3x5 − 5x3
Logo, x = 0 é um ponto de inflexão. �
Exemplo 8. Classifique os pontos críticos da função f(x) =
ex
x
, caso existam.
Solução: Note que
f ′(x) =
(ex)′.x− ex.(x)′
x2
=
ex(x− 1)
x2
Logo, o único ponto crítico de f é x = 1. Agora, calculando a segunda derivada, temos que
f ′′(x) =
[ex(x− 1)]′x2 − ex(x− 1)(x2)′
x4
=
[(ex)′(x− 1) + ex(x− 1)′]x2 − 2x(x− 1)ex
x4
=
ex(x2 − 2x+ 2)
x3
Agora, note que
f ′′(1) =
e1(12 − 2.1 + 2)
13
= e > 0
Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, 1 é mínimo local de f . �
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 86-88,119-128,272-277,285,286 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 88-91,128-130,278-280,286 e 287 do livro texto.
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