Mecanica teórica PARTE I.compressed

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MECÂNICATEÓRICA 
Parte 1 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Faculdade de ciências Naturais e Matemática 
Departamento de Física 
Direitos de autor (copyright) 
Este módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Caso haja necessidade de reprodução 
deverá ser mantida a referência à Universidade Pedagógica e aos seus Autores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Pedagógica 
Rua Comandante Augusto Cardoso, no 135 
Telefone: 21-320860/2 
Telefone: 21 – 306720 
Fax: +258 21-322113 
 
 Agradecimentos 
À COMMONWEALTH of LEARNING (COL) pela disponibilização do Template usado na 
produção dos Módulos 
Ao Instituto Nacional de Educação à Distância (INED) pela orientação e apoio prestados. 
À intermón-Oxfarm pelo financiamento para a produção deste Módulo. 
Ao CEAD pela coordenação e operacionalização de todo o processo de Produção do módulo. 
 Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento pelo apoio prestado em 
todo o processo. 
Ficha Técnica 
Autores: Amós Veremachi e Veloso Dava 
Desenho Instrucional: Custódio Lúrio 
Revisão Linguística: Carlos Mutondo 
Maquetização : Aurélio Armando Pires Ribeiro 
Ilustração: Valdinácio Florêncio Paulo 
 
 
 
 
 
Índice 
Visão geral 9 
Bem vindo ao Módulo de Mecânica Teórica parte 1 ...................................................... 9 
Unidade 0 10 
Aparato Matemático .................................................................................................... 10 
Introdução .......................................................................................................... 10 
Lição- nº 1 11 
Elementos da análise vectorial ..................................................................................... 11 
Introdução .......................................................................................................... 11 
O.2 Operadores Gradientes e Divergência. 12 
0.2.1. Operador Gradientes 13 
A. Gradiente de uma Função Escalar. 13 
B. Significado Físico de Operador Gradiente 14 
D. Algumas Propriedades do Operador Gradiente 16 
B. Significado Físico de Operador Divergência 16 
Fig. 0.1 (fonte: Índias 1992: 209), dois campos vectoriais de divergência positiva e 
divergência 17 
C. Algumas Propriedades do Operador Divergente 18 
Sendo ϕφ e funções escalares 18 
→→→→→→
→→→→→→→
⋅∇+∇⋅=





⋅∇
⋅∇±⋅∇=




 ±⋅∇
uuuii
vuvui
φφφ.
.
 18 
Sumário ....................................................................................................................... 18 
Lição nº 2 20 
0.2.3. Operador Rotacional .......................................................................................... 20 
Introdução .......................................................................................................... 20 
A. Definição 20 
Operador Rotacional em Coordenadas Cartesianas 21 
D. Algumas Propriedades do Operador Rotacional 22 
Sumário ....................................................................................................................... 23 
Resumo da Unidade ..................................................................................................... 24 
Unidade I 27 
Introdução e Conceitos Básicos da Mecânica Teórica .................................................. 27 
Introdução .......................................................................................................... 27 
Lição nº 1 28 
Breve historial da Mecânica Teórica; Campos da física teórica; Objecto de estudo da 
Mecânica Teórica; Métodos de estudo da disciplina; Divisão da Mecânica Teórica; 
Propriedades do espaço e do tempo; Modelos da mecânica teórica. ............................. 28 
Introdução .......................................................................................................... 28 
Sumário ....................................................................................................................... 33 
Lição nº 2 35 
Sistemas de Referência: Posição de um ponto material em coordenadas cartesianas, 
coordenadas polares,.................................................................................................... 35 
Introdução .......................................................................................................... 35 
Sumário ....................................................................................................................... 40 
Lição nº 3 42 
Posição de um ponto material em coordenadas - Coordenadas cilíndricas e coordenadas 
esféricas ...................................................................................................................... 42 
Introdução .......................................................................................................... 42 
Sumário ....................................................................................................................... 46 
Lição nº 4 48 
Métodos de Determinação do Movimento de um Ponto Material ................................. 48 
Introdução .......................................................................................................... 48 
Sumário ....................................................................................................................... 53 
Resumo da Unidade ..................................................................................................... 53 
Exercícios .......................................................................................................... 56 
Unidade 2 57 
Cinemática do ponto material ...................................................................................... 57 
Introdução .......................................................................................................... 57 
Lição nº 1 58 
Velocidade de um ponto material como vector: velocidade media e velocidade 
instantânea; velocidade de um ponto em coordenadas cartesianas; comprimento do arco.58 
Introdução .......................................................................................................... 58 
Sumário ....................................................................................................................... 69 
Lição nº 2 71 
Aceleração de um ponto material como vector: aceleração média e instantânea; 
aceleração de um ponto em coordenadas cartesianas, aceleração normal e tangencial. . 71 
Introdução .......................................................................................................... 71 
Sumário ....................................................................................................................... 85 
Lição nº 4 93 
Breve referência à coordenadas generalizadas: coeficientes de Lame - Grandezas 
cinemáticas em coordenadas cilíndricas ....................................................................... 93 
Introdução .......................................................................................................... 93 
Sumário ..................................................................................................................... 102 
Lição nº 5 104 
Grandezas cinemáticas em Coordenadas Esféricas ..................................................... 104 
Sumário ..................................................................................................................... 113 
Resumo da Unidade ................................................................................................... 114 
Exercícios.................................................................................................................. 117 
Unidade 3 122 
Movimentos Mais Simples do Sólido(corpo rígido) .................................................. 122 
Introdução ........................................................................................................ 122 
Lição nº 1 123 
Movimento de translação de um sólido: Teorema sobre as trajectórias, velocidades e 
acelerações dos pontos de um corpo, no caso de translação. ....................................... 123 
Sumário ..................................................................................................................... 128 
Lição nº 2 129 
Movimento de Rotação do Sólido em Torno de um Eixo Fixo ................................... 129 
Sumário ..................................................................................................................... 137 
Resumo da Unidade ................................................................................................... 137 
Exercícios.................................................................................................................. 139 
Unidade 4 140 
Movimento Composto - Cinemática do movimento relativo. ..................................... 140 
Lição nº 1 142 
Movimento absoluto, relativo e de transporte do ponto material: Teorema de 
combinação das velocidades ...................................................................................... 142 
Sumário ..................................................................................................................... 147 
Lição nº 2 149 
Aceleração do ponto no Movimento Complexo:Teorema de Coriolis sobre o movimento 
complexo. .................................................................................................................. 149 
Sumário ..................................................................................................................... 156 
Resumo da Unidade ................................................................................................... 157 
Exercicio ................................................................................................................... 160 
Unidade 5 161 
Introdução à Dinâmica: Leis da Dinâmica ................................................................. 161 
Equações diferenciais do movimento do ponto e sua integração........................ 161 
Lição nº 1 163 
Leis da Dinâmica: Leis de Newton ............................................................................ 163 
Sumário ..................................................................................................................... 167 
Lição nº 2 169 
Segundo Problema (ou Problema Inverso) da dinâmica do ponto material ................. 169 
Sumário ..................................................................................................................... 175 
Lição nº3 176 
Princípio de D’Alembert............................................................................................ 176 
Introdução ........................................................................................................ 176 
Sumário ..................................................................................................................... 184 
Exercícios.................................................................................................................. 185 
Resumo da Unidade ................................................................................................... 185 
Exercícios.................................................................................................................. 188 
Unidade 6 192 
Teoremas Gerais da Dinâmica ................................................................................... 192 
Lição nº 1 193 
Teorema sobre a variação do momento linear do ponto material ................................ 193 
Sumário ..................................................................................................................... 196 
Exercício ................................................................................................................... 197 
Lição nº 2 198 
Teorema sobre a variação do momento angular ......................................................... 198 
Introdução ........................................................................................................ 198 
Sumário ..................................................................................................................... 203 
Exercício ................................................................................................................... 203 
Lição nº 3 204 
Teorema sobre a variação da energia cinética do ponto Material Trabalho e Potência 
duma força ................................................................................................................ 204 
Sumário ..................................................................................................................... 212 
Exercício ................................................................................................................... 213 
Lição n º4 214 
Campo Potencial de forças e função de força. ........................................................ 214 
Teorema de conservação de energia Mecânica ........................................................... 214 
Campo potencial de forças e função de força ........................................... 215 
Sumário ..................................................................................................................... 225 
Exercícios.................................................................................................................. 226 
Sumário da unidade ................................................................................................... 227 
 
Visão geral 
Bem vindo ao Módulo de Mecânica 
Teórica parte 1 
Caro estudante, o módulo de Mecânica Teorica foi desenvolvido no 
âmbito do programa de Ensino à Distância do Centro de Educação Aberta 
e a Distância (CEAD) da Univerisdade Pedagógica. O presente módulo 
constitui parte integrante do currículo do curso de Bacharelato e 
Licenciatura em Ensino de Fisica, para professores do primeiro e segundo 
do Ensino Secundario. 
Este módulo encontra-se dividido em duas partes, nomeadamente parti 1 
e parte 2. 
10 Unidade 0 
Unidade 0 
Aparato Matemático 
Introdução 
 
Este subcapítulo parece estranho para este módulo, mas ele é de 
extrema importância, uma vez que a mecânica teórica, para fazer a 
análise objectiva do seu estudo, baseia-se, fundamentalmente, na 
análise matemática. 
É justo que se questione da razão porque tem ainda de estudar a 
análise pois, o Curso de Ensino de Física na Universidade 
Pedagógica oferece quatro cadeiras de Análise Matemática até ao 
segundo ano? Não se trata de um tratamento geral mas sim 
direccional, como forma de orientar, tendo em conta os objectivos 
do presente módulo, daí que este seja muito breve. 
Nesta subunidade, falaremos do Cálculo Vectorial, que é 
indispensável no estudo da Cinemática e da Dinâmica, e dos 
operadores diferenciais, que são tratados na dinâmica propriamente 
dita e, em particular, na Energia Mecânica. 
Importa referir que, para a compreensão deste tema, aconselhamos, 
sempre que achar conveniente, procurar fazer leituras 
complementares de certos conteúdos em livros de análise 
matemática. 
 
Ao completar esta unidade, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Consolidar os seus conhecimentos em relação aos campos 
vectorial e escalar, 
� Explicar o significado físico dos operadores Nabla, Gradiente, 
Divergência e Rotacional em problemas concretos de Mecânica, 
� Aplicar os operadores Nabla, Gradiente, Divergência e 
Rotacional em problemas concretos. 
 
Lição- nº 1 
Elementos da análise vectorial 
IntroduçãoNesta lição você vai aprender alguns elementos da análise vectorial 
que constituem uma base muito importante para a percepção dos 
conteúdos da Mecânica Teórica. 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Definir campo escalar e campo vectorial. 
� Definir e aplicar os operadores gradiente, divergente e 
rotacional. 
� Explicar o significado físico dos operadores Nabla, Gradiente e 
Divergência em problemas concretos de Mecânica. 
� Aplicar os operadores Nabla, Gradiente e Divergência em 
problemas concretos. 
 
 
 
Terminologia 
 
Campo escalar, campo vectorial, Operador Nabla, Operador 
gradiente, Operador Divergente 
 
 
Noção do campo 
Define-se Campo como sendo a especificação de uma certa 
grandeza ao longo de toda uma região, ou seja, o espaço que está 
sob acção de um fenómeno. O campo quantifica as acções a 
distância dentro de uma certa região. 
12 O.2 Operadores Gradientes e Divergência. 
 
Campos Escalares, existem quando a cada ponto da região do 
espaço corresponde um escalar. 
Exemplos: Campos de temperatura, densidades, potenciais, massa, 
volume, resistividade. 
 
Seja Φ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , onde, para cada valor constante de Φ 
definida como uma superfície. Se a cada ponto (x, y, z) da região 
do espaço corresponder um vector, diremos que temos um Campo 
Vectorial. 
Exemplos : Campo de Velocidade, campo gravitacional, campo 
eléctrico, campo magnético. 
 
O.2 Operadores Gradientes e Divergência. 
Para descrevermos estes operadores importa,, primeiro, falar do 
operador Nabla, 
Operador Nabla 
A expressão: 
...dz
z
vdy
y
vdx
x
v
vd ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
→→→
→
 
Pode ser escrita de forma simbólica, da seguinte maneira: 
→→
⋅⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= vdz
z
dy
y
dx
x
vd )( 
A expressão entre parêntesis pode ser considerada como um 
operador diferencial, semelhantemente ao operador ,
dx
dD = 
utilizado em Análise Matemática. 
Hamilton teve ideia de considerar este operador como o produto 
escalar de dois vectores, o primeiro dos quais é inteiramente 
simbólico. Assim: 
 
)(
→→→→
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=∇ k
z
j
y
i
x
 
Este vector simbólico é um operador diferencial de grande 
significado, permitindo, por sua vez, a definição de novos 
operadores muito importantes na Física, especialmente. Ele é 
chamado de Nabla, Nabla hamiltoniano, del ou até atled (delta ao 
contrário, devido ao símbolo consagrado para a sua representação). 
O operador Nabla ( )∇v , assim definido revela-se um 
“prestidigitador” de grandes recursos, capaz de transformar um 
escalar num vector, um vector em um escalar, ou em outro vector. 
 0.2.1. Operador Gradientes 
A. Gradiente de uma Função Escalar. 
 
Se uma grandeza escalar V varia no espaço, constituindo o que se 
chama de campo escalar, isto é, se ),,,( zyxVV = (onde essa 
função V deve ser uma função contínua de um ponto e deve 
apresentar uma variação elementar dV) é possível conceber um 
vector derivando desse campo escalar, e cujas componentes são 
respectivamente, as derivadas de 
zsegundocomponente
z
V
ysegundocomponente
y
V
xsegundocomponente
x
V
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
A este vector dá-se nome de gradiente de V e se representa por 
gradV. Temos, portanto, por definição: 
 
→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= k
z
Vj
y
Vi
x
VVgrad ... 
Em virtude da definição do operador Nabla )(
→
∇ , podemos definir 
o gradiente simbolicamente por: VVgrad ⋅∇=
→
 
14 B. Significado Físico de Operador Gradiente 
B. Significado Físico de Operador Gradiente 
As definições por que adoptamos para o gradiente são inteiramente 
abstractas. Este tratamento parece-nos mais simples. Assim 
gradiente é um símbolo matemático que pode ter ou não 
significação física. 
• Quando estudamos as questões relativas à Energia 
Mecânica, verificámos, que a força, nos campos 
conservativos é igual e contrária ao gradiente da função de 
forças. 
• O gradiente transforma uma grandeza escalar em uma 
grandeza vectorial, como, por exemplo, na electricidade 
relaciona-se o campo eléctrico com o potencial pela 
expressão: .gradVE −=
→
 
• O gradiente é perpendicular à superfície equipotencial 
(superfícies de nível). 
• O gradiente aponta na direcção de crescimento da função do 
campo; 
• A sua direcção é aquela segundo a qual a derivada 
direccional no ponto dado tem valor máximo e o seu 
módulo é igual a: 
 
 
 
 
(o gradiente é invariante com respeito ao sistema de 
coordenadas). 
• O gradiente indica a direcção na qual a taxa de variação do 
campo é maior no ponto dado. 
 
222
max 





∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
==
∂
∂
z
V
y
V
x
VgradVV
l
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividade 1 
 
1. Encontre o gradiente do campo escalar zyxu 32 +−= 
Solução: 
Por definição, k
z
uj
y
ui
x
u
ugrad
rrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= .
 e, determinando as 
derivadas parciais, obtém-se kjiugrad
rrr
.3.21 +−= . 
A superfície de nível deste campo será constituída pelos planos 
Czyx =+− 32 . O )3,2,1( −=ugrad é normal a esta família de 
planos. 
 
2. Encontre o incremento mais forte da superfície yxu = no 
ponto ( )4,2,2M . 
Solução: : ,ln. 1 xjxiyxugrad yy += − 
( )2max 2ln14)(,2ln44 +==∂
∂
+= gradu
l
uji
M
gradu 
 (o máximo é tomado ao variar-se a direcção l ). 
 
 
 
A seguir, apresenta-se uma actividade para a qual você deve 
dispensar 10 minutos para sua solução. 
 
1. Encontre o gradiente da função 
( ) ( ) ( )202020 zzyyxxr −+−+−= , que dá a distância 
entre o ponto genérico ( )zyxP ,, e um ponto fixo 
( )0000 ,, zyxP . 
Comentário: Você deve determinar o gradiente dessa função. A 
aplicação correcta do procedimento deve leva-lo à solução: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2
0
2
0
2
0
000 r
zzyyxx
kzzjyyixx
rgrad =
−+−+−
−+−+−
= , isto é, o vector 
unitário de PPo 
 
16 D. Algumas Propriedades do Operador Gradiente 
D. Algumas Propriedades do Operador Gradiente 
Sendo ϕφ e funções escalares 
( ) ( )
( ) ϕφφϕφϕ
ϕφϕφ
→→→
→→→→→→
∇+∇=∇






⋅∇+





⋅∇=⋅∇∇±∇=±∇
.
..
ii
vuvuvuiiii vu
rrrrrr
 
0.2.2. Operador Divergência 
A. Definição 
Chama-se divergência de um vector 
→
v , à função de ponto, isto é, 
função de x, y e z ao produto escalar do operador Nabla )(
→
∇ , 
pelo vector 
→
v , função de ponto, isto é, função x,y,z, ao produto 
escalar do operador Nabla )(
→
∇ , pelo vector 
→
v , e se representa 
por div. 
→
v ; então por 
definição: 
→→→
⋅∇=⋅ vvdiv
 ou 
v
vds
vvdiv s
v
∫
→
→→→
=⋅∇=⋅
0
lim
 
Chamando de X, Y, Z as componentes do vector 
→
v , e efectuando o 
produto escalar simbólico temos: 
z
Z
y
Y
x
X
vdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅
→
 
B. Significado Físico de Operador Divergência 
A definição que acima se deu é puramente matemática, o que não 
quer dizer que divergência não tenha significado físico. Encontram-
se aplicações em Electricidade, em Mecânica dos fluidos e em 
Termodinâmica todas estas baseadas no Teorema da Divergência: 
“A integral da divergência de um vector, estendida ao volume é 
igual ao fluxo que, de fora para dentro, atravessa a superfície 
regular que limita o volume” 
dsnvdvvdiv
sv
→→→
∫∫ −=⋅ º. . 
 
• Operador divergência permite saber se o fluxo de um 
campo vectorial através de uma superfíciefechada é zero ou 
não. 
• Divergência é um operador que tem a função de transformar 
campos vectoriais em campos escalares. 
 
Para discutir o significado físico deste operador comecemos por 
fazer referência ao significado etimológico do vocábulo 
divergência que significa afastamento. 
Conforme se pode entender a partir do significado, a escolha do 
nome tem uma explicação física. 
Pode-se ilustrar este facto a partir das seguintes figuras que 
representam dois campos vectoriais: o primeiro de divergência 
positiva e o segundo de divergência nula. 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 0.1 
(fonte: Índias 1992: 209), dois campos vectoriais de divergência positiva e 
divergência nula. 
 
Na figura acima, em M o campo é nulo, mas na sua vizinhança não 
o é. Quando for 0<⋅∇
→
v a figura que representa esta situação é: 
 
Fig. 0.2 (fonte: Índias 1992: 210), Campo vectorial de divergência negativa 
18 C. Algumas Propriedades do Operador Divergente 
 
Fig. 0.3 (fonte: Índias 1992: 210), Campo vectorial de divergência nula. 
C. Algumas Propriedades do Operador Divergente 
Sendo ϕφ e funções escalares 
→→→→→→
→→→→→→→
⋅∇+∇⋅=





⋅∇
⋅∇±⋅∇=




 ±⋅∇
uuuii
vuvui
φφφ.
.
 
Sumário 
São conteúdos chaves desta unidade, a definição do campo escalar 
e campo vectorial, a definição e aplicação dos operadores 
gradiente, divergente e rotacional. 
Caro estudante, deve estar, neste momento, em altura de explicar o 
significado físico dos operadores Gradiente e Divergência em 
problemas concretos de Mecânica. 
Define-se Campo como sendo a especificação de uma certa 
grandeza ao longo de toda uma região, ou seja, região do espaço 
que está sob acção de um fenómeno. O campo quantifica as acções 
à distância numa certa região. 
Campos Escalares, quando a cada ponto da região do espaço 
corresponde um escalar. 
O vector simbólico )(
→→→→
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=∇ k
z
j
y
i
x
 é chamado 
de Nabla, Nabla hamiltoniano, del ou até atled (delta ao contrário, 
devido ao símbolo consagrado para a sua representação) é um 
operador diferencial de grande significado pois ele permite a 
definição de novos operadores, muito importantes na Física em 
especial. 
Dá-se o nome de gradiente de V e se representa por gradV a 
expressão: 
 
→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= k
z
Vj
y
Vi
x
VVgrad
v
... 
Em virtude da definição do operador Nabla )(
→
∇ , podemos definir 
o gradiente simbolicamente por: 
 VVgrad ⋅∇=
→
 
Chama-se divergência de um vector 
→
v , à função de um ponto, isto 
é, função de x, y e z ao produto escalar do operador Nabla )(
→
∇ , 
pelo vector 
→
v e representa-se por 
→
vdiv. ; então, por definição: 
 
→→→
⋅∇=⋅ vvdiv
 
Chamando de X, Y, Z as componentes do vector 
→
v , e efectuando o 
produto escalar simbólico temos: 
z
Z
y
Y
x
X
vdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅
→
 
 
20 Lição nº 2 
Lição nº 2 
0.2.3. Operador Rotacional 
Introdução 
Seja bem vindo ao estudo da lição no 2 desta Unidade, na qual vai 
aprender alguns elementos da análise vectorial que constituem uma 
base muito importante para a percepção dos conteúdos da 
Mecânica Teórica 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
� Definir e aplicar o operador rotacional. 
� Explicar o significado físico do operador Rotacional. 
� Aplicar o operador Rotacional em problemas concretos de 
Mecânica. 
 
 
Terminologia 
 
 
Operador Rotacional, Rotor, Rotacional, Produto externo. 
A. Definição 
Chama-se rotacional, rotor ou turbilhão de um vector 
→
v , função de 
ponto, isto é, função de x,y,z, ao produto vectorial do operador 
Nabla )(
→
∇ , pelo vector
→
v ; então, temos por definição: 
→→→
∇= vxvRot
 
Chamando de X,Y,Z as componentes do vector 
→
v ( sendo 
→
v função 
de x,y,z). É claro que seus componentes X,Y,Z são também, 
funções de x,y,z. teremos: 
ZYX
zyx
kji
vxvRot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=
→→→
→→→
 
Desenvolvendo o determinante teremos: 
 
→→→→






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= k
y
X
x
Yj
x
Z
z
Xi
z
Y
y
Z
vRot . 
Chamando l, m, n às componentes do vector 
→
vRot , temos 
portanto: 
 
 
 
 
 
 
Operador Rotacional em 
Coordenadas Cartesianas 
→→→→






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= k
y
X
x
Yj
x
Z
z
Xi
z
Y
y
Z
vRot . 
 
C. Significado Físico de Operador Rotacional 
A definição dada, como a dos demais operadores diferenciais 
estudados, é puramente matemática. O rotacional encontra, no 
entanto, diversas aplicações físicas, não só em Mecânica dos 
sólidos, como em Mecânica dos fluídos e em electricidade. 
• O operador rotacional é uma ferramenta apropriada para 
testar se a integral de linha de um campo vectorial depende 
ou não do caminho. 
• O rotacional, etimologicamente, deriva de rotação, razão 
pela qual é usado em física no estudo dos fluidos, sempre 
















∂
∂
−
∂
∂
=






∂
∂
−
∂
∂
=






∂
∂
−
∂
∂
=
=
→
y
X
x
Y
n
x
Z
z
X
m
z
Y
y
Zl
vRot
22 D. Algumas Propriedades do Operador Rotacional 
que se verifique um movimento de rotação, ou seja, a 
formação de turbilhões e remoínhos. 
Rotacional transforma campos vectoriais em campos rotacionais. 
D. Algumas Propriedades do Operador Rotacional 
Sendo ϕφ e funções escalares 
( )
→→→→→→
→→→→→→→→→→→→→→
∧∇+∇∧=





∧∇
∧∇−∧∇⋅=∧⋅∇∧∇±∧∇=




 ±∧∇
uuuii
vuuvvuiiivuvui
φφφ.
..
rr
 
 
 
Exemplo 
 
1. Encontre o rotacional do vector 
( ) ( ) ( )kzxjzyizxr vvvv +++++= 2 . 
Solução: 
Usando o determinante podemos escrever: 
zxzyzx
zyx
kji
rRot
+++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
.
vvv
v
 
Desenvolvendo correctamente este determinante, chega-se ao 
resultado: 
( ) jxirRot vvv .12. −−−= 
 
 
 
Para chegar à solução das actividades abaixo você precisará de 
desprender 15 minutos. 
 
Actividade 2 
 
1. Encontre o rotacional dos seguintes campos vectoriais: 
 a) ( ) ( ) ( )kxzjzyiyxa vvvv 222222 +++++= 
R:/ ( )kxjyiz vvv ...2 ++− 
b) kxjyizb vvvv ... 333 ++= R:/ ( ) jxz v..3 22 − 
c) ( )jxiyc vvv ...
2
1 22 +−= R:/ ( )kyx v.+ 
Comentários: 
Caro estudante, você tem duas oportunidades em vista para chegar 
às soluções dos exercícios sugeridos, portanto, ou usa o 
determinante 
ZYX
zyx
kji
vxvRot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=
→→→
→→→
 , 
Ou usa a forma mais desenvolvida do determinante: 
→→→→






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= k
y
X
x
Yj
x
Z
z
Xi
z
Y
y
Z
vRot . 
 
 
 
Sumário 
Chama-se rotacional, rotor ou turbilhão de um vector 
→
v , função de 
ponto, isto é, função de x,y,z, ao produto vectorial do operador 
Nabla )(
→
∇ , pelo vector 
→
v ; então, temos por definição: 
→→→
∇= vxvRot
 
24 D. Algumas Propriedades do Operador Rotacional 
Chamando de X,Y,Z as componentes do vector 
→
v ( sendo 
→
v função 
de x,y,z, é claro que seus componentes X,Y,Z são também, funções 
de x,y,z. teremos: 
 
ZYX
zyx
kjivxvRot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=
→→→
→→→
 
Desenvolvendo o determinante teremos: 
→→→→






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= k
y
X
x
Yj
x
Z
z
Xi
z
Y
y
Z
vRot . 
 
 
 
Resumo da Unidade 
O gradiente de V (gradV) representa-se por a expressão: 
 
→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= k
z
Vj
y
Vi
x
VVgrad
v
... 
Gradiente de V e o produto escalar do operador Nabla )(
→
∇ , pelo 
vector 
→
v , e se representa por 
→
vdiv. ; então, por definição: 
 
→→→
⋅∇=⋅ vvdiv
 ou 
z
Z
y
Y
x
X
vdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅
→
 
Onde X, Y, Z as componentes do vector 
→
v 
Rotacional de um vector 
→
v é o produto vectorial do operador 
Nabla )(
→
∇ , pelo vector 
→
v 
ZYX
zyx
kji
vxvRot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇=
→→→
→→→
, ou ainda 
→→→→






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= k
y
X
x
Yj
x
Z
z
Xi
z
Y
y
Z
vRot . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade I 
Introdução e Conceitos Básicos 
da Mecânica Teórica 
Introdução 
Nesta unidade você vai abordar de uma forma breve e simples o 
historial da Mecânica Teórica, dos campos de Física Teórica, o 
seu objecto de estudo, Métodos de estudo da mecânica teórica. 
Vai também ter oportunidade de rever a divisão da mecânica e 
as propriedades do espaço e do tempo estudadas no primeiro 
ano do curso, assim como os modelos físicos usados nesta 
disciplina. De igual modo, abordaremos nesta unidade as 
coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas e os 
métodos de determinação do movimento do ponto material. 
 
Ao completar esta unidade , você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
 
� Sintetizar o historial da Mecânica. 
� Explicar o objecto do estudo do módulo de mecânica Teórica e 
os seus métodos de estudo. 
� Rever as partes que constituem a mecânica Teórica e explicar o 
conteúdo de cada uma delas. 
� Consolidar o estudo das propriedades do espaço e do tempo e 
dos modelos físicos usados na Mecânica teórica. 
� Localizar e discutir o movimento de um ponto material em 
coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas. 
� Compreender e explicar os métodos de determinação do 
movimento do ponto material. 
 
 
28 Lição nº 1 
Lição nº 1 
 
Breve historial da Mecânica 
Teórica; Campos da física teórica; 
Objecto de estudo da Mecânica 
Teórica; Métodos de estudo da 
disciplina; Divisão da Mecânica 
Teórica; Propriedades do espaço 
e do tempo; Modelos da mecânica 
teórica. 
Introdução 
Seja bem vindo ao estudo desta lição. Nela vai aprender, de uma 
forma breve a história do surgimento da disciplina de Mecânica 
Teórica, o seu objecto de estudo, os métodos aplicados no estudo 
desta disciplina e rever as partes que constituem a mecânica assim 
como as propriedades do espaço e do tempo. 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Explicar com suas palavras a história do surgimento da 
mecânica teórica. 
� Identificar os métodos e o objecto de estudo da disciplina de 
mecânica teórica. 
� Explicar as propriedades do espaço e do tempo. 
� Identificar e explicar os modelos usados na mecânica teórica. 
 
 
Terminologia 
 
Mecânica Teórica, métodos e objecto da mecânica teórica, 
propriedades do espaço e do tempo, ponto material, corpo rígido 
 
Breve Historial da Mecânica Teórica 
No inicio, a mecânica desenvolveu-se preferencialmente no campo 
da estática, ou seja, do estudo do equilíbrio dos corpos materiais. 
Já no século III a.C., graças aos trabalhos do eminente cientista da 
Antiguidade Arquimedes (287 – 212), foram criadas as bases 
científicas da estática. Arquimedes deu a solução precisa do 
problema referente ao equilíbrio da alavanca, criou a teoria do 
centro de gravidade, descobriu a conhecida lei da hidrostática que 
leva o seu nome e outras tantas leis. 
As questões relativas ao movimento dos corpos preocuparam os 
célebres cientistas desde a Antiguidade de tal forma que a 
cinemática e, principalmente, a dinâmica começaram a ser 
edificadas nos limites dos séculos XVI e XVII. O papel principal da 
criação da dinâmica pertenceu a Galileu (1564-1642) e Newton 
(1643-1727). No final do século XIX e no início do século XX, 
tornou-se claro que estas leis não são aplicáveis ao movimento das 
micro partículas e corpos que se movimentam a velocidades 
próximas à velocidade da luz. 
No início do século XX, surgiu a Mecânica relativista que se baseia 
na teoria de relatividade formulada por A. Einstein (1879-1955). 
Esta teoria ao estabelecer vínculos regulares existentes entre o 
espaço, o tempo, a massa e a energia, tornou precisos os limites do 
emprego das leis da Mecânica Clássica. A mecânica relativista não 
invalida as leis da mecânica clássica, mas, simplesmente, mostra 
os limites desta e demonstra que elas não são válidas onde a 
velocidade do movimento do corpo é compatível com a velocidade 
da luz. 
Campos de Física Teórica 
•••• Mecânica Teórica; 
•••• Electrodinâmica Clássica; 
30 Lição nº 1 
•••• Mecânica Quântica; 
•••• Física Estatística. 
 
Objecto de estudo da Mecânica Teórica 
 
A mecânica Teórica é uma ciência que trata, de uma forma simples, 
do movimento da matéria e do equilíbrio dos corpos materiais ou 
das suas partes. 
Movimento Mecânico: É a mudança de posição dos corpos 
materiais entre si com o correr do tempo. Como o estado de 
equilíbrio é um caso particular do movimento, também está entre as 
tarefas da Mecânica Teórica o estudo do equilíbrio dos corpos 
materiais. 
Métodos da Mecânica Teórica 
A Mecânica Teórica usa o método das abstracções É amplo o 
emprego da Análise Matemática e, a precisão das teses e deduções 
da Mecânica Teórica é provada pela experiência e, mais 
amplamente pela prática. 
Divisão da Mecânica 
O curso de Mecânica teórica comporta três partes: a Cinemática, a 
Dinâmica e a Estática. 
A Cinemática é a parte da Mecânica Teórica onde o movimento 
mecânico é estudado somente segundo seu aspecto geométrico, 
sendo menosprezadas as interacções que determinam este 
movimento. 
A Dinâmica estuda os movimentos dos corpos materiais em função 
das forças que actuam sobre eles. 
A Estática é o estudo do equilíbrio dos corpos materiais e da 
redução do sistema de forças. 
 
Propriedades do espaço e do tempo 
Espaço e Tempo: A causa do movimento mecânico está na 
variação permanente da variedade do mundo material. Todos os 
movimentos mecânicos que observamos transcorrem no espaço e 
no tempo O espaço e o tempo são inseparáveis do movimento dos 
corpos materiais, eles são uma forma de existência do mundo 
material. 
Na Mecânica Teórica trataremos do espaço tridimensional que 
possui as propriedades de Homogeneidade, Isotropia e de 
continuidade. 
O tempo é considerado universal para todos os pontos do espaço e 
independente do movimento do corpo material. 
 
Modelos físicos usados na Mecânica Teórica 
Ponto Material 
 
Na Mecânica Teórica e, por consequência, na cinemática como 
parte sua, o corpo mais simples é o ponto material, isto é, corpo de 
dimensões extremamente pequenas, quando comparadas aos 
parâmetros do seu movimento no espaço. Isto é, entende-se por 
ponto material um corpo cujas dimensões e formas geométricas são 
desprezíveis e cujas propriedades físicas do corpo a que representa 
se mantêm. 
32 Lição nº 1 
 
 
Exemplo 
 
A terra é considerada ponto material no seu movimento de 
translação mas já não o é no seu movimentode rotação. 
 
 
 
Corpo Rígido 
Corpo rígido é um sistema de pontos materiais cujas distâncias 
entre eles se mantém inalteráveis em quaisquer condições, isto é, 
não se deforma sejam quais forem as condições sobre ele impostas. 
 
 
Exemplo 
 
A terra no seu movimento de rotação em torno do seu eixo de 
rotação. Considera-se que a terra é constituída por um sistema de 
partículas cujas distâncias se mantém inalteradas. 
 
Mas a terra é deformável: aparecimento de vulcões, erosão, 
terramotos, etc., portanto, ponto material e corpo rígido são 
modelos para a simplificação do estudo da realidade. 
 
Dedique alguns minutos para resolver a actividade que se segue: 
 
Actividade 3 
 
1. Qual é o objecto de estudo da Mecânica Teórica? 
2. Quais são os modelos usados da Mecânica Teórica? 
Caracterize cada um destes modelos. 
3. Descreva os métodos de estudo da Mecânica Teórica. 
4. Discuta as propriedades do espaço e do tempo. 
5. Explique onde reside a limitação da mecânica. 
Comentários: 
Uma leitura cuidadosa das notas desta lição conduzi-lo-ão às 
respostas desejadas. 
Sumário 
A cinemática e, principalmente, a dinâmica começaram a ser 
edificadas nos limites dos séculos XVI e XVII. O papel principal 
da criação da dinâmica pertenceu a Galileu (1564-1642) e Newton 
(1643-1727). No final do século XIX e no início do século XX, 
tornou-se claro que as leis da mecânica clássica não são aplicáveis 
ao movimento das micro partículas e corpos que se movimentam a 
velocidades próximas à velocidade da luz. Facto que concorreu 
para o surgimento da mecânica relativista que se baseia na teoria de 
relatividade formulada pelo A. Einsten(1879-1955) 
A mecânica Teórica é uma ciência que trata da forma mais simples 
do movimento da matéria e do equilíbrio dos corpos materiais ou 
das suas partes. O Movimento Mecânico define-se como sendo a 
mudança de posição dos corpos materiais entre si com o decorrer 
do tempo. 
A Mecânica Teórica tem como métodos de estudo, o método das 
abstracções, a Análise Matemática, a experiência e a prática. 
O curso de Mecânica teórica comporta três partes: a Cinemática, a 
Dinâmica e a Estática. 
34 Lição nº 1 
Na Mecânica Teórica trata-se do espaço tridimensional que possui 
as propriedades de Homogeneidade, Isotropia e de continuidade. 
O tempo é considerado universal para todos os pontos do espaço e 
independente do movimento do corpo material. 
Entende-se por ponto material o corpo cujas dimensões e formas 
geométricas são desprezíveis e cujas propriedades físicas do corpo 
a que representa se mantém. 
Corpo rígido é um sistema de pontos materiais cujas distâncias 
entre si se mantém inalteráveis em quaisquer condições, isto é, não 
se deforma sejam quais forem as condições sobre ele impostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lição nº 2 
 
 Sistemas de Referência: 
Posição de um ponto material em 
coordenadas cartesianas, 
coordenadas polares, 
Introdução 
Nesta lição você vai aprender que para o estudo do movimento de 
um corpo material, do ponto de vista geométrico, devemos 
conhecer a posição que ele ocupa no espaço com o correr do 
tempo. É impossível fazer isto se não dispomos de alguns corpos 
(sistema de referência) em relação aos quais seja possível 
determinar a posição do corpo em movimento ou de um ponto 
nesse mesmo corpo. 
Se o espaço onde se verifica o movimento de um ponto material 
fosse vazio, ou seja, sem corpos materiais excepto o ponto material 
estudado, seria impossível determinar a sua posição, portanto, nesta 
lição vai ter oportunidade de rever o sistema de coordenadas 
cartesianas já amplamente aplicado no primeiro ano e introduzir o 
sistema de coordenadas polares 
 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Representar a posição dum ponto em coordenadas cartesianas no 
espaço e, em particular, no plano e na recta. 
� Explicar o sistema de coordenadas polares. 
� Determinar a posição dum ponto em coordenadas polares a 
partir do sistema de coordenadas cartesianas. 
 
36 Lição nº 2 
 
Terminologia 
 
Coordenadas cartesianas, coordenadas polares, posição, recta, 
plano e espaço, equações de transição, raio vector, bases 
cartesianas, bases polares 
Sistema de Coordenadas Cartesianas 
 
Fig. 1.1 Ponto M num sistema cartesiano e coordenadas 
 
A posição de um ponto no espaço tridimensional relativamente a 
um sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, considerado fixo por 
convenção, é determinado pelo eixo das abcissas x e pelos eixos 
das coordenadas Y e Z. Quando estas coordenadas são conhecidas 
ou determinadas em cada instante de tempo estudado, ou seja, 
quando são conhecidas 
 
( ) ( ) ( )tzztyytxx === ( )1.1.1 
 
a posição do ponto no espaço, em cada instante, também é 
conhecida 
Neste caso, para os movimentos que estudamos, 
( ) ( ) ( )tzetytx , são funções unívocas, finitas e contínuas, 
como também o são as suas derivadas, pelo menos até a segunda, 
inclusive. 
 
As equações ( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, denominam-se 
equações do movimento do ponto, e o método descrito de 
determinação do movimento, recebe o nome de método das 
coordenadas. 
Matematicamente, estas equações são designadas equações 
paramétricas da linha descrita pelo ponto no espaço (trajectória do 
ponto em movimento). Se excluirmos o parâmetro t, obtemos duas 
equações que ligam zeyx, do ponto em movimento: as 
equações da trajectória. As equações da trajectória que não contêm 
o tempo t. 
Portanto, kzjyixr vvvv ... ++= é o raio vector que une o centro do 
sistema de coordenadas cartesianas com a posição do ponto; 
zeyx, são coordenadas cartesianas keji vvv, são bases 
(ortogonais) cartesianas 
 
Movimento Plano 
 
As equações apresentadas simplificam-se quando, durante todo o 
tempo do movimento, o ponto se mantém num ponto fixo. Vejamos 
quando adoptamos o plano: 
OXY: ( ) ( ) 0, === zetyytxx 
OXZ: ( ) ( )tzzeytxx === 0, 
OYZ: ( ) ( )tzzetyyx === ,0 
Vamos ter estas equações somente quando examinarmos o 
movimento descrito como um caso particular do caso geral do 
movimento do ponto no espaço. 
38 Lição nº 2 
Já no caso do tratamento do movimento no plano, as equações do 
movimento tem o seguinte aspecto: 
OXY: ( ) ( )tyyetxx == 
OXZ: ( ) ( )tzzetxx == 
OYZ: ( ) ( )tzzetyy == 
 
Movimento Unidimensional 
 
Para o caso particular do movimento numa linha, as equações do 
movimento tomam o seguinte aspecto: 
OX: ( )txx = 
OY: ( )tyy = 
OZ: ( )tzz = 
 
Determinação do movimento plano em coordenadas polares 
através do método das coordenadas 
A posição do ponto no plano também pode ser determinada através 
de coordenadas polares. 
Sejam dados no plano o pólo O e o eixo polar OP. O comprimento 
r do raio polar OM e o ângulo polar ϕ , contado a partir do eixo 
polar e até ao raio polar, em sentido anti horário, são determinados 
para qualquer ponto M diferente do pólo O. 
Quando adoptamos o eixo ox do sistema cartesiano de coordenadas 
no plano por eixo polar, as fórmulas para a passagem das 
coordenadas polares às coordenadas cartesianas são obtidas a partir 
da seguinte figura: 
a) b) 
Fig. 1.2 Ponto M num sistema de coordenadas polares 
ϕρϕρ senyx .,cos. == 
As fórmulas da passagem inversa são: 
x
y
tgyxr =+== ϕρ ,22v 
A posição do ponto que se movimenta num plano pode ser dada 
através da determinação das funções: 
( ) ( )ttrr ϕϕ == ,vv para o intervalo de tempo estudado. 
Estas equações são chamadas de equações do movimento plano em 
coordenadas polares, enquanto o método em si recebe o nome de 
determinação do movimento em coordenadas polares.Deste modo, 
jyixr vvv .. += 
jsenir vvv ...cos. ϕρϕρ +=( )jsenir vvv ..cos. ϕϕρ += Considerando que jsenie vvv ..cos ϕϕρ += e 
que jisene vvv .cos. ϕϕϕ +−= visto que 
40 Lição nº 2 
, daqui, 
ϕρ e São coordenadas polares e ϕρ eee
vr
 São bases polares 
Sumário 
A posição de um ponto no espaço tridimensional com respeito a um 
sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, considerado fixo por 
convenção, é determinado pelo eixo das abcissas x e pelos eixos 
das coordenadas Y e Z. Quando estas coordenadas são conhecidas 
ou determinadas em cada instante de tempo estudado, ou seja, 
quando são conhecidas 
 
( ) ( ) ( )tzztyytxx === 
a posição de um ponto no espaço em cada instante também é 
conhecida 
Portanto, kzjyixr vvvv ... ++= é o raio vector que une o centro do 
sistema de coordenadas cartesianas com a posição do ponto; 
ρρ er
vv
.= 
zeyx, são coordenadas cartesianas keji vvv, são bases 
(ortogonais) cartesianas. 
No caso do tratamento do movimento no plano, as equações do 
movimento tem o seguinte aspecto: 
OXY: ( ) ( )tyyetxx == 
OXZ: ( ) ( )tzzetxx == 
OYZ: ( ) ( )tzzetyy == 
E, para o caso particular do movimento numa linha, as equações do 
movimento tomam o seguinte aspecto: 
OX: ( )txx = 
OY: ( )tyy = 
OZ: ( )tzz = 
As equações de transição de coordenadas cartesianas para 
coordenadas polares são: 
ϕρϕρ senyx .,cos. == 
As fórmulas de passagem inversa são dadas por: 
x
y
tgyxr =+== ϕρ ,22v 
A posição do ponto que se movimenta num plano pode ser dada 
através da determinação das funções: 
( ) ( )ttrr ϕϕ == ,vv para o intervalo de tempo estudado. 
Estas equações são chamadas de equações do movimento plano em 
coordenadas polares, enquanto o método em si recebe o nome de 
determinação do movimento em coordenadas polares. 
42 Lição nº 3 
Lição nº 3 
Posição de um ponto material em 
coordenadas - Coordenadas 
cilíndricas e coordenadas 
esféricas 
Introdução 
Bem vindo ao estudo desta lição na qual, depois de ter aprendido os 
sistemas cartesianos e o sistema polar de coordenadas, vai ter 
oportunidade de alargar o seu conhecimento sobre sistemas de 
determinação da posição do ponto material, recorrendo a sistemas 
mais evoluídos como são os casos do sistema cilíndrico e do 
sistema esférico de coordenadas. 
 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Representar a posição dum ponto em coordenadas cilíndricas e 
esféricas. 
� Determinar a posição dum ponto em coordenadas cilíndricas e 
esféricas. 
� Relacionar as coordenadas cilíndricas e esféricas com as 
coordenadas cartesianas. 
 
 
Terminologia 
 
Coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, equações de 
transição, bases cilíndricas, bases esféricas, raio vector. 
 
 
Já vimos que a posição de um, ponto no espaço tridimensional 
relativamente a um sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, 
considerado fixo por convenção, é determinado pelo eixo das 
abcissas x e pelos eixos das coordenadas Y e Z. 
Através das equações: 
( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, denominadas equações do 
movimento do ponto. 
 
Coordenadas cilíndricas ( )zeϕρ, 
a) b) 
Fig. 1.3 Sistema de coordenadas cilíndricas 
No sistema de coordenadas cilíndricas a posição do ponto P é dada 
pelas posições escalares )(tρ , ( )tϕ e ( )tz 
ρ - Raio da base do cilindro; 
ϕ Ângulo entre posição ρ e o eixo 0X.; 
ρe
v
- Vector unitário dirigido para fora do 
cilindro;perpendicularmente a OZ 
ϕe
v
- Vector unitário tangente a superfície do cilindro orientado no 
sentido positivo; 
44 Lição nº 3 
kez
vv
= - Vector unitário correspondente ao eixo OZ. 
Assim, Zeϕρ, são coordenadas cilíndricas e Zeeee
vvv
ϕρ , são 
bases cilíndricas (ortogonais) 
 
Equações de transição de coordenadas cartesianas a 
coordenadas cilíndricas: 
Como zzesenyx === ϕρϕρ .,cos. , então, 
 kzjsenir vvvv ....cos. ++= ϕρϕρ 
( ) kzjsenir vvvv ...cos. ++= ϕϕρ ; como jsenie vvv ..cos ϕϕρ += , 
assim: 
 
 
 
Esta equação representa o raio vector em coordenadas cilíndricas 
ou a equação do movimento em coordenadas cilíndricas. 
•••• Recordemos que jsenie vvv ..cos ϕϕρ += , 
jisene vvv .cos. ϕϕϕ +−= e, acrescentemos que kez
vv
= , visto 
que não varia de direcção de acordo com a figura. 
Assim, para o módulo de rv tem-se 
22 Zr += ρ 
 
Coordenadas esféricas 
kzer
vvv
.. += ρρ 
 Fig. 1.4 Sistema de coordenadas esféricas 
O movimento do ponto M em coordenadas esféricas pode ser 
definido pelas seguintes equações: 
 ( ) ( ) ( )tettrr θθϕϕ === ,vv . 
 
Equações de Transição 
Com ajuda das duas figuras anteriores podem ser escritas as 
seguintes equações de transição de coordenadas cartesianas a 
coordenadas esféricas: 
θρθϕρϕρ senronderzsenyx .cos.;.;cos. ==== 
Substituindo o ρ nas duas primeiras equações, pelos respectivos 
valores, teremos: 
 
 
 
As relações entre as bases cartesianas e as bases esféricas são dadas 
pelas equações: 
 kjsensenisene
r
vvvv
.cos...cos. θϕθϕθ ++= 
θ
ϕθ
ϕθ
cos.
..
cos..
rz
sensenry
senrx
=
=
=
 
46 Lição nº 3 
ksenjsenie vvvv ...cos.cos.cos θϕθϕθθ −+= ; 
kjisene vvvv .0.cos. ++−= ϕϕϕ pois ϕ está no plano oxy. 
( )ϕθ ,,r são coordenadas esféricas e ( )ϕθ eeer vvv ,, são bases 
ortonormadas. 
 
Para a actividade que se segue você deverá dedicar 20 minutos 
 
Actividade 4 
 
1. Fale da importância do sistema de referência. 
2. Faça o resumo das equações de transição do sistema de 
coordenadas cartesianas para as outras formas de 
coordenadas. 
Comentários: 
1. Obviamente que para explicar a sua trajectória do dia precisa de 
falar dos sítios por onde tem passado, só assim é que fica claro 
que trajecto você poderá ter feito durante o dia., Imagine como 
explicaria se se referir ao ponto de partida e alguns pontos da 
trajectória. 
2. Para esta tarefa você só precisa voltar a rever e seleccionar as 
equações de transição para coordenadas polares, cilíndricas e 
esféricas. 
 
Sumário 
Num sistema de coordenadas cilíndricas a posição do ponto P é 
dada pelas posições escalares )(tρ , ( )tϕ e ( )tz 
Equações de transição de coordenadas cartesianas a coordenadas 
cilíndricas: zzesenyx === ϕρϕρ .,cos. , então, o raio 
vector em coordenadas cilíndricas é: kzer
vvv
.. += ρρ . 
Esta equação representa o raio vector em coordenadas cilíndricas 
ou a equação do movimento em coordenadas cilíndricas. Assim 
para o módulo de rv tem-se: 
22 Zr += ρ 
Zeϕρ, são coordenadas cilíndricas e Zeeee
vvv
ϕρ , são bases 
cilíndricas (ortogonais) 
O movimento do ponto M em coordenadas esféricas pode ser 
definido pelas seguintes equações: 
 ( ) ( ) ( )tettrr θθϕϕ === ,vv . 
As equações de transição de coordenadas cartesianas a coordenadas 
esféricas são: 
θ
ϕθ
ϕθ
cos.
..
cos..
rz
sensenry
senrx
=
=
=
 
( )ϕθ ,,r São coordenadas esféricas e 
( )ϕθ eeer vvv ,, São bases ortonormadas 
48 Lição nº 4 
Lição nº 4 
Métodos de Determinação do 
Movimento de um Ponto Material 
Introdução 
Seja bem vindo ao estudo desta lição! Depois de ter aprendido os 
sistemas de coordenadas, vai, agora, aprender os métodos de 
determinação do movimento de um ponto material, o que ira lhe 
permitir efectuar uma escolha adequada do caminho a seguir no 
tratamento de problemas de mecânica teórica. 
 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Representar a posição de um ponto usando o método das 
coordenadas, o método natural e o método vectorial. 
� Determinar a posição de um ponto usando o método das 
coordenadas, método naturalou método vectorial. 
� Relacionar o método das coordenadas, método natural e o 
método vectorial. 
 
 
Terminologia 
 
 
Método das coordenadas, método natural, método vectorial. 
 
Método das coordenadas 
 
A posição de um ponto no espaço tridimensional relativamente a 
um sistema cartesiano de coordenadas OXYZ, considerado fixo por 
convenção, é determinado pelo eixo das abcissas x e pelos eixos 
das coordenadas Y e Z. Quando estas coordenadas são conhecidas 
ou determinadas em cada instante de tempo estudado, isto é: 
 
( ) ( ) ( )tzztyytxx === ( )1.1.1 
 
a posição do ponto no espaço em cada instante também é conhecida 
Neste caso, para os movimentos que estudamos, 
( ) ( ) ( )tzetytx , são funções unívocas, finitas e contínuas, 
como também o são as suas derivadas, pelo menos até a segunda, 
inclusive. 
 
As equações ( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, denominam-se 
equações de movimento do ponto, e o método descrito de 
determinação do movimento, recebe o nome de método das 
coordenadas. 
Matematicamente, estas equações são designadas equações 
paramétricas da linha descrita pelo ponto no espaço (trajectória do 
ponto em movimento). Se excluirmos o parâmetro t, obteremos 
duas equações que ligam zeyx, ao ponto em movimento: as 
equações da trajectória. Tais equações da trajectória que não 
contêm o tempo t. 
 
Método Natural 
 
De modo geral, as equações da trajectória podem ser apresentadas 
como: 
( ) ( ) 0,,0,, 21 == zyxFzyxF ( )2.1.1 
50 Lição nº 4 
Cada uma destas equações determina uma superfície no espaço e 
que o conjunto das duas equações determina uma curva formada 
pelo cruzamento destas superfícies. 
As equações ( )2.1.1 podem ser obtidas a partir das equações 
( )1.1.1 . Elas, por si mesmas não determinam o movimento, pois o 
ponto pode se movimentar de diferentes maneiras ao longo da 
trajectória dada, isto é, a coordenada em forma de arco s do ponto 
M, representada com o sinal correspondente, a partir da posição 
inicial 0M do ponto, ao longo da trajectória dada, pode modificar-
se de formas diferentes com o decorrer do tempo. 
Quando, além das coordenadas da trajectória sob forma puramente 
geométrica (ou seja aquelas que não contém o tempo), a variação 
da coordenada em forma de arco s, com o decurso do tempo (a qual 
lei do movimento), também é dada, o movimento é totalmente 
determinado. 
O método de determinação do movimento do ponto sob a forma: 
( ) ( ) ( )tsszyxFzyxF === ,0,,,0,, 21 ( )3.1.1 
Chama-se método natural. O gráfico da função ( )tss = recebe o 
nome de gráfico do movimento. 
 
Fig. 1.5 Localização de um ponto M pelo método vectorial 
Método Vectorial 
O método vectorial, é apenas um modo diferente de escrever o 
método das coordenadas. Ao tratar x, y e z como coordenadas do 
raio vector OMr =v , que parte da origem das coordenadas O, 
podemos escrever o raio vector sob a forma de kzjyixr vvvv ... ++= . 
Como as coordenadas do ponto em movimento variam com o 
correr do tempo, o raio vector do ponto também varia em função do 
tempo. 
 ( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtrr vvvvv ... ++== 
Este método de determinação do movimento permitirá, mais 
adiante, definir mais claramente a velocidade do ponto em 
movimento como vector. 
 
 
Estudo de caso 
Exemplo 
 
1. O movimento de um ponto é dado pelas seguintes funções 
tyetx .245.3 −=−= . Em que método está determinado 
o movimento do ponto material? Determine-o pelo método 
vectorial. 
Resolução: 
Note que estão dadas as coordenadas do ponto material. A 
partir destas expressões conclui-se que o ponto material se 
realiza no plano xy. Portanto, o movimento está determinado 
pelo método das coordenadas. Neste caso, recorre-se às 
coordenadas cartesianas. 
No método vectorial teríamos que compor o vector rr , que, neste 
caso, terá duas componentes: jyixr rrr .. += 
( ) ( ) jtitr rrr ..24.5.3 −+−=⇒ 
 
A seguir apresenta-se uma actividade que deverá ser 
solucionada em de 5 minutos. 
52 Lição nº 4 
 
Actividade 5 
� Descreva os métodos 
de 
determinação 
do movimento 
do ponto 
material. 
1. Descreva os 
métodos de 
determinação 
do movimento 
do ponto 
material. 
 
2. Um ponto 
material 
percorre uma 
trajectória de 
raio R, cuja 
equação é dada 
pela expressão 
222 Ryx =+ , 
obedecendo a 
seguinte 
equação horária 
tRS ..ω= . 
a. Em que 
método 
está 
dado 
este 
movime
nto do 
ponto 
material
? 
Comentários: 
1. Para responder 
esta tarefa, o 
leitor só precisa 
 
Sumário 
As equações ( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, representam o 
método das coordenadas. 
O método de determinação do movimento do ponto sob a forma: 
( ) ( ) ( )tsszyxFzyxF === ,0,,,0,, 21 chama-se método 
natural. 
O método vectorial, permite escrever a equação do movimento na 
forma: ( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtrr vvvvv ... ++== . 
 
Resumo da Unidade 
A Mecânica Teórica tem como métodos de estudo, o método das 
abstracções, a Análise Matemática, a experiência e a prática. 
O curso de Mecânica teórica comporta três partes: a Cinemática, a 
Dinâmica e a Estática. 
Na Mecânica Teórica trata-se do espaço tridimensional que possui 
as propriedades de Homogeneidade, Isotropia e de continuidade. 
O tempo é considerado universal para todos os pontos do espaço e 
independente do movimento do corpo material. 
Ponto material é um corpo cujas dimensões e formas geométricas 
são desprezíveis e cujas propriedades físicas do corpo a que 
representa se mantém. 
Corpo rígido é um sistema de pontos materiais cujas distâncias 
entre si se mantém inalteráveis em quaisquer condições, isto é, não 
se deforma sejam quais forem as condições sobre ele impostas. 
As equações de transição de coordenadas cartesianas para 
coordenadas polares são: 
54 Lição nº 4 
ϕρϕρ senyx .,cos. == 
As fórmulas da passagem inversa são dadas por: 
x
y
tgyxr =+== ϕρ ,22v 
A posição do ponto que se movimenta num plano pode ser dada 
através da determinação das funções: 
( ) ( )ttrr ϕϕ == ,vv para o intervalo de tempo estudado. 
chamadas equações do movimento plano em coordenadas polares. 
Equações de transição de coordenadas cartesianas a coordenadas 
cilíndricas: zzesenyx === ϕρϕρ .,cos. , então, o raio 
vector em coordenadas cilíndricas é: 
kzer
vvv
.. += ρρ 
Esta equação representa o raio vector em coordenadas cilíndricas. 
O módulo de rv é: 
22 Zr += ρ 
O movimento do ponto em coordenadas esféricas é dado por: 
( ) ( ) ( )tettrr θθϕϕ === ,vv . 
As equações de transição de coordenadas cartesianas a coordenadas 
esféricas são: 
θ
ϕθ
ϕθ
cos.
..
cos..
rz
sensenry
senrx
=
=
=
. 
As equações ( ) ( ) ( )tzztyytxx === ,, representam o 
método das coordenadas. 
O método de determinação do movimento do ponto sob a forma: 
( ) ( ) ( )tsszyxFzyxF === ,0,,,0,, 21 chama-se método 
natural. 
O método vectorial permite escrever a equação do movimento na 
forma: ( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtrr vvvvv ... ++== 
 
 
 
 
 
56 Lição nº 4 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Auto-avaliação 1 
 
 
 
 
1. Sejam dadas as equações do movimento do ponto 






=
2
.
cos..2 2 tkax ; ( )tksenay ..= , onde, a e k são constantes 
positivas. 
Determine as equações do movimento do ponto em coordenadas 
polares. 
 
Comentário: Veja que para identificar as coordenadas polares 
precisa de exprimir as relações na forma 



=
=
ϕρ
ϕρ
seny
x
.
cos.
. Isto 
significa que deve recorrer aos seus conhecimentos matemáticos 
para transformar as relações e colocá-las na forma que lhe facilita 
identificar as coordenadas polares. 
Solução: 
2.
cos..2 tka=ρ e 
2
.tk
=ϕ 
2. Um ponto movimenta-se numa linha helicoidal, de acordo com 
as equações: ( ) ( ) tzetsenytx .2.4.2,.4cos.2 === . 
a. Em que método está dado o movimento do ponto? 
b. Exprima-o em coordenadas cilíndricas. 
c. Componha o vector-posição no sistema cilíndrico de 
coordenadas. 
Comentário: Veja as relações de transformação dadas para as 
coordenadas cilíndricas e, por comparação, identifique as 
coordenadas cilíndricas: 
Bastante fácil. Não é? Acertou se obteve as seguintes: 





=
=
=
tz
t
.2
.4
2
ϕ
ρ
 
Note que o vector-posição é da forma zezer
rrr
.. += ρρ . Isto 
significa que você terá como solução kter
rrr
..2.2 += ρ . 
 
Unidade 2 
Cinemática do ponto material 
Introdução 
Nesta unidade, o estudante tem a oportunidade de aprofundar os 
conhecimentos sobre as grandezas cinemáticas (Vector 
deslocamento, vector velocidade média e instantânea, vector 
aceleração), no que diz respeito ao seu tratamento como vectores e 
a sua transição para a representação escalar. A velocidade do ponto 
no Movimento Curvilíneo será também tema nesta unidade e o 
MRU e MRUV serão tratados como casos particulares. 
 
Ao completar esta unidade, você será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 
� Consolidar os seus conhecimentos sobre grandezas cinemáticas 
como vectores. 
� Explicar o conceito de hodógrafo da velocidade. 
� Determinar o comprimento do percurso (do arco) descrito pelo 
ponto em movimento., 
� Determinar a aceleração do ponto no movimento em duas e em 
três dimensões. 
� Discutir as grandezas cinemáticas em coordenadas: cartesianas, 
polares, cilíndricas e esféricas, recorrendo às coordenadas 
generalizadas (coeficientes de Lame). 
 
 
 
 
58 Lição nº 1 
Lição nº 1 
 
Velocidade de um ponto material 
como vector: velocidade media e 
velocidade instantânea; 
velocidade de um ponto em 
coordenadas cartesianas; 
comprimento do arco. 
Introdução 
Bem vindo ao estudo desta lição. Como já deve ter percebido, o 
tema da lição não traz termos estranhos relativamente ao que já foi 
estudado no primeiro ano, no módulo de mecânica da partícula. O 
único subtema que merece especial atenção é apenas o do 
comprimento de arco, o que também não poderá trazer para si 
qualquer tipo de dificuldade na sua percepção devido à sua 
simplicidade e relação com a definição da velocidade do ponto. 
 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Definir o conceito de velocidade. 
� Representar a velocidade como um vector. 
� Diferenciar a velocidade média da velocidade instantânea. 
� Explicar o conceito de hodógrafo da velocidade. 
� Determinar o comprimento do percurso (do arco) descrito pelo 
ponto em movimento. 
� Determinar a direcção do vector velocidade. 
 
 
Terminologia 
 
 
Vector velocidade, velocidade média, velocidade instantânea, 
hodógrafo da velocidade, comprimento do arco. 
 
Velocidade de um ponto como vector 
Suponhamos que um ponto em movimento ocupe a posição 
M(x,y,z) no instante t e que no instante ttt ∆+=/ este ponto 
esteja na posição ),,(/ zzyyxxM ∆+∆+∆+ , 
 
Fig. 2.1 Determinação da velocidade do ponto M, como vector 
O raio vector OMr =v corresponde à primeira posição e o 
MOr ′=′v corresponde a segunda. O vector do deslocamento do 
ponto M durante o tempo t∆ é MMrrr ′=−′=∆ vvv . A razão entre 
ele e o acréscimo do tempo denomina-se vector velocidade média 
para o intervalo de tempo t∆ : 
 
 
Como as projecções do vector do deslocamento rv∆ são, na prática, 
zeyx ∆∆∆ , , temos: 
 
t
r
vm ∆
∆
=
v
v
 
k
t
zj
t
yi
t
x
vm
vvvv
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
60 Lição nº 1 
O limite do vector de velocidade média, quando o intervalo de 
tempo t∆ tende para zero, Chama-se vector velocidade 
instantânea (velocidade do ponto M no instante t): 
 
k
t
zj
t
yi
t
x
vv
tttmt
vvvvv
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
==
→∆→∆→∆→∆ 0000
limlimlimlim ou 
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
v
vvvv
++= , 
 
 ou ainda , 
 
A velocidade instantânea é igual à derivada do raio vector rv , 
segundo o tempo no instante estudado. 
Mas, que direcção toma a velocidade instantânea? 
Para responder a esta questão reflicta, durante 15minutos, sobre os 
seguintes exemplos: 
dt
rd
v
v
v
= 
 
Actividade 6 
 
1. Suponha que tem uma pedra amarrada à extremidade de 
uma corda e, você segurando a outra extremidade da corda, 
fê-la mover-se de tal modo que descreve uma circunferência 
no plano vertical, como ilustra a figura. Se a corda se 
rebenta na posição mais baixa que direcção toma: 1 ou 2 ? 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um carro está a descrever uma rotunda circular e, a dado 
momento, perde o comando. Qual é a direcção mais 
provável de ser seguida pelo carro ao sair da sua trajectória? 
 
Pode ser que você tenha dado outras respostas. Vamos ver se 
elas coincidem com a conclusão que, a seguir, vamos tirar! 
Já vimos que a velocidade instantânea é: 
dt
rd
v
r
r
= . 
Multiplicando esta fracção pelo mesmo número diferente de 
zero, obtém-se uma expressão equivalente: 
dt
ds
ds
rd
dt
rd
v .
rr
r
== , a expressão v
ds
rd
vv
dt
ds
.
r
r
=⇒= e τ
r
r
=
ds
rd
 é o 
vector unitário da tangente à trajectória. Assim, a velocidade 
instantânea pode ser expressa na forma: 
τ
rr
.vv = 
Como tal, o vector velocidade instantânea é sempre tangente à 
trajectória em cada ponto. 
Voltemos às suas respostas. Se na questão disse que a pedra 
seguirá a direcção 2, acertou. 
 
 
 
 
 
 2 
 1 
62 Lição nº 1 
É importante observar que a extremidade deste vector descreve 
uma trajectória denominada hodógrafo da velocidade, que é útil 
quando diferenciamos o vector velocidade. 
Vector velocidade em coordenadas cartesianas 
Determinemos, agora, a direcção e o módulo do vector velocidade. 
Como o vector do deslocamento MM ′ orienta-se segundo a corda 
MM ′ da trajectória, enquanto a posição limite da corda é uma 
tangente à trajectória, o vector da velocidade é orientado segundo 
uma tangente à trajectória concordando com o sentido do 
movimento. 
O módulo da velocidade é 
t
MM
v
t ∆
′
=
→∆ 0
lim 
Ou, quando indicamos o comprimento do arco por s∆ temos 
 
dt
ds
t
s
v
t
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim 
Consideramos que, no sistema de referência adoptado, 0>∆s 
quando 0>∆t ; no caso geral, vamos escrever: 
dt
ds
v = 
para o módulo da velocidade. Esta fórmula permite determinar 
imediatamente o módulo da velocidade somente quando o 
movimento é dado através do método natural. 
No caso de o movimento ter sido dado pelo método das 
coordenadas, dispomos de projecções da velocidade sobre os eixos 
das coordenadas: 
dt
dz
ve
dt
dy
v
dt
dx
v zyx === , . 
Daí obtemos a fórmula do módulo do vector velocidade sob a 
forma de 
222
222






+





+





=++=
dt
dz
dt
dy
dt
dx
vvvv zyx 
Unidade de v no S.I. 
A unidade em medição da velocidade no sistema internacional de 
unidades S.I. é o metro por segundo (m/s) 
Comparando as expressões 
dt
ds
v = e 
222






+





+





=
dt
dz
dt
dy
dt
dx
v para o módulo da velocidade v e 
transformando a raiz, vamos ter 
( ) ( ) ( )
dt
dzdydx
dt
ds 222 ++
= 
Que corresponde à expressão da diferencial do comprimento do 
arco 
( ) ( ) ( )222 dzdydxds ++±= 
A orientação dovector velocidade e, por conseguinte, a direcção da 
tangente à trajectória também, são determinadas através dos co-
senos directores: 
222
,cos






+





+





==




 ∧
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dx
v
v
xv x
; 
222
,cos






+





+





==




 ∧
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dy
v
v
yv y
 e 
64 Lição nº 1 
222
,cos






+





+





==




 ∧
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dz
v
v
zv z . Onde 



 ∧
xv, , 




 ∧yv, e 





 ∧
zv, são os ângulos formados pelo vector velocidade com o 
sentido positivo dos eixos ox, oy e oz, respectivamente. 
Comprimento do percurso (do arco) 
Lembremos que indicamos através de s a coordenada em forma de 
arco, ou seja, o comprimento do arco da trajectória, contado (com o 
sinal correspondente) a partir do ponto fixo M da trajectória. A 
adopção do sinal para a contagem do arco corresponde à 
determinação do sentido positivo da tangente à curva. Deste modo, 
o sentido positivo da tangente será o sentido correspondente ao 
crescimento da coordenada em forma de arco do ponto em 
movimento. 
Quando conhecemos o módulo da velocidade do ponto como 
função do tempo: ( )tvv = , podemos determinar o percurso s que o 
ponto percorre em cada intervalo de tempo. Vejamos: 
Multiplicando ambos os membros da expressão 
dt
ds
v = por 
0>dt , obtemos: ( )dttvds .= . 
Integrando por tempo no intervalo que vai de 0 a t e por percurso 
percorrido no intervalo que vai de 0 a s (consideramos que no 
instante inicial 00 == Set ), obtemos 
( )dttvds
tS
∫∫ =
00
. 
E, finalmente, o percurso do arco será: 
 
( )dttvS
t
∫=
0
 
 
1. Considere que as equações do movimento do ponto M 
sejam dadas na forma de: 
t
h
zetRsenytRx
pi
ω
ωω
2
,cos === 
a) Escreva a expressão do raio vector do ponto M (em 
coordenadas cartesianas); 
b) Encontre as projecções da velocidade; 
c) Escreva a expressão do vector velocidade do ponto M; 
d) Determine o módulo da velocidade do ponto M; 
e) Determine os co-senos directores do ponto; 
f) Determine o caminho percorrido pelo ponto M. 
 
 
Estudo de 
Exemplo 
 
a) A expressão do raio vector é escrita da seguinte forma: 
kzjyixr vvvv ... ++= 
Substituindo x, y e z , temos: 
kthjtsenRitRr vvvv .
2
...cos.
pi
ω
ωω ++= ,ou ainda, 
( ) kthjtsenitRr vvvv .
2
..cos.
pi
ω
ωω ++= 
 
 
66 Lição nº 1 
 
Estudo de 
Exemplo 
 
 
b) As projecções da velocidade são dadas por: 
tsenR
dt
dx
vx ωω..−== , tRdt
dy
v y ωω cos..== e pi
ω
2
h
dt
dz
vz == 
c) a expressão do vector velocidade será 
k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
v
vvvv
++= 
khjtRitsenRv vvvv
pi
ω
ωωωω
2
cos.. ++−= 
d) e o módulo da velocidade do ponto é igual a: 
222






+





+





=
dt
dz
dt
dy
dt
dx
v 
( ) ( )
2
22
2
cos.. 





++−=
pi
ω
ωωωω
h
tRtsenRv 
( )2224
2
hRv += pi
pi
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo de 
Exemplo 
 
 
e) Os co-senos directores são determinados da seguinte forma: 
tsen
G
R
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dx
v
v
xv x ω
pi2
,cos
222
−=






+





+





==




 ∧
 
 t
G
R
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dy
v
v
yv y ωpi cos2,cos
222
=






+





+





==




 ∧
 e 
G
h
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dz
v
v
zv z =






+





+





==




 ∧
222
,cos ; Onde 
( )2224 hRG += pi 
Como .,cos const
G
h
v
v
zv z ===




 ∧
, a tangente, em cada um dos 
pontos da curva, forma um ângulo constante com o eixo Z: 






=





=
∧
G
h
zv arccos,β 
f) O caminho percorrido pelo ponto M. 
Como o modulo da velocidade é constante durante todo tempo do 
movimento, o movimento do ponto é uniforme e o caminho 
percorrido pelo ponto é dado pela expressão: 
( )dttvS
t
∫=
0
sendo ( )2224
2
hRv += pi
pi
ω
, teremos: 
68 Lição nº 1 
( ) tGdthRdttvS
tt
pi
ω
pi
pi
ω
2
.4
20
222
0
=+== ∫∫ 
 E, para um período 
ω
pi2
=T ,o percurso descrito será 
GGtGS ===
ω
pi
pi
ω
pi
ω 2
.
22
 
 
Hodógrafo da velocidade 
Levemos o vector vv à origem O do sistema fixo de coordenadas 
oxyz, ou seja, construamos, no ponto O, o vector 0vv , 
geometricamente igual ao vector vv e designemos a sua 
extremidade com ajuda da letra G. 
 
Fig. 2.2 Hodógrafo da velocidade 
Como o vector vv varia com o tempo, o ponto G desloca-se no 
espaço. A trajectória do ponto G é chamada hodógrafo da 
velocidade. 
Como as projecções do vector velocidade sobre os eixos de oxyz 
são 
dt
dz
ve
dt
dy
v
dt
dx
v zyx === , , as coordenadas do ponto 
( )zyxG ′′′ ,, que avança pelo hodógrafo são iguais a : 
dt
dz
vze
dt
dy
vy
dt
dx
vx zyx ==′==′==′ , . 
Estas são as equações do hodógrafo da velocidade na forma 
paramétrica. 
 
 
Sumário 
A razão entre vector do deslocamento e o acréscimo do tempo 
denomina-se vector velocidade média para o intervalo de tempo t∆ 
t
r
vm ∆
∆
=
v
v
. 
O limite do vector de velocidade média, quando o intervalo de 
tempo t∆ tende para zero, Chama-se vector velocidade 
instantânea: 
mt
vv
vv
0
lim
→∆
= ou k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
v
vvvv
++= ou ainda 
dt
rd
v
v
v
= 
A velocidade instantânea é igual à derivada do raio vector rv 
segundo o tempo no instante estudado. É importante notar que a 
extremidade deste vector descreve uma trajectória denominada 
hodógrafo da velocidade. 
As projecções da velocidade sobre os eixos das coordenadas são 
dadas por: 
dt
dz
ve
dt
dy
v
dt
dx
v zyx === , . 
O módulo do vector velocidade é: 
70 Lição nº 1 
222
222






+





+





=++=
dt
dz
dt
dy
dt
dx
vvvv zyx . 
O comprimento do percurso do arco descrito pelo ponto em 
movimento é dado pela expressão: 
( )dttvS
t
∫=
0
 
A trajectória do ponto que coincide com a extremidade do vector 
velocidade é chamada hodógrafo da velocidade. Como as 
projecções do vector velocidade sobre os eixos de oxyz são 
dt
dz
ve
dt
dy
v
dt
dx
v zyx === , , as coordenadas do ponto que 
avança pelo hodógrafo são iguais a: 
dt
dz
vze
dt
dy
vy
dt
dx
vx zyx ==′==′==′ , . 
Estas são as equações do hodógrafo da velocidade na forma 
paramétrica 
 
Lição nº 2 
 
Aceleração de um ponto material 
como vector: aceleração média e 
instantânea; aceleração de um 
ponto em coordenadas 
cartesianas, aceleração normal e 
tangencial. 
Introdução 
Seja bem-vindo ao estudo desta lição. Neste irá aprofundar o 
vectorial da aceleração e das suas componentes. 
 
Ao completar esta lição, você será capaz de: 
 
Objectivos 
 
� Definir o conceito de aceleração. 
� Representar a aceleração como vector. 
� Diferenciar a aceleração média da aceleração instantânea. 
� Determinar a direcção do vector aceleração. 
 
 
Terminologia 
 
 
Vector aceleração,