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Luís Caldas de Oliveira Sistemas e Sinais Conjuntos e Funções Luís Caldas de Oliveira lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Sistemas e Sinais – p.1/23 Luís Caldas de Oliveira Resumo Conjuntos. Atribuição e asserção. Operadores, variáveis e predicados. Quantificadores. Produto cartesiano. Funções. Espaço de funções. Cardinalidade. Sistemas e Sinais – p.2/23 Luís Caldas de Oliveira Aula de Hoje Como representar um intervalo de números de reais? O que é uma asserção? Qual é a diferença entre uma asserção e um predicado? O que é o conjunto potência de um conjunto? Qual é a diferenças entre o quantificador universal e o existencial? Qual é a diferença entre um conjunto e um tuplo? O que é uma função unívoca? Dê exemplo de um conjunto com cardinalidade aleph zero. Sistemas e Sinais – p.3/23 Luís Caldas de Oliveira Conjuntos Um conjunto é uma colecção de elementos. Exemplos de conjuntos: Naturais = {1, 2, 3, . . .} Cidades = {Lisboa, Porto, Amadora, Faro, . . .} Booleano = {Verdadeiro, Falso} BolaTotoloto = {1, 2, 3, . . . , 49} Sistemas e Sinais – p.4/23 Luís Caldas de Oliveira Intervalos Para conjuntos de elevada cardinalidade podemos recorrer ao conceito de intervalo na sua definição: [0, 1[ conjunto de números reais entre 0 e 1 incluindo o 0 mas excluindo o 1; ]0,∞[ conjunto dos números reais maiores do que zero; Sistemas e Sinais – p.5/23 Luís Caldas de Oliveira Atribuição e Asserção O sinal de igual (=) numa expressão pode ter duas interpretações: Atribuição: ao conjunto do lado direito do sinal de igual dá-se o nome do lado esquerdo: MeusNumeros = {2, 6, 14, 23, 34, 39} Asserção: uma expressão que pode ser verdadeira ou falsa: MeusNumeros = ChaveTotoloto Sistemas e Sinais – p.6/23 Luís Caldas de Oliveira Conjuntos de Conjuntos Um elemento de um conjunto pode ser ele mesmo um conjunto: PartidaTenis = {{Pedro, Joana}, {Paulo, Ana}} Ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto X dá-se o nome de conjunto potência de X e representa-se por P(X). Notar que ∅ ∈ P(X). Sistemas e Sinais – p.7/23 Luís Caldas de Oliveira Problema Se o conjunto X tiver n elementos, indique o número de elementos de P(X), o conjunto potência de X. Sistemas e Sinais – p.8/23 Luís Caldas de Oliveira Variáveis Utilizamos uma variável para nos referirmos a um elemento genérico de um conjunto: n ∈ Neste caso n será um número natural. Sistemas e Sinais – p.9/23 Luís Caldas de Oliveira Predicados Um predicado é uma expressão dependente de uma variável e que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa. Os predicados podem ser usados para definir novos conjuntos: NovoCon junto = {x ∈ Con junto|Pred(x)} Exemplo: NaturaisAte´Cem = {n ∈ |n < 100} Sistemas e Sinais – p.10/23 Luís Caldas de Oliveira Quantificadores Quantificador universal: ∀x ∈ A, Pred(x) A asserção é verdadeira se Pred(x) for verdade para todos os elementos do conjunto A. Quantificador existencial: ∃x ∈ A, Pred(x) A asserção é verdadeira se Pred(x) for verdade para pelo menos um elemento do conjunto A. Sistemas e Sinais – p.11/23 Luís Caldas de Oliveira Conjuntos Famosos Números naturais: = {1, 2, . . .} Números inteiros: = {. . . ,−1, 0, 1, . . .} Números inteiros não-negativos: + = {0, 1, 2, . . .} Números reais: =] −∞,+∞[ Números complexos: = {x + jy|x, y ∈ } Valores binários: Bina´rios = {0, 1} Cadeia binária: Bina´rios∗ = {0, 1}∗ Sistemas e Sinais – p.12/23 Luís Caldas de Oliveira Símbolos Famosos Inclusão: ∈ (pertence a), < (não pertence a). Contém: ⊂ (está contido em), ⊃ (contém). União: ∪ (união com), ∩ (intersecção com). Lógicos: ∧ (e), ∨ (ou), ¬ (negação). Relações: =⇒ (implica),⇐⇒ (equivalente). Sistemas e Sinais – p.13/23 Luís Caldas de Oliveira Problema Usar a notação matemática para representar os conjuntos: A ∩ B. Os números racionais . Os números inteiros representáveis com 16 bits: Sistemas e Sinais – p.14/23 Luís Caldas de Oliveira Complemento Se A e X forem conjuntos: X\A = {x|x ∈ X ∧ x < A} X\A pode ser visto como a subtração de conjuntos (X − A). Se A ⊂ X, X\A é o complemento de A em X ou AC. Sistemas e Sinais – p.15/23 Luís Caldas de Oliveira Conjunção e Dijunção de Predicados A conjunção e dijunção de predicados correspondem à intersecção e união dos conjuntos: {x ∈ X|P(x) ∧ Q(x)} = {x ∈ X|P(x)} ∩ {x ∈ X|Q(x)} {x ∈ X|P(x) ∨ Q(x)} = {x ∈ X|P(x)} ∪ {x ∈ X|Q(x)} Sistemas e Sinais – p.16/23 Luís Caldas de Oliveira Negação do Predicado Pode-se relacionar a negação de um predicado com o complemento de um conjunto: {x ∈ X|¬Pred(x)} = X\{x ∈ X|Pred(x)} Sistemas e Sinais – p.17/23 Luís Caldas de Oliveira Produto Cartesiano O produto cartesiano X × Y de dois conjuntos X e Y consiste em todos os pares de elementos (x, y) com x ∈ X e y ∈ Y, ou seja: X × Y = {(x, y)|x ∈ X ∧ y ∈ Y} O conceito pode-se estender ao produto de mais conjuntos Sistemas e Sinais – p.18/23 Luís Caldas de Oliveira Tuplos (2, 7) é um par ordenado (2-tuplo) (i, s, t) é um trio ordenado (3-tuplo) (t, a, g, u, s) é um 5-tuplo Notar que {2, 7} = {7, 2} mas (2, 7) , (7, 2) Sistemas e Sinais – p.19/23 Luís Caldas de Oliveira Funções Uma função caracteriza-se por ter: um conjunto domínio um conjunto contra-domínio um gráfico (para elemento do domínio há um elemento do contra-domínio) f : X → Y ∀x ∈ X, f (x) = . . . Sistemas e Sinais – p.20/23 Luís Caldas de Oliveira Espaço de Funções O espaço de funções [X → Y] inclui todas as funções f que têm como domínio X e contra-domínio Y, ou seja: [X → Y] = { f |domı´nio( f ) = X ∧ contradomı´nio( f ) = Y} Sistemas e Sinais – p.21/23 Luís Caldas de Oliveira Função Unívoca Uma função f : X → Y é unívoca se: ∀x1 ∈ X ∧ x2 ∈ X, x1 , x2 =⇒ f (x1) , f (x2) Sistemas e Sinais – p.22/23 Luís Caldas de Oliveira Cardinalidade A cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos do conjunto. A cardinalidade de um conjunto infinito poderá ser ℵ0 (aleph zero), ℵ1, ℵ2, etc. A cardinalidade de vale || = ℵ0. Dados dois conjuntos A e B, |A| ≤ |B| se existir uma função unívoca de A para B. A e B têm a mesma cardinalidade (|A| = |B|) se |A| ≤ |B| e se |B| ≤ |A|. Sistemas e Sinais – p.23/23 Resumo Aula de Hoje Conjuntos Intervalos Atribuição e Asserção Conjuntos de Conjuntos Problema Variáveis Predicados Quantificadores Conjuntos Famosos Símbolos Famosos Problema Complemento Conjunção e Dijunção de Predicados Negação do Predicado Produto Cartesiano Tuplos Funções Espaço de Funções Função Unívoca Cardinalidade
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