02 Mec II Cinematica Ponto Material

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Disciplina:
MECÂNICA II
Assunto:
CINEMÁTICA do PONTO 
MATERIAL (ESCALAR)
ENGENHARIA MECÂNICA
CINEMÁTICA ESCALAR
CONTEÚDO:
1 - Conceitos Básicos;
2 - Movimento Uniforme;
3 - Movimento Uniforme Variado;
4 - Movimento de Queda Livre;
5 - Movimento Circular;
6 – Eixo Instantâneo de Rotação.
1 - CONCEITOS BÁSICOS
1.1. 
OBJETIVO do 
ESTUDO da 
CINEMÁTICA
Descrever e fazer previsões do 
movimento dos corpos.
1.2.
PONTO 
MATERIAL
a) Ponto - Todo corpo cujas 
Dimensões relativas não 
interferem no estudo do movimento.
b) Material – Embora Dimensões
do corpo sejam desprezadas, 
sua Massa sempre considerada.
1.3. 
POSIÇÃO de 
um CORPO
Definida por 2 Coordenadas
ou por seu Vetor Posição (r) 
em relação a um referencial.
1.4.
CINEMÁTICA 
do PONTO
Caracteriza o movimento de um 
ponto em relação a um referencial.
1.5. MOVIMENTO RETILÍNEO
Quando o movimento de um ponto em relação
a um mesmo referencial é caracterizado
unicamente pela variação da distância e
sentido.
Quando o 
movimento em que 
a distância do 
ponto em relação 
a um referencial O
permanece 
constante,
mas a sua direção
varia segundo
um plano.
1.6. MOVIMENTO CIRCULAR
1.7. MOVIMENTO CURVILÍNEO
Posição de um ponto em relação a um
referencial apresenta simultaneamente
variação na distância e na
direção.
1.8. TEMPO – (abscissa temporal t ou 
instante t) Número real que corresponde 
biunivocamente à sucessão dos eventos. 
Intervalo de Tempo (Δt) - Número de 
unidades de tempo decorridas entre 2 eventos 
sucessivos, calculado pela seguinte equação: 
Δt = t
2
- t
1;
t
2
e t
1
 instantes associados a esses eventos.
Na Mecânica Clássica, a linha do tempo 
cresce sempre no sentido positivo. Logo deve-se 
evitar referenciais ao tempo c/ valores negativos.
1 - CONCEITOS BÁSICOS
1.9. TEMPO
 À Origem dos Tempos (evento inicial 
arbitrário) associa-se, por comodidade, t = 0; 
 Aos eventos que seguem a O.T. associa-se t > 0
 Para aqueles que o precedem, associa-se t < 0.
1 - CONCEITOS BÁSICOS
1.9. TRAJETÓRIA - Para um dado sistema de 
referência Linha Contínua S.
Lugar Geométrico dos pontos do espaço 
geométrico ocupado pelo ponto material no decorrer 
do tempo.
1.10. ESPAÇO CINEMÁTICO - Posição ou 
abscissa linear S é o número  que corresponde 
biunivocamente aos pontos da trajetória e que 
se destina a localizar o ponto sobre sua trajetória. 
ESPAÇO S: 
 Só localiza o ponto P (relativo à origem O); 
 Não indica o sentido de movimento; 
 Não determina quanto o móvel “andou”.
 A expressão que associa biunivocamente a 
cada valor de t o correspondente valor de S é: 
“Lei de Movimento”, “Lei Horária de 
Movimento” ou “Equação Horária”.
GRÁFICO S x t
Se S permanece constante
(em relação a t), no referencial 
em questão, ele é dito em
REPOUSO.
ESPAÇO PERCORRIDO
Incremento de abscissa ΔS, num dado intervalo de 
tempo Δt é dado por: ΔS
t1---t2
= S
2
- S
1
S2 - Abscissa do móvel no instante t2;
S1 - Abscissa do móvel no instante t1. 
Num dado intervalo de tempo pode-se ter: 
ΔS > 0, ΔS = 0 ou ΔS < 0.
Posição e Velocidade do Corpo Vários Instantes
Posição t(s) S(m) ΔS V
m
= ΔS/Δt
A 0 30 A  B: + 22 + 2,2 m/s
B 10 52 B  C: - 14 - 1,4 m/s
C 20 38 C  D: - 38 - 3,8 m/s
D 30 0 D  E: - 37 - 3,7 m/s
E 40 - 37 E  F: - 16 - 1,6 m/s
F 50 - 53 A  F: - 83 - 1,66 m/s
2 - MOVIMENTO UNIFORME
(M.U.)
CINEMÁTICA ESCALAR
(do Ponto e dos Sistemas)
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME - M.R.U.
DISTÂNCIA 
PERCORRIDA 
(S)
Diretamente Proporcional ao 
Tempo Gasto p/ a Percorrer.
Igual ao Deslocamento.
VELOCIDADE
Se Mantêm Constante.
Mesma Direção, Mesmo Sentido e 
Mesmo Valor em todos instantes.
Quociente 
S ÷ t =
Constante.
Corresponde à Rapidez Média.
RAPIDEZ 
MÉDIA ≠ 
Velocidade
Velocidade Escalar e Instantânea. 
Possui só intensidade.
É a mesma qualquer que seja o 
intervalo de tempo considerado.
TEMPO
Corresponde ao valor da 
velocidade em qualquer instante. 
Gráfico S-t do M.U. Quando a Distância 
Percorrida e o Tempo São Proporcionais
FUNÇÕES do M.U.
GRAN-
DEZA
EQUAÇÃO PROPRIEDADES
ESPAÇO S = S
o
+ V.t
Espaços Percorridos 
proporcionais às extensões 
dos Δt necessários p/ 
percorrê-los, ou, as ΔS
serão iguais p/ Δt iguais.
VELO-
CIDADE
V = dS/dt
= V
m
V Escalar Cte. e ≠ 0, de 
mesmo valor que a Veloc. 
Escalar Média;
ACELE-
RAÇÃO
a = dV/dt
= a
m
Constante e a = 0
GRÁFICOS dos M.U.  ESPAÇO
a) Diagramas Horários
Segmentos de reta Inclinados em relação ao eixo 
dos tempos (t).
GRÁFICOS dos M.U. 
b) Diagramas de VELOCIDADES
Segmentos de reta Paralelos ao eixo dos tempos t.
GRÁFICOS dos M.U.
c) Diagramas das ACELERAÇÕES ΔS < 0 t
Segmentos de reta Coincidentes com o Eixo t.
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
MOVIMENTO PROGRESSIVO RETRÓGRADO
M Ó V EL
Caminha 
a Favor da 
Orientação 
da Trajetória
Caminha 
Contra a 
Orientação 
da Trajetória
ESPAÇO
CRESCEM 
no Decurso 
do Tempo
DECRESCEM 
no Decurso 
do Tempo
VELOCIDADE
Escalar
Positiva 
v > 0
Escalar 
Negativa 
v < 0
ACELERAÇÃO a = 0 a = 0
MOVIMENTO UNIFORME
- Quando o velocímetro indicar sempre a mesma 
velocidade e V ≠ 0 durante certo Δt, o movimento 
não será variado, mas sim uniforme.
MOVIMENTO UNIFORME
Em iguais Δt os ΔS são iguais e não nulos.
Velocidade Escalar Cte. e ≠ 0 c/ passar do tempo.
Δt
1
= Δt
2
 ΔS
2
= ΔS
1
MOVIMENTO 
UNIFORME 
PROGRESSIVO
Com Espaço 
Inicial Nulo
S
o
= 0
V > 0
MOVIMENTO 
UNIFORME 
PROGRESSIVO
Com Espaço 
Inicial Positivo
S
o
> 0
V > 0
MOVIMENTO 
UNIFORME 
PROGRESSIVO
Com Espaço 
Inicial Negativo
S
o
< 0
V > 0
MOVIMENTO 
UNIFORME 
RETRÓGRADO
Com Espaço 
Inicial Positivo
S
o
> 0
V < 0
MOVIMENTO 
UNIFORME 
RETRÓGRADO
Com Espaço 
Inicial Nulo
S
o
= 0
V < 0
MOVIMENTO 
UNIFORME 
RETRÓGRADO
Com Espaço 
Inicial Negativo
S
o
< 0
V < 0
MOVIMENTO VARIADO ACELERADO
- Quando o velocímetro indicar velocidades escalar 
instantânea cada vez maiores no decorrer do 
tempo.
MOVIMENTO ACELERADO
Em iguais Δt os ΔS são cada vez maiores.
Velocidade Escalar Aumenta c/ passar do tempo.
Δt
1
= Δt
2
 ΔS
2
> ΔS
1
a) ΔS
1
= (V+V
o
)t ÷2 = (50+0)x0,5
1 
÷ 2 = 12,5 m
b) ΔS
2
=(V+V
o
)t÷2 =(100+50)x0,5
2
÷2 = 37,5 m
c) ΔS
3
=(V+V
o
)t÷2 = (150+100)x0,5
3
÷2 = 62,5m
a1 = (V – Vo)/(t – to) = (50 – 0)/(0,5 - 0) = 100 m/s²
a2 = (V – Vo)/(t – to) = (100 – 50)/(1 – 0,5) = 100 m/s²
a3 = (V – Vo)/(t – to) = (150 – 100)/(1,5 – 1) = 100 m/s²
Um veículo que se move cada vez mais lentamente
durante certo intervalo de tempo, isto é, se o módulo
de sua velocidade escalar instantânea for sempre
decrescente, tem:
MOVIMENTO VARIADO RETARDADO
MOVIMENTO RETARDADO
Em iguais Δt os ΔS são cada vez menores.
Velocidade Escalar Diminui c/ o passar do tempo.
Δt
1
= Δt
2
 ΔS
2
< ΔS
1
VELOCIDADE MÉDIA
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
A velocidade média (V
m
) com que um móvel vai do 
ponto 1 ao ponto 2 - Razão entre o Deslocamento 
(ΔS) de 1 até 2 e o intervalo de tempo (Δt) 
decorrido neste Deslocamento. 
Matematicamente: “Razão Incremental”
Gráfico v-t p/ o M.U., pode-se calcular a Distância
(d) percorrida durante um intervalo de tempo (t), 
calculando a área do triânguloda figura.
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Posição do Corpo em Vários Instantes
POSIÇÃO t (s) X (m)
A 0 30
B 10 52
C 20 28
D 30 0
E 40 -37
F 50 -53
vm = Tg 
vm = Δx/Δt
vm = (160 – 20) / 2
vm = 70m/s
vm = Tg 
vm = Δx/Δt
vm = 80 - 20 / 1
vm = 60 m/s
VELOCIDADE MÉDIA
Um carro fazendo uma viagem de 60 km, desloca-se 
a 20 km/h nos primeiros 30 km, e a 60 km/h nos 
últimos 30 km. 
Seremos induzidos a dizer que a velocidade média no 
percurso todo será de (20 + 60) / 2 ou 40 km/h. 
Porém, isso é incorreto devido à convenção de que 
v
m 
é definida com relação ao tempo, e não com 
respeito à distância.
Se t
1
é o tempo necessário para vencer a 1ª parte da 
viagem (à velocidade v
1
), e t
2
é o tempo para a 2ª 
parte (à velocidade v
2
), então, de acordo com a 
definição de média, v
m 
em relação ao tempo é: 
v
m
= (v
1
t
1
+ v
2
t
2
)/(t
1
+ t
2
) ... eq.1
VELOCIDADE MÉDIA
Quantidade v
1
t
1
= S
1
, é a distância percorrida à 
velocidade v
1
. 
Semelhantemente, v
2
t
2
= S2.
Assim, substituindo-se na ...eq.1, tem-se:
v
m
= [(v
1
t
1
) + (v
2
t
2
)] / (t
1
+ t
2
)
v
m 
= [(S
1
) + (S
2
)] / (t
1
+ t
2
) = S
total
/T
total
...eq.2
Essa expressão inclui todos os fatores pesos, e dá a 
média temporal correta em todos os instantes, não 
importando como a velocidade muda com o tempo. 
Obteríamos o mesmo resultado para 3 ou mais 
intervalos de tempo.
A equação eq.1 é uma média ponderada. 
Onde t1 e t2 são os fatores "peso" de cada medida de 
velocidade, em cada trecho. 
Podemos calcular a velocidade média do carro, 
avaliando t1 e t2 da relação t = S / v
Calculando os tempos:
t1 = 30 km / (20 km/h) = 1,5 h;
t2 = 30 km / (60 km/h) = 0,5 h.
Substituindo esses valores na ...eq.1 obtem-se:
v
m
= (20 x 1,5 + 60 x 0,5) / (1,5 + 0,5) 
v
m
= 30 km/h e não 40 km/h
(AFA-2003) Um automóvel faz uma viagem em que, 
na primeira metade do percurso, é obtida uma 
velocidade média de 100 km/h. 
Na segunda metade do percurso a velocidade média 
desenvolvida é de 150 km/h. 
Determinar a velocidade média, ao longo de todo o 
percurso:
S1; V1 = 100 km/h; S2; V2 = 150 km/h
S1 = S2 = 100 km (valor arbitrado)
Equação Horária do Movimento:
S = v x t  S
1
= v
1
x t
1
 t
1
= S
1
/ v
1
t2 = S2 / v2 = S1 / v2 = (v1 x t1) / v2
t2 = 100 t1 / 150 = 1,5 t1
t1 = S1 / v1= 100 km / 100 km/h = 1 h
t2 = 1,5 t1 = 1,5 x 1 h = 1,5 h
vm = (v1 x t1) + (v2 x t2) / (t1 + t2)
vm = (100 x 1 + 150 x 1,5) / (1 +1,5)
vm = (100 + 225) / (1 +1,5) = 325 / 2,5
v
m
= 130 km/h.
(Unesp 2008) Os movimentos de dois veículos, I e II, 
estão registrados no gráfico abaixo.
Sendo os movimentos retilíneos, a velocidade do 
veículo II no instante em que alcança I é:
a) ( ) 15 m/s.
b) ( ) 20 m/s.
c) ( ) 25 m/s.
d) ( ) 30 m/s.
e) ( ) 35 m/s.
O gráfico mostra a variação da velocidade com o tempo. 
A variação de espaço e aceleração escalar média entre 
0 s e 10 s foram respectivamente:
a) ( ) 110 m e -3 m/s²; b) ( ) 100 m e 2 m/s²;
c) ( ) 140 m e -1,5 m/s²; d) ( ) 140 m e 2 m/s²;
e) ( ) 110 m e -1,2 m/s².
VELOCIDADE 
INSTANTÂNEA
VELOCIDADE ESCALAR 
(INSTANTÂNEA)
Num dado instante t
1
, é o Limite da 
Velocidade Escalar Média definida entre 
os instantes t
1
e t
2
, quando o instante t
2
torna-
se cada vez mais próximo de t
1
(o que 
corresponde dizer que Δt tende p/ 0.
Taxa de Variação da Posição c/ Tempo
Quando estamos no 
limite em que o intervalo 
Δt é zero, temos a 
VELOCIDADE 
INSTANTÂNEA no 
exato momento em 
que o carro passa 
pelo radar. 
Podemos expressar matematicamente esta última 
frase da seguinte forma:
Esse limite (lim) define a derivada primeira 
da posição (S) com relação ao tempo (t)
dx/dt.
VELOCIDADE INSTANTÂNEA (v) num dado 
instante é a derivada com relação ao tempo da 
função que descreve a posição (S) da partícula 
neste dado instante. 
Leia: Flúxions de Newton.
Em CÁLCULO DIFERENCIAL, sendo S = S(t) a 
função que associa a cada t um e um só S, a veloc. 
V, no instante genérico t será a Derivada da Função
S = S(t) em relação ao tempo t e escreve-se: 
V = ds(t) / dt
Expressão que nos permite obter a Velocidade 
Escalar do móvel em cada instante de seu 
movimento e denomina-se “Lei de Velocidade” ou, 
“Equação da Velocidade”. 
VELOCIDADE ESCALAR é o Módulo da 
Velocidade Instantânea: V = |V|; 
Logo é uma Grandeza Escalar.
Aproximando-se cada vez mais o ponto B do ponto 
A, a VELOCIDADE MÉDIA entre A e B tende p/ a 
VELOCIDADE INSTANTÂNEA em A.
Em um gráfico da posição da partícula em 
função do tempo, S(t) = f(t), a Veloc. 
Instantânea em qualquer ponto é igual 
à Inclinação da Reta Tangente da 
curva nesse ponto, a qual deve ser 
medida c/ o auxílio de uma régua. 
V = Tg 
V = ΔS/Δt
V = 160m / 4s
V = 40 m/s
A C E L E R A Ç Ã O
QUE É ACELERAÇÃO MÉDIA ?
Grandeza física (a) que causa a variação rápida
ou lenta da velocidade v de um corpo de massa 
m, devido aplicação de uma força F. Indica como 
varia a velocidade à medida que o tempo passa.
Quociente da variação da velocidade (Δv) do 
móvel ocorrida entre os instantes t
1
e t
2
pela 
extensão (S) desse intervalo de tempo (Δt). 
Como Se Calcula a
m
?
ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA
Num dado instante t1, é o limite da aceleração escalar 
média calculada entre os instantes t1 e t2 quando o 
instante t2 torna-se cada vez mais próximo de t1. 
No Cálculo Diferencial, a aceleração escalar -
derivada da velocidade em relação ao tempo ou 
derivada segunda do espaço em relação ao tempo:
DIAGRAMA da ACELERAÇÃO
Gráfico Cartesiano Ortogonal da Função a = a(t).
Versão Geométrica, no plano cartesiano a versus t, 
da dependência entre a e t.
a) A área compreendida entre a curva da aceleração
e o eixo dos tempos, entre 2 instantes do movimento, 
é Ṉ igual á variação da velocidade (Δv) do móvel 
nesse intervalo de tempo (Δt).
b) A Declividade da Curva no instante t
1
é Ṉ igual 
á "sacudida" escalar do movimento nesse instante. 
DIAGRAMA da ACELERAÇÃO
A fig. abaixo refere-se a um movimento variado
cuja aceleração escalar varia linearmente com o 
tempo e, nesse caso, a sacudida (& = da/dt = tg) 
é constante e não nula (a ≠ 0). 
Em um gráfico da velocidade da partícula em função 
do tempo, v(t) = f(t), a Aceleração Instantânea
em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente 
da curva nesse ponto.
ACELERAÇÃO
INSTANTÂNEA 
GRÁFICO 
v-t
Aceleração média na decolagem de um avião a jato 
F14 Tomcat de um porta-aviões:
Desaceleração média na aterrisagem de um avião a 
jato F18 Hornet em um porta-aviões:
3 – MOVIMENTO 
UNIFORME VARIADO
(M.U.V.)
CINEMÁTICA ESCALAR 
(do Ponto e dos Sistemas)
S = S
o
+ v . t
CARACTERÍSTICAS DO M.U.V.
ACELERAÇÃO VELOCIDADE
Constante e ≠ 0 Varia de Quantidades 
Iguais em Intervalos 
de Tempos Iguais
a = Δv / Δt
a = (v – v
o
) / (t – t
o
)
MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
a = Δv/Δt
ACELERAÇÃO – Taxa de Variação da Velocidade
a = Δv/Δt Pela definição temos: 
Unidade SI:
Considerando-se que intervalos de tempo 
são sempre positivos temos:
MOVIMENTO UNIFORME VARIADO – M.U.V.
T I P O ACELERAÇÃO VELOCIDADE
ACELERADO POSITIVA a > 0 AUMENTA v > v
o
RETARDADO NEGATIVA a < 0 DIMINUI v< v
o
LEI HORÁRIA
Lei de Movimento, Função Horária, Equação
Horária: Expressão matemática da
dependência entre o espaço S e o tempo t,
associando a cada t um e um só S (bijetora).
Simbolicamente: S = S(t),  S = 2t2 + 3t + 1 
(Eq. do 2º Grau  M.R.U.V. e a = cte.);
No M.U.V. a Função Horária do Espaço S é 
sempre uma função de segundo grau em t, e 
está intimamente relacionada ao Gráfico S-t.
LEIS do M.U.V.
1 Lei Horária S = S
o
+ v
o
.t + a.t
2
/2
2
Lei de 
Velocidade
v = v
o
+ a.t
3
Lei de 
Aceleração
a = a
m
= cte. e ≠ 0
4
Lei de 
Torricelli
v
2
= v
o
2
+ 2a(ΔS)
14. TABELA HORÁRIA
1º Passo Experimental p/ a determinação de uma lei 
horária: Tabelar, lado a lado, valores particulares de t 
c/ os correspondentes valores obtidos 
experimentalmente p/ s.
15. DIAGRAMA HORÁRIO
Plano Cartesiano
da função S = S(t). 
Versão geométrica, 
No Plano Cartesiano S
versus t, da dependência 
entre S e t. 
Tal gráfico nada tem a ver 
com a trajetória.
Exemplo: O estudo do movimento de um móvel ao longo de 
uma trajetória forneceu a tabela abaixo. 
Estabelecer sua lei horária e o seu diagrama horário.
16. ABSCISSA INICIAL (So) ou Espaço inicial - Abscissa 
(espaço) que localiza o móvel no instante inicial da contagem 
dos tempos (t = 0). 
No diagrama horário, o ponto A onde a “curva do diagrama” 
corta o eixo S tem justamente as coordenas S = So e t = 0.
P R O P R I E D A D E S N O S M.U.V.
E Q U A Ç Õ E S P R O P R I E D A D E
a  Cte. e ≠ 0
Aceleração escalar é 
constante e não nula.
[dV ~ dt]
ΔV são proporcionais às 
extensões dos Δt necessários 
p/ produzí-los
(v
m
)
t1 ... t2
= 
(v
1
+ v
2
) / 2
V
m
entre t
1
e v
2
é a média 
aritmética das velocidades 
nesses instantes.
ΔS = V
o
(Δt)+ a (Δt)2/2 Re-escrevendo a Lei Horária
V
m
= V
o
+ a (t / 2)
da: V
m
= (S - S
o
)/(t - t
o
) = 
V
o
+ a (t - t
o
) / 2 
e, fazendo t
o
= 0, fica:
COMPORTAMENTO do MÓVEL 
DURANTE CERTO INTERVALO de TEMPO ΔT
TIPOS de 
MOVIMENTOS
C A R A C T E R Í S T I C A S
1 U N I F O R M E
Velocidade Escalar permanece 
constante no Δt considerado 
(v = cte. ≠ 0)
2
UNIFORMEME
NTE VARIADO
Aceleração Escalar permanece 
const. no Δt considerado (a = cte)
3 V A R I A D O
Aceleração Escalar experimenta 
variações no Δt considerado [a = f(t)]
4 ACELERADO
Velocidade Escalar Cresce, em 
valor abs., no Δt considerado (v.a > 0)
5 RETARDADO
Velocidade Escalar Decresce, em 
valor abs., no Δt considerado (v.a < 0)
SINAL 
de V
SINAL 
de a
SINAL 
de V.a
V
CLASSIFICAÇÃO
MOV. VARIADO
() () ()
Aumenta

Progressivo
Acelerado
V > 0 e a > 0
( ̶ ) ( ̶ ) ()
Aumenta

Retrógrado
Acelerado
V < 0 e a < 0
() ( ̶ ) ( ̶ )

Diminui
Progressivo
Retardado
V > 0 e a < 0
( ̶ ) () ( ̶ )

Diminui
Retrógrado
Retardado
V < 0 e a > 0
Fonte: Livro de Física, Djalma Nunes da Silva, 
1ª Edição, São Paulo, Editora Ática, ano 2007.
4 – MOVIMENTO 
de QUEDA LIVRE
CINEMÁTICA ESCALAR
(do Ponto e dos Sistemas)
QUEDA LIVRE
Movimento resultante da aceleração 
devido à gravidade, em que os corpos 
sobem ou descem no vácuo ou 
desprezamos a resistência do ar.
Um corpo em queda livre está sujeito a 
apenas uma força: o seu próprio peso:
P = m . g
Próximos da superfície da Terra, pontos 
materiais livres realizam M.U.V. com 
Aceleração Escalar praticamente 
constante, denominada: Aceleração 
Local da Gravidade e indica-se por g.
Com eixo de movimento vertical (y) a 
aceleração escalar do ponto:
a) Orientado p/ : a = - g;
b) Orientada p/ : a = + g.
Valor normal de g = 9,80665 m/s2.
No vácuo, todos os 
corpos caem c/ a 
mesma aceleração.
LEIS DO MOVIMENTO de 
QUEDA LIVRE VERTICAL
São exatamente as mesmas do M.U.V. nas 
seguintes condições:
a) Com referencial ligado à Terra, a trajetória 
da partícula é vertical;
b) Aceleração escalar da partícula identifica-se 
com a aceleração local da gravidade.
Vejamos as equações p/ 2 situações comuns:
a) LANÇAMENTO
a partir da altura
h (ou abandono) 
Eixo de movimento 
orientado p/ cima
(contrário ao sentido 
da aceleração 
da gravidade): 
M.R.U.A.
b) LANÇAMENTO 
à partir do solo, 
Lei Horária:
y = v
o
.t -(1/2)g.t
2
Corpo atinge y
máx
quando V = 0.
y
máx.
= V
o
2
/2g
y
máx.
= V
o
2 
sen²/2g
E
ix
o
 d
e
 m
o
v
im
e
n
to
 
O
ri
e
n
ta
d
o
 p
/ 
C
im
a
:M
.
R
.
U
.
R
.
L E I DEFINIÇÃO E Q U A Ç Ã O
HORÁRIA
Corpos Caem 
uma Altura 
Proporcional
ao Quadrado
do Tempo
y = h + vo.t – (g.t
2)/2
VELOCI-
DADE
Corpos Caem 
c/ Velocidade 
Proporcional 
ao Tempo
v = + vo - g.t
ACELE-
RAÇÃO
Corpos Caem 
c/ Aceleração 
Constante
a = - g = cte.
TORRI-
CELLI
Corpos Caem 
c/ V
f
a Partir de 
uma Altura
v2 = vo
2 - 2gh
QUEDA LIVRE DOS CORPOS
EQUAÇÕES  RELAÇÕES 
S - So = vo.t + a.t
2/2
XY
a = - g
y- yo = vo.t + g.t
2/2
S - So = v.t - a.t
2/2 y - yo = v.t + g.t
2/2
S- So= [(vo + v.t)/2]t y- yo= [(vo+ v.t)/2]t
v = v
o
+ a.t v = v
o
- g.t
v2 = vo
2 +2a(S - So) v
2 = vo
2 - 2g(y - yo)
A R R A S T O
Um objeto caindo em um 
gás ou líquido é sujeito a 
uma força em sentido 
oposto ao seu movimento. 
A velocidade terminal é 
alcançada quando a força 
de arrasto F
d
é igual em 
módulo à força da 
gravidade F
g
que empurra 
o objeto para baixo:
F
d
= F
g
Aceleração de um corpo em queda livre, em 
relação a um referencial que também está 
em queda livre, é nula.
Explique cada uma das situações enfrentadas pela 
menina.
Paraquedista só 
fica em queda livre 
no instante t
o
= 0 
do salto, quando 
a resistência do 
ar é zero
Aumento da velocidade de um
paraquedista, que salta c/ o paraquedas
fechado, produz o surgimento de uma
força FR de resistência do ar que reduz a
resultante das forças R a atuar sobre o
paraquedista.
Assim, a aceleração de queda torna-se
menor que a aceleração de queda livre.
5 –
MOVIMENTOS 
CIRCULARES 
CINEMÁTICA ESCALAR
INTRODUÇÃO
É notável que em nosso cotidiano seja fácil
verificarmos objetos e corpos que descrevem
um movimento circular, por exemplo, a roda de
uma bicicleta, o movimento de um ventilador,
polias de um motor etc.
Com isso, podemos dizer que o movimento
circular é um dos estudos mais importantes,
pois a grande maioria das máquinas que
usamos baseia-se nesse tipo de movimento.
MOVIMENTO CIRCULAR
Corpo descreve trajetória circular,
podendo ser uma circunferência ou
um arco de circunferência.
CLASSIFICAÇÃO DO MOV. CIRCULAR
Conforme ausência ou presença de aceleração 
tangencial:
a) Movimento Circular Uniforme (M.C.U.);
b) Mov. Circular Unif. Variado (M.C.U.V.).
MOVIMENTOS CIRCULARES
Movimento de um Ponto Material (C.R.) sobre
uma circunferência de Centro O e Raio R.
Em geral orienta-se positivamente a trajetória
segundo o sentido anti-horário, conforme c/ a
trigonometria.
1. RELAÇÃO FUNDAMENTAL 
Entre a abscissa linear S e a abscissa angular 
θ é: S = θ * R (geometria plana). 
Dessa relação infere-se que, do conhecimento 
da S = S(t) Função Horária Linear 
Resulta o conhecimento da θ = θ(t)
Função Horária Angular: θ(t) = S(t) / R
Descreve a orientação do C.R.
PosiçãoAngular ()
de um objeto no 
plano XY é o ângulo 
entre o vetor unitário (i) 
e o vetor posição (r) 
do objeto, medido no 
sentido anti-horário 
a partir de i.
θ – Grandeza Escalar (rad)
A Distância (S)
percorrida por 
um objeto durante 
um deslocamento 
angular (Δ) 
corresponde 
ao arco descrito 
pela sua trajetória. 
S = r * Δθ  Grandeza Escalar
DESLOCAMENTO 
ANGULAR (Δ) 
Variação entre a 
posição angular 
inicial (1) 
e a posição 
angular final (2). 
Δ = 
2
- 
1
(rad)
Grandeza Escalar
Correia c/ Polias
Escalonadas p/ 
Variação de Velocidade
2. VELOCIDADE ANGULAR ESCALAR MÉDIA
No intervalo de tempo de t1 a t2 é: 
ω
m
= Δ / Δt 
ω
m 
= (
2
- 
1
) / (t
2
– t
1
) rad/s
3. VELOCIDADE ANGULAR INSTANTÂNEA
No instante t1 é: 
ωt1 = limt2 t1 
ω
mz
= limΔt0 Δ / Δt = d / dt
4. RELAÇÃO - Entre a velocidade linear 
escalar (V) e a velocidade angular 
escalar (ω), no instante t:
De S = .R vem ds/dt = d.R/dt
 V = ω.R
Onde:
ds/dt = V;
d./dt = ω;
5. ACELERAÇÃO ANGULAR ESCALAR MÉDIA
- No intervalo de tempo de t1 a t2 é: (item 9 resumo)
am = Δω / Δt = (ω2 - ω1) / (t2 – t1) rad/s²
6. ACELERAÇÃO ANGULAR INSTANTÂNEA
No instante t1 é: (veja item 10)
at1 = limt2  t1 am = limΔt  0 Δω / Δt = dω / dt
an = d² / dt² 
7. Módulo da Aceleração Vetorial da Partícula
p/ o Instante t: a  = a² + ac²
ROTAÇÃO c/ VELOCIDADE ANGULAR CTE.
Derivação da Equação de Movimento Rotacional:
ω = ωo
Da Velocidade Angular Instantânea:
ωo = dθ/dt  dθ = ωodt 
 θ - θo = ωo (t – to)
p/ to = 0  θ = θo + ωot
Eq. do Movimento Translacional: S = So+ voxt
ROTAÇÃO c/ ACELERAÇÃO CONSTANTE
Movimento Translacional 
(Direção Fixa) a = cte. ≠ 0
GRANDEZA LINEAR
Movimento Rotacional 
(Eixo Fixo) an = cte. ≠ 0
GRANDEZA ANGULAR
FUNÇÕES LINEARES 
do MOVIMENTO
FUNÇÕES ANGULARES 
do MOVIMENTO
S - So = Vot + (a.t
2)/2 θ - θo = ωo.t + (a.t
2)/2
S - So = [(V + Vo)t]/2 θ - θo = [(ω + ωo)t]/2
S - So = V.t + (a.t
2)/2 θ - θo = ω.t + (a.t
2)/2
V = Vo + a.t ω = ωo + a.t
V2 = Vo
2 + 2a(S - So) ω² = ω²o + 2a (θ – θo)
M.C.U. VARIADO (Aspecto Escalar) - Trajetória é um arco de 
circunferência e cuja Lei Horária é do 2o grau na variável t.
8. RELAÇÃO entre a 
Aceleração Linear Escalar e a 
Aceleração Angular Escalar, 
no instante t:
De v = ω * R vem dv/dt = dω*R/dt
a
t
= a
n
* R
at – Aceleração Tangencial;
an – Aceleração Angular;
Vetores velocidade no tempo t e tempo t + dt são 
movidos na órbita à esquerda até novas posições 
onde duas caudas coincidem, à direita. 
Devido à velocidade ser fixa em magnitude a v = r ω, 
os novos vetores velocidade são varridos para um 
caminho circular com taxa angular ω. 
À medida em que dt → 0, o vetor aceleração a torna-
se perpendicular a v, o que significa que ele aponta 
em direção ao centro da órbita no círculo da 
esquerda. 
O ângulo ω dt é o pequeno ângulo entre as duas 
velocidades e tende a zero à medida em que dt→ 0.
a) ω é  ao plano da órbita;
b) ac tem sentido inverso ao vetor 
posição R;
Direção do Vetor Velocidade Angular 
R E L A Ç Õ E S
Grandeza Linear Grandeza Ang. x Raio
Funções Lineares 
do Movimento
Funções Angulares 
do Movimento
S = θ * R
v = ω * R
at = an * R
8. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
M.C.U. (Aspecto Escalar)
É todo movimento cuja trajetória S é um arco de 
circunferência e cuja Lei Horária é do 1o grau na 
variável t.
FUNÇÕES DO MOVIMENTO
LINEARES ANGULARES 
S = So + v * t θ = θo + ω * t (θ rad e t s)
v = Cte. ≠ 0 ω = Cte. ≠ 0 (rad/s)
at = Cte. = 0 an = Cte. = 0
8. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME M.C.U.
(Aspecto Escalar)
É todo movimento cuja trajetória S é uma circunferência ou um 
arco de circunferência e cuja Lei Horária é do 1o grau na 
variável t.
Observações:
a) M.C.U é periódico de período T. Valem as relações:
ƒ = 1/ T; ω = 2 / T  ω = 2f;
b) M.C.U.V. não é periódico.
a) PERÍODO (T) - Extensão do intervalo de tempo 
que separa a passagem do ponto 2 vezes pela 
mesma posição, c/ o mesmo sentido de movimento, 
consecutivamente. Matematicamente é o menor dos A 
que satisfaz a função periódica 
S = a.cos(ω.t + θo). 
Elementarmente, é o intervalo de tempo necessário 
p/ o ponto realizar uma oscilação completa.
b) FREQUÊNCIA (ƒ) - Número de períodos que 
perfazem a unidade de tempo; Matematicamente:
ƒ = 1/T s-1 = 1/T Hz (hertz).
De modo elementar, é o número de oscilações
completas que o ponto realiza na unidade de tempo.
Unidade Hertz (Hz): homenagem ao físico alemão
Heinrich Hertz, (1857–1894) que fez grandes
contribuições científicas na área do
eletromagnetismo.
Unidade estabelecida na Comissão Eletrotécnica
Internacional (International Electrotechnical
Commission) em 1930 e adotado na Conferência
Geral de Pesos e Medidas (Conférence générale des
poids et mesures) em 1960 substituindo, assim, o
nome “ciclos por segundo” (cps), juntamente com
seus múltiplos, quilociclos por segundo (kc/s),
megaciclos por segundo (Mc/s) e assim por diante.
O termo ciclos por segundo foi amplamente
substituído por “Hertz" apenas na década de 1970.
O tempo que a partícula gasta para efetuar 
uma volta completa é denominada período (T) 
do movimento. 
O espaço percorrido pela partícula, durante um 
período, é o comprimento da circunferência 
que, vale 2..R (R - raio da trajetória).
Como o movimento é uniforme, o valor da 
velocidade será dado por:
logo, v = 2..R / T
2 rad = 360
FREQUÊNCIA DO MOVIMENTO CIRCULAR 
Supor que uma roda efetue 30 voltas completas em 
um tempo igual a 10 segundos. 
A frequência (ƒ) desse movimento é, por definição, o 
quociente entre o número de voltas e o tempo gasto 
para efetuá-las.
Logo, a frequência da roda será:
ƒ = 30 voltas / 10 s = 3 voltas / s
Observe que esse resultado significa que a roda 
efetuou 3 voltas em cada 1 segundo. 
A unidade de frequência,1 volta/s, é 1 Hz.
FORÇA CENTRÍPETA
Sempre direcionada p/ o centro da 
circunferência. 
Alguns exemplos:
- Secadora de roupas;
- Satélites em órbita circular em torno do 
centro da Terra.
Já ouvimos alguém relatar que um carro, envolvido 
em um acidente, saiu pela tangente em uma curva.
Muitos são os fatores que podem fazer com que isso 
ocorra, o excesso de velocidade, a má conservação 
da pista, pneus desgastados, chuva, cochilo, etc.
Sempre que um corpo se movimenta em uma 
trajetória não retilínea, age sobre ele uma força cujo 
efeito é alterar sua direção, para que o móvel possa 
percorrer a trajetória curva.
Essa força é chamada de FORÇA CENTRÍPETA.
CENTRÍPETA = o que se dirige para o centro.
Esquerda: Bola em movimento circular -
a corda provê a força centrípeta que 
mantém a bola em círculo.
Direita: A corda é cortada e a bola 
continua em linha reta com a velocidade 
do momento de corte da corda, de acordo 
com a 1ª Lei de Newton da Inércia, pois a 
força centrípeta não mais está lá.
1ª Lei de Newton
A velocidade escalar permanece constante 
durante todo o trajeto e a velocidade vetorial 
apresenta módulo constante, no entanto sua 
direção é variável.
Aceleração Tangencial é nula (a
t
= 0), porém 
a Aceleração Centrípeta não é nula (a
c
≠ 0). 
Módulo da Aceleração Centrípeta: a
c
= V
2
/R
V – Velocidade tangencial;
R - Raio da circunferência descrita pelo móvel.
Conforme a 
2ª Lei de Newton, a 
Força Centrípeta é 
capaz de imprimir 
ao corpo uma 
aceleração ac, 
sempre ┴ aovetor velocidade
e orientada p/ o 
centro da curva. 
P/ um móvel descrever o M.C.U. é necessário atuação 
de uma força sobre ele, mudando-lhe a posição.
Se tal não ocorrer o móvel descreverá um M.R.U.
Matematicamente 
Força Centrípeta: 
F
c
= m. a
c
ac - Aceleração 
Centrípeta:
a
c
= V
2
/R
Substituindo na 
equação acima: 
F
c
= m.V
2
/R
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA (ac) provoca a 
variação da direção do vetor velocidade.
Seu módulo é dado por: a
c
= V² / R
V - Vetor velocidade, tangente ao movimento;
R - Raio da trajetória circular.
ac indica apenas a direção da velocidade vetorial.
p/ M.R.U., ac = 0, pois não há mudança na direção da 
velocidade vetorial.
p/ M.C.U., ac está orientada p/ o centro da trajetória e 
tem módulo constante, pois a velocidade escalar v e o 
raio R são constantes.
Ex. 1: Um carro move-se em uma pista circular com 
aceleração centrípeta igual a 2,5 m/s2. 
Determine a velocidade do carro, sabendo que o raio 
da pista é de 360 m.
a
c
= V² / R
Ex. 2: Uma partícula move-se em trajetória circular de 
raio Ro = 24 m, em movimento uniformemente 
acelerado, de aceleração escalar a = 3 m/s². 
No instante t = 0, a velocidade da partícula tem 
módulo 6 m/s. Determine para o instante t = 6 s, o 
módulo da aceleração vetorial da partícula.
vo = ω . Ro  ω = vo / R = 6 m/s / 24m = 0,25 rad/s
v = vo + a .t = 6 m/s + 3 m/s² x 6s = 6 + 18 = 24 m/s
R = v / ω = 24 m/s / 0,25 rad/s = 96 m
ac = ω² . R = (0,25 rad/s)² x 96 m = 6 m/s²
a  = a² + ac² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45 = 35 m/s²
EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO (E.I.)
ONDE SE LOCALIZA E PARA QUE SERVE?
http://www.if.ufrgs.br/cref/?area=questions&id=629
Importante conceito aplicável à Mecânica das 
Rotações. 
Origina-se em considerações estritamente 
cinemáticas.
A figura abaixo representa um SISTEMA de 
REFERÊNCIA S.R. que gira em torno da sua origem 
e simultaneamente se traslada em relação ao 
SISTEMA de REFERÊNCIA S.R'.
a) Verde - Velocidade de Translação de S.R.
b) Vermelha - Velocidade devida à rotação 
em torno da origem de S.R.
Cada ponto do 
S.R. tem em 
relação ao S.R’ 
2 Velocidades 
Lineares:
a) Setas Verdes, c/a mesma orientação 
e intensidade, 
b) Setas Vermelhas possuem 
intensidades proporcionais à distância 
que o ponto considerado se encontra da 
origem do Sistema S.R. (por onde 
passa o eixo de rotação) e estão 
cruzadas (são ┴) c/ o raio vetor que vai 
da origem de S.R. até o ponto 
considerado.
A velocidade que um particular ponto solidário a S.R.
possui em relação a S.R' é a composição das 2 
velocidades (soma vetorial) representadas em 
VERDE e VERMELHO. 
Esta composição resulta em um campo de 
velocidades em relação a S.R' representado em cada 
ponto por um seta LARANJA na figura abaixo.
Este campo de velocidades mostra (e isto é possível 
de se provar rigorosamente) que o Sistema S.R. está, 
neste instante representado, apenas girando em torno 
de um eixo indicado na figura por E.I. Este eixo, em 
torno do qual neste instante (instantaneamente) o 
Sistema S.R. apenas gira é denominado 
EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO (E.I.).
Se tivermos um Corpo Rígido se trasladando em 
relação a um determinado sistema de referência 
enquanto gira em torno de um eixo que é trasladado 
junto com o corpo então decorre do que acima foi 
exposto que sempre é possível se encontrar um eixo 
em torno do qual, instantaneamente (em um particular 
instante), o corpo APENAS gira. 
Nem sempre é simples localizar tal eixo.
O caso particular, onipresente nos textos de Física 
Geral que tratam da Dinâmica do Corpo Rígido, é o 
do corpo que rola sem deslizar (esfera, cilindro, disco) 
sobre uma superfície rígida. 
Neste caso o 
EIXO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO
passa pela região de contato do corpo com a 
superfície de rolamento.
Entretanto o conceito de E.I. pode ser aplicado 
a qualquer movimento que se constitua em 
uma translação superposta a uma rotação e 
esta abordagem simplificará os cálculos que 
envolvem as ações exercidas sobre o corpo 
(forças e torques) e suas relações com as 
grandezas cinemáticas de interesse.
ALGUNS EXEMPLOS ADICIONAIS DE
CORPOS EM ROTAÇÃO QUE SE 
TRASLADAM E O SEU RESPECTIVO E.I.
1) Um corpo que apenas execute translação tem o 
seu E.I. no infinito.
2) A roda de um automóvel (modelada como um 
C.R.) que patina em uma arrancada violenta tem o 
seu E.I. entre o eixo da roda e a pista de rolamento.
3) A roda de um automóvel (modelada como um C.R.) 
que em uma frenagem (sem freio ABS) desliza sobre 
a pista s/ ser completamente bloqueada tem o seu 
E.I. abaixo da pista de rolamento.
http://pontov.com.br/site/opengl/177-transformacoes
• TRANSLAÇÃO: Afasta o objeto ao longo de um 
vetor, dentro do seu sistema de coordenadas atual;
• ROTAÇÃO: Gira o sistema de coordenadas do 
objeto em torno de um ou mais eixos;
Como a translação e rotação ocorrem sobre o 
sistema de coordenadas atual do objeto, sua ordem é 
importante. 
Observe na figura abaixo, o que acontece se 
aplicarmos a rotação antes da translação e vice-
versa:
O gráfico indica a velocidade de um atleta ao longo de uma 
corrida de 100 m. Indique em que trecho da corrida a 
velocidade do atleta foi aproximadamente constante.
a. ( ) De 0 a 20 m.
b. ( ) De 20 m a 40 m.
c. ( ) De 40 m a 60 m.
d. ( ) De 60 m a 80 m.
e. ( ) De 80 m a 100 m.
Um parque de diversões era famoso por ter um
brinquedo de tiro ao alvo que nunca havia premiado
ninguém.
A brincadeira consistia em acertar um grande urso de
pelúcia com um tiro de espingarda, equipada com
balas de borracha.
A dificuldade estava no seguinte fato: entre a
espingarda e o urso havia uma esfera giratória, de
1 m de diâmetro, que, necessariamente, seria atingida
pela bala.
A velocidade de giro da esfera é constante e ajustada
pelo participante.
No entanto, só levaria o prêmio quem conseguisse
acertar o urso fazendo um único furo na esfera.
Obs.: Considere que a bala sempre passe pelo centro 
da esfera e que tenha velocidade constante igual a 
360 km/h.
Despreze a ação da gravidade sobre a bala.
Para conseguir o prêmio, a velocidade de rotação da 
esfera deve ser:
a) 0,01  rad/s;
b) 0,1  rad/s;
c)  rad/s;
d)  / 0,1 rad/s;
e)  / 0,01 rad/s;
1º passo - Entender que para atingir o urso fazendo 
um único fura na esfera é necessário que o tempo 
gasto pela bala para percorrer o diâmetro de 1 m da 
esfera seja igual ao tempo gasto para a esfera dar 
meia volta 180°. 
Esquematizando a situação, tem-se:
2º passo – Observar que as unidades nas respostas 
alternativas estão em rad/s, logo, o tempo deve ser 
em segundos (s) e o  da esfera em metros (m). 
Por isso, a velocidade da bala deve estar em m/s.
Então, converte-se 360 km/h em m/s:
Agora as unidades de medida estão de acordo.
3º passo - Utilizar o conceito de velocidade
escalar (V) da bala e velocidade angular (ω)
da esfera para calcular a velocidade que a
esfera deve descrever para que a bala a fure e
percorra seu diâmetro atingindo, novamente, o
mesmo furo inicial.
Para isso acontecer o período de
deslocamento da bala dever ser igual ao
período de meia volta da esfera, tem-se:
Desta forma, descreve-se, acima, a velocidade
angular adequada da esfera, para que a bala a
perfure, somente, uma vez e acerte o urso.
Para cada ponto x do seu domínio (D: 1, 4, 7) 
existe um ponto y na sua imagem Im: 6, 9,12
definida por f(x) = x + 5
BIUNÍVOCO - Correspondência entre2 conjuntos, 
que a cada elemento de um deles corresponde um, e 
só um, elemento do outro.
Função Sobrejetora: Se, e somente se, o 
seu conjunto imagem é especificadamente
igual ao contradomínio, Im = B. 
Se temos uma função f : Z Z definida
por y = x +1 é sobrejetora, pois Im = Z;
Função Injetora: uma função é injetora se 
os elementos distintos do domínio tiverem 
imagens distintas. 
A função f : A  B, tal que f(x) = 3x;
Função Bijetora: Se ela é injetora e 
sobrejetora. Ex.: 
A função f :AB, tal que f(x)= 5x + 4;
É Injetora, pois x1 ≠ x2  em f(x1) ≠ f(x2); 
É Sobrejetora, pois p/ cada elemento em B
existe pelos menos um em A, talque f(x) = y
Plano Cartesiano e Produto Cartesiano
Homenagem ao seu criador René Descartes
(1596-1650), filósofo e matemático francês. 
Descartes em Latim, era Cartesius, daí Cartesiano.
Plano Cartesiano Ortogonal - Constituído por 2 
eixos X e Y ┴ entre si que se cruzam na origem O. 
Associando a cada 
um dos eixos o 
conjunto de todos 
os números , 
obtém-se o 
Plano Cartesiano 
Ortogonal.
Plano 
Cartesiano
Ortogonal
Se A = {1,2,3} e B = {1,2} então:
A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
e
B x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}
cujas representações no plano cartesiano são:
Produto Cartesiano
Fonte:
Prof. Luiz Ferraz Netto (feira de ciência) -
leobarretos@uol.com.br;
http://zediogoap.blogspot.com.br/2011/06/como-caracterizar-o-
vector-deslocamento.html;
David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. Fundamentos de 
Física, vol.1: Mecânica, 6a edição, Livros Técnicos e Científicos 
Editora S.A, Rio deJaneiro (2002).
Paul A. Tipler e Gene Mosca. Física, vol.I – Mecânica, 
‘http://www.brasilescola.com/fisica/aceleracao-centripeta.htm;
http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-circular.htm;
http://www.mundoeducacao.com/fisica/velocidade-periodo-
frequencia-no-mcu.htm
© By John Wiley & Sons - 2002;
© By Pearson Education – 2004;
© By David M. Harisson – 2004;