Livro de Matemática Ensino Médio 3a edição 2015

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Prof. Cleriston Santos 
1ª ANO 
 
1. CONJUNTOS 
1.1. Tipos de conjuntos e relações. 
1.2. Operações com conjuntos. 
1.3. Conjuntos numéricos. 
1.4. Intervalos numéricos. 
 
2. RELAÇÕES E FUNÇÕES 
2.1. Par ordenado e plano cartesiano. 
2.2. Conceito de função. 
2.3. Domínio e zeros de uma função 
2.4. Tipos de funções. 
 
3. FUNÇÃO DO 1º GRAU 
3.1. Equação do 1º grau. 
3.2. Funções constante, afim e linear. 
3.3. Estudos dos sinais de uma função do 1º grau. 
3.4. Inequações do 1º grau. 
 
4. FUNÇÃO DO 2° GRAU 
4.1. Equação do 2º grau. 
4.2. Gráfico de uma função do 2º grau. 
4.3. Estudos dos sinais de uma função do 2º grau. 
4.4. Inequações do 2º grau. 
 
5. FUNÇÃO MODULAR 
5.1. Módulo. 
5.2. Gráfico de uma função Modular. 
5.3. Equação modular. 
5.4. Inequação modular. 
 
6. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
6.1. Revisão de potência e suas propriedades. 
6.2. Gráficos da função exponencial. 
6.3. Equação exponencial. 
6.4. Inequação exponencial. 
 
7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
7.1. Logaritmo - conceito, propriedades. 
7.2. Mudança de base. 
7.3. Condição de existência. 
7.4. Função logarítmica. 
7.5. Equação logarítmica. 
7.6. Inequação logarítmica. 
 
8. SEQUÊNCIAS 
8.1. Sequências Numéricas. 
8.2. Progressão Aritmética (PA). 
8.3. Progressão Geométrica (PG). 
 
 
 
 
 
 
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CONJUNTOS 
 
CONJUNTOS 
 É todo agrupamento de qualquer tipo ou uma coleção qualquer de objetos que chamamos de elementos. 
 Os conjuntos podem ser finitos se possuírem um número determinado de elementos ou infinitos se seu 
número de elementos for indeterminado. 
 
REPRSENTAÇÃO DE CONJUNTOS: 
 Descrição ou representação tabular dos elementos (enumeração): 
Exemplo: A = {a, e, i, o, u} 
Obs. O conjunto é indicado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. 
 N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} (as reticências indicam que o conjunto é infinito). 
 Descrição por propriedade ou característica dos elementos: 
Exemplo: A = {x| x é ímpar} A = {1, 3, 5, 7, 9,...} 
 Diagrama de VENN - EULLER 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Obs. A indicação da quantidade de elementos n(A): 
Exemplo: A = {0,1,2} n(A) = 3 
 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
 Referência se um elemento pertence ou não ao conjunto relacionado. 
 pertence não pertence 
Exemplo: Dado o conjunto A = {0,1,2,3,4}: 
0 A 2 A 5 A 7 A 
 
CONJUNTO UNITÁRIO 
 Possui um único elemento. Exemplo: B = {b} 
 
CONJUNTO VAZIO 
 Não possui elemento. É representado por ou { }. Exemplo: A = 
 
IGUALDADE DE CONJUNTOS 
 Dois conjuntos são iguais se eles possuírem os mesmos elementos. 
 
 
Exemplo: A = * + B = * + C = * + A = B e A C 
 
CONJUNTO UNIVERSO 
 É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos de um estudo, e é representado por U. 
Exemplo: 
 
 
 
 
SUBCONJUNTOS 
 Se todos os elementos de um conjunto A também pertencerem a um conjunto B, dizemos que A está 
contido em B, ou ainda, que A é subconjunto de B. 
Obs. Conjunto menor ou igual comparado com outro maior ou igual. 
 
 
Obs. Conjunto maior ou igual a outro menor ou igual. 
 
 
 
 
 está contido 
 não está contido 
 contém 
 não contém 
A 
 a 
 e 
 i 
 o 
 u 
U 
B A 
 𝑜𝑢; - tal que 
 - portanto 
⇔ - se, e somente se 
 - para todo, qualquer que seja 
3 
 
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Exemplo: 
 A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} 
 A B B A B A A B 
 
 
 
Propriedades da inclusão: 
 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
Reflexiva: Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. A A 
Antissimétrica: Se A B e B A então A = B 
Transitiva: Se A B e B C então A C (silogismo) 
 
CONJUNTO DAS PARTES 
 De um conjunto A finito é possível construir um novo conjunto, cujos elementos sejam subconjuntos 
possíveis de A. 
 ( ) * + n(P(A)) = 2n(A) 
Exemplo: Considere o conjunto M = {2,3,5}. Escreva o conjunto das partes. 
P(M) = {Ø,{2},{3},{5},{2;3},{2;5},{3;5},{2;3;5}} assim: n(P(M)) = 2
3
 = 8 subconjuntos 
Obs. O conjunto vazio é o menor subconjunto de qualquer conjunto e o próprio conjunto é o maior subconjunto 
de um conjunto. 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
UNIÃO ou REUNIÃO ( ) 
 União entre os elementos de dois ou mais conjuntos. 
 * + 
Exemplo: A = {1;2;3} e B = {4;5;6} A U B = {1;2;3;4;5;6} 
 
 
INTERSECÇÃO ou INTERSEÇÃO ( ) 
 São os elementos comuns aos conjuntos estudados. 
 * + 
Exemplo: A = {0;1;2;3} e B = {3;4;5;6} A B = {3} 
 
 
 
Propriedades da União e da Intersecção: 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, e U conjunto universo. 
1. Idempotente: 
2. Associativa: ( ) ( ) ( ) ( ) 
3. Comutativa: 
4. Elemento neutro: 
Obs. Quando os conjuntos não apresentam elementos comuns são chamados conjuntos disjuntos . 
 
DIFERENÇA (A  B) 
 Conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
 * + 
Exemplo: A = {2;3;5} e B = {5;6;7} A  B = {2;3} B  A = {6;7} 
 
COMPLEMENTAR ( 
 ) 
Exemplo: A = {13;14} e B = {11;12;13;14} 
 e 
 * ; + 
 
Operações e número de elementos: 
União: ( ) ( ) ( ) ( ) 
Intersecção: ( ) ( ) ( ) ( ) 
Diferença: ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
5 
4 
3 
2 
1 
B A 
5 
4 
3 
2 
1 
B A 
0 
6 
4 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
NATURAIS ( ) 
 = {0;1;2;3;...} = {1;2;3;4;...} Obs. O * indica sem o zero. 
 
INTEIROS ( ) 
 = {...;3;2;1;0;1;2;3;...} 
 = {...;3;2;1;1;2;3;...} 
 = {0;1;2;3;...} inteiros não negativos 
 = {...;3;2;1;0} inteiros não positivos 
Também existem as formas 
 
 
 
RACIONAIS ( ) 
 São aqueles que podem ser representados por uma razão entre dois números inteiros, sendo o 
denominador diferente de 0. 
 2 
 
 
; 3 
Pertencem aos racionais: 
- todo número inteiro, frações, decimais finitos e infinitos periódicos (dízimas). 
Também admite – se 
 
 
 
 
Obs. DECIMAIS. 
Exemplos: 3,8 3 inteiros e 8 décimos. 
 
 
 (dividir) 
FRAÇÃO GERATRIZ. 
Exemplo: 0,5 
 
 
 
 
 
 
 
* Dízimas com repetição de um ou mais algarismo na parte decimal, devemos colocar o(s) algarismo(s) que se 
repete(m) no numerador e a colocar a quantidade de algarismos que se repetem na forma do número 9 no 
denominador. 
Exemplos: 
0,3333... ou ̅ 
 
 
 
 
 
 0,4545... ou ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
* Quando há um número antes da vírgula, diferente de zero, se esquece da vírgula tornando – o um número 
inteiro e depois subtraia deste número inteiro o número antes da vírgula. O mesmo ocorrerá com algum número 
na parte decimal que não se repete, porém para este coloca – se o algarismo zero depois do 9 no denominador. 
Exemplos: 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (fração imprópria – 13:9 = 1 e resto 4 ) 
 
 ̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
IRRACIONAIS ( ) 
 Todo número infinito e não periódico. 
Ex.: √ = 1,414213... 
 
 
REAIS ( ) 
São todos os números. Para os reais também admite – se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝕀 
 
:5 
:3 :9 
Valor Absoluto (Módulo): representa a 
simetria entre valores positivos e 
negativos. 
| 1 | = 1 | - 1 | = 1 
5 
 
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INTERVALOS NUMÉRICOS 
INTERVALOS 
 Qualquer subconjunto contínuo de . 
 
 
 
 Intervalo fechado: números reais maiores ou igual a m e menores ou igual a n. 
Intervalo: [m;n] Conjunto: {xR| m ≤ x ≤ n} 
 
 Intervalo aberto: números reais maiores que m e menores que n. 
Intervalo: ]m;n[ ou (m;n) Conjunto: {xR| m < x < n} 
 
 Intervalo fechado à esquerda: números reais maiores ou igual a m e menores que n. 
Intervalo: [m;n[ ou [m;n) Conjunto: {xR| m ≤ x < n} 
 
 Intervalo fechado à direita: números reais maiores que m e menores ou igual a n. 
Intervalo: ]m;n] ou (m;n] Conjunto: {xR| m < x ≤ n} 
 
Intervalos Infinitos ( ): 
 Intervalo: ] ; m] ou ( ; m] Conjunto: {xR| x ≤ m} 
 
 Intervalo: ] ; m[ ou ( ; m) Conjunto: {xR| x < m} 
 
 Intervalo: [m;+ , ou [m;+ ) Conjunto: {xR| x ≥ m} 
 
 Intervalo: ]m;+ , ou (m;+ ) Conjunto: {xR| x > m} 
 
 Intervalo: ]- ;+ , ou (- ;+ ) Conjunto: {xR} 
 
 
OPERAÇÕES COM INTERVALOS 
Exemplos: 
 * ⁄ + * ⁄ + * + 
União: 
AUB 
 * ⁄ + ou - ; , 
 
 
 
A C 
 * ⁄ + 
 ou , ; - 
 
 
 
A – C 
 * ⁄ + 
 ou - ; , 
 
 
 
 
m n 
R 
m n 
R 
m n 
R 
m n 
R 
m 
R 
m 
 
R 
 
m 
 
R 
 
m 
 
R 
 
R 
 
-2 
-2 6 
0 
-2 6 
-2 6 
A 
A 
A 
B 
C 
C 
7 -1 
7 -1 
-1 6 
-2 
AUB 
-1 
A C 
A – C 
| | | | | 
0 1 2 -1 -2 
| 
-½ 
| 
2
R 
6 
 
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        







x
y
0
1° quadrante 2° quadrante 
3° quadrante 4° quadrante 
FUNÇÕES 
PAR ORDENADO 
 Todo conjunto formado por dois elementos (x;y). 
 
PLANO CARTESIANO 
 É a representação gráfica das coordenadas dos pontos formados por pares ordenados. 
 O = origem 
 ⃡ = eixo das abscissas 
 ⃡ = eixo das ordenadas 
 Par ordenado = P(x;y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRODUTO CARTESIANO (A X B) 
 O produto cartesiano de A por B, sendo A e B conjuntos não vazios, é o conjunto formado por todos os 
pares ordenados (x;y) tais que x  A e y  B. 
 *( ; ) + 
 
Exemplo: A = {2;3} e B = {0;1} 
A X B = {(2;0), (2;1), (3;0), (3;1)} B X A = {(0;2), (0;3), (1;2), (1;3)} 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {2; 1} e B = {1; 4} determine o produto cartesiano de B X A e desenhe o 
gráfico referente. 
B X A = {(1;2), (1;1), (4;2), (4;1)} 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO BINÁRIA 
 Chama – se relação, a correspondência de pares ordenados mediante determinado critério. 
Exemplo: Seja, A = {2;3;4} e B = {2;3;4;5;6}, determine a relação A X B tal que x seja divisor de y. 
R = {(2;2), (2;4), (2;6), (3;3), (3;6), (4;4)} 
 
 
 
 
 
 
CONCEITO DE FUNÇÃO 
 Dado dois conjuntos A e B, chamamos função toda relação na qual, para todo elemento de A, 
existe um único correspondente em B. 
 ( ( ; ) ) 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
       






x
y
0
A B 
função não é função 
A B A 
 
B 
 
função 
 
2 
3 
4 
2 
3 
4 
5 
6 
A 
B 
7 
 
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Obs. Nem toda relação é uma função, mas toda função é uma relação. 
 As funções podem ser determinadas por fórmulas matemáticas chamadas leis da função. 
 Notação: tal que ( ) 
O conjunto A é chamado domínio (D), ou seja, domínio é o conjunto de partida, que faz a relação. 
O conjunto B é chamado contradomínio (CD), ou seja, contradomínio é o conjunto de chegada, que 
sofre a relação. 
Os elementos do conjunto B que fazem relação com os elementos do conjunto A são chamados de 
imagem (Im), subconjunto do contradomínio. 
 
Exemplo: D = {0;1;2;3} 
 CD = {1;2;3;4;5} 
 Im = {2;3;4} 
 (fazer o gráfico) 
 
Exemplo: Dado A = {0;1;2} e B = {0;1;2;3;4;5} e f: A→B definido por f(x) = 2x + 1. 
Determine a função e seu gráfico. 
 Pares ordenados {(0;1), (1;3), (2;5)} 
 D = {0;1;2} 
 CD = {0;1;2;3;4;5} 
 Im = {1;3;5} 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja f(x) = x
2
 – x + 1, calcule a imagem de f(1). 
f(1) = 1
2
 – 1 + 1 = 1 
 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
 É a condição de existência de uma função. 
 
I° Qualquer função com equação em sua forma natural tem domínio real. 
Ex. f(x) = 2x + 1 D = R 
 
II° Quando houver uma equação no denominador de uma fração ela terá que ser diferente de 0. 
Ex. ( ) 
 
 
 x – 2  0 x  2 D = {xR| x 2} 
 
III° Quando uma função com equação no radicando de uma raiz de índice par ela terá que ser ≥ 0. 
Ex. ( ) √ x + 1 ≥ 0 x ≥ 1 D = { xR| x ≥ 1 } 
 
IV° Quando uma função com equação no radicando de uma raiz de índice ímpar ela terá domínio real. 
Ex. ( ) √ 
 
 D = R 
 
V° Quando uma função equação for um radicando de uma raiz de índice par e estiver no denominador de uma 
fração ela terá que ser > 0. 
Ex. ( ) 
 
√ 
 x + 2 > 0 x > 2 D = { xR| x > 2} 
 
ZEROS DE UMA FUNÇÃO 
 É quando o gráfico cruza o eixo ⃡ , ou seja, quando resolvemos as raízes de uma equação. 
 ( ) ou 
Exemplo: f(x) = x + 1 
 x + 1 = 0 
 x =  1 
 
 
 
 
 
 
x f(x) = 2x + 1 y 
0 f(0) = 2.0 + 1 1 
1 f(1) = 2.1 + 1 3 
2 f(2) = 2.2 + 1 5 
A 
B 
1 
2 
2 
0 
1 
3 
3 
4 
5 
        






x
y
A 
B 
1 
2 
2 
0 
1 
0 
3 
4 
5 
        







x
y
8 
 
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TIPOS DE FUNÇÕES 
 
SOBREJETORA: uma função é sobrejetora quando o contradomínio for igual à imagem. 
Ex. 
 CD = Im 
 
 
 
INJETORA: quando cada elemento do domínio tiver uma imagem exclusiva. 
Ex. 
 
 
 
 
BIJETORA: quando a função for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
Ex. 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 Supondo as funções f: A→B e g:B→C, podemos estabelecer uma função de f: A→C, chamada 
composta, indicada por f(g(x)) ou fog e g(f(x)) ou gof. 
Exemplo: Dado f(x) = 2x + 1 e g(x) = 2x, determine o gof e fog. 
a) gof g(f(x)) = 2x g(2x+1) = 2x gof = 2(2x + 1) gof = 4x + 2 
b) fog f(g(x)) = 2x + 1 f(2x) = 2x + 1 fog = 2(2x) + 1 fog = 4x + 1 
 
FUNÇÃO INVERSA ( ) 
 Dada uma função f: A→B, bijetora, chamamos de inversa de f a inversão dos pares ordenados e 
indicamos por f
1
. 
 Obtenção da inversa: 
I. Troca – se x por y e y por x na lei da função. ( ( ( ) ( ) 
II. Isola – se y obtendo a inversa. ( ) 
 
Exemplo: Obtenha a inversa da função y = 2x  4 e obtenha o ponto de encontro da função original com a 
inversa. 
Inversa: y = 2x  4 x = 2y  4 x + 4 = 2y 
 
 
 
Ponto de encontro: 
 
 
 
 2(2x 4) = x + 4 4x  8 = x + 4 3x = 12 x = 4 
 
FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES 
Uma função f(x) é par se, para qualquer x, temos f(−x) igual a f(x). Valores simétricos do domínio têm 
a mesma imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função f(x) é ímpar se, para qualquer x, temos f(− x) igual a – f(x). Valores simétricos do domínio 
têm imagens simétricas. 
 
 
 
 
 
 
 
A 
 
B 
 
A 
 
B 
 
A 
 
B 
 
-x x 
f(-x) = f(x) 
x
y
x
y
-x x 
-f(x) 
f(x) 
9 
 
Prof. Cleriston SantosObs. Uma função que não é par nem ímpar, dizemos que não têm paridade. 
 
Exemplo 1: Verifique se a função f(x) = x
2
 é par ou ímpar. 
Sendo f(a) = a
2
 e f(− a) = (− a)2 = a2 temos que f(− a) = f(a), sendo assim a função é par. 
 
 
Exemplo 2: Determine se a função f(x) = x
3
 é par ou ímpar. 
Sendo f(a) = a
3
 e f( − a) = (− a)3 = − a3 temos que f(− a) = − f(a), sendo assim que a função é ímpar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 
 Equação é toda expressão onde aparece um valor desconhecido (incógnita), de grau 1, em uma 
igualdade. Quando resolvemos uma equação determinamos sua raiz que em função será denominada zero da 
função. 
 
 
 
 
* A incógnita deverá ser positiva e isolada. 
Exemplos. 
a) 
 
 
 * + 
b) ( ) * + 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
 ( ) ( ) 
Domínio: D = 
Imagem: Im = {c} 
O gráfico é uma reta paralela a ⃡ passando pelo ponto (0; c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: f(x) = 2 
D = e Im = {2} 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LINEAR 
 ( ) ( ) 
Domínio: D = 
Imagem: Im = 
O gráfico é uma reta que passa pela origem. 
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular e determina a inclinação da reta, se crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: gráfico de f(x) = 2x 
x f(x) = 2x y 
1 f(1) = 2.1 2 
0 f(0) = 2.0 0 
1 f(1) = 2.1 2 
 
x
y
0 
 
c > 0 
 
x
y
0 
c < 0 
x
y
c = 0 
0 
x
y
0 
a > 0 
Reta crescente 
x
y
0 
a < 0 
Reta decrescente 
0 
        








x
y
11 
 
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Obs. Quando a função for f(x) = x, ou seja, y = x ela é chamada de função identidade. 
FUNÇÃO AFIM 
 ( ) ( ) 
Domínio: D = Imagem: Im = 
O gráfico é uma reta. 
Obs. O gráfico corta o eixo x na raiz da equação (zero da função). 
O coeficiente a (coeficiente angular) determina a inclinação da reta. Ele é também chamado de taxa de variação 
e pode ser dado pela expressão: 
 
 
 
 
Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. 
O coeficiente b é o valor onde a reta corta o eixo y, ele é chamado de coeficiente linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Exemplo: Dada a função f(x) = 2x + 4, faça o gráfico. 
 
ou através da raiz da equação onde somente 
será mostrado onde a reta corta os eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDOS DOS SINAIS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Se a > 0 os sinais de x e y são iguais e, sendo a < 0 os sinais de x e y são contrários. 
 
Exemplos: 
y = x + 1 x + 1 = 0 x = 1 y = x + 1 x + 1 = 0 x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x f(x) = 2x + 4 y 
1 f(1) = 2.1 + 4 6 
0 f(0) = 2.0 + 4 4 
1 f(1) = 2.1 + 4 2 
2 f(2) = 2.2 + 4 0 
        








x
y
0 
b 
x
y
 
𝑏
𝑎
 
x
y
0 
b 
 
𝑏
𝑎
 
+ 
- 
x 
1 
x = 1 y = 0 
x < 1 y < 0 
x > 1 y > 0 
+ 
- 
x 
1 
x = 1 y = 0 
x < 1 y > 0 
x > 1 y < 0 
+ 
- 
x 
 
𝑏
𝑎
 
a > 0 
+ 
- 
x 
 
𝑏
𝑎
 
a < 0 
12 
 
Prof. Cleriston Santos 
 
 
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 Inequações são desigualdades do tipo: 
ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0 ou ax + b  0, sendo a  0. 
Resolução de uma inequação: 
- Resolva como uma equação determinando o intervalo que a satisfaça. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 * + 
 
 ( ) 
 * + 
 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 Duas ou mais inequações juntas onde seu conjunto solução é dado pela intersecção das inequações. 
 
Exemplo: 
|
 
 
 
 
 2x  3 ≥ 5 x ≥ 4 
 4x  18 < 6 x < 6 *  + , ; ) 
 
INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
 É a multiplicação ou divisão de inequações cuja solução é dada pelo estudo da variação de sinal. 
 
Exemplo: Produto 
(6  2x)(x  1) ≥ 0 
 
6  2x = 0 x = 3 x  1 = 0 x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 *  + , ; - 
 
Exemplo: Quociente 
Obs. O denominador sempre será diferente de 0, intervalo aberto. 
 
 
 
 
x  1 = 0 x = 1 2x 10  0 x   5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 *  + 
 - ; , , ; , 
 
 
 
 
+ +  
 + + 
 +  
  + 
+   
 +  
+ 
- 
x 
3 
+ 
- 
x 
1 
+ 
- 
x 
1 
+ 
- 
x 
-5 
f(x) 
g(x) 
f(x) 
g(x) 
∩ 
4 6 
x 
f(x) 
g(x) 
g(x) f(x) 
1 3 
 f(x) 
g(x) 
f(x). g(x) 
 
 f(x) g(x) 
5 1 
g(x) 
 f(x) 
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
 
 
13 
 
Prof. Cleriston Santos 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU 
(função quadrática) 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 As raízes da equação do 2º grau são denominadas, em função, de zeros da função quadrática. 
Uma das formas de obter as raízes da equação é utilizando a fórmula de Bháskara: 
 
 
 √ 
 
 
 ou outros meios como a Soma e Produto: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 ( ) ( ) 
Domínio: D = 
O gráfico é uma parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Sendo a >0 a concavidade da parábola é para cima e o vértice é um ponto de mínimo. 
Quando a < 0, a concavidade é para baixo e o vértice é um ponto de máximo. 
A parábola corta o eixo y no valor do coeficiente c e o eixo x nas raízes da equação (zeros da função). 
Se entre o vértice e o ponto em que a parábola corta o eixo y for crescente b > 0, se decrescente b < 0. 
 
COORDENADAS DO VÉRTICE: 
 A coordenada do vértice é dada pelas fórmulas: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Obs. O yv também pode ser obtido substituindo o valor de xv na função. 
 
IMAGEM: 
 A imagem de uma função quadrática está relacionada ao yv. 
 
Se a > 0: 2 
 
 
3 
 
Se a < 0: 2 
 
 
3 
 
Exemplo: O gráfico da função f(x) = x2 + 4x  3 
Raízes: x2 + 4x  3 = 0 x’ = 1 e x” = 3 
Vértice: 
 
 ( )
 e 
 
 ( )
 ou f(2) = 22 + 4.2 3 = 1 
Domínio: R 
Imagem = *  } 
 
 
 
 
 
 
x
y
x` x” 
vértice 
xv 
yv 
c 
x
y
x’ x” xv 
yv 
c 
vértice 
a >0 a <0 
       






x
y
14 
 
Prof. Cleriston Santos 
Obs. A taxa de variação da função quadrática corresponde a uma reta tangente à parábola dada por 2ax0 + b. 
O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria (M) perpendicular ao eixo x e que passa pelo vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
 a > 0 a < 0 
 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:O estudo dos sinais da função y = x
2
  4 
x
2
  4 = 0 x’ = 2 e x” = 2 
 
x = 2 ou x = 2 y = 0 
2 < x < 2 y < 0 
x < 2 ou x > 2 y > 0 
 
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 Inequações são desigualdades do tipo: 
ax
2
 + bx + c > 0; ax
2
 + bx + c < 0; ax
2
 + bx + c ≥ 0; ax2 + bx + c ≤ 0, sendo a  0. 
Resolução de uma inequação: 
- Coloque a inequação na forma geral determinando suas raízes. 
- Represente o gráfico de sinais com o intervalo pedido . 
 
Exemplo: x
2
  6x  16 ≤ 0 
x
2
  6x  16 = 0 x’ = 2 e x” = 8 
 *  + ou S = [2;8] 
 
 
 
 
 
 
 
t 
y = ax
2+ bx + c 
x0 x 
(x;y) 
y 
x 
(x0;y0) y0 = ax0
2+ bx0 + c 
M 
+ + 
- 
x 
x” x’ 
+ + 
- 
x x” x’ 
+ + 
x 
x 
+ + 
x 
+ 
- - 
x 
x 
- - 
x 
- 
+ + 
- 
x 
2 -2 
𝑥 𝑥’ 𝑜𝑢 𝑥 𝑥” 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑜𝑢 𝑥 𝑥 𝑦 
𝑥 𝑥’ 𝑜𝑢 𝑥 𝑥” 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑜𝑢 𝑥 𝑥 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑦 
 𝑥 𝑦 
 𝑥 𝑦 
+ + 
- 
x 
8 -2 
15 
 
Prof. Cleriston Santos 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU. 
 Resolva as inequações separadamente e depois faça a intersecção entre elas. 
 
Exemplo: 
| 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 * + 
 
 
INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE. 
 
Exemplos: 
Inequação Produto: (x
2
  2x)(x2  4x + 3) 
 
f(x): x
2
  2x = 0 g(x): x2 4x + 3 = 0 
 x’ = 0 e x” = 2 x’ = 1 e x” = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 * + 
 S = [0;1] e [2;3] 
 
 
 
Inequação quociente: 
 
 
 
 
f(x): 2x
2
 + x – 1 = 0 g(x): 
 x’ = e x” = 
 
 
 x’ = 0 e x” = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 { 
 
 
 } 
 S = - ; - 0 ;
 
 
1 - ; , 
 
 
 
 
 
 
 
 
+   + + 
+ +   + 
+  +  + 
+   + + 
+ +   + 
+  +  + 
+   + + 
 + + 
 + + 
f(x) 
g(x) 
+ + 
- 
x 
4 -5 
+ + 
- 
x 
7 -3 
f(x) 
g(x) 
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 
 4 7 
+ + 
- 
x 
3 1 
+ + 
- 
x 
2 0 
f(x) 
g(x) 
f(x).g(x) 
0 1 2 3 
+ + 
 
x 
 
 
 
 
+ 
x 
2 0 
f(x) 
g(x) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
 0 
 
 
 
 
2 
16 
 
Prof. Cleriston Santos 
FUNÇÃO MODULAR 
MÓDULO 
 O módulo de um número é o valor absoluto, medindo as unidades de distância entre a origem e sua 
posição na reta numérica, ou seja, o módulo de um número é sempre um número real não negativo. 
 
 
Exemplo: |3| = 3 | 3| = 3 
 
Propriedades: e ⇔ 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 ( ) 
Domínio: D = 
Imagem: Im = 
Exemplo: Gráfico da função f(x) = |x| 
x f(x) = |x| y 
 2 f(2) = |2| 2 
 1 f(1) = |1| 1 
0 f(0) = |0| 0 
1 f(1) = |1| 1 
2 f(2) = |2| 2 
 
Translação de uma função modular: 
f(x) = |x| + m deslocamento vertical para cima. 
f(x) = |x| m deslocamento vertical para baixo. 
f(x) = |x + m| deslocamento horizontal para esquerda. 
f(x) = |x m| deslocamento horizontal para direita. 
 
EQUAÇÃO MODULAR 
 É toda equação em que a incógnita aparece em módulo. Tendo como forma a relação: 
 2
 
 
 
Exemplos: 
a) |x| = 2 2
 
  
 S = {2;2} b) |x| =  2 S = Ø 
c) |2x  4| = |x + 2| {
  
    
 
 
 S = 2
 
 
; 3 
 
d) |x|
2
 + |x|  2 = 0 (|x| = t para t ≥ 0 (mudar variável)) t2 + t  2 = 0 t’ = 1 e t” =  2 
sendo |x| = t |x| = 1 2 
 
 |x| =  2 não convém S = {1; 1} 
 
INEQUAÇÃO MODULAR 
 Relação para maior, maior igual, menor ou menor igual. 
|x| < k  k < x < k 
|x| > k x <  k ou x > k 
 
Exemplos: 
a) |x| ≥ 2 x ≤ 2 ou x ≥ 2 S = {x R| x ≤ 2 ou x ≥ 2} 
b) |x| < 3 3 < x < 3 S = { x R| 3 < x < 3} 
 
c) |2x + 5| < 3 3 < 2x + 5 < 3 3 5 < 2x < 3 5 4 < x < 1 S = { x R| 4 < x < 1} 
 
d) |x 2| > 3x  1 {
  
 
 
 
 
 
 
 
S = 2 
 
 
3 
 
 
 
 
0 n  n 
n n 
        






x
y
 
I 
II 
U 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Prof. Cleriston Santos 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
REVISÃO DE POTÊNCIA 
a
n
 = b 
a
n
 = a.a.a.....a = b 
 
Onde a é a base, n o expoente e b é a potência. Obs. 
Convenção: n
0
 = 1 (n *) n1 = n (n ) 
Exemplos: a) 2
3
 = 2.2.2 = 8 b) 3
0
 = 1 c) 5
1
 = 5 
 
PROPRIEDADES DE POTÊNCIA 
I. am. an = am+n Ex. 52 . 54 = 52+4 = 56 
 
II. 
 
 
 Ex. 
 
 
 
 
III. ( ) Ex. ( ) 
 
IV. (a .b)m = am .bm ou .
 
 
/
 
 
 
 
 Ex. (a.b)
3
 = a
3
 . b
3
 .
 
 
/
 
 
 
 
 
 
V. 
 
 
 .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 Ex. 
 
 
 
 
 
 .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 
 
 
 
 
VI. 
 
 √ 
 
 Ex. 
 
 √ 
 
 
 
Notação científica: a.10
n
 onde a é um número entre 1 e 9 e n um número inteiro. 
Exemplo: 32000 = 3,2.10
4
 
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 ( ) ( ) 
( 
 ) 
Domínio: D = Imagem: Im = 
 função bijetora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: f(x) = 2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x f(x) = 2
x
 y 
─2 f(─2) = 2─2 ¼ 
─1 f(─1) = 2─1 ½ 
0 f(0) = 2
0
 1 
1 f(1) = 2
1
 2 
2 f(2) = 2
2
 4 
n vezes 
a > 1 
crescente 
0 < a < 1 
decrescente 
x
y
1
x
y
1
        






x
y
18 
 
Prof. Cleriston Santos 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 É toda equação que possui a incógnita no expoente de uma potência. 
 ( ) 
Exemplos: 
a) (fatorar o 81) 
3
x
 = 3
4
 
 x = 4 
S = {4} 
 
b) 9x + 1 = 27x ─ 3 
(3
2
)
x + 1
 = (3
3
)
x ─3
 
3
2x + 2
 = 3
3x ─ 9
 
2x + 2 = 3x ─ 9 
x = 11 
S = {11} 
 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 Inequações onde a incógnita aparece no expoente. 
Sendo f(x) = a
x
 crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1 
 ⇔ (conservar o sinal) 
 ⇔ (inverter o sinal) 
 
Exemplos. 
a) 2x + 7 > 16 sendo a > 1 
2
x + 7 
> 2
4
 
 x + 7 > 4 
 x > ─3 S = * + 
 
b) .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 sendo 0 < a < 1 
 x ─ 1 > 6 
 x > 7 S = * + 
 
c) para 5x = t 
 t
2
 < ─5 + 6t 
 t
2
 ─6t + 5 < 0 
 t
2
 ─ 6t + 5 = 0 
 t’ = 1 e t” = 5 
 
 
 
 
 
 1 < 5
x
 < 5 
 5
0
 < 5
x
 < 5
1
 
 0 < x < 1 
 S = * + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ + 
─ 
x 
5 1 
19 
 
Prof. Cleriston Santos 
LOGARITMO 
Considerando dois números a e b reais e positivos, com a ≠ 1, existe um número x tal que ax= b. 
 A esse expoente x damos o nome de logaritmo de b (logaritmando) na base a. 
 
Exemplos: 
a) 2
x
 = 8 2x = 23 x = 3 
 
b)4
x
 = 2 22x = 21 2x = 1 x = ½ 
 
 
 
 
Obs. Quando o logaritmo tiver uma base 10 ela não precisa ser colocada (logaritmo decimal). 
 
Exemplos: log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3 etc. 
 
 
Consequências da definição: 
1. Ex. 11
x
 = 11 x = 1 
2. Ex. 5
x
 = 1 5x = 50 x = 0 
3. 
 Ex. 
 4x = 43 x = 3 
4. 
 
 
 Ex. 
 
 
 2x = ½ 2x = 2─1 x = ─1 
5. Ex. 
 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
1. Logaritmo do produto: 
2. Logaritmo do quociente: 
 
 
 
3. Logaritmo da potência: 
 
4. Logaritmo de radical: √ 
 
 
 
 
 
 
Exemplos. 
1. e 
a) = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781 
b) log 1,5 = 
 
 
 = log 3 ─ log 2 = 0,4771 ─ 0,3010 = 0,1761 
c) log 16 = log 24 = 4 log 2 = 4 . 0,3010 =1,2040 
d) log √ = log 4 + log √ = log 22 + log 3½ = 2 log 2 + ½ log 3 = 2 . 0,3010 + ½ . 0,4771 = 0,8405 
 √ 
 
2. Simplifique a expressão 
 √ 
 
. 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLOGARITMO 
 Denomina – se cologaritmo de um número b (b> 0) numa base a (a > 0 e a ≠ 1) o oposto do logaritmo 
do número b e base a. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
ANTILOGARITMO 
 ⇔ 
Exemplo: 
 ⇔ ⇔ 
 
 
 
20 
 
Prof. Cleriston Santos 
MUDANÇA DE BASE DE LOGARÍTMOS 
 Só podemos operar com logaritmos de mesma base, por isso, deixamos todos os logaritmos em uma 
base igual. 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) Sendo log 2 = 0,3010 e , calcule . 
 
 
 
 
 
b) Dados log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4. Determine . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcule 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
4
 = x x = 16 S = {16} 
 
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DOS LOGARITMOS 
 x 2
 
 
 
Exemplo. 
 
I. 3x ─ 6 > 0 x > 2 
II. ─x + 4 > 0 x < 4 
III. ─x + 4 ≠ 1 x ≠ 3 
 
 
 S = * + 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 ( ) ( ) 
 
Obs. O gráfico dessa função intercepta o eixo x no ponto (1;0) e não intercepta o eixo y e sua forma depende da 
base a. 
 
Domínio: D = 
 Imagem: Im = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Gráfico de f(x) = 
 
x ( ) y 
¼ (
 
 
) 
 
 
 ─2 
½ (
 
 
) 
 
 
 ─1 
1 ( ) 0 
2 ( ) 1 
4 ( ) 2 
 
 
(0 < c ≠ 1) 
I 
II 
III 
𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 
2 3 4 
 
x
y
1 0 
x
y
1 0 
a > 1 
crescente 
0 < a < 1 
decrescente 
        








x
y
21 
 
Prof. Cleriston Santos 
Obs. A função ( ) admite inversa que é a função f(x) = a
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Apresenta incógnita na base e/ou no logaritmando. 
Resolução: 
1. Estabeleça a condição de existência. 
2. Resolva a equação. 
3. Faça comparação entre a resolução e a condição de existência determinando o conjunto solução. 
 
Exemplo. 
 ( ) ( ) 
1º condição de existência: 
I. x + 7 > 0 x > ─7 
II. 2x ─ 1 > 0 x > ½ 
 
 
 
 
 
2º resolução: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 4(2x ─1) = x + 7 8x ─ 4 = x + 7 7x = 11 x = 
 
 
 
 
3º comparação: 
Como 
 
 
 
 
 
 S = .
 
 
/ 
 
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
 Inequações são desigualdades. 
Resolução: 
 I. Conversão para mesma base 
 II. Condição de existência 
Obs. Se a > 1 o sentido da desigualdade se conserva. 
 ⇔ 
Se 0 < a < 1 o sentido da desigualdade se inverte. 
 ⇔ 
 III. Resolve – se a nova inequação, fazendo a intersecção com a condição de existência. 
 
Exemplo: ( ) ( ) 
Bases são iguais. 
Conserve o sentido pois a > 1 
Condição de existência 
I. 2x ─ 4 > 0 x > 2 x > 2 
II. x + 1 > 0 x > ─1 
 
Cálculo. 
2x ─ 4 > x + 1 x > 5 
 
S = * + 
 
I 
II 
𝐼 𝐼𝐼 
 
─7 ½ 
x
y
1 
1 
0 
x
y
1 
1 0 
a > 1 0 < a < 1 
𝑓 (𝑥) 𝑎𝑥 𝑓 (𝑥) 𝑎𝑥 
𝑓(𝑥) 𝑎 𝑥 
𝑓(𝑥) 𝑎 𝑥 
I 
II 
𝐼 𝐼𝐼 
 ─1 2 
Cond. exist. 
Cálculo 
∩ 
 2 5 
22 
 
Prof. Cleriston Santos 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
 Estão associadas aos processos de contagem e desenvolvimento dos sistemas de numeração. 
 Uma sequência é uma ordem para os elementos de um conjunto, de tal forma que cada elemento seja 
associado a uma posição. As sequências podem ser finitas ou infinitas. 
( ; ; ; ; ; ) – – – 
 
Exemplo. 
Sequência finita: (2;8;14;20) onde = 2; = 8 etc. 
Sequência infinita: (1;3;5;7;9;...) onde = 1; = 3 etc. 
 
Lei de formação de uma sequência possibilita a partir de uma expressão relacionar o valor do termo com sua 
posição. 
Exemplo. = 2n ─ 1 
 
Exemplo. Escreva os quatro primeiros elementos da sequência de termo an = 3 + 4n 
a1 = 3 + 4 . 1 a1 = 7 a2 = 3 + 4 . 2 a2 = 11 
a3 = 3 + 4 . 3 a3 = 15 a4 = 3 + 4 . 4 a4 = 19 
portanto (7; 11; 15; 19) 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 
 Sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando – se uma constante r (razão da 
PA) ao termo anterior. 
 
Exemplo: sequência (2;7;12;17) 
r = a2 ─ a1 = 7 ─ 2 = 5 
a1 = 2 a2 = 2 + 5 = 7 a3 = 7 + 5 = 12 a4 = 12 + 5 = 17 
 
Obs. r > 0 PA crescente r = 0 PA constante r < 0 PA decrescente 
 
Desta forma podemos estabelecer a relação, onde o termo posterior é a soma do termo anterior com a razão. 
 
TERMO GERAL DA PA 
 ( ) 
 
Exemplos: 
Determine o 24° termo da PA (3;7;11;...) 
a1 = 3 r = 7 ─ 3 = 4 
an = a1 + (n ─ 1)r a24 = a1 + (24 ─ 1)r a24 = 3 + (24 ─ 1). 4 a24 = 95 
 
Numa PA, a17 = 79 e a razão é 8. Determine o 1° termo. 
a17 = a1 + (17 ─ 1). r 79 = a1 + (17 ─ 1).8 a1 = ─ 49 
 
Quantos são os múltiplos de 9 compreendidos entre 100 e 1000? 
a1 = ? an = ? r = 9 n = ? 
100 : 9 = 11 e resto 1 11 x 9 = 99 99 + 9 = 108 a1 = 108 
1000 : 9 = 111 e resto 1 111 x 9 = 999 an = 999 
an = a1 + (n ─ 1)r 999 = 108 + (n ─ 1) . 9 n = 100 
 
PROPRIEDADES DA PA (INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA) 
I. Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior. 
 
 
 
 (k ≥ 2) 
 
II. A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo. PA (2;5;8;11;14;17;20;23;26) 
1º 
 
 
 
 
 
 
 
2° 2 + 26 = 28 5 + 23 = 28 etc. 
 
 
23 
 
Prof. Cleriston Santos 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA FINITA 
 
 
( ) 
 
 
 
Exemplo. 
Determine a soma da PA (5;7;9;...;23) 
a1 = 5 an = 23 n = ? r =7 ─ 5 = 2 
an = a1 + (n ─ 1)r 23 = 5 + (n ─ 1) . 2 n = 10 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 S10 = 140 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) 
 
 Uma sequência obtida pelo produto do termo com razão da PG, q. 
 
a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1  PG crescente 
a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1  PG decrescente 
  PG alternante 
  PG constante 
  PG estacionária 
 
Exemplos. 
a) A sequência (3;6;12;24;...) 
Razão q = 6 : 3 =2 portanto q = 2 a1 = 3 a2 = 3 . 2 = 6 etc. PG crescente 
 
b) . ; ;
 
 
;
 
 
; / c) (─2; 4; ─ 8; 16,...) PG alternante 
d) (3;3;3;3;...) PG constante e) (0;0;0;0;...) PG estacionária 
 
f) Obtenha os 4 primeiros termos de uma PG de razão 2 e a1 = 2 
a2 = 2 . 2 = 4 a3 = 4 . 2 = 8 a4 = 8 . 2 = 16 portanto (2; 4; 8; 16) 
 
Desta forma podemos estabelecer a relação, onde o termo posterior é o produto do termo anterior com a razão. 
 
 
TERMO GERAL DA PG 
 
 
a1 – 1° termo 
an – termo geral 
q – razão 
n – número de termos 
 
 
 
PG de 2 termos de ordem n (an) e k (ak) k < n 
 
Exemplos: 
a) Obtenha o 8º termo da PG (1;3;9;...) 
q=3:1=3 an = a1 . q
n─1
 a8 = 1 . 3
8 ─1
 a8 = 2187 
 
b) Determine a razão de uma PG em que a4 = 108 e a8 = 8748. 
an = ak . q
n ─k
 a8 = a4 . q
8─4
 8748 = 108 . q4 
 
 
 √ 
 q = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Prof. Cleriston Santos 
PRODUTO DOS TERMOS DE UMA PG FINITA 
 Em uma PG finita de n termos e razão q, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao 
produto dos extremos. 
 ( )
 
 ou 
 
 ( )
 
 
Demonstração por exemplo: (2; 4; 8; 16) 2 . 16 = 32 e 4 . 8 = 32 
 
Exemplo: 
a) Obtenha o produto dos 6 primeiros termos da PG (4; 8; 16; ...) 
a1=4 a6 =? q = 8 : 4 = 2 
a6 = a1 . q
n─1
 a6 = 4 . 2
5
 = 128 
 ( )
 
 
 ( )
 
 P6 = 512
3 ou 
 
 
 ( )
 
 
b) Calcule o produto dos cinco primeiros termos de uma PG crescente, sabendo que o termo central é 9. 
a1, a2, 9, a4, a5 
a1 . a5 = a2 . a4 = a3 . a3 = 9
2
 
 ( )
 
 P5 = ( )
 
 P5 = 9
5
=59.049 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA 
 Para obtermos a soma (Sn) dos seus termos, devemos considerar dois casos: 
 
1° PG com razão 1. 
Sn = n . a1 
Exemplo: (3;3;3;3;3;3) 
S6 = 6 . 3 = 18 
 
2° PG com razão diferente de 1. 
 
Obs. Quando não conhece o n 
 
 
 
 
Quando se conhece o n 
 ( 
 )
 
⇔ 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Para PG (5;10;20;…) calcule a soma dos dez primeiros termos. 
q = 10 : 5 = 2 a1 = 5 S10 = ? 
 
 
 ( )
 
 
 
Calcule a soma dos termos da PG (1;2;4;...;256) 
q = 2:1 = 2 a1 = 1 Sn = ? 
 
 
 
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Dados o primeiro termo da razão, utilizamos esta fórmula para o cálculo de progressões geométricas 
decrescentes em que a razão esteja compreendida entre 0 e 1 (0< q< 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Prof. Cleriston Santos 
2ª ANO 
 
9. GEOMETRIA PLANA 
9.1. Ponto, reta e plano. 
9.2. Posições relativas no espaço. 
9.3. Ângulos. 
9.4. Teorema de Tales. 
9.5. Polígonos. 
9.6. Triângulo. 
9.7. Circunferência e círculo. 
9.8. Polígonos inscritos e circunscritos. 
 
10. GEOMETRIA ESPACIAL MÉTRICA 
10.1. Poliedros. 
10.2. Prismas. 
10.3. Pirâmides. 
10.4. Cilindros. 
10.5. Cones. 
10.6. Esferas. 
 
11. TRIGONOMETRIA 
11.1. Círculo trigonométrico. 
11.2. Seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente. 
11.3. Relação fundamental e outras fórmulas trigonométricas. 
11.4. Funções trigonométricas. 
11.5. Equações trigonométricas. 
11.6. Inequações trigonométricas. 
11.7. Tabela e círculo trigonométrico (anexo). 
 
12. ANÁLISE COMBINATÓRIA 
12.1. Princípio fundamental da contagem. 
12.2. Fatorial. 
12.3. Permutação. 
12.4. Arranjo e combinação. 
12.5. Número binomial e triângulo de Pascal. 
12.6. Binômio de Newton. 
 
13. PROBABILIDADE 
13.1. Espaço amostral e eventos. 
13.2. Probabilidade de eventos. 
13.3. Tipos de eventos e probabilidades. 
 
14. MATRIZES 
14.1. Tipos de matrizes. 
14.2. Operações com matrizes. 
 
15. DETERMINANTES 
15.1. Matrizes de ordens 1, 2 e 3 (regra de Sarrus). 
15.2. Propriedades dos determinantes. 
15.3. Cofator. 
15.4. Teorema de Laplace. 
15.5. Regra de Chió. 
15.6. Matriz de Vandermonde. 
 
16. SISTEMAS LINEARES 
16.1. Sistemas e equações lineares. 
16.2. Tipos de sistemas lineares (classificação). 
16.3. Métodos de solução de sistemas lineares. 
 
 
 
26 
 
Prof. Cleriston Santos 
GEOMETRIA PLANA 
 
Em geometria temos alguns conceitos primitivos que não têm definição, entendidos de forma intuitiva 
não necessitando de demonstração que são os postulados ou axiomas, temos as definições que caracterizam 
situações ou objetos específicos e por último temos proposições mais elaboradas que precisam de demonstração, 
chamadas teoremas. 
 
POSTULADOS 
Postulado da existência: Existem ponto, reta e plano. 
 
 
 
 
Ponto: usa – se letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Reta: usa – se letras minúsculas do nosso alfabeto. 
Plano: usa – se letras minúsculas do alfabeto grego. 
 
 
RETA 
 
P1: numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. 
 
 
 
 
P2: por um ponto passam infinitas retas. 
 
 
 
 
 
 
 
P3: dois pontos distintos determinam uma reta que os contém. 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE RETA E PONTO 
 
 
 
 Os pontos A, B e C são colineares, ou seja, pontos que pertencem a uma mesma reta. 
 Os pontos D, E e F não são colineares. 
 
SEGMENTO DE RETA: Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto 
dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. 
 
 
 
SEMIRRETA: Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta ̅̅ ̅̅ com o conjunto dos pontos 
X tais que B está entre A e X é a semirreta 
 
 
 
SEGMENTOS CONSECUTIVOS: Dois segmentos são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de um 
deles é também do outro. 
 
 
 
 
 
 
.P ponto r reta plano 
 
A 
B 
𝐴 𝑟 𝑒 𝐵 𝑟 
A r 
s 
t 
A B 
𝐴𝐵 ⃡ r 
A B 
E 
F 
D 
C 
r 
A B 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
A B X 
𝐴𝐵 
A 
B 
C 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
27 
 
Prof. Cleriston Santos 
RELAÇÃO ENTRE RETAS 
 
Retas paralelas distintas ( ) 
P4: Por um ponto fora da reta existe uma única reta paralela à reta dada, e as retas não têm ponto em comum. 
 
Retas concorrentes: têm um ponto em comum * + 
 
Obs. Retas oblíquas: ângulo entre as retas é diferente de 0° e 90° 
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam um ângulo de 90° 
 
Retas coincidentes: Equivale a retas sobrepostas (uma reta). 
 
 
 
PLANO 
 
P1: em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. 
 
 
 
 
 
P2: Toda reta que tem dois pontos distintos num plano está contida nesse plano. 
 
 
 
 
 
P3: Três pontos não situados na mesma reta (não colineares) determinam um único plano (pontos coplanares). 
 
 A, B e C são pontos coplanares (pertencem ao plano) 
 
 
 
 A, B, C e D não são coplanares 
 
 
P4: uma reta de um plano divide – o em duas regiões denominadassemiplanos. 
 
 
 
 
A reta r é a origem dos semiplanos . 
Os semiplanos e são opostos e de origem r. 
 
P5: Um plano qualquer divide o espaço em duas partes. 
O plano é a origem dos dois semi – espaços. Qualquer reta que passa pelas regiões e intercepta o plano. 
 
 
 
 
 
P6: Por uma reta passam infinitos planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
s 
𝑟 𝑠 
r 
s 
r 
s 
r e s 𝑟 ≡ s 
A 
B 
 
A 
B 
 A 
B 
 
r 
A 
B 
 
C 
A 
B 
 
C 
D 
r 
 
 
 
 
 
 
r 
 
 
 
r 
28 
 
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DETERMINAÇÃO DO PLANO 
 Os planos podem ser determinados por: 
1. Por três pontos não colineares 
 
 
 
2. Por um ponto e uma reta fora dela. 
 
 
 
 
3. Por duas retas concorrentes. 
 
 
 
 
4. Por duas retas paralelas no mesmo plano com pontos não colineares. 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO 
 
RETAS COPLANARES 
 São aquelas que estão contidas em um mesmo plano. Elas podem ser: 
 
1. Concorrentes: tem um único ponto em comum, sendo perpendiculares ou obliquas. 
 
 
 
 
2. Paralelas: não tem ponto em comum, sendo paralelas distintas ou coincidentes. 
 
 
 
 
RETAS REVERSAS 
 São duas retas, quaisquer, que não estão contidas em um mesmo plano. 
Duas retas reversas não tem ponto em comum ( ). 
 Se elas formarem um ângulo de 90° são chamadas ortogonais ( ) 
 
 
 
 
 
 
RETA CONCORRENTE AO PLANO 
 Uma reta e um plano são concorrentes se tiverem um único ponto em comum. 
 
 
 
 
 
 * + ⇔ existe um único 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
 
C 
P 
r 
 
s 
r P 
 
s r 
 
r 
s 
s r 
 
   
s 
r r 
r 
s s 
 
r 
P 
29 
 
Prof. Cleriston Santos 
RETA PARALELA AO PLANO 
 Uma reta é paralela ao plano quando não há ponto comum entre eles. 
 
 
 ⇔ 
 
TEOREMA DO PARALELISMO ENTRE RETA E PLANO 
 Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao 
plano. 
 
 
 
 
 
 
Demonstração por hipótese. 
 tese. 
 
 
POSIÇÃO RELATIVA DE DOIS PLANOS 
 
 
PLANOS COINCIDENTES 
 Dois planos são coincidentes se tiverem todos os pontos em comum. 
 
 
 
PLANOS CONCORRENTES 
 Dois planos distintos são concorrentes ou secantes se tiverem uma reta comum. (Diedros – 2 planos) 
 
 ⇔ 
 
 
 
 
 
 
 
PLANOS PARALELOS DISTINTOS 
 Dois planos distintos são paralelos quando não tiverem ponto comum. 
 
 
 
Obs. Se dois pontos distintos são paralelos então qualquer reta de um deles é paralela ao outro, e qualquer reta 
concorrente a um deles é concorrente ao outro. 
 
 
 
 
 * + * + 
 
 
TEOREMA DO PARALELISMO 
1. Se uma reta r é paralela a um plano , e se um plano contém r e é secante a segundo uma reta s, então as 
retas r e s são paralelas. 
2. Se uma reta r, não contida num plano , é paralela a uma reta s, contida em , r e são paralelos. 
3. Se e são planos paralelos, qualquer reta contida em um dos planos será paralela ao outro. 
4. Se um plano contém duas retas r e s concorrentes e ambas paralelas a um plano , então os planos são 
paralelos. 
 
 
 
 
r 
 
 
r 
s 
 
r 
s 
   
 
 
 
 r 
 
 
r 
Q 
P 
 
r 

 
30 
 
Prof. Cleriston Santos 
PERPENDICULARISMO 
 
RETA E PLANO PERPENDICULARES 
 Uma reta é perpendicular a um plano se for concorrente a ele e perpendicular a todas as retas do plano 
que passam pelo ponto de concorrência. 
 
 
 
 
 
Toda reta que intercepta um plano e não é perpendicular a ele, é chamada de oblíqua. 
 
 
 
TEOREMAS DO PERPENDICULARISMO 
1. Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 
2. Por um ponto de uma reta (ou fora dela) existe somente um plano perpendicular a essa reta. 
3. Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer reta paralela a ela é também perpendicular ao plano. 
4. Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é também perpendicular ao outro. 
5. Teorema das três perpendiculares 
 Uma reta r perpendicular a um plano no ponto P; uma reta s, contida neste plano, que não passa por P, e 
uma reta t, também contida no plano, que passa por P e é perpendicular a s no ponto A. Então, se B é um ponto 
de r, a reta ⃡ é perpendicular à reta s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PLANOS PERPENDICULARES 
 Dois planos são perpendiculares se um deles contiver uma reta perpendicular ao outro. 
Obs. Se uma reta é perpendicular ao plano, todos os planos que a contém são perpendiculares ao plano inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se dois planos concorrentes não são perpendiculares, dizemos que são oblíquos. 
Obs. Em dois planos oblíquos nenhuma reta de um é perpendicular ao outro. 
 
TEOREMAS DE PLANOS PERPENDICULARES 
1. Se uma reta r e um plano  são ambos perpendiculares a um plano , a reta r está contida no plano  ou é 
paralela a . 
2. Se dois planos  e  se intersectam segundo uma reta r e se  é outro plano perpendicular a cada um dos 
planos, então  é perpendicular a r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 
s 
A 
P 
r 
B 
 
 
r 
 
 
 
 
 
31 
 
Prof. Cleriston Santos 
PROJEÇÃO ORTOGONAL 
DE UM PONTO SOBRE O PLANO 
 Traçamos a reta perpendicular ao plano por um ponto fora dele, encontrando outro ponto 
correspondente no plano, chamado de projeção ortogonal. 
 
 
 
DE UMA FIGURA SOBRE O PLANO 
 Projeção ortogonal de todos os pontos da figura. 
 
 
 
 
DISTÂNCIAS 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 Dados dois pontos distintos A e B, a distância entre A e B é a medida do segmento ̅̅ ̅̅ . 
 Se A e B coincidem a distância é 0. 
 
 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A RETA 
 Dados um ponto P e uma reta r, podemos traçar uma reta que passa por P e é perpendicular a r, no ponto 
A. Tendo a distância o segmento de P até A. 
 
 
 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO 
 Dados um ponto P e um plano, podemos determinar a projeção ortogonal P’, tendo a distância do ponto 
ao plano a distância de P à sua projeção. 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS DISTINTAS E PARALELAS 
 Dadas às retas r e s, distintas e paralelas, a distância entre r e s é à distância de qualquer ponto de uma 
delas a outra reta. 
 Se as duas retas são coincidentes a distância entre elas é 0. 
 
 
 
DISTÂNCIA DE UMA RETA PARALELA AO PLANO 
 Sendo a reta paralela ao plano, a distância entre eles é à distância de qualquer ponto da reta ao plano. 
 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS E PARALELOS 
 A distância entre esses planos é à distância de qualquer ponto de um deles ao de outro plano. 
 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS 
 Dadas duas retas reversas r e s, vamos considerar um ponto qualquer de r e o plano que contém s e é 
paralelo a r. A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
P’ 
B A 𝐴 ≡ 𝐵 
r 
P 
A 
P 
P’ 
s 
r 
B 
A 
P 
P’ 
 
 
P’ 
P 
A’ 
C B A 
s 
r 
C’ 
B’ 
32Prof. Cleriston Santos 
ÂNGULOS 
 É o espaço entre duas semirretas de mesma origem. 
 Notação: AÔB, Ô ou  
 
 
MEDIDA DE ÂNGULO 
 A medida do ângulo é dada em grau (1 grau = 1°), e os submúltiplos do grau são o minuto (1’) e o 
segundo (1”). Ângulos com mesma medida são ditos ângulos congruentes. 
1° = 60’ = 3600” e 1’ = 60”. 
Exemplo: 45°54’ + 32°12’ 
 
 
 
 1° = 60’ temos que converter, assim a resposta é 78°06’ 
 
 
TIPOS DE ÂNGULOS 
Ângulo de 1 volta = 360° Ângulo raso ou meia volta = 180° Ângulo reto = 90° 
 
 
 
 
Ângulo agudo (menor que 90°) Ângulo obtuso (maior que 90°) 
 
 
 
 
Ângulos complementares: quando a soma de dois ou mais ângulo for igual a 90°. 
Ângulos suplementares: quando a soma de dois ou mais ângulos for igual a 180°. 
Ângulos consecutivos: são ângulos que têm um lado comum (mesma origem), ou seja, o lado de um é também o 
lado do outro. 
Ângulos adjacentes: são ângulos que aparecem em uma sequência, não tem pontos internos comuns. 
Exemplo. AÔB e BÔC são consecutivos e adjacentes sendo o lado comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
 É uma semirreta de origem no vértice do ângulo e que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. 
Exemplo: O segmento ̅̅ ̅̅ ̅ é bissetriz. 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P.V) 
 Retas concorrentes determinam pares de ângulos opostos pelo vértice, assim os ângulos opostos têm a 
mesma medida. 
AÔB = CÔD e AÔC = BÔD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
B 
A 
 
+ 
r 
s 
B 
A 
O 60° 
B 
A 
O 
C 
30° 
30° 
D 
C 
B A 
O 
A B 
C O 
33 
 
Prof. Cleriston Santos 
ÂNGULOS DE RETAS PARALELAS 
 As retas r e s são paralelas, e t é transversal. (lembrar da técnica do z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pares de ângulos Designação dos ângulos Propriedades 
1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8 Correspondentes Congruentes 
3 e 5; 4 e 6 Alternos internos Congruentes 
1 e 7; 2 e 8 Alternos externos Congruentes 
4 e 5; 3 e 6 Colaterais internos Suplementares 
2 e 7; 1 e 8 Colaterais externos Suplementares 
 
 
 
 
TEOREMA DE TALES 
 Um feixe de retas paralelas cortadas por duas retas transversais determina em cada transversal, 
segmentos correspondentes proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 ou 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
s 
t 
1 2 
3 4 
5 6 
7 8 
A A’ 
B B’ 
C C’ 
r 
s 
u 
t t’ 
10 24 
15 x 
20 y 
r 
s 
u 
34 
 
Prof. Cleriston Santos 
POLÍGONOS 
 É a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta de um mesmo plano, 
com sua região interna. 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértices: pontos A, B, C, D e E. Assim também nomeamos o polígono. Polígono ABCDE 
Lados: segmentos , , , e 
Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos. 
Exemplo: ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ ou ̂, ̂, ̂, ̂, ̂ 
Ângulos externos: ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento de um lado consecutivo a 
ele. 
Obs. Os ângulos internos e externos dos polígonos são sempre suplementares, ou seja, iguais a 180°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagonal: segmentos que unem um vértice a outro não consecutivo. 
O cálculo das diagonais é dado por: 
 
 ( )
 
 Onde d é a diagonal e n o número de lados ou vértices 
 
Exemplo: 
 
 ( )
 
 
 
 
 
Polígono regular: polígono com lados iguais e ângulos congruentes. 
LADOS NOMES LADOS NOMES 
3 Triângulo 9 Eneágono 
4 Quadrilátero 10 Decágono 
5 Pentágono 11 Undecágono 
6 Hexágono 12 Dodecágono 
7 Heptágono 15 Pentadecágono 
8 Octógono 20 Icoságono 
Obs. os demais não recebem nomes particulares 
 
PERÍMETRO (2p): é a soma das medidas dos lados. 
SEMIPERÍMETRO (p): é a metade da medida do perímetro. 
 
Exemplo: Perímetro = 14 + 25 + 28 + 15 + 40 = 122 
 Semiperímetro = 122 : 2 = 61 
 
 
Polígono convexo 
(união de vértices, contendo todos os segmentos) 
Polígono não convexo 
(há segmentos fora e os vértices não são todos unidos) 
A 
B 
C D 
E 
A 
B 
C D 
E �̂� 
â 
 
�̂� 
�̂� 
𝑐 
40 
14 
25 
28 
15 
35 
 
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ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO 
Triângulos: em qualquer triângulo, a soma dos seus ângulos internos é 180°. 
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360°. 
 
Polígonos quaisquer: ( ) n é o número de lados. 
 
Exemplo: Soma dos ângulos internos de um quadrado 
Si = (4 ─ 2) . 180 = 360° 
 
ÂNGULOS DE UM POLÍGONO REGULAR 
Ângulos internos: 
( ) 
 
 Ângulos externos: 
 
 
 ou 
 
Exemplo: Determine os ângulos de um hexágono regular. 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
SEMELHANÇA DE POLÍGONOS 
Propriedades: 
1. Os perímetros de dois polígonos semelhantes são proporcionais a medida de dois lados correspondentes. 
2. As áreas de dois polígonos semelhantes são proporcionais ao quadrado da medida de dois lados 
correspondentes. 
Exemplo: 
 
 
 Perímetro do menor = 14 m e área do maior = 22,5 m
2
 
 
 
Perímetro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área: 
 
 
 .
 
 
/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, 
então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. 
 
 
 
 
1º caso (AA): Dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, eles são semelhantes. 
 
 
 
 
 
2° caso (LAL): Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e os 
ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
 
 
 
3° caso (LLL): Se dois triângulos tem todos os lados homólogos proporcionais então eles são semelhantes. 
Tendo como razão de semelhança (k) a divisão entre os lados correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
3 
7,5 
7,5 
3 
x 
y 
A 
B C 
A’ 
B’ C’ 
E D 
A 
B C 
A 
B C a 
b c 
A’ 
B’ C’ a’ 
b’ c’ 
A 
B C a 
b c 
A’ 
B’ C’ a’ 
b’ c’ 
36 
 
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QUADRILÁTEROS 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
QUADRADO: Quatro lados iguais e quatro ângulos congruentes. 
 
 
 √ √ 
 
 
 
Exemplo: 
 A = 2
2
 = 4 d = 2√ 
 
 
RETÂNGULO: quadrilátero com quatro ângulos retos e lados opostos iguais. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
TRIÂNGULO: 
 
 Área = 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Obs. A área do triângulo equilátero também pode ser dada por 
 √ 
 
 devido a sua altura 
 √ 
 
. 
 
PARALELOGRAMO: quadrilátero onde os lados opostos são paralelostendo ângulos opostos congruentes. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 A = 5 . 3 = 15 
 
 
 
TRAPÉZIO: quadrilátero com um par de lados paralelos, podendo ser isósceles, escaleno ou retângulo. 
 
 Área = 
( ) 
 
 A = 
( ) 
 
 
 
 
Exemplo: A = 
( ) 
 
 
 
 
LOSANGO: possui quatro lados opostos congruentes. 
 
 
 Área = 
 
 
 A = 
 
 
 
 
 
Exemplo: A = 
 
 
 
 
 
 
𝑙 
𝑙 d 
2 
base 
altura 
2 
3 
altura 
base 
4 
5 
altura 
base 
Altura = 3 
5 
Base maior 
Base menor 
altura 
 10 
 7 
2 
Diagonal maior 
Diagonal 
menor 
10 
4 
37 
 
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TRIÂNGULO 
 Polígono de três lados, onde a medida de um lado é sempre menor que a soma dos outros dois, e o 
maior lado é sempre oposto ao maior ângulo. A soma dos seus ângulos internos é 180°. A medida de um ângulo 
externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele (teorema do ângulo externo). 
 a + b + c = 180° x + y + z = 360° 
 x = a + b z = b + c y = a + c 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 
LADOS: 
Equilátero: três lados iguais (três ângulos iguais a 60°). 
Isósceles: dois lados congruentes (ângulos da base também congruentes). 
Escaleno: três lados de medidas diferentes. 
ÂNGULOS: 
Acutângulo: ângulos internos são agudos (menores que 90°) 
Retângulo: apresenta um ângulo reto (90°) 
Obtusângulo: um dos ângulos internos é obtuso (maior que 90° e menor que 180°) 
 
ALTURA: É o segmento que une um vértice ao lado oposto formando um ângulo de 90°. Todo triângulo possui 
três alturas que se encontram em um único ponto chamado ortocentro. 
 ̅̅ ̅̅ é a altura relativa de ̅̅ ̅̅ 
 ̅̅ ̅̅̅ é a altura relativa de ̅̅ ̅̅ 
 ̅̅ ̅̅ é a altura relativa de ̅̅ ̅̅ 
 
 
Obs. No triângulo obtusângulo o ortocentro não pertence ao triângulo e no triângulo retângulo o ortocentro é o 
vértice do ângulo reto. 
O cálculo da altura no triângulo equilátero é dado por 
 √ 
 
. 
 
MEDIANA: É o segmento de reta que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo triângulo possui três 
medianas que se encontram num único ponto chamado baricentro. 
 
 
 
 
 
BISSETRIZ: É um segmento de reta que une um vértice ao lado dividindo o ângulo desse vértice em dois 
ângulos de mesma medida. Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram num único ponto chamado 
incentro. 
 
 
 
 
Teorema da bissetriz: 
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, segmentos proporcionais aos 
lados do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide 
este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
z 
x 
c b 
a 
B 
A 
C 
N M 
H 
B 
A 
C 
M” M 
M’ 
B 
A 
C 
D x y 
b c 
a 
A 
b 
c 
C 
B D 
a y 
x 
38 
 
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MEDIATRIZES: As mediatrizes (dos lados) de um triângulo interceptam – se em um único ponto, chamado 
circuncentro, equidistantes dos vértices do triângulo, formando uma perpendicular com os lados. O circuncentro 
é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONGRUÊNCIA 
 Dois triângulos são congruentes quando eles têm os lados e os ângulos, respectivamente congruentes. 
Casos de congruência: 
1° Lado, lado, lado (LLL): triângulos que possuem os três lados respectivamente congruentes são congruentes. 
2° Ângulo, lado, ângulo (ALA): triângulos que possuem dois ângulos e um lado compreendido entre eles, 
respectivamente, são congruentes. 
3° Lado, ângulo, lado (LAL): triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre eles, 
respectivamente, são congruentes. 
4° Lado, ângulo, ângulo oposto (LAAo): triângulos que possuem, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo 
oposto a esse lado, respectivamente, são congruentes. 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
Hipotenusa
2
 = cateto
2
 + cateto
2
 
 
Exemplo: x
2
 = 3
2
 + 4
2
 x2 = 25 x = √ x = 5 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 a – hipotenusa b e c – catetos 
 h – altura relativa à hipotenusa 
 m – projeção ortogonal de b sobre a hipotenusa 
 n – projeção ortogonal de c sobre a hipotenusa 
 
 
b . c = a . h b
2
 = a . m c
2
 = a . n h
2
 = m . n a = m + n 
 
Exemplo: Determine as medidas a, b, c e h 
 a = 1,8 + 3,2 = 5 
 b
2
 = a.m b2 = 5 . 3,2 b = √ b = 4 
 c
2
 = a.n c2 = 5 . 1,8 c = √ c = 3 
 a.h = b.c h = 
 
 
 h = 
 
 
 h = 2,4 
 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 Seno = 
 
 
 cosseno = 
 
 
 
 
 Tangente = 
 
 
 
 
 
 
 
Assim baseado no triângulo acima: 
 
 
, 
 
 
 e 
 
 
 
A 
B C 
O 
cateto 
hipotenusa cateto 
4 
x 3 
b 
h 
C B 
A 
a 
n m 
c 
b 
h 
C B 
A 
a 
1,8 3,2 
c 
b 
a c 
 
39 
 
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TABELA DE ÂNGULO NOTÁVEIS 
Exemplo: 
 
 Sen30° = 
 
 
 x = 10. sen30° 
 x = 10 . 
 
 
 x = 5 
 
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER 
 
LEI DOS COSSENOS: 
 
LEI DOS SENOS: 
 
 ̂
 
 
 ̂
 
 
 ̂
 
 
Exemplos: 
Sendo o cos 80° = 0,17 calcule o valor de x. 
 
 x
2
 = 7
2
 + 4
2
 ─ 2. 7. 4. cos80° x2 = 55,48 x 7,45 
 
 
 
Dado o triângulo, determine x e y. Dados: sen80° = 0,98; sen40° = 0,64 e sen60° = 0,87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x = 0,98 . 6,9 x = 6,76 
 
 
 x = 0,64 . 6,9 x = 4,41 
 
 
TEOREMA DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
 A área de um triângulo qualquer também pode ser dada pela relação: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine a área sendo sen20° = 0,342 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE HERON 
Área = √ ( )( )( ) 
onde p é o semiperímetro 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule a área. 
 
 
 
 
 
 √ ( )( )( ) 
 √ √ √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30° 45° 60° 
SENO 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
COSSENO 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
TANGENTE 
√ 
 
 1 √ 
10 x 
 
70° 30° 
x 
7 4 
C B 
A 
40° 80° 
x 
y 
6 
C B 
A 
20° 
12 
7 
80 
48 
96 
40 
 
Prof. Cleriston Santos 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
CIRCUNFERÊNCIA: é a figura formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de seu centro, 
e a essa distância denominamos raio. 
 
 
 
CORDA: qualquer segmento que une dois pontos distintos da circunferência. 
 
SEGMENTO CIRCULAR: um segmento circular (também segmento de círculo) é uma área de um círculo 
informalmente definido como uma área que é "cortada" do resto do círculo por uma reta secante ou uma corda. 
 
SETOR CIRCULAR: é a parte deum círculo limitada por dois raios e um arco. 
 
 
 
 
DIÂMETRO: corda que passa pelo centro, sendo a maior da circunferência. 
 
 Diâmetro 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA: sendo 
 
 
 
 
CÍRCULO: reunião da circunferência com sua região interna. O diâmetro divide o circulo em duas partes iguais 
chamadas semicírculos. 
 
ÁREA DO CÍRCULO: 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
RETA SECANTE: quando a distância do centro à reta é menor que o raio d < r. 
 
 
 
RETA TANGENTE: a reta tem um ponto em comum com a circunferência e a distância do centro à reta é igual 
ao raio d = r. 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
1. Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular (90°) ao raio no ponto de tangência. 
2. Se em um ponto P, exterior à circunferência, for traçados segmentos ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ tangentes à circunferência nos 
pontos A e B, os segmentos ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ serão congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
RETA EXTERNA: é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência sendo a distância do centro à 
reta maior que o raio d > r. 
 
 
 
 
 
 
raio 
A 
d 
o 
r 
B s 
T – ponto de tangência 
o 
d=r 
r 
B 
A 
P o 
r 
d 
o 
s 
diâmetro 
semicircunferências 
semicírculo 
o 
Segmento 
circular 
Setor 
circular 
41 
 
Prof. Cleriston Santos 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
EXTERNAS: a distância entre os centros é maior do que a soma dos raios d > r1 + r2. 
 
 
 
 
 
 
TANGENTES EXTERNAS: a distância entre os centros é igual a soma dos raios d = r1 + r2. 
 
 
 
 
 
TANGENTES INTERNAS: a distância entre os centros é igual a diferença dos raios d = r1 ─ r2. 
 
 
 
 
 
SECANTES: a distância entre os centros é menor que a soma dos raios e maior que a diferença entre eles 
r1 - r2 < d < r1 + r2. 
 
 
 
 
 
CONCÊNTRICAS: duas circunferências com o mesmo centro, uma interna a outra formando uma coroa 
circular. 
 Área da coroa circular = ( ) 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
ÂNGULO CENTRAL: é qualquer ângulo que tenha o vértice no centro da circunferência. 
 
 ̂ 
 
 
 
 
Os ângulos são medidos em graus e toda a circunferência tem 360°, os arcos são medidos em radianos. 
 
 
ÂNGULO INSCRITO: é todo ângulo que tem o vértice na circunferência sendo seus lados secantes a ela. 
 
Obs. a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central 
correspondente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
B A 
r2 r1 
O2 O1 
d 
A 
r2 r1 
O2 O1 
d 
r1 
O2 
O1 
r2 
d 
r2 r1 
O2 O1 
R 
O 
r 
B 
A 
O Arco maior Arco menor 
B 
C A 
B 
A 
O 
x 
y 
v 
B 
A 
O 
x 
120° 
v 
42 
 
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ÂNGULOS CUJOS VÉRTICES NÃO PERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIA (ÂNGULOS EXCÊNTRICOS) 
 
1° caso: vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro, ângulo excêntrico interior. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2° caso: vértice é um ponto externo à circunferência, ângulo excêntrico exterior. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DO SETOR CIRCULAR E COMPRIMENTO DO ARCO 
 
 
 
 
 
 
 
, em radianos 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
RELAÇÃO ENTRE CORDAS 
 PA . PB = PC . PD 
 Os triângulos APD e DPB são congruentes. 
 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE SECANTES 
 
 PA . PB = PC . PD 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE SECANTE E TANGENTE 
 
 PC
2
 = PA . PB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
D 
B 
C A 
O 
60° 
30° 
A 
C 
B 
D 
50° 130° O x 
r 
O  
 r 
O 
D 
C B 
A 
P 
D 
C 
B 
A 
P 
A 
B 
C 
P 
43 
 
Prof. Cleriston Santos 
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS 
 Polígonos inscritos são aqueles que aparecem dentro da circunferência, já os circunscritos são aqueles 
que acomodam a circunferência em seu interior. 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO REGULAR INSCRITO 
Exemplo: hexágono regular 
 r – raio  - ângulo central 
 
 
 n – número de lados do polígono 
a – apótema: segmento do centro até o ponto médio de um lado do polígono regular. 
Ângulos internos são congruentes e dados por 
( ) 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES: em dois polígonos regulares inscritos com o mesmo número de lados, os perímetros são 
proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios, às medidas dos respectivos lados e às medidas dos 
respectivos apótemas. 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
 
QUADRADO INSCRITO: r – raio l – lado a - apótema 
 
l √ a = √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
HEXÁGONO INSCRITO: l = r a √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO: l = √ a = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR: Área = semiperímetro apótema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
a 
 O 
D 
C 
B 
A 
l 
l l 
l 
a 
r 
45° 
r a 
l O 
l l 
l 
l l 
a 
O l 
l 
l 
r 
44 
 
Prof. Cleriston Santos 
GEOMETRIA ESPACIAL MÉTRICA 
 
POLIEDROS 
 São sólidos limitados por polígonos planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faces Nome Faces Nome 
4 Tetraedro 5 Pentaedro 
6 Hexaedro 7 Heptaedro 
8 Octaedro 12 Dodecaedro 
20 Icosaedro 
 
Os outros são identificados como, por exemplo, poliedro de 9 faces. 
Os poliedros podem ser convexos ou não convexos. 
Obs. Convexo – toda reta não paralela a nenhuma das faces corta – as em no máximo em dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO DE EULLER: para todo poliedro convexo vale a relação: 
V + F ─ A = 2 
 
SOMA DOS ÂNGULOS DA FACE: 
S = (V ─ 2) . 360° 
 
 
POLIEDROS REGULARES 
 São poliedros convexos onde suas faces apresentam polígonos regulares congruentes com ângulos 
congruentes. Existem somente cinco classes e são chamados de poliedros de Platão. 
 
POLIEDRO ELEMENTO FACE (F) VÉRTICE (V) ARESTA (A) 
Tetraedro fogo 4 4 6 
Hexaedro terra 6 8 12 
Octaedro ar 8 6 12 
Dodecaedro elementos universo 12 20 30 
Icosaedro água 20 12 30 
 
 Nos poliedros de Platão toda face tem o mesmo número de arestas e de cada vértice parte o mesmo 
número de arestas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poliedro 
convexo 
Poliedro 
não-convexo 
face 
aresta 
vértice 
45 
 
Prof. Cleriston Santos 
PRISMAS 
 São poliedros com duas faces congruentes e paralelas, localizadas em planos paralelos e cujas outras 
faces são obtidas ligando – se os vértices correspondentes às duas faces paralelas. Eles podem ser retos ou 
oblíquos (quando há inclinação). 
 
 
 
 
 
 
 
SECÇÃO DE UM PRISMA: é a intersecção de um prisma com um plano que interceptas suas arestas laterais. 
 
 
 
 
 
VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER (PRINCÍPIO DE CAVALIERI) 
 Se sólidos seccionados pelos mesmos planos, tiverem áreas