LISTA DE EXERCÍCIOS_INTEGRAL INDEFINIDA_Julian-1.pdf

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I Lista de Exercícios – Integral Indefinida
1 – Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes integrais indefinidas estão corretas:
a) 2
2 2arctg
1
dx x C
x
 
 b) cos(7 ) sen 7x dx x C 
c) 33
2 2
2
1
6
x
x
x dx e C
e
  d) 2y ye dy e Cy  
e) 3 ln lnln dt t Ct t   f)
3 21cos 4 2 sen 4 2 sen 46d C   
       
g) tg ln(cos )zdz z C   h) sen 3 1 ln 1 cos 31 cos 3 3
x dx x Cx   
Resp: Estão corretas as letras a, c, d, f, g, h
2 – Calcule as seguintes integrais diretamente ou utilizando substituição:
2.1) 3 2
52 4x dx
x
       Resp.
4 5 42
x x cx  
2.2)
2 1x dxx
        Resp.
2
ln2
x x c 
2.3) sen(3 )x dx Resp. cos 33
x c 
2.4) sen cosx xdx Resp. 32 sen3 x c
2.5) 5 2tg secx xdx Resp. 6tg6
x c
2.6) 21
x dx
x Resp. 2
1 ln 12 x c 
2.7)
3
2
arctg
1
x dx
x Resp. 4
1 arctan4 x c
Curso: Sistemas de Informação
Disciplina: Cálculo II – MAT005
Prof.: Julian Quezada
INTEGRAL INDEFINIDA 2
2.8) 22 5
dx
x  Resp.
10 2arctg10 5x c
      
2.9) 41
x dx
x Resp.  
2arctg
2
x
c
2.10) sen5 cosx xdx Resp. sen5ln 5
x
c
2.11) 2sen (3 )
dx
x Resp. cotg 33
x c 
2.12)
24 x
xe dx
e Resp. arcsen 2
xe c
      
2.13) tg(2 )x dx Resp. ln cos22
x c 
2.14) cotg( )x xe e dx Resp. ln sen( )xe c
2.15) tg(4 ) cotg 4
ss ds
           Resp.
ln cos(4 ) 4 ln sen4 4
s s c  
2.16)
2
3 1
x dx
x  Resp. 3
2 13 x c 
2.17) 2cos ( 1) tg( 1)
dx
x x  Resp. 2 tg( 1)x c 
2.18) 2
sen(2 )
1 cos(2 )
x dx
x   
 Resp. 12(1 cos2 ) cx 
2.19)
2
sen(2 )
1 sen
x dx
x Resp. 22 1 sen x c 
2.20) cos(ln )x dxx Resp. sen(ln )x c
2.21)
xe dx
x Resp. 2 xe c
2.22)
2
22
x
x
e dx
e Resp. 2
1 ln 22
xe c 
2.23)
21 x
xe dx
e Resp. arcsen( )
xe c
2.24) 1 x dx
x
 Resp. 3/24 (1 )3 x c 
2.25)
3
4
cos
sen
x dx
x Resp.
3cossec cossec3
x x c  
INTEGRAL INDEFINIDA 3
3 – Resolva as integrais pelo método de integração por partes:
a) lnxdx
x Resp.  2 ln 2x x C 
b) 2(ln )x dx Resp.  2ln 2 ln 2x x x C  
c) 2 xx dxe Resp.  2 2 2xe x x C  
d) 12 x dx Resp. 1 12 11ln2 ln2
x
x C
         
e) senx xdx Resp. cos senx x x C  
f) senxxe xdx Resp.  sen cos cos2
xe x x x x x C  
g) 2secx xdx Resp. tg ln secx x x C 
h) arcsenxdx Resp. 2arcsen 1x x x C  
i) arctgx xdx Resp. 2 1 arctg2 2x xx C  
j) sen(ln )x dx Resp. sen(ln ) cos(ln )2
x x x C    
4 – Utilize o método de integração por frações parciais para resolver as integrais.
a) 1( 1)( 2)( 3)dxx x x   Resp.   1 ln 1 3 ln 22 x x x C    
b) 3 2
1
2
x dx
x x x

  Resp.
1 2 1ln ln 1 ln 22 3 6x x x C    
c)
2
2
5 9
5 6
x x dx
x x
 
  Resp.
33 ln 2
xx Cx
 
d) 2( 1)( 1)
x dx
x x  Resp.
1 1 1ln4 1 2( 1)
x Cx x
   
e)
4
5 4
2 2 1
2
x x dx
x x
 
 Resp. 3
1 ln 2 1
3
x C
x
  
f)
3
2
1
( 1)
x x dx
x x
 
 Resp. 2ln 1
xx C
x
 

INTEGRAL INDEFINIDA 4
g)
4
4 1
x dx
x  Resp.
1 1 1ln arctg4 1 2
xx x Cx
  
h) 2 2
1
( 2) ( 4 5)
dx
x x x   Resp. 1 arctg( 2)2 x Cx   
i)
3
2 2( 1)
x dx
x  Resp.
2
2
1 1ln 12 1
x C
x
       
j) 2
1 2
( 1) 1
x dx
x x
 
   Resp.
2( 1 1) 2 2 1 1ln arctg
2 1 3 3
x x C
x x
            
5 – Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
a)
2
2
16 x dx
x
 Resp. 216 arcsen 4x x Cx
        
b)
2 2
1
5
dx
x x Resp.
25
5
x Cx
 
c)
2
1
7
dx
x  Resp.
2ln 7x x C  
d)
2
1
25
dx
x x Resp.
21 5 25ln5
x Cx
  
e)
2
22
x dx
x x
Resp. 23 3arcsen( 1) 22 2
xx x x C   
f)
2 3/2
6
(16 9 )x dx
x
 Resp.
2 5/2
5
(16 9 )
80
x C
x
 
g) 2 3/2
1
(4 )
dx
x x Resp. 2
2
4 4
x C
x x
 

h) 2 2x dx Resp. 2 22 ln 22
x x x x C    
i)
3
2 3/2
7
(4 9)
x dx
x  Resp.
2
2
7 2 9
8 4 9
x C
x
 

j) 2( 1 2 )x x dx  Resp. 2 2 21 1 ln 12 x x x x x C
         
INTEGRAL INDEFINIDA 5
6 – Resolva as integrais:
a) 2
1
9 4
dx
x  Resp.
1 3arctg6 2
x C      
b) 2
1
2
dx
x x Resp.
1 2ln2
x Cx
 
c) 2 2 3
x dx
x x  Resp. 2
1 1 1ln 2 3 arctg2 2 2
xx x C
         
d) 2
3 1
4 4
x dx
x x

  Resp.
53 ln 2 2x Cx  
e)
2
1
16 9
dx
x Resp.
1 3arcsen3 4
x C      
f)
2
3 1
9 6
x dx
x x

 Resp.
29 6
3
x x C 
g)
2
2
3 2
x dx
x x

  Resp.
2 13 2 3 arcsen 2
xx x C          
h)
2
1x dx
x x

 Resp.
2 23 1ln2 2x x x x x C
          
i)
2
1
( 1) 2
dx
x x x  Resp. arcsec( 1)x C 
j) 2
sen
cos 4 cos
x dx
x x Resp.
1 ln 1 4 sec4 x C  
k)
2
1
3 5
dx
x x  Resp.
2ln 2 3 2 3 5x x x C    
l) 1ln 1x dxx
      Resp.
2 1ln ln 12 2
x x x x Cx
         
m) 4cos (2 )x dx Resp. 1 sen(8 )3 sen(4 )8 8 xx x C
       
n) 2(3 6 5)arctgx x xdx  Resp. 23 2 2( 3 5 3)arctg 3 2ln12
xx x x x x x C       
o) 2
2 9
6 5
x dx
x x

  Resp.
1 7ln 5 ln 14 4x x C    
p)
2
2 9
6 5
x dx
x x

  Resp.
2 32 6 5 3arcsen 2
xx x C          
INTEGRAL INDEFINIDA 6
q)  
2 3
2 2 ( 5)
x dx
x x x
 
    Resp. 2 1 2ln 3 arc tg 35
x x C
x
   

r) 3 4tg secx xdx Resp. 6 41 1sec sec6 4x x C 
s)
2 2
2
( 1) 2 8
9 ( 1)
x x x dx
x
  
  Resp.
29 1 ( 1) 2 8arcsen2 3 9
x x x x C
              
t)
2
ln
1 ln ln
x dx
x x x  Resp.
2 1 2ln 11 ln (ln ) arcsen2 5
xx x C
          
u) 3tg cosx xdx Resp. cos secx x C 
v)
2
ln 2
ln 1
x dx
x x

 Resp.
2 2ln 1 2 ln ln ln 1x x x C    
w) 2
cos(2 )
4 cos (2 )
x dx
x Resp.
3 3 sen(2 )arctg6 3
x C
      
x)    
3
2 2
4
2 2 1
x
x x x
e dx
e e e   Resp. 2 44 2 32arctg 2ln( 2) ln( 1)9 2 1
x x x
x
e e e C
e

                   
y) 2 ln( 1 )x x dx Resp. 3 3 21ln 1 ln 13 6 18 12 6x x x xx x C      
z)  321
dx
x
 Resp. 2 2 23 3 535) arctan8 8(1 )
x xI x C
x
  

7 – Sabendo que ( ) lnf x dx x C  , calcule (2)f . Resp. 1(2) 2f 
8 – Determine uma função f sabendo que f  é contínua e que:
a) ( ) 2f   e satisfaz a equação 3( ) tg sen cosf x xdx x x a     , onde a   é uma
constante. Resp.   3cos sen 1f x x x   
b) (0) 5f  e satisfaz a equação 3( )arctg f x dx x cx
         , sendo c uma constante real.
Resp. 21( ) ln cos(3 ) 56f x x  
c) (0) 1f  e satisfaz a equação  21 ( )x f x dx x k   , onde k   é uma constante.
Resp. ( ) arctg 1f x x 
d) 3 2( 4 ) ( )x x f x dx x C   e que (0) 2f   . Resp. 2( ) ln 22xf x x  
e) 4 2( ) 9 7f x x dx x C    e ( 3) 8 ln 3f  . Resp. 2 4( ) 7 ln 9 ln 3f x x x   
INTEGRAL INDEFINIDA 7
9 – Sabendo-se que 2(9 cos ) ( ) cosx g x dx x k   e que 12g 
       , determine a função
( )g x .
Resp. 1 cos 3( ) ln6 cos 3
xg x x
 
10 – Determine a primitiva ( )F x , para a função( )f x , sabendo-se que:
a) 2( ) sen( ) e (0) 1f x x x F  Resp. )21( ) cos(2
3
2F x x 
b)  2 36( ) e 3 49 xf x Fx   Resp.
31 2( ) arctan9 3 9
xF x 
      
c) 23 3( ) cos e (0) 2f x x x F  Resp.
2 2 2sen( ) cos( )( ) 12
x x xF x  
11 – Determine a função, solução geral de cada equação diferencial:
a) 5xy y  Resp. 5y Cx
b)    2 22 2u t u du t tu dt   onde ( )u u t Resp.  22 21 1u C t  
c)
3
2
1dv vv x dx v
  onde ( )v v x Resp. 3 3 lnv C x 
d) 2y xy   Resp. 2xy Ce
e) tgy x y  Resp. seny C x
f) 2 2tg sen cos cotg 0x ydx x ydy  Resp. 2 2tg cotgx y C 
g)   23 tg 1 sec 0x xe ydx e ydy   Resp.  3arctg 1 xy C e    
h) 2sen 0y dy x dxx   Resp.
2 2cos( )y x C 
12 – Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem
as condições iniciais.
a) 2xy y  , ( 2) 1y   Resp. 20,25y x
b) sen ln , 2y x y y y e
      Resp. ln cosec cotgy x x 
INTEGRAL INDEFINIDA 8
c)  1 x xe yy e  , (0) 1y  Resp. 2 12 ln 12
xey      
d)  2 31 0, 1 1dyx y ydx    Resp.
2 1
1 2arccosy x 
e) 2 cossen ( 1) 0tq tdt q dqe   , 12q
     Resp.
2 cos2 ln 2 3tq q e  
f) 23
dS S
dt   , (0) 5S  . Calcule lim ( )t S t Resp.
/3( ) 6 tS t e  e lim ( ) 6
t
S t

 .
Algumas Aplicações
13 – Monitoração ambiental. Em alguns estudos, a degradação ambiental produzida por
detritos tóxicos é modelada pela equação de Haldane: 2
dS as
dt b cs s

 
, onde , , 0a b c  ,
( )S S t é a concentração do substrato (a substância do resíduo na qual as bactérias agem).
Determine ( )S S t . Resp.
2
ln ( )2
S cS b S a t k   
Aplicações à geometria
Determine a família de curvas ( )y f x cujo coeficiente
angular da reta tangente em cada ponto é igual à ordenada do
ponto.
Solução. Matematicamente, a propriedade dessas curvas é
descrita por dy ydx  . Assim,
1 lndy dyy dx dy dx y x cdx y y         . Daí,
ln x c x c x xy x c y C y Ce e e e e        
xy Ce .
14 – Obtenha a equação da curva que passa pelo ponto (2,0)A e que satisfaz à equação
diferencial 4 0dyx y dx  . Resp.
2 24 4x y  (elipse)
15 – A equação da reta tangente a uma curva no ponto  0,2P é 3 2y x  . Sabendo-se
que em um ponto qualquer ( , )x y da curva, 2( ) 3f x x k   (k uma constante), encontrar a
equação dessa curva. Resp. 3( ) 3 2f x x x  
x
y
INTEGRAL INDEFINIDA 9
16 – Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto (0, 2) de tal modo que o
coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual à ordenada correspondente
deste ponto aumentada de 3. Resp. 3xy e 
Aplicações à Cinemática
17 – Considere um corpo que se move ao longo de um eixo s de tal forma que a sua
aceleração ( )a a t é sempre o dobro da sua velocidade ( )v v t . Determine a equação que
descreve a posição ( )s s t desse corpo, sabendo que quando 0t  temos posição nula e que
(0) 3,0v  m/s. Resp.  2( ) 1,5 1ts t e 
18 – Consideremos um corpo de massa m
em queda vertical influenciada apenas
pela gravidade g e pela resistência do
meio proporcional à velocidade do corpo.
De acordo com a 2ª. Lei de Newton, sabemos que a força resultante que atua sobre o corpo é
igual à F mg kv  , sendo a força devido à gravidade, dada pelo peso do corpo igual a mg
e a força devido à resistência do meio dada por kv , onde 0k  é uma constante de
proporcionalidade. Desta forma, a força resultante é
dvmg kv m dt  .
Suponha que um corpo de massa 90m  kg é lançado verticalmente para baixo com uma
velocidade inicial (0) 10v  m/s num meio que oferece resistência do ar igual 3v .
a) Determine ( )v t , ou seja, dê a expressão da velocidade do corpo na forma explícita;
b) Obtenha a velocidade limite do corpo depois de um tempo muito grande, isto é,
determine lim ( )
t
v t

.
Resp. /30( ) 300 290 tv t e  e lim 300v  m/s
Crescimento populacional (malthusiano)
O modelo mais simples de crescimento populacional é aquele em que se supõe que
A taxa de crescimento de uma população é proporcional à população
presente naquele instante.
Suponhamos que ( )Q Q t representa a quantidade populacional no tempo t e 0(0)Q Q .
Este modelo é dado pelo problema de valor inicial
INTEGRAL INDEFINIDA 10
0(0)
dQ kQdt
Q Q
  
que tem solução dada por
0( ) ktQ t Q e ,
sendo chamado de modelo exponencial de Malthus.
Observe que apresenta um crescimento exponencial se 0k  , impossível de ser mantido para
sempre. A aplicação desse modelo a populações humanas por T. R. Malthus em 1798 gerou
uma acirrada controvérsia no começo do século XIX. Malthus afirmava que a população
mundial crescia à razão geométrica, enquanto os meios de sobrevivência cresciam apenas em
razão aritmética; consequentemente, a população tenderia a ser controlada por fome, miséria,
epidemias, vícios, etc.
19 – Suponha que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao
número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de
150000 habitantes, determine a população inicial.
Resp. 0( ) ktQ t Q e em que
ln 3
10k  e 0 16667Q  indivíduos.
Mistura química
Consideremos um tanque com uma solução (soluto + solvente,
por exemplo, sal e água) de volume inicial 0V , com fluxo de
entrada e saída. Mantendo-se essa solução uniformemente
misturada vamos calcular a quantidade ( )Q t de soluto no
tanque no instante t . A variação da quantidade de soluto no
tanque é obtida pela diferença entre a quantidade de soluto
que entra e que sai do tanque.
 Por outro lado, se ( )V t é o volume no instante t , temos que dQ dQ dVdt dV dt .
 dQdV é a variação da concentração e
dV
dt é a taxa de variação do volume, ou seja, a
vazão.
 Assim, dQ dQ dVdt dV dt concentraçãovazão.
INTEGRAL INDEFINIDA 11
Logo, se há um fluxo de entrada e saída temos:
e e s s
dQ c v c vdt  
ec  concentração de entrada; ev vazão de entrada.
sc  concentração de saída; sv vazão de saída.
0
( ) ( )
( )s e s
Q t Q tc V t V v t v t   
( 0 e sV v t v t  = volume inicial + volume que entra – volume que sai)
A equação final fica:
0
( )
e e s
e s
dQ Q tc v vdt V v t v t    , ou seja,
 0 ( )
s e e
e s
dQ v Q t c vdt V v v t   .
 Esta equação diferencial é linear de 1ª. ordem.
 Se a vazão de entrada for igual à vazão de saída a equação linear é também de variáveis
separáveis.
20 – Um tanque contém inicialmente 100 galões de salmoura com 20 lbs de sal. No instante
0t  , começa-se a jogar no tanque água pura à razão de 5 gal/min, enquanto a mistura
resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no
instante qualquer t . Resp. /20( ) 20 tQ t e
21 – Um tanque contém inicialmente 100 galões de salmoura com 1 lb de sal. No instante
0t  , adiciona-se outra solução de salmoura com 1 lb de sal por galão, à razão de 3 gal/min,
enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine
a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t ;
b) o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 lbs de sal.
Resp. 0,03100 99 tQ e  e 0,338mint 