2 Flexao parte I

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Mecânica dos Sólidos III 
Flexão – Parte I 
29/04/2007 - Colapso provocado 
pelo peso próprio após acidente 
envolvendo um caminhão 
tanque. 
Uma estande de livros não deixa 
de ser uma viga em flexão: 
comprimento maior que a largura 
ou espessura e carga (livros) 
aplicada perpendicularmente ao 
seu eixo longitudinal. 
Introdução 
 Cargas atuando sobre uma 
viga criam ações internas (ou 
tensões resultantes) na forma 
de forças de cisalhamento e de 
momentos fletores. 
 
 As cargas que atuam numa 
viga a fazem fletir (ou curvar), 
e assim deformar o seu eixo 
em uma curva. 
 
 O eixo que estava inicialmente 
reto é então flexionado em 
uma curva chamada de curva 
de deflexão da viga. 
Flexão de uma viga em 
balanço: 
(a) Viga com carregamento; 
(b) Curva de deflexão. v = 
deflexão (deslocamento de 
um ponto em relação à sua 
posição original, medida na 
direção de y. 
 Flexão pura: 
• Quando a viga está 
submetida a um momento 
fletor constante. 
• Ocorre somente em pontos 
da viga onde a força de 
cisalhamento é zero (V = 0). 
 
 Flexão não-uniforme: 
• É referente à flexão na 
presença de forças de 
cisalhamento. Nesse caso, o 
momento fletor varia quando 
se move ao longo da viga. 
Viga simples em flexão pura 
Viga engastada em flexão pura 
Viga com região central em flexão 
pura e extremidades em flexão 
não-uniforme. 
Deformação de vigas em flexão pura 
 Quando cargas são aplicadas em uma viga, seu eixo 
longitudinal é deformado em uma curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As tensões e deformações resultantes estão diretamente 
relacionadas à curvatura da curva de deflexão. 
M M 
Hipóteses: 
 Mudanças dimensionais na direção y 
são significativamente menores que a 
flexão. 
 
• Isso provoca uma tensão de tração 
de um lado da viga e uma tensão 
de compressão do outro lado. 
 
• As retas longitudinais tornam-se 
curvas e as retas transversais 
permanecem retas, mas sofrem 
rotação. 
Hipóteses: 
 A seção transversal de uma viga reta 
permanece plana e perpendicular ao 
eixo longitudinal quando a viga se 
deforma por flexão. 
 A deformação longitudinal 
varia linearmente de zero 
no eixo neutro. 
 
 A lei de Hooke se aplica 
quando o material é 
homogêneo. 
 
 O eixo natural passa pelo 
centróide da área da seção 
transversal e não sofre 
mudança de comprimento. 
 
 ρ = raio de curvatura; 
 
 
 
 A curvatura (k) é uma medida 
de quão intensamente a viga é 
flexionada. É definida como o 
inverso do raio de curvatura. 
 
 
 
 
 As deflexões em vigas são 
usualmente muito pequenas 
quando comparadas aos seus 
comprimentos  ds ≈ dx 
 


d
ds
dds 
ds
d
kk



1
dx
d
kk



1
Antes da aplicação do momento: 
 AB = JK = DE = A’B’ = L 
P/ M>0 
 AB encurta (σcompressão, εx < 0) 
 A’B’ alonga (σtração, εx > 0) 
 DE = superfície neutra (σ = ε = 0) 
  L L DE como DE


y
JKx

DE = ρ.θ  como DE ≈ L  L = ρ.θ 
Para uma superfície qualquer: 
 
JK = (ρ – y).θ = L’ // L’ = compr. Final 
δJK = L’ – L = (ρ – y).θ - ρ.θ = -y.θ 
Como εx = δ/L  
εx terá seu valor absoluto máximo 
quando y for máximo (na superfície 
superior ou inferior da viga)  ponto 
“c”. max. c
y

 ρ = raio de curvatura; 
 ab  linha neutra: 
• εx = σx = 0; 
• Δxantes def = Δxdepois def 
 
 Entretanto, todas as 
outras linhas tanto 
acima quanto abaixo 
da linha neutra ou 
alongam ou encurtam, 
criando assim 
deformações normais 
específicas (εx) 

 
yy
x
u







)(
limlim
00
Observa-se que a deformação evolui de forma 
linear ao longo da espessura da viga, onde 
εmax é a máxima deformação que ocorre no 
ponto mais distante da superfície neutra, c. 
y
c
y
c








.
1y
 mas ,
max
max


c
y
.max 
Tensão e deformação no regime elástico 
 Considerando o material 
homogêneo e dentro do 
regime elástico-linear, 
 
 σ=E.ε 
 .
 ..E. (E) x .
max
maxmax
c
y
c
y
E
c
y
x 



No regime elástico, a tensão normal varia linearmente com a 
distância da superfície neutra. 
Tensões normais em uma viga de material 
elástico linear: (a) vista lateral da viga 
mostrando a distribuição das tensões 
normais e (b) seção transversal da viga 
mostrando o eixo z como a linha neutra da 
seção transversal. 
Impondo o equilíbrio de forças na direção x, 
teremos: 
 
 
 
Mas 
 
 
 
Como σmax e c são valores constantes e não nulos, 
 .max
c
y
x  
De acordo com a equação, e desde que as 
tensões permaneçam no regime elástico, 
conclui-se que o eixo neutro passará pelo 
centróide da seção transversal da viga. 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑥 = 0 → 𝑑𝐹
𝐴
= 0 → 𝜎𝑥. 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 𝑦𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝑐
. 𝑦𝑑𝐴
𝐴
= 0 
𝑦 =
 𝑦𝑑𝐴𝐴
 𝑑𝐴𝐴
= 0 
Lembrando que o momento interno atuante na 
seção transversal é a soma dos momentos 
infinitesimais atuantes nas áreas dA, teremos: 






A
AA
x
A
zzR
dAy
c
dA
c
y
yMdAyM
dFyMMM
2max
max
M
 )..( )..(
.


 .2 A dAyI
I = momento de inércia da seção 
transversal em relação ao eixo que 
passa seu centróide 
 
.
max
I
cM

• σmax = tensão normal máxima; 
• M = momento interno resultante; 
• I = momento de inércia 
• c = distância perpendicular do eixo 
neutro ao ponto onde ocorre tensão 
máxima. 
 
.
I
yM
x 
Tensão normal para qualquer 
distância y da linha neutra 
 W = módulo de resistência 
(tabelado) 
 A relação I/c depende 
somente da geometria da 
seção transversal 
 max
W
M

 
.
max
I
cM

 
.c
 
.
 
.
. maxmax
EI
cM
EI
cM
I
cM
E  
 
1
EI
M
k 
 Calculo da curvatura 
Resumindo ... 
1. A viga simplesmente apoiada tem a área de seção 
transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão 
de flexão máxima absoluta na viga e represente a 
distribuição de tensão na seção transversal nessa 
localização. 
Exemplos 
2. (Beer, 4.1) Sabendo 
que o momento 
mostrado atua em um 
plano vertical, 
determine a tensão no 
ponto A e no ponto B. 
3. (Beer, 4.3) Usando 
uma tensão admissível 
de 155 MPa, determine 
o maior momento fletor 
M que pode ser 
aplicado à viga de 
mesa larga mostrada. 
4. (Beer, 4.8) Duas forças 
verticais são aplicadas à 
viga com a seção 
transversal mostrada 
na figura. Determine as 
tensões de tração e de 
compressão máximas 
na parte BC da viga. 
5. 
 
6. 
 
Beer