Concavidade/Testes segunda derivada

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0.1 Resumo
Definição 1. I) Uma função tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal
que f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ I ∩Df .
II) Uma função tem um mı́nimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x)
para todo x ∈ I ∩Df
Proposição 1. Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x ∈ (a, b) e que f tem um extremo relativo
em c, onde a < c < b. Se f ′(c) existe, então f ′(c) = 0.
O ponto c ∈ Df tal que f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe, é chamado ponto cŕıtico de f . Portanto uma condição
necessária para a existência de um ponto extremo relativo em um ponto c, é que c seja um ponto cŕıtico.
É importante verificar que uma função definida num dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos relativos.
O maior valor da função num intervalo é chamado máximo absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o
menor valor é chamado de mı́nimo absoluto.
Proposição 2. Seja f : [a, b] −→ R uma função cont́ınua, definida em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume
máximo absoluto em [a, b].
Definição 2. I) Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f , se c ∈ Df e f(c) ≥ f(x) para todos os
valores de x no domı́nio de f .
II) Dizemos que f(c) é o mı́nimo absoluto da função f , se c ∈ Df e f(c) ≤ f(x) para todos os valores de x no
domı́nio de f .
Definição 3. I) Dizemos que uma função f , definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para
quaisquer x1, x2 ∈ I, x1 < x2, temos f(x1) ≤ f(x2).
I) Dizemos que uma função f , definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para quaisquer x1, x2 ∈
I, x1 < x2, temos f(x1) ≥ f(x2).
Proposição 3. Seja f uma função cont́ınua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b).
a) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em [a, b];
b) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em [a, b];
0.2 Critérios para determinar extremos de uma função
Teorema 1. (Teste da primeira derivada) Seja f uma função cont́ınua num intervalo fechado [a, b] que possui
derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto possivelmente em c.
a) Se f ′(x) > 0 para todo x < c e f ′(x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c.
b) Se f ′(x) < 0 para todo x < c e f ′(x) > 0 para todo x > c, então f tem um mı́nimo relativo em c.
c) Se f(x) não muda de sinal em c, então f não possui um extremo relativo em c
Teorema 2. (Teste da segunda derivada para extremos locais) Sejam f uma função derivável num aberto (a, b) e
c um ponto cŕıtico de f neste intervalo, isto é, f ′(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f
′′
em (a, b),
temos:
a) Se f
′′
(c) < 0, f tem um valor de máximo relativo em c.
b) Se f
′′
(c) > 0, f tem um valor mı́nimo relativo em c.
Exemplo 1. Determine os valores extremos da função f(x) = (x2 − 3)ex
.
0.3 Concavidade e pontos de inflexão
Se o gráfico de uma função f estiver acima de todas as suas retas tangentes em um intervalo I, então o gráfico de
f é dito côncavo para cima.
Se o gráfico de uma função f estiver abaixo de todas as suas retas tangentes em um intervalo I, então o gráfico de
f é dito côncavo para baixo.
Para encontrar os intervalos onde o gráfico da função f é côncavo para cima e o gráfico da função f é côncavo para
baixo, vamos usar o seguinte teste:
Proposição 4. (Teste da segunda derivada para concavidade)
a) f
′′
(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava para cima em (a, b)
b) f
′′
(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava para baixo em (a, b)
Podem existir pontos onde o gráfico da função muda a concavidade de sentido. Esses pontos são chamados de
pontos de inflexão.
Definição 4. Um ponto (c, f(c)) do gráfico de uma função f é chamado um ponto de inflexão, se existe um
intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes situações ocorra:
a) f(x) é côncava pra cima em (a, c) e côncava para baixo em (c, b)
b) f(x) é côncava pra baixo em (a, c) e côncava para cima em (c, b)
Exemplo 2. Encontre os intervalos onde o gráfico da função f(x) =
(x + 1)2
1 + x2
é côncavo para cima e para baixo.
Encontre também os pontos de inflexão dessa função.
.
Exerćıcio 1. 1) Uma part́ıcula se desloca ao longo de uma reta horizontal (positiva à direita) de acordo com a
função posição
s(t) = 2t3 − 14t2 + 22t− 5
Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento da part́ıcula.
2) Encontre os intervalos onde o gráfico da função f(x) = x4−4x3+10 é côncavo para cima e para baixo. Encontre
também os pontos de inflexão dessa função.