01 Séries Numéricas

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Séries Numéricas 
 
Introdução 
 
 Estritamente falando, a operação de adição só faz sentido quando aplicada a um par de 
números reais. Porém, devido à propriedade associativa em IR , podemos efetuar uma soma de 3, 
4 , 5 , ...,100 ou mais números, sem incorrer em erros. Por exemplo, podemos obter a soma 2 + 
3 + 7 como 2 + 3 + 7 = (2 +3) + 7, ou então como 2 + 3 + 7 = 2 + (3 + 7), o resultado é o mesmo. 
 Mas, como somar infinitos números, como obter a soma de infinitas parcelas? No que se 
segue, vamos estender o conceito de adição para uma infinidade de números e definir o que 
significa tal soma. Chamaremos estas “somas infinitas” de séries. 
 
Breve Histórico 
 
Exemplos de somas infinitas surgiram há séculos. A fim de obter a área de um segmento 
parabólico, Arquimedes ( 250 a.C.) necessitou calcular a soma da progressão 1 + ¼ + (¼)2 + 
(¼)3 + ... = 4/3 . Embora seu cálculo não tenha sido feito por processos infinitos, que eram mal 
vistos em seu tempo, este foi um dos primeiros cálculos de somas infinitas. Por volta de 1350, 
utilizando “processos infinitos”, R. Suiseth (mais conhecido como Calculator) resolveu um 
problema sobre latitude de formas , equivalente matematicamente ao cálculo da soma 
 
 
2 ... 
2
n
 ... 
8
3
4
2
2
1
n

 (Calculator deu uma longa prova verbal, pois não conhecia representação gráfica) 
 
Nesta mesma época, N. Oresme deu a primeira prova que a chamada “série harmônica” é 
divergente, ou seja, 
 
 ... 
n
1
 ... 
4
1
3
1
2
1
 , agrupando seus termos de modo conveniente, a saber: 
 
... )
16
1
...
10
1
9
1
( )
8
1
7
1
6
1
 
5
1
 ( )
4
1
3
1
(
2
1
 ... 
n
1
 ... 
4
1
3
1
2
1

 
 
Como cada parcela entre parênteses é  ½ , temos que a soma de todas as parcelas pode 
ser majorada por uma infinidade de parcelas iguais a ½ , que tem soma infinita. 
 
 ...
2
1
2
1
2
1
 ... )
16
1
...
10
1
9
1
( )
8
1
7
1
6
1
 
5
1
 ( )
4
1
3
1
(
2
1
 
 
 
 Outros avanços relacionados com séries foram obtidos (em 1668) por J. Gregory e N. 
Mercator , que trabalharam as chamadas “séries de potências de x” . Estas séries foram usadas 
para exprimirem funções conhecidas, como sen x, cos x, tg x, etc. Gregory utilizou que a área 
sob a curva 
2x1
1
y


 é obtida através da função arctg x . Desse fato, concluiu que 
...
7
x
5
x
3
x
xx arctg
753

. Este resultado é conhecido como “série de Gregory” 
 
Por sua vez, Mercator usou que a área sob a hipérbole 
x1
1
y


 entre 0 e x é ln(1+x), para 
chegar à expressão (C. Boyer, pgs. 265, 266) 
 
 
 
1 
 
ln(1+x) = 
 . . . 
4
x
 - 
3
x
 
2
x
 - x
432

 , chamada hoje de “série de Mercator” . 
 
 Em 1748, L. Euler publicou o texto Introduction in analysin infinitorum, em dois 
volumes. O primeiro deles versava sobre processos infinitos, entre os quais séries infinitas. Euler 
era pouco cuidadoso no uso de tais séries, e as manipulava arriscadamente. Usando a série 
da função sen z = z – z3/3 + z5/5! - ... e de artifícios engenhosos, Euler conseguiu resolver uma 
difícil questão que J. Bernoulli não tivera sucesso, a de obter a soma dos recíprocos dos 
quadrados perfeitos. Após alguns cálculos, Euler obteve que: 
6
1
 . . . 
)4(
1
)3(
1
)2(
11
2222








 , e daí concluiu que 
6
 
4
1
3
1
2
1
1
1 2
2222


 
 
 
Conceito de Convergência 
 
Exemplos de somas infinitas surgem muito cedo, ainda no Ensino Fundamental, com o 
estudo das dízimas periódicas. Por exemplo, a soma 
 
 0,1 + 0,01 + 0,001 + .... = 0,111..., pode ser interpretada como a soma de uma progressão 
geométrica (com infinitos termos) 
 
...
10
1
10
1
10
1
32

de razão 
10
1
 , cuja soma é 
...
10
1
10
1
10
1
32

= 
9
1
 (veremos mais tarde as 
 
séries geométricas com mais detalhes) 
 
 De forma análoga, chamando por exemplo 0,333... = x temos 3, 333... = 10x . Subtraindo-
se essas equações ficamos com 9x = 3, ou seja , x = 3/9 = 1/3 . Concluímos daí que 
 
3
1
 . . . 
1000
3
100
3
10
3

 
 
 Como pode ser visto no desenrolar da história das séries infinitas, encarar somas infinitas 
nos mesmos moldes das somas finitas, usando as propriedades das operações, pode nos levar a 
dificuldades e conclusões equivocadas. Vejamos os seguintes exemplos: 
 
1.Série de Grandi 
 
 
Considere a “soma” S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ..... 
 
Utilizando a propriedade associativa de forma conveniente, podemos obter os seguintes 
resultados 
a) S = (1 – 1) + ( 1 – 1) + ( 1 – 1) +.... = 0 
b) S = 1 + (– 1 + 1) + ( – 1 + 1) + ( – 1 +1 ) + .... = 1 
c) S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1+ ...)  S = 1 – S  2S = 1  S = ½ . 
 
Como decidir então? S = 0, 1 ou ½ ? 
 
O que acontece neste exemplo é que as operações que são válidas para somas finitas, como a 
associatividade, por exemplo, não são válidas em geral para somas infinitas. 
 
 
2. O Paradoxo de Zenão 
 
 
2 
 
 
No século V A.C. Zenão ( ou Zeno de Eléia) apresentou o seguinte problema: “ Para se 
caminhar um quilômetro devemos caminhar primeiro meio quilômetro. Para caminhar este meio 
quilômetro devemos caminhar um quarto de quilômetro. Para caminhar este um quarto de 
quilômetro devemos antes caminhar um oitavo de quilômetro e assim indefinidamente”. Zenão 
colocou que este movimento era impossível pois sequer se iniciaria! 
A origem do paradoxo é que não podemos realizar um número infinito de tarefas num tempo 
finito. Mas o quilômetro permanece inalterado pela nossa decomposição em meio quilômetro, 
mais um quarto de quilômetro, mais um oitavo de quilômetro, etc...Assim, 
....
8
1
4
1
2
1
1 
. Este resultado pode ser pensado como a soma de uma PG infinita de razão 
2
1
. ( 
q1
a
S 1


) . Logo 
1
2
1
1
2
1
S 


 
 
3. A Série Harmônica 
A série harmônica é a série 
....
n
1
....
4
1
3
1
2
1
1 
 
Os termos da série harmônica estão decrescendo e tendendo para zero. À primeira vista parece 
que a “soma” tende a um número finito. 
Hoje em dia, com o uso do computador, podemos fazer cálculos experimentais interessantes: 
Vamos supor que levamos 1 segundo para somar cada termo. 
 
 Uma vez que o ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, neste período de tempo 
seríamos capazes de somar a série até n = 31.557.600, obtendo para a soma um valor 
pouco superior a 17. 
 Em 10 anos a soma chegaria perto de 20. 
 Em 100 anos, esta soma estaria a pouco mais de 22. 
 
Tudo leva a pensar que esta soma tende a um valor finito. No entanto, isto é falso! Esta série tem 
soma infinita. Vimos acima, na apresentação histórica, o argumento de Oresme. 
 
 Para melhor compreender e trabalhar as questões aqui colocadas precisamos de um conceito 
consistente para a soma de um número infinito de números reais. Vamos introduzir a seguinte 
terminologia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltemos à nossa dízima 0,111... = 0,1 + 0,01 + 0,001 +.... = 
...
10
1
10
1
10
1
32

 
Vamos considerar o valor da soma tomando um termo, dois termos, três termos, etc.Cada soma 
dessa é chamada de soma parcial e é termo de uma seqüência 
 
Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma 
.....aaaa 321
1n
n 


 
onde os números a1, a2, a3, .... são chamados de termos da série e an de termo 
geral da série 
 
 
3 
 
10
1
0,1s1 
 
22 10
1
10
1
100
1
10
1
01,01,0s 
 
323 10
1
10
1
10
1
1000
1
100
1
10
1
001,001,01,0s 
 
4324 10
1
10
1
10
1
10
1
10000
1
1000
1
100
1
10
1
0001,0001,001,01,0s 
 
 
.......................................... 
 
A seqüência dos números s1, s2, s3, s4,....pode ser interpretada como uma seqüência de 
aproximações do valor de 1/9. 
 À medida que tomamos mais termos da série infinita a aproximação fica melhor o que nos 
sugere que a soma desejada deve ser o limite dessa seqüência de aproximações. Para comprovar 
este fato vamos calcular o limite dessa seqüência, quando o número n de termos tomados tende 
a um número cada vez maior, isto é, n  . 
 
Temos que 
n32n 10
1
...
10
1
10
1
10
1
s 
 (I ) 
Vamos dar uma outra expressão para sn de modo a facilitar o cálculo do limite 
 
Multiplicando sn por 
10
1
 obtemos 
1nn432n 10
1
10
1
...
10
1
10
1
10
1
s
10
1


 (II ) 
Subtraindo agora ( I )  ( II ) 







 n1nnn 10
1
1
10
1
10
1
10
1
s
10
1
s
  













nnnn 10
1
1
9
1
s
10
1
1
10
1
s
10
9
 
Calculando agora 
9
1
10
1
1
9
1
s
n
n
n
n
limlim 







 que é o valor já esperado para a soma. 
 
 No processo que fizemos no exemplo anterior, construímos uma seqüência de somas finitas e 
o limite dessa seqüência correspondeu ao valor da soma, uma vez que 
9
1
...11111,0 
 
 
 
O exemplo acima motiva a definição mais geral do conceito de “soma” de uma série infinita. 
 
Consideremos a série 
.....aaaa 321
1n
n 


 e vamos formar uma seqüência 
 ns
 de somas 
da seguinte maneira: 
s1 = a1 
s2 = a1 + a2 
s3 = a1 + a2 + a3 
........................... 
sn = a1 + a2 + a3 +...+an = sn-1 + an = 


n
1k
ka
 
A seqüência 
 ns
 é chamada de seqüência das somas parciais da série e sn é chamado de n-
ésima soma parcial . 
 
 
4 
 
Quando n cresce, as somas parciais incluem mais e mais termos da série. Logo, se quando 
n  + a soma sn tender a um valor finito, podemos tomar este limite como sendo a soma de 
TODOS os termos da série . Mais formalmente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
1) Os símbolos a1 + a2 + a3 +...+ an + ….= 
 


n
1
n
1n
n aaa
tanto são usados para indicar 
uma série como a sua soma que é um número. Rigorosamente o símbolo 

1
na
 só deveria 
indicar a série no caso dela convergir. 
2) O índice da soma de uma série infinita pode começar com n = 0, no lugar de n = 1. Neste 
caso consideramos a0 como o primeiro termo da série e so = ao a primeira soma parcial. 
 
 
Exemplos: 
 
1) A série 

1 n
1
 tem termo geral 
n
1
a n 
 e sequência das somas parciais é 
n
1
...
3
1
2
1
1s
.....
3
1
2
1
1s
2
1
1s
1s
n
3
2
1




 
 
( Existem técnicas para mostrar que 


n
n
slim
 e portanto a série 

1 n
1
diverge) 
 
2) 
 

1
n ....11111a
 
Consideremos as somas parciais 
s1 = 1 
s2 = 1 – 1 = 0 
s3 = 1  1 + 1 = 1 
s4 = 1  1 + 1  1 = 0 
 
A seqüência das somas parciais é 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... e portanto o limite não existe e a série 
diverge. 
 
Seja 

1
na
uma série dada e 
 ns
 a sua seqüência de somas parciais.Se 


S S;slim n
n
 ( isto é, existe e é finito) dizemos que a série 

1
na
 é 
convergente a S e que S é a sua soma.. Indicamos 

1
na
= S. Caso 
contrário a série diverge e portanto não tem soma. 
 
 
 
5 
 
3) Dada a série 

1 1)n(n
1
, determine: 
a) Os quatro primeiros termos da série 
b) A seqüência das somas parciais 
c) Se a série é convergente. 
 
 
Solução: 
a) 








4
1 54
1
43
1
32
1
2
1
)1n(n
1
 
 
b) 
2
1
s1 
 
 
3
2
6
1
2
1
s2 
 
 
4
3
12
1
3
2
12
1
6
1
2
1
s3 
 
 
5
4
20
1
4
3
20
1
12
1
6
1
2
1
s4 
 
Tudo leva a crer que 
1n
n
sn


 
De fato: 
1n
1
n
1
1)n(n
1
an




 
2
1
1a1 
 
3
1
2
1
a 2 
 
4
1
3
1
a3 
 
................. 
1n
1
n
1
an


 
1n
n
1n
1
1a....aas n21n




 
 
c) Para analisarmos a convergência calculamos 
1
1n
n
limslim
n
n
n




 
Logo, a soma da série é 
1
1)n(n
1
1


 
 
 
3.1 O número e como soma de uma série 
 
Já vimos que o número e pode ser definido como 
e
n
1
1
n
n
lim 







= 2,718281828... 
 
Podemos também mostrar que a série 
 

0
...
!
1
...
!4
1
!3
1
2
1
11
!
1
e
nn
 
 
 
6 
 
 
Vamos avaliar algumas somas parciais 
 
s0= 1 
 
s1 = 1 + 1 = 2 
2,50,52
2!
1
11s2 
 
666666667,2166666666,05,2
6
1
2,5
!3
1
2!
1
11s3 
 
...708333334,2
24
1
...666666667,2
!4
1
!3
1
2!
1
11s4 
 
 
...716666667,2
120
1
...708333334,2
!5
1
!4
1
!3
1
2!
1
11s5 
 
 
...718055556,2
720
1
...716666667,2
!6
1
!5
1
!4
1
!3
1
2!
1
11s6 
 
 
...718255969,2
5040
1
...718055556,2
!7
1
!6
1
!5
1
!4
1
!3
1
2!
1
11s7 
 
 
...718278771,2
40320
1
...718255969,2
!8
1
!7
1
!6
1
!5
1
!4
1
!3
1
2!
1
11s8 
 
 
...718281527,2
362880
1
...718278771,2
!9
1
!8
1
!7
1
!6
1
!5
1
!4
1
!3
1
2!
1
11s9 
 
 
...718281803,2
3628800
1
...718281527,2
!10
1
!9
1
!8
1
!7
1
!6
1
!5
1
!4
1
!3
1
2!
1
11s10 
 
 
Observemos que desde a soma parcial s7 já temos precisão até a 4
a casa decimal !! 
 
 
4. A Série Geométrica 
 
O nosso primeiro exemplo de série infinita 0,1 + 0,01 + 0,001 + .... é um caso particular de 
uma série especial, chamada série geométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
Uma série do tipo 
....ar...arararaa.r 1-n32
1
1n 

onde a  0 é 
chamada de série geométrica e o número r é chamado de razão da série. 
 
 
 
 
7 
 
Observação: A série geométrica também pode ser dada na forma 
...araraar 2
0
n 
, ou 
mais geralmente, 
...arararaar 32
kn
kn 


 
 
Exemplos: 
1) 0,1 + 0,01+ 0,001 + 0,0001 + ... = 


1
432 10
1
...
10
1
10
1
10
1
10
1
n
 é uma série 
geométrica de razão r = 1/10 e a = 1. 
2)3  3.2 + 3.22  3.23 + 3.24 ..... = 
 

0
)2.(3 n
 é uma série geométrica de razão r = 2 e 
a = 3 
 
O resultado seguinte nos diz quando a série geométrica é convergente e quando é divergente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
1) 
1r 
 
i) r = 1 
Se r = 1 a série fica 
....aaaaa
1

 e portanto a n-ésima soma parcial é sn = (n+1)a e 
portanto 


n
n
slim
 ( o sinal depende de a ) e a série diverge. 
ii) r = –1 
 
Se r = –1 a série fica 
.....aaaaaa1)a(
1
1n  

 . 
A seqüência das somas parciais nesse caso fica a, 0, a, 0, a, 0,..... e portanto a série diverge pois 
o limite de sn não existe. 
 
 
 
2) 
1r 
 
 
Consideremos a seqüência das somas parciais 
 ns
: 
1n32
n ar...arararas

 ( I ) 
n1n32
n arar...arararrs 

 ( II ) 
A série geométrica 


1
1na.r
 a  0 e r 

 R 
 Converge para 
r1
a
S


 se 
1r 
 
 Diverge, se 
1r 
 
 
 
 
8 
 
Subtraindo ( II ) de ( I ): 
n
nn ararss 
. Logo, 
r1
)ra(1
s
n
n



. Calculando o limite obtemos: 












1r se ;
1r se ;
r1
a
r1
)ra(1
limslim
n
n
n
n
 
 
 
Exemplo: Verifique se as seguintes séries geométricas são convergentes e em caso afirmativo 
determine a sua soma : 
 
1) 


1
1n2
 2) 
 





0
n
2
1
3.
 3) 
 





1
1n
2
1
3.
- 4) 
 





31
3n
2
1
3.
- 5) 

0
n
n
2
(-1) 6) 


2
n
1n
3
(-1) 
 
Alguns resultados importantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1. O resultado acima é também chamado de Critério do Termo Geral (CTG) para a 
convergência de série, ou condição necessária para a convergência de uma série. 
2. Se 

1
na
 converge então 
0alim n
n


. 
3. Através do resultado do limite do termo geral, podemos garantir a divergência de certas 
séries. Exemplo: 

1
n
diverge, pois 


nlim
n
. 
4. Como dito acima, se 
0alim n
n


 nada podemos afirmar sobre a série 

1
na
. Ela pode 
ou não convergir. Por exemplo, temos 
0
n
1
lim
n


, mas a série 

1 n
1
 diverge . 
 
5. A convergência ou divergência de uma série não é afetada pela retirada ou o acréscimo de um 
número finito de termos. 
 
6. Se 

1
na
 converge, a série 

1
nb
 obtida de 

1
na
 acrescentando-se ou suprimindo-se alguns 
termos também converge, mas para valor em geral diferente da soma 

1
na
. Por exemplo: 
a) As séries 


1
12
1
n
 e 


3
12
1
n
 são ambas convergentes, mas para valores diferentes. 
b) As séries 


1
12n
 e 
.....bn  1684211253
 são ambas divergentes 
 
Teste da divergência 
 Se 
0alim n
n


 então 

1
na
 é divergente 
 Se 
0alim n
n


 então 

1
na
pode convergir ou divergir 
 
 
 
9 
 
7. Se 

1
na
 e 

1
nb
 são duas séries convergindo a S e R respectivamente, então 
i) A série 
  
1
nn ba
 converge a S  R. 
ii) A série 

1
nka
 converge a kS., k  R 
 iii) Se 

1
na
 é convergente e 

1
nb
é divergente, então 
  
1
nn ba
 é divergente. 
 
 iv) Se 

1
na
 é divergente e k 
0
, então 

1
nka
é divergente. 
 
Observação: Se 

1
na
 e 

1
nb
 são duas séries divergentes nada se pode afirmar sobre 
  
1
nn ba
. Exemplo: As séries 

nn 2 e 2
 divergem e 
   nn 22
 converge a 0. 
 
Exemplo: Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Em caso de 
convergência, calcule a soma: 
 
1) 

1 1)n(n
3
; 2) 


0
n
nn
15
53 ; 3) 
 






1 2
1
2
n
n
; 4) 


3
15
4
n
; 
 
 
Critérios de Convergência 
 
 Em geral é difícil decidir através do estudo das seqüências das somas parciais se uma 
série é convergente ou divergente, principalmente porque nem sempre é possível estabelecer uma 
expressão geral para sn. 
 Vimos, até então, o caso da série geométrica, que sabemos por meio da sua razão se 
converge ou não e, no caso de convergir, qual é a sua soma. Calculamos também a soma de 
algumas séries em que a expressão de sn foi obtida com certa facilidade. 
 Vamos estudar alguns testes ou critérios que nos permitem decidir sobre a convergência 
de uma série, mesmo que no caso da série ser convergente não possamos dizer o valor da sua 
soma. Neste caso, podemos aproximar a soma por uma soma parcial com termos suficientes 
para atingir o grau de precisão desejado. 
 
I) A p- série 

1
pn
1
 
 
Vamos assumir sem demonstração o seguinte resultado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A p-série 

1
pn
1
 ( p > 0 ) 
 converge se p > 1 
 diverge se 0 < p  1 
 
 
 
10 
 
Observações: 
 
1) A p-série 

1
pn
1
 é também chamada de série hiper-harmônica 
2) A série harmônica 

1 n
1
 é um caso particular de uma p-série ( p = 1 ) e como já 
tínhamos colocado, diverge. 
3) O resultado acima pode ser demonstrado através de um critério chamado de 
Critério da Integral 
 
 
Exemplos 
 
1) 

1 n
1
 diverge ( p = 1 ) 
 
2) A série 

1
2n
1
 converge ( p = 2 ) 
 
3) A série 

1 n
1
 diverge ( p = ½ ) 
 
II ) Teste da Comparação (TC) 
 
Dadas as séries 

1
na
 e 

1
nb
, an > 0; bn > 0 e an  bn , n, temos que 
 Se 

1
nb
 converge então 

1
na
 converge. 
 Se 

1
na
 diverge então 

1
nb
 diverge. 
 
Observações: 
 
1) Este teste é também chamado teste do confronto ou comparação simples 
2) Se an  bn e 

1
nb
diverge nada podemos afirmar sobre 

1
na
 
3) Se an  bn e 

1
na
converge nada podemos afirmar sobre 

1
nb
 
4) O teste também se aplica se temos an  bn n > no 
5) Vamos utilizar séries geométricas e p-séries para servirem de comparação 
 
Exemplo: Analise o comportamento das seguintes séries usando o teste da comparação simples 
 
1) 

2 1n
1
 
 
Solução: 
1n
1
n
1
1nn


. Uma vez que 

1 n
1
 diverge temos que 

2 1n
1
 
também diverge 
 
 
11 
 
 
 
2) 

1
2n
 sen(n) 
 
 
Solução: 
22 n
1
n
nsen 
1nsen 
. Uma vez que a série 

1
2n
1
 converge temos que 

1
2n
 sen(n) 
 
também converge. 
 
 
III) Séries Alternadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 
...
4
1
3
1
2
1
1
n
1)(
1
1n

  
2) 
...
8
1
4
1
2
1
2
1)(
1
n
n

 
 
O resultado a seguir nos dá um teste para analisar a convergência das séries alternadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A desigualdade 
1nn asS 
 significa se uma série alternada satisfaz as 
hipóteses do Teste de Leibniz, o erro que resulta em aproximar S por sn é menor que o primeiro 
termo que não foi incluído na soma parcial 
 
 
Exemplo: Estude quanto à convergência asseguintes séries 
 
Uma série alternada é uma série que se apresenta numa das formas 
 
 

1
4321n
1n ...aaaaa1)(
 an > 0; n ou 
 
 
1
4321n
n ...aaaaa1)(
 an > 0; n 
 
 
Teste de Leibniz 
 
Se a série alternada 
 

1
4321n
1n ...aaaaa1)(
 (an > 0 ; n ) é tal que 
 i) 
0alim n
n


 
ii) 
n aa n1n 
 ( a seqüência é decrescente ) 
 
Então a série dada é convergente. 
 
Além disso se S é a soma da série temos que 
1nn asS 
 
 
 
12 
 
1) 

 
1
1n
n
1)( ; 
 
Solução: i) 
0
n
1
lim
n


 ii) A seqüência 






n
1
 é decrescente. 
 
A série portanto converge. Observemos que esta série é a série harmônica ( que diverge ) 
alternada 
 
Se considerarmos, por exemplo, a soma 
4
1
3
1
2
1
14 s
= 0,58333.. o erro cometido é menor 
que a5 = 1/5 = 0,2 
 
De fato, veremos mais tarde que esta série tem por soma ln2. Se calcularmos ln2 = 0,69314718... 
e tomarmos a diferença 0,69314718...  0,58333.... = 0,1098... que é menor que 0,2 
Esta série não é uma boa série para aproximar ln2 pois a convergência é muito lenta. Só obtemos 
uma boa aproximação tomando um número muito grande de termos. 
 
2) 
n
π
sen1)(
2
n
 
 
 
i) 
0
n
π
senlim
n


; ii) Para mostrar que a seqüência 






n
π
sen
 é decrescente, consideramos a 
função 
x
π
senf(x) 
 e calculamos a sua derivada. 
x
κ
cos
x
π
(x)f
2


 < 0 o que garante que a 
função é decrescente para x > 2.. ( De fato: 
2
π
x
π
02x 
. O arco está no 1o quadrante e 
o cosseno é positivo ) 
 
 
IV) Os testes da Razão e da Raiz 
 
Para enunciar os testes da Razão e da Raiz vamos introduzir o conceito de séries absolutamente 
convergentes 
 
Analisando exemplos vistos anteriormente podemos observar que 
A série 

 
1
1n
n
1)( é convergente e a série 

 
11
1n
n
1
n
1)( é divergente 
A série 

 
1
2
1n
n
1)( é convergente e a série 

 
1
2
1n
n
1)( = 

1
2n
1
também é convergente 
 
Temos a seguinte definição: 
 
 
 
 
 
Dada a série 

1
nu
 temos que: 
1) Se a série 

1
nu
 converge dizemos que a série 

1
nu
 é absolutamente convergente 
2) Se a série 

1
nu
 converge e 

1
nu
 diverge dizemos que 

1
nu
 é condicionalmente 
convergente. 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) A série 

 
1
1n
n
1)( é condicionalmente convergente 
2) A série 

 
1
2
1n
n
1)( é absolutamente convergente 
3) A série 
n
π
sen1)(
1
n
 
 é condicionalmente convergente 
4) A série 

1
2n
senn
 é absolutamente convergente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Pelo resultado anterior podemos concluir que a série 

1
2n
nsen 
 que não é de termos 
positivos nem alternada é convergente. 
 
 
Observações: 
1) Temos que 

1
nu
  

1
nu
 converge. A recíproca não é verdadeira. 

1
nu
convergir não 
implica que 

1
nu
 também converge. Exemplo: 

 
1
1n
n
1)( 
2) Se 

1
nu
 diverge nada podemos afirmar sobre 

1
nu
. Pode convergir ou divergir. 
3) Se 

1
nu
 diverge podemos garantir que 

1
nu
 diverge pois, caso contrário, 

1
nu
 seria 
convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Toda série absolutamente convergente é convergente, ou seja: 
 
 se 

1
nu
 converge então 

1
nu
 também converge 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1) Os Testes da Razão e da Raiz são gerais podendo ser aplicados em qualquer série. 
Garantem a convergência absoluta ( k < 1 ) ou a divergência da série 

1
nu
 ( k >1 ). 
2) Tanto no Teste da Razão quanto no Teste da Raiz podemos concluir a divergência se os 
respectivos limites forem + 
 
3) Se k = 1 no Teste da Razão então k = 1 no Teste da Raiz. Ou seja, se encontrarmos k = 
no Teste da Razão, não é mais necessário testar com o outro critério. 
 
Exemplo: Use os Testes da Razão ou a Raiz para analisar a convergência das seguintes séries: 
 
1) 

1
n
n!
2 
Em geral quando a expressão do termo geral da série envolve fatorial o critério mais indicado é o 
da razão 
 
1n
2
1)n!(n
2n!
2
n!
1)!(n
2
u
u
n!
2
u
n
1n
n
1n
n
n








  
0
1n
2
lim
u
u
lim
nn
1n
n






. 
Concluímos então que a série é convergente 
 
 
Teste da Razão para a Convergência Absoluta ( TRZ) 
 
 Seja a série 

1
nu
 e considere o limite 
k
u
u
lim
n
1n
n


 
 Se k < 1 a série 

1
nu
 é absolutamente convergente, logo convergente 
 Se k > 1 ( ou ) a série 

1
nu
 diverge 
 Se k = 1 nada podemos concluir por este critério 
 
Teste da Raiz para a Convergência Absoluta ( TRI ) 
 
 Seja a série 

1
nu
 e considere o limite 
kulim n n
n


 
 Se k < 1 

1
nu
 é absolutamente convergente, logo convergente 
 Se k > 1 ( ou ) a série 

1
nu
diverge 
 Se k = 1 nada podemos concluir 
 
 
 
15 
 
2) 
 




 
1
2n
n
12n 
 
Vamos usar o teste da raiz: 
2
n
12n
lim
n
12n
limulim
n
n
2n
n
n
n
n







 


. Portanto, a 
série diverge.