Aula7 Teste da derivada primeira e segunda

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Como as derivadas Afetam o 
Gráfico
INTRODUÇÃO
 O que f’ nos diz sobre f ?
 Qual a relação entre a função f ser crescente ou
decrescente em um determinado intervalo e a
derivada da função f?
 Qual a definição de concavidade?
 O que a derivada segunda nos diz sobre o gráfico
de f?
INTRODUÇÃO
1:
Teste Crescente/Decrescente (Teste C/D)
 Se f ’(x) > 0 sobre um intervalo, então f é
crescente nele;
 Se f ’(x) < 0 sobre um intervalo, então f é
decrescente nele;
 Exemplo1: Encontre o(s) intervalo(s) onde a
função f definida abaixo é crescente e onde é
decrescente.
  3 12 5f x x x  
2:
Exercícios
 1) Encontre o(s) intervalo(s) onde a função f
definida abaixo é crescente e onde é decrescente,
sabendo que uma das raízes da derivada de f é 1.
  16
23
4
4
234
 x
xxx
xf
Teste da derivada Primeira
 Suponha que c seja um número crítico de uma
função contínua f.
 Se o sinal de f ’ mudar de positivo para negativo
em c, então f tem um máximo local em c;
 Se o sinal de f ’ mudar de negativo para positivo
em c, então f tem um mínimo local em c;
 Se o sinal de f ’ não mudar em c, então f não tem
máximo ou mínimo locais em c
3:
Exemplo
 Encontre os valores máximos, mínimos locais e
intervalos onde as funções dadas a seguir são
crescentes ou decrescentes:
 
1
3 ( 4)f x x x 
  2 0 x 2f x x senx    
Definições
 Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas
retas tangentes no intervalo I, então ele é
chamado côncavo para cima em I.
 Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas
retas tangentes no intervalo I, então ele é
chamado côncavo para baixo em I.
5:
Teste da Concavidade (Teste da Derivada Segunda)
 Se f ’(c)=0 e f ’’(c)>0, então o gráfico de f é côncavo
para cima e em c ocorre um mínimo local;
 Se f ’(c)=0 e f ’’(c)<0, então o gráfico de f é côncavo
para baixo e em c ocorre um máximo local;
 Se f ’(x)=0 e f ’’(x)=0 ou não existe, então o teste
é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou
um mínimo relativo ou nenhum dos dois em x0.
6:
7:
Definição: Um ponto P na curva y = f(x) é
chamado de ponto de inflexão se f é contínua
no ponto e a curva mudar de côncavo para cima
para côncavo para baixo em P, ou vice-versa.
Exemplo: 
 Investigue a curva abaixo quanto aos extremos
locais, análise de concavidade e pontos de
inflexão e esboce o gráfico:
4 3( ) 4 10f x x x  
8:
Exercício
 Investigue as curvas abaixo quanto aos extremos
locais, análise de concavidade e pontos de
inflexão e esboce o gráfico:
  2 3(5 )h x x x 
Roteiro para esboço de curvas
Roteiro para esboço de curvas
 Domínio
 Interceptos
 Simetria
 Assíntotas
 Intervalos de crescimento e decrescimento
 Valores máximos e mínimos locais
 Concavidade e pontos de inflexão
Simetria de funções 
 Uma função é dita par quando
f(-x) = f(x)
 Uma função é dita ímpar quando
f(-x) = - f(x)
Obs.: Quando uma função não é par nem ímpar é chamada assimétrica
Assíntotas Verticais
 A reta x = a é chamada assíntota vertical da 
curva y = f(x) se:
ou
ou
ou
  

xf
ax
lim
  

xf
ax
lim
  

xf
ax
lim
  

xf
ax
lim
  

xf
ax
lim  lim
x a
f x

 
Assíntotas Horizontais
 A reta y = L é chamada assíntota horizontal da 
curva y = f(x) se:
ou
  Lxf
x


lim
  Lxf
x


lim
Exemplo e Exercício
 Utilize o roteiro para esboçar os gráficos das curvas
abaixo:
 
1
2
2
2


x
x
xf
Exercício
 Utilize o roteiro para esboçar os gráficos das curvas
abaixo:
  3 3 2f x x x  
 
2
2
2 8
16
x
f x
x


