3 Slide - Flexão

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Resistência dos Materiais 
Flexão 
Flexão 
 Antes da determinação das tensões normais que se instalam nos pontos 
das seções transversais de uma barra, como efeito dos esforços externos, 
convém classificar os tipos de flexão que podem ocorrer. 
 
Vamos considerar a viga da figura, 
solicitada pelas cargas P e 1,25 P, 
sendo esta última inclinada em 
relação ao eixo da viga em um 
ângulo a. O plano vertical, que 
contém as cargas contém, também, 
o eixo baricêntrico da viga. 
cos a = 0,6 
sen a = 0,8 
Os gráficos representam os esforços: normal, cortante e momento fletor. 
Tipos de Flexão 
• Quando em um elemento só atua momento 
fletor, nas diversas seções transversais, diz-
se que a solicitação é de flexão pura (trecho 
BC). 
• Diz-se que há flexão simples quando as 
seções da viga são solicitadas, 
simultaneamente, por momento fletor e 
força cortante (trecho CD, por exemplo). 
• Quando além do momento fletor há força 
normal atuando na barra diz-se que há 
flexão composta como acontece com o 
trecho AB. 
Tipos de Flexão 
Se o eixo que contém a força normal coincide com o eixo baricêntrico da barra 
a flexão pode ser chamada de flexo-compressão centrada ou flexo-tração 
centrada. 
Se não ocorrer a condição acima diz-se que há flexo-compressão excêntrica ou 
flexo-tração excêntrica. 
Flexão oblíqua simples ocorre quando o plano que contém as cargas não é 
paralelo a nenhum dos eixos principais de inércia e as seções da viga são 
solicitadas, simultaneamente, por momento fletor e força cortante. 
Flexão oblíqua composta ocorre quando o plano que contém as cargas não é 
paralelo a nenhum dos eixos principais de inércia e as seções da viga são 
solicitadas, simultaneamente, por momento fletor e força normal. 
Flexão Pura 
Flexão Pura: Elementos prismáticos submetidos a momentos fletores M e 
M’ iguais e opostos atuando num mesmo plano longitudinal.c 
Barra prismática em flexão pura 
Se as forças internas em qualquer seção são 
equivalentes a um momento, o momento interno é 
igual ao momento externo, que é chamado de 
momento fletor. 
 
Da estática: 
A soma das componentes das forças em qualquer 
direção é zero. 
O momento fletor é o mesmo em relação à qualquer 
eixo perpendicular a seu plano e é zero em relação a 
qualquer eixo contido naquele plano. 






MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx
s
s
s
0
0
Deformações em flexão pura 
Vigas com um plano de simetria sob flexão pura: 
A viga permanece simétrica 
Flete uniformemente formando um arco circular. 
Os planos que contêm as seções transversais passam pelo 
centro do arco e permanecem planos. 
 Quando M > 0 a linha AB diminui o comprimento 
enquanto A’B’ aumenta o comprimento. 
Existe um conjunto de fibras, formando uma superfície, 
onde não há variação no comprimento das fibras, 
chamada superfície neutra. 
Tensões e deformações são negativas (compressão) acima 
do plano neutro e positivas (tração) abaixo, para este 
caso em estudo. 
Deformação devido à flexão 
Chamando de r o raio de curvatura do arco DE, de q o 
ângulo central correspondente a DE, e observando 
que o comprimento DE é igual ao comprimento L da 
viga não deformada: 
 𝐿 = 𝜌𝜃 
Para o arco JK localizado a uma distância y acima da 
superfície neutra, notamos que seu comprimento é: 
 𝐿′ = 𝜌 − 𝑦 𝜃 
Assim, deformação de JK é: 
𝛿 = 𝐿′ − 𝐿 = 𝜌 − 𝑦 𝜃 − 𝜌𝜃 = −𝑦𝜃 
A deformação longitudinal específica e, nos elementos 
é: 
𝜀𝑥 =
𝛿
𝐿
= −
𝑦𝜃
𝜌𝜃
= −
𝑦
𝜌
 
A deformação específica atinge seu valor absoluto 
máximo quando o valor de y é máximo: 
𝜀𝑚á𝑥 =
𝑐
𝜌
 𝑜𝑢 𝜌 =
𝑐
𝜀𝑚á𝑥
 
Tensões e deformações no regime elástico 
Para um material linear elástico, 
e)linearment varia(tensãomáxx
máxxx
c
y
E
c
y
E
ss
ees


 máxxmáx
c
y
W
M
I
Mc
sss 
   
c
I
dAy
c
M
dA
c
y
ydAyM
máxmáx
máxx
ss
ss










2
A tensão normal máxima ocorre na 
superfície da viga e é dada por: 
Para o equilíbrio estático, 
Onde: 
M = momento fletor; 
I = momento de inércia da seção transversal; 
y = distância da linha neutra ao ponto onde se 
deseja calcular a tensão. 
𝜍𝑥 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
 
Propriedades das seções de vigas 
Seja c = ymáx a distância, da linha neutra, à fibra 
que está mais afastada dessa linha neutra. 
 
Então a tensão normal máxima é: 
aresistênci de módulo 
inércia de momento 





c
I
W
I
W
M
I
cM
máxs
Propriedades das seções de vigas 
Para uma viga de seção retangular, podemos 
calcular : 
Ahbh
h
bh
c
I
W
6
12
6
1
3
12
1
2

Comparando duas vigas com mesma área de 
seção transversal, a que tiver altura maior terá 
um módulo de resistência maior e, portanto, 
terá maior capacidade para resistir à flexão. 
Propriedades dos perfis de padrão americano 
Momento de inércia de figuras 
planas 
Características Geométricas de uma figura plana 
Barra prismática Seção longitudinal 
Seção transversal 
Momento de Inércia 
𝐼𝑥 = 𝑦²𝑑𝐴 𝐼𝑦 = 𝑥²𝑑𝐴 
 
𝐴
 
𝐴
 
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de 
referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos 
elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas 
distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. 
A unidade do momento de inércia é comprimento à 4ª potência: 
mm4, cm4, m4. 
Momento de Inércia 
Seja a seção retangular da figura: 
Para calcular o momento de inércia deste retangulo em relação ao eixo de 
simetria horizontal X, pode-se dividí-lo em elementos infinitesimais (área 
tracejada). 
Momento de Inércia 
Então teremos: 
Analogamente, o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo y 
será: 
𝐼𝑥 = 2 𝑦² ∙ 𝑏 ∙ 𝑑𝑦 = 2
𝑦3
3
∙ 𝑏 
ℎ
2 
0
 
𝐼𝑥 = 𝑦²𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 𝑏 ∙ 𝑑𝑦
 
𝐴
 
𝐼𝑥 = 2
ℎ
2
3
∙ 𝑏
3
−
0 3 ∙ 𝑏
3
 → 𝐼𝑥 =2 ∙
ℎ3∙𝑏
23∙3
 → 𝐼𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
 
𝐼𝑦 =
𝑏3 ∙ ℎ
12
 
18 
x 
y 
Seção quadrada de lado a: 
Seção circular de diâmetro d: 
Seção retangular: 
Seção circular vazada: 
D = diâmetro externo; d = diâmetro interno. 
 
𝐼𝑥 =
𝑎4
12
 
𝐼𝑥 =
𝜋 ∙ 𝑑4
64
 
𝐼𝑦 =
𝑏3 ∙ ℎ
12
 
𝐼𝑥 =
𝜋 ∙ (𝐷4 − 𝑑4)
64
 
Triângulo retângulo: 
𝐼𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
 
𝐼𝑦 =
𝑏3 ∙ ℎ
36
 
𝐼𝑥 =
𝑏 ∙ ℎ3
36
 
Momento de Inércia 
Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 
Translação de eixos 
O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao 
momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, 
acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da distância que separa os dois eixos. 
 
19 
Ix e Iy = momento de inércia da figura em relação aos 
eixos x e y, respectivamente. 
IxCG e IyCG = momento de inércia da figura em relação 
aos eixos XCG e YCG do CG da figura. 
dxCG = distância do eixo x até o eixo XCG . 
dyCG = distância do eixo y até o eixo YCG . 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝐶𝐺 + 𝐴 ∙ 𝑑𝑦𝐶𝐺
2 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝐶𝐺 + 𝐴 ∙ 𝑑𝑥𝐶𝐺
2 
Exemplo 
Calcular a posição do CG e os momentos de inércia Ix e Iy da figura: 
 
Calcular a posição do CG e os momentos de inércia Ix e Iy das figuras: 
Exercícios 
Flexão Pura 
Exercícios 
Exercício 1 
Uma viga está solicitada por um momento de 400 N.m, como indica a figura. 
Determine as máximas tensões normais de flexão e indique a variação das tensões ao 
longo da altura da viga. 
Exercício 2 
A viga mostrada é feita de um aço cuja tensão admissível é de 160 MPa. Determine o 
maior momento fletor que pode ser aplicado à viga quando ela é flexionada em torno 
do eixo z. 
M= 26,51 x106 N.mm 
Exercício 3 
Uma viga é submetida a um momento fletor M = 3KN.m. Determine a tensão 
normal máxima de tração e de compressão. 
sc= 131,3 MPa 
sT= 76,04 MPa 
Exercício 4 
A viga mostrada é feita de nylon para a qual a tensão admissível é de 24 MPa na tração 
e 30 MPa na compressão. Determine o maiormomento M que pode ser aplicado à 
viga. 
Mmáx= 106,1 N.m 
Um momento M=5,5 KN.m atua na viga com a seção transversal mostrada na figura. 
Determine as tensões nos pontos A, B e D. 
Exercício 5 
sA=  17,9MPa 
sB= 22,4 MPa 
sD= 0 
Exercício 6 
Um momento M=15 kN.m atua na viga com a seção transversal mostrada na figura. 
Determine as tensões nos pontos A e B. 
Dimensões em mm 
sA=  61, 1 MPa 
sB= 91,7 MPa 
Exercício 7 
Sabendo que para a viga mostrada na figura, a tensão admissível é de 120 MPa na 
tração e 160 MPa na compressão, determine o maior momento fletor M que pode ser 
aplicado. 
Propriedades da seção: 
yCG = 138,25 mm 
Iz = 165,57x106 mm4 
Mz = 177,8 x106 N.mm 
Exercício 8 
33 
Para a viga de madeira com o carregamento mostrado, determine a tensão máxima 
provocada pelo momento fletor. 
s=60MPa 
Exercício 9 
34 
A viga de aço simplesmente apoiada, deve suportar as forças distribuídas e 
concentradas mostradas. Sabendo que a tensão normal admissível para a classe de 
aço a ser utilizado é de 160 MPa, selecione o perfil de mesa larga mais econômico 
(mais leve) que deve ser usado. 
W360x32,9 
Exercício 10 
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga 
sabendo que o tipo de madeira utilizada tem tensão normal admissível de 12 MPa. 
h =173,2mm 
Exercício 11 
36 
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga 
sabendo que o tipo de madeira utilizada tem tensão normal admissível de 12 MPa. 
b =75 mm 
Exercício 12 
37 
Para a viga mostrada na figura, a tensão normal máxima admissível de 42 MPa na 
tração e 70 MPa na compressão. Determine a máxima carga admissível P. 
P = 25,5 kN 
Flexão Composta (M+N) 
Exercícios 
Exercício 13 
Para a viga e o carregamento mostrado, determine a) as máximas tensões normais de 
tração e de compressão, b) o diagrama das tensões e c) a posição da linha neutra. 
sc=  230,6 MPa 
sT= 186,1 MPa 
yLN = 13,3 mm 
Exercício 14 
Uma viga com as dimensões indicadas está submetida a um momento fletor 
M=60kNm e uma força normal de N=210 kN conforme a figura. Determine, a) as 
máximas tensões normais de tração e de compressão, b) o diagrama das tensões e c) a 
posição da linha neutra. 
sc=  104,2 MPa 
sT= 107,7 MPa 
yLN = 96,6 mm 
Exercício 15 
Um perfil tubular de 250 mm de diâmetro externo e 8 mm de espessura está 
submetido a um momento fletor M=12,5 kN.m e uma força normal N=80 kN conforme 
a figura. Determine as máximas tensões normais de tração e de compressão e a 
posição da linha neutra. 
𝐼𝑥 =
𝜋 ∙ (𝐷4 − 𝑑4)
64
 
𝐴 =
𝜋 ∙ (𝐷2 − 𝑑2)
4
 
sc=  21,9 MPa 
sT= 48,2MPa 
yLN = 171,9 mm 
Exercício 16 
42 
Sabendo que a tensão admissível na seção AB é de 45 MPa, determinar a maior força 
P que pode ser aplicada ao suporte mostrado na figura. 
P = 1,8 kN