07 Mec II MO ANGULAR

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DINÂMICA DA ROTAÇÃO
DINÂMICA DA ROTAÇÃO
1. INTRODUÇÃO;
2. ROLAMENTO;
3. TORQUE;
4. ROTAÇÃO COM TRANSLAÇÃO;
5. TRABALHO DE ROTAÇÃO;
6. MOMENTO ANGULAR;
7. PRECESSÃO.
Neste caso o corpo é entendido como
um todo, não se considerando qualquer
Rotação em torno do seu Centro de Massa.
Nos casos em que não se pode alhear dessa
Rotação, os corpos não podem ser
considerados como partículas e sim como:
CORPOS RÍGIDOS (C.R.) - Conjunto de
partículas agrupadas de forma que a distância
entre as partes que constituem o corpo ou o
sistema não sofram mudança, ou seja, essas
partículas não se alteram para um referencial
fixado no próprio corpo.
CORPO RÍGIDO executa os movimentos de 
rotação, translação ou os dois de forma combinada.
ROTAÇÃO:
Movimento da força 
aplicada ao corpo, 
como um pião girando.
TRANSLAÇÃO - Movimento provocado por forças 
externas que agem sobre o corpo rígido.
ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO
Considere uma roda de raio R , rolando sem deslizar 
em uma superfície plana horizontal. 
Quando a roda 
girar de um
ângulo θ, 
o seu ponto 
de contato A
c/ a superfície 
horizontal se 
deslocará de 
uma distância 
S = R . θ
No movimento de rolamento sem deslizamento, a
distância percorrida pelo centro de massa (C.M.) é
igual ao comprimento do arco correspondente ao
deslocamento angular sofrido pelo corpo.
C.M. da roda também deslocou-se da mesma 
distância.
Por isso, a velocidade de deslocamento do centro de
massa (V
CM
) da roda tem a forma:
V
CM
= dS/dt = R(d/dt) = R.ω
De modo semelhante podemos encontrar a 
aceleração do centro de massa da roda:
a
CM 
= dV
CM 
/ dt = R(dω/dt) = R.
a) Mov. Puramente
Rotacional. 
Todos os pontos 
da roda movem-se 
c/ a mesma ω.
b) Mov. Puramente 
Translacional. 
Todos os pontos da 
roda movem-se p/ 
direita c/ a mesma Vcm
c) Combinação 
dos 2 Mov.:
Rotacional c/ 
Translacional.
ROLAMENTO DESCRITO COMO 
COMBINAÇÃO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO
ROLAMENTO DESCRITO COMO 
COMBINAÇÃO DE ROTAÇÃO
E TRANSLAÇÃO
ROTAÇÃO + TRANSLAÇÃO - O movimento de um 
C.R. (figura) lançado no ar é a combinação do 
movimento do C.M. e de rotação em torno do C.M.
Ponto Azul
fora do C.M.
descreve uma 
rotação em 
torno do C.M.
Ponto Vermelho
referente ao 
C.M. descreve 
trajetória 
parabólica. 
ROLAMENTO VISTO COMO ROTAÇÃO PURA
A cada instante o corpo está girando sem deslizar em 
torno de um Eixo Instantâneo (em repouso), que 
passa pelo ponto P de contato entre esse corpo e a 
superfície que o suporta. 
Eixo ┴ à direção 
do movimento.
Vetores mostram 
Velocidades 
Lineares 
Instantâneas dos 
pontos escolhidos.
Velocidade do 
Centro da Roda:
V
cm
= R.ω
Velocidade 
do Topo: 
V
top
= 2R.ω
V
top
= 2V
cm
Aceleração 
Centrípeta:
a
c
= v² / R
ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO
Quando descrita em um referencial inercial, a 
velocidade vi de um ponto na periferia de uma roda 
que gira é a soma vetorial da velocidade vcm do C.M.
c/ a velocidade v’i do ponto em relação ao C.M. devido 
à rotação da roda.
O módulo de v’
i
= R.ω
Quando a roda rola sem deslizar: v’
i
= v
cm
A roda que rola possui um eixo instantâneo de rotação 
passando no ponto de contato com o solo.
Velocidade Instantânea é maior no topo da roda. 
CARACTERÍSTICAS
ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO
CARACTERÍSTICAS
Durante o movimento de rolamento de um corpo 
circular, um ponto localizado em sua borda descreve 
uma trajetória denominada ciclóide.
Transmissão Automática
Sistema 
Planetário 
Epicicloidal
ATRITO DE ROLAMENTO
a) Forças Sobre 
uma Esfera Rígida 
Rolando p/
Baixo Num Plano 
Inclinado c/ 
Superfície Rígida.
Força Normal N 
Não Produz Torque.
ATRITO DE ROLAMENTO
b) Se a Esfera ou o 
Plano se Deforma, as 
Forças de Contato 
Atuam Sobre 
Diversos Pontos.
Força Normal N
Produz Torque no 
Sentido Sinostrógiro 
em Torno do Eixo de 
Rotação, que se Opõe 
Ao Giro no Sentido 
Destrógiro.
ACELERAÇÃO (SEM DESLIZAMENTO)
S = R . 
I = m.R²  T = m.acm.R = (I/R²).R.acm = (I/R²).R.R.
Partícula de massa m presa a um eixo por um 
fio de comprimento R, sob a ação de uma 
força externa F: I = M.R² (Mo. de Inércia)
ENERGIA CINÉTICA de rotação de um sistema de 
partículas com movimento angular caracterizado por 
rotação ω em relação a um eixo 
de rotação, é definida como:
p/ um C.R. cada partícula infinitesimal terá a mesma 
ω (sendo uma constante), em que a veloc. escalar v
i
de cada partícula é ω.R e a massa é uma distribuição 
contínua de partes infinitesimais dm em um volume V
ENERGIA CINÉTICA
Considerando a suposição acima a Energia Cinética
desse corpo tem a forma: E
c
= 1/2 (I . ω²)
I - Momento de inércia do corpo em relação ao eixo ┴
Observa-se esse movimento como consistindo apenas 
de rotação.
Se levarmos em conta o teorema dos eixos ‖:
I = I
CM
+ M.R²  I = M.R2
Do Movimento Circular:
v = R. ω  v² = R². ω²
Energia Cinética
terá a forma: 
Movimento composto de: 
Rotação + Translação.
ROLAMENTO SEM 
DESLIZAMENTO
MOMENTO LINEAR DA PARTÍCULA
QUANTIDADE de MOVIMENTO
∑FR = m.a = m(dv/dt) = d(m.v)/dt P = m.v
Conforme a 2ª Lei de 
Newton em termos 
de Momento Linear
a F
R
que atua numa 
partícula é a taxa de 
variação do mesmo:
∑F
R
= dP/dt
D I N Â M I C A
D A 
R O T A Ç Ã O
I
o
- Momento de 
Inércia de massa 
do C.R. em torno do 
Eixo Z que atravessa 
o ponto O:
S.I. de Unidade 
de Momento de 
Inércia: kg.m2
MOMENTO ANGULAR L Total de um C.R. é um 
vetor descrito em relação a algum ponto ou eixo. 
Seja então, um ponto O fixo não necessariamente o 
centro de massa ou eixo de rotação do corpo,
I
Ṙ - Velocidade linear de cada partícula infinitesimal 
dm posicionadas em 
I
R que compõe o C.R.
S.I. de Unidade de Momento Angular: kg.m2/s
MOMENTO ANGULAR do corpo em 
relação ao pólo O pode então ser posto 
na forma integral:
Considerar um C.R., de densidade de massa
(R), onde R = (P - O) é o vetor de posição de
um ponto P deste corpo a uma origem O,
arbitrariamente escolhida.
MOMENTO ANGULAR de um elemento de massa 
dm(R) = (R).dV, relativamente ao pólo O:
dV - Elemento de volume ocupado pelo corpo, 
suposto invariante no tempo, consistentemente à 
hipótese de C.R.
MOMENTO ANGULAR (L) 
DE UMA PARTÍCULA i
Leva em consideração a posição (R) da
partícula, seja em relação a origem (O) da base
inercial ou outra base móvel.
Momento Angular (L) de uma partícula de 
massa (m) localizada pelo vetor posição 
(R) que tem Momento Linear (P) é definido 
como:
 P = m.v
L é um vetor cuja módulo é o produto da grandeza do 
Momento Linear P, pela distância (R) à origem 
O, multiplicados pelo seno do ângulo (ϴ) que P e R
fazem entre si.
Momento Angular 
da Partícula:
L = R.P.senθ
Módulo:
MOMENTO ANGULAR L
L
i
= r
i
P
i
(sen90) = r
i
Δm
i
v
i
L = ∑L
i
= ∑L
iz 
= ∑L
i
sen
L = ∑r
i 
∆m
i 
v
i 
sen
Do Movimento Circular: v = ω . R
L =∑ri ┴ ∆mi vi =∑r²i ┴ ∆mi ω
L = ω ∑r²i ┴ ∆mi
Vetorialmente, ω tem 
o mesmo sentido de L
MOMENTO ANGULAR DE UMA PARTÍCULA QUE 
REALIZA MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
De: 
a) L = m.v.d;
b) v = ω.R;
c) d = R; vem:
L = m.ω.R.R => L = m.R2.ω
A grandeza escalar I = m.R2  Momento de Inércia
da partícula em relação ao ponto O.
Assim, temos: L = I.ω
Observar que o 
vetor MomentoAngular L não 
necessariamente 
é paralelo ao 
eixo de rotação. 
Se L for paralelo 
ao eixo de rotação, 
este é chamado de 
Eixo Principal.
(figura 4)
De S = .R Vem: dS/dt = d.R/dt
Como:
dS/dt = v;
d./dt = ω;
Então:
v = ω.R
Assim o módulo:
v = ω.rsen
Decomposição 
do Momento 
Angular 
em 
x, y, z
Coordenadas 
Esféricas
c/ ponto 
P(R
1
, θ
1
, 
1
)
x = R senθ cos;
y = R senθ sen;
z = R cosθ.
Uma vez que o Momento Angular L
de um C.R. é um vetor, tem-se:
Reordenando os termos do vetor Momento Angular 
é possível escrever a relação matricial:
Note que a matriz de inércia I é simétrica.
O significado físico desta matriz está relacionado
diretamente c/ a distribuição de massa em um corpo rígido
e a resistência que este tem em sofrer rotação.
Quanto maior o valor do Momento de Inércia Ixx, Iyy e Izz
maior a distância entre o ponto (eixo) que o Momento
Angular é calculado.
Se os Produtos de Inércia (Ixy, Ixz, Iyz) ≠ 0
significa que não existe simetria de distribuição 
de massa.
Momentos e Produtos de Inércia Dependem
a) Direções dos eixos coordenados;
b) Origem adotada destes eixos.
Se Origem O coincide c/ o C.M. e é 
representada no sistema móvel de referência, o 
Momento Angular é mais facilmente 
calculado, pois a matriz momento de inércia 
permanece constante, devido o vetor posição
ri das partículas do corpo não sofrer variação.
Caso vetor L não paralelo ao eixo de rotação, pode-
se calcular a projeção deste vetor em torno do eixo 
de rotação. 
Exemplo simples p/ verificar esta projeção é 
considerar um C.R. formado por N partículas m
i
girando com um Vetor Rotação ω em torno do
Eixo Z conforme figura 4. 
Momento Angular L é dado por um somatório:
Projeção 
do Vetor L 
no Eixo Z 
Momento Angular L é constante se for paralelo ao 
eixo de rotação (Eixo Principal). 
C.R. da figura 5 mostra 2 partículas com massa m 
ligadas por uma haste rígida com comprimento 2R.
Momento Angular da 1ª rotação:
Sendo v = ω.R e I
zz 
= 2m.R² o momento de inércia 
de massa deste C.R. em torno do Eixo Z.
Vetor L é uma quantidade c/ a mesma direção do 
Eixo de Rotação Z, então é Constante.
Rotação 
de C.R.
figura 5
No 2º movimento, o 
eixo não é principal, 
pois o vetor L e o 
vetor ω não são 
paralelos. 
Então, vetor L
não é constante,
pois sua direção 
varia conforme 
C.R. rotaciona.
figura 6. 
As equações do movimento de um C.R.
são em função da:
∑F
R
= dP/dt = d(m.v)/dt = m.a
P/ descrever a dinâmica do C.R. é 
necessário verificar a taxa de variação do 
MOMENTO ANGULAR TOTAL L
de todas as partículas formadoras do 
C.R.:
TEOREMA DO MOMENTO ANGULAR
Considerar:
a) um C.R. em movimento e um referencial 
inercial.
b) um pólo O, em relação ao qual o Momento 
Angular do corpo será calculado. 
Tomando-se a expressão do Momento 
Angular na forma:
Utilizando a expressão da
Quantidade de Movimento:
Considerando que o sistema ΣF
int
= 0, segue, do 
Princípio de D’Alembert (mecanicista):
Mo
ext - Momento resultante do sistema ΣF
ext
aplicadas 
ao corpo, calculado em relação ao pólo O.
A equação expressa o 
TEOREMA DO MOMENTO ANGULAR (T.M.A.):
“A taxa de variação temporal do Momento Angular
de um C.R. em relação a um pólo O é igual ao
momento, em relação ao mesmo pólo, de ΣF
ext
sobre
ele agentes somado ao produto vetorial de sua
Quantidade de Movimento com a velocidade do
pólo considerado”.
Caso o pólo considerado seja o próprio C.M. o 
T.M.A. assume a forma mais simples:
A expressão acima evidencia o seguinte fato:
Se o M
o
= ΣF
ext
= 0 (agentes sobre o corpo,
calculado em relação ao C.M. do corpo), o
Momento Angular relativamente a este mesmo
C.M. será invariante no tempo, i.e., uma constante.
Diz-se, neste caso então, da:
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR.
Expressão análoga é válida quando o pólo O é fixo, 
ou mesmo quando este pólo tem velocidade paralela 
à velocidade do C.M.
MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO 
EXTENSO EM ROTAÇÃO UNIFORME 
EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Para cada ponto Pi, de massa mi e a uma distância ri
do eixo de rotação, podemos escrever: L
i
= m
i 
r
i
2 ω, 
ω - Vetor de rotação, suposto constante. 
Momento Angular Total L do corpo é dado por:
é o Momento de Inércia do corpo 
em relação ao eixo de rotação. Logo:
Como:
P/ rotação 
em torno de 
um Eixo de 
Simetria, 
os vetores 
ω e L:
a) São paralelos;
b) Estão sobre o eixo;
c) Direções e sentidos  Regra da mão direita.
MOMENTO ANGULAR (L)
Produto do Momento de 
Inércia (I) pela Velocidade 
Angular (ω), cujo módulo 
permanece constante:
MOMENTO ANGULAR 
DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
A definição de momento angular é feita com o 
auxílio do produto vetorial: L = r
i
x P
i
r
i
- Vetor Posição da i-ésima partícula: 
r
i
= r
x
i + r
y
j + r
z
k
P
i
- Momento Linear desta mesma partícula:
MOMENTO ANGULAR DE UM 
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Momento Angular Total de um sistema
constituído de muitos pontos materiais, em
relação a uma origem, é determinado
somando-se vetorialmente os Momentos
Angulares de todos esses pontos
materiais, considerados
isoladamente, em
relação a essa mesma
origem de uma
equação matricial:
2 Partículas de mesma 
massa (m1 = m2 = m) 
localizadas 
simetricamente de 
cada lado do eixo 
de rotação (OZ).
Momentos 
Angulares L
1
e L
2
das partículas 
individuais não 
estão sobre o 
eixo de rotação. 
Porém a soma 
vetorial permanece ao 
longo desse eixo.
MOMENTO ANGULAR
EIXO FIXO
T O R Q U E
3 componentes da força resultante que atua sobre 
uma partícula do C.R.
Só F1,tg contribui p/ 
o componente z do 
Torque em torno 
do ponto O.
a
cm
= R.
F
1,tg
= m
1
.a
1tg
F
1,tg
= m
1
.R.
F
1,tg
.R
1
= m
1
.R
1
² 
Angular motion has direction associated with it and is inherently 
a vector process. But a point on a rotating wheel is continuously 
changing direction and it is inconvenient to track that direction.
Se o Momento Angular for escrito na base
inercial apesar do vetor ri não sofrer variação
em amplitude, ele sofre variação de direção
em virtude da Velocidade Angular ω.
Assim o cálculo da taxa de variação do
Momento Angular (dL/dt) = , será bem
mais simples se for expresso na base móvel,
pois nesta situação o vetor r
i
rotaciona junto
com a base móvel e se a origem O for o C.M.
a velocidade linear da origem da base móvel
permanece nula (v = 0).
TORQUE
P R E C E S S Ã O
Movimento rotativo oscilatório 
causado pelo movimento do vetor 
Momento Angular L
devido á variação de sua direção
em função de um TORQUE externo:
Sendo L o valor escalar do Momento 
Angular Total (módulo) e ω = ϴ constantes.
Precessão causado pela variação da direção
do Momento Angular L, devido à existência
de um Torque externo atuante, o qual é
obtido calculando a taxa de variação do
Momento Angular L da equação acima:
Todo C.R. tem no mínimo 3 Eixos Principais
Ortogonais, passando pelo seu C.M. em cada 
ponto. 
Quando existe simetria de revolução em um eixo, este 
é dito Principal, axial, como no cilindro, sendo os 
outros 2 radiais. 
Se a rotação for constante em torno de um destes 
eixos, o vetor Momento Angular Total do C.R.
calculado em torno de um destes eixos será constante 
e paralelo a este eixo, chamado então de Principal. 
Não tendonesta situação movimento de precessão. 
PRECESSÃO 
de um PIÃO
PRECESSÃO DE UM PIÃO
Movimiento de um pião pode ser explicado com 
a equação do movimento de rotação.
Na esquerda da figura está representado um 
pião em posição vertical, girando no seu eixo 
de simetria z'.
Forças Externas que atuan sobre o pião:
a) Peso (aplicado no CM);
b) Normal do solo, não representada já que 
não afeta o movimento de rotação (em nenhum 
caso faz momento com respeito a O).
Se o pião ficar sempre na posição vertical, seu 
Momento Angular L permanecerá cte., já 
que o peso não faria torque com respeito a O. 
Por ser o eixo de giro um Eixo Principal L e 
pararelo a dito eixo e segundo a equação do 
movimento de rotação:
Nesta situação o pião giraria indefinidamente com: 
a) Velocidade Angular ω Cte.;
b) Momento Angular L Cte.
Quando o pião se desvía de sua posição
vertical, o torque do peso com respeito a O já
não é nulo (parte dereita da figura) e o
Momento Angular Varia.
A variação de Momento Angular é igual ao
momento do peso e perpendicular ao vetor L,
pois este último variará de direção mas não de
módulo.
Efeito desta variação: O eixo de giro do pião
impede a sua vez de rodar, descrevendo uma
trajetória em verde na figura.
Este movimento se denomina PRECESSÃO.
Eixo de Rotação 
da Terra tem uma 
precessão produzida 
pelo momento da 
força gravitacional 
que sobre ela exerce 
o Sol e a Lua. 
Rotação Completa 
da Terra demora 
≈ 26000 anos, 
conhecida como:
Precessão dos 
Equinócios.
G I R O S C Ó P I O
– Mecanismo que se utiliza dos efeitos 
giroscópicos para tornar estável um 
rotor em torno de um determinado eixo. 
IMPORTÂNCIA:
Fundamental na engenharia e na ciência.
APLICAÇÃO: Instrumentos de 
navegação e estabilização de veículos 
(aéreos, marítimos e terrestres.)
MOMENTO ANGULAR - GIROSCÓPIO
Em um Intervalo de Tempo dt, o Vetor Velocidade 
Angular ω e o Eixo do Volante Realizam uma 
Precessão Através de um Ângulo d.
Movimento de Precessão é causado pela variação da 
direção do Momento Angular L e só é possível 
devido a existência de um Torque externo atuante.
Cálculo da Velocidade Angular Ω, Ortogonal ao 
Eixo de Precessão.
W  Peso: P = m.g
Rate of change
in direction of 
rotational axis is 
called precession 
angular velocity 
and it is inversely 
proportional to 
the spin angular 
velocity. To prove 
this, look at the 
figure by side:
Momento 
Angular do 
giro do pião é 
dado por seu 
momento de 
inercia e sua 
velocidade 
angular ω.
GIROSCÓPIO mais simples consiste de um rotor, 
montado sobre uma articulação, podendo assumir 
qualquer posição no espaço. 
Seu centro de massa G deve permanecer fixo 
(coincidente a O).
A figura abaixo apresenta um esquema de um 
giroscópio, com os eixos coordenados de referência 
bem como os ângulos de Euler. 
Sistema (Oxyz) será tomado fixo no anel interno, que 
suporta o eixo Oz, em torno do qual o rotor 
balanceado gira com rotação própria Ψ, relativamente 
a (Oxyz). 
A linha dos nós BB’ fica agora evidente, coincidindo 
com o eixo Oy e orientada pelo versor j.
PRECESSÃO GIROSCÓPICA
Quando em rotação, o rotor principal do helicóptero 
atua como um giroscópio e, como tal, esta sujeito às 
leis naturais de Efeito Giroscópico.
Dessas leis, a mais importante que afeta a operação 
do helicóptero é a Precessão Efeito Giroscópica. 
Em consideração 
a este assunto, pense
no rotor principal como
um disco sólido ao 
invés de pás de
rotor individuais.
Quando uma força é aplicada em um disco rotativo, o 
efeito desta força acontece 90º após o ponto de 
aplicação e na direção de rotação. 
Conforme este princípio, o disco do rotor pode ser 
inclinado na direção necessária p/controle apropriado.
Quando se olha o helicóptero de lado, um movimento 
cíclico à frente produz o ângulo de passo mínimo no 
ponto A, e o máximo no ponto C. 
O deslocamento máximo do disco ou pá, porém, 
ocorre no ponto B e D onde os ângulos de passo 
cíclico são neutros. 
O resultado deste cíclico à frente é a inclinação do 
disco do rotor e o correspondente pivotamento do 
helicóptero.
MOVIMENTO DE NUTAÇÃO DE UM PROJÉTIL BALÍSTICO
Pequena Oscilação Periódica do Eixo de Rotação
MOVIMENTO de 
NUTAÇÃO N
Oscilação do 
eixo terrestre em 
torno da posição 
média de sua órbita, 
causda por 
alterações cíclicas 
da órbita lunar.
Cada oscilação 
dura um período de 
18 meses e 7 dias 
(547 dias).
À medida em que a câmara é enchida 
surge uma diferença de pressão 
que causa o movimento de nutação no disco.
PRECESSION, TOP VIEW
The spin angular momentum is along the rotation axis 
as shown, but the torque about the support point is in 
a direction perpendicular to the angular momentum. 
The torque produces a change in L which is 
perpendicular to L. 
Such a change causes a change in direction of L as 
shown but not a change in its size. 
This circular motion is called precession. 
LEIS DE CONSERVAÇÃO
Se um sistema não interage com seu entorno, então 
determinadas Propiedades Mecânicas do sistema 
não mudam, também conhecidas como. 
"Constantes do Movimento". 
A estas quantidades se diz "conservadas“.
Leis de Conservação resultante são consideradas 
como os princípios mais fundamentais da mecânica, 
as quais são exatas p/ Sistema Isolado. 
Grandezas Conservativas Em Mecânica:
Energia, Momento e Momento Angular.
Establecidas como princípios da mecânica, 
estas Leis de Conservação têm profundas 
implicações na simetria da naturaleza, as quais 
se mostram invioladas. 
Elas servem como uma forte restrição em 
qualquer teoría sobre qualquer ramo da ciência.
Até onde se pode observar a conservação do
momento é uma simetria absoluta da naturaleza.
Não se conhece nada na naturaleza que a viole.
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Momento Angular de um Sistema Isolado
permanece constante em magnitude e em direção.
Soma de vetores dos Momentos Angulares das
partes de um sistema isolado é constante.
Isto supõe uma forte restrição sobre os tipos de
movimentos rotacionais que podem ocorrer em um
Sistema Isolado.
CONSERVAÇÃO DO
MOMENTO ANGULAR
Se a uma parte do sistema se dá um
momento angular em uma
determinada direção, então alguma
outra parte do sistema, deve
simultaneamente obter exatamente o
mesmo momento angular em
direção oposta.
Conservação do Momento Angular é uma 
simetria absoluta da natureza.
Não há constância de nenhum fenômeno na natureza 
em um sistema aberto. 
SISTEMA ISOLADO DE
FORÇAS EXTERNAS
1) Não atuam forças externas, podendo haver 
forças internas entre os corpos;
2) Existem ações externas, mas sua R = 0;
3) Existem ações externas, mas tão pouco 
intensas, em relação às ações internas, que 
podem ser desprezadas.
Sistema Isolado – Conj. de matéria, que não 
interage em absoluto com o resto do universo. 
E até onde se sabe, não existem tais sistemas.
SISTEMA ISOLADO
Não existe um obstáculo contra a gravidade.
A força eletromagnética é de alcance infinito.
Porém com o objetivo de centrar-nos em princípios básicos, é
útil postular tais sistemas para aclarar a naturaleza das leis
físicas.
Em particular, as leis de conservação se podem presumir
exatas quando se refiram a sistemas isolados:
a) Conservação da Energia: a energia total de um sistema é
constante.
b) Conservação do Momento Linear P: o produto da massa
pela velocidade de C.M. é constante.
c) Conservaçãodo Momento Angular L: o momento angular
total de um sistema é constante.
d) 3ª Lei de Newton: não se pode gerar força líquida dentro de
um sistema, posto que todas as forças ocorrem em pares
opostos. A aceleração do C.M. é zero.
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR 
Se torque das forças que atuam num corpo em 
rotação é nulo, então o momento angular 
permanece constante.
Nestas condições, resulta em módulo: L = I.ω = cte.
Se o corpo for deformável, sendo L = I.ω constante:
Se Se
CASO DA BAILARINA. 
Fechando os braços, o momento de inércia diminui 
de para I1 para I2 (I2 < I1) e sua velocidade angular 
varia de ω1 para ω2. Como I1ω1 = I2ω2, fica: ω2 > ω1. 
Quando o atleta recolhe o braço diminui o Momento
de Inércia I e como o momento é constante, a
Velocidade Angular ω aumenta .
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Uma nadadora 
Executa um salto 
ornamental frontal 
de uma volta e meia. 
Seu C.M. segue uma 
trajetória parabólica.
Ela deixa o trampolim
com L, em torno do eixo 
que passa pelo C.M.
Nenhum torque externo
age, por isso L se conserva.
TRANSFERÊNCIA DE MOMENTO ANGULAR (L)
CILINDRO CAI SOBRE DISCO EM ROTAÇÃO
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR (L).
Um disco de alumínio é colocado p/ girar livremente 
em torno de um eixo central, ┴ ao seu plano. 
Enquanto o disco está girando, solta-se sobre ele um 
anel de metal. 
Um sensor registra a velocidade angular (ω) do disco 
em função do tempo. 
Aumento do Momento de Inércia (I), devido ao anel 
adicionado sobre o disco, causa uma redução na 
Velocidade Angular (ω) de modo a conservar o 
Momento Angular (L).
APLICAÇÃO 
DOS
MOMENTOS 
ANGULARES
APLICAÇÕES DO GIROSCÓPIO
a) Indicadores de agulha;
b) Pilotos automáticos em navios, aviões, mísseis;
c) Estabilizadores de navios, satélites, torpedos, etc.;
d) Equipamentos de fotografia, por sua capacidade de 
prover estabilidade e resistir a movimentos causados 
por forças externas.
No Projeto de Máquinas c/ componentes 
rotativos, deve se tomar cuidado c/ os Efeitos 
Giroscópicos, os quais algumas vezes são 
indesejáveis, sendo obrigatório considerá-los
ao especificar mancais e peças rotativas.
- Atualmente, os rotores operam em 
velocidades cada vez mais elevadas e com 
fatores de segurança mais baixos em virtude 
de requisitos econômicos, sendo assim as 
forças giroscópicas devem ser consideradas 
nos projetos de máquinas, visando maior 
robustez e segurança de operação. 
- Desalinhamentos, desbalanceamentos, e 
roçamentos podem causar movimentos 
angulares em rotores. 
- Movimento de precessão em rotores faz com 
que as Frequências Naturais da máquina 
sejam dependentes da rotação de operação. 
Frequência de Precessão: 
ω
pr 
= (m.g.r) / I.ω
Período de precessão: T
pr
= (2 ) / ω
pr
Por isso, em um projetos de turbina, gerador, 
compressor, etc. deve-se conhecer como as 
frequências naturais (velocidades críticas) são 
alteradas conforme se varie a rotação de 
trabalho para garantir as melhores condições 
de trabalhos visando manter o sistema estável 
e produtivo.
CARRO GIRSOCÓPICO
4 rodas é bom, 2 rodas é ruim.
É o axioma dos que preferem carros.
Para os motoqueiros, acontece o oposto.
E se os carros tivessem 2 rodas que se
equilibram sozinhas?
Certa vez o Dr. Pyotr Shilovsky, um inventor e
mecânico russo que imaginou um mundo onde
giroscópios seriam usados largamente como
meio de transporte.
Em 1912 Shilovsky trabalhou com o engenheiro Louis 
Brennen para desenvolver projetos para um carro de 
2 rodas e carroceria estreita com um giroscópio de 
610 kg no meio do chassi para estabilizar o carro. 
Shilovsky encomendou à Wolseley Tool and Motorcar 
Company a construção da máquina. 
Depois de um ano de trabalho, estava pronto o 
automóvel auto-equilibrado.
O carro tinha um motor Wolseley de ≈ 18 cv que 
rodava o volante do motor e as rodas traseiras, um 
par de rodas estabilizadoras controladas por uma 
alavanca ou automaticamente, caso o volante do 
motor gire abaixo da velocidade ajustada. 
O volante era ligado a um sistema de eixos, catracas 
e pêndulos de 43 kg que permitiam que o giroscópio 
fosse manipulado de forma que pudesse ser 
direcionado sem desestabilizar a máquina.
http://www.guiadosantigos.com.br/
No dia 16 de maio de 1914 às três da tarde o longo
carro com volante e uma espécie de garfo de bicicleta
à frente do capô que cobre o motor de 16 a 20 hp
chegou à Portman Square em ritmo de caminhada.
O inventor sentou ao lado do motorista enquanto o
carro deu várias voltas na praça, em alguns
momentos mais lento que o ritmo de uma caminhada.
As curvas eram feitas sem dificuldade e, claro, com o
veículo em riste, diferente da inclinação de uma
bicicleta contornando uma curva.
Depois o carro foi estacionado, mas como o
giroscópio continuou funcionando, ele permaneceu
equilibrado sem ser afetado pelas pessoas
embarcando ou empurrando-o para o lado.
Telescópio Hubble é orientado pelo
ajustamento da rotação de dois volantes,
cada qual de 45 kg, que giram em torno
de eixos não-coincidentes c/ velocidades
de até 3000 rpm.
Modificações das velocidades de rotação,
controladas por computador, provocam
momentos angulares que levam a lentas
e precisas alterações da orientação do
aparelho, mantendo a visada de um alvo
c/ aproximação da ordem de 0,005” arco.
Telescópio Hubble
Edwin Powell Hubble
 20/11/1889 em Marshfield, no Missouri, USA.
 28/09/1953 em San Marino, Califórnia, USA.
Astrofísico muito conceituado.
Formou-se em Matemática e Astronomia na 
Universidade de Chicago. 
Mais tarde licenciou-se em Direito, na universidade de 
Oxford.
Integrou a equipe do Observatório de Mount Wilson, 
no estado de Washington, em 1919.
Trabalhou também no Observatório de Monte 
Palomar, o mais célebre e importante dos EUA.
UNIDADE DE MEDIÇÃO INERCIAL (I.M.U.)
- Sensor p/ predizer a posição de um objeto num 
intervalo de tempo. 
Contêm Arranjos de Sensores Inerciais 
(Inertial Sensors Array - ISA): 
a) Acelerômetros p/ medição de força específica;
b) Giroscópios p/ detecção de mov. de rotação. 
PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO I.M.U.
Detectando a taxa atual de aceleração e mudanças 
nos atributos de rotação como o Declive (Pitch), o 
Giro (Roll) e a Guinada (Yaw).
Dados são alimentados em um computador, que 
calcula a velocidade e a posição atual, uma vez 
conhecida a velocidade e uma posição inicial.
CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS
I.M.U. é uma caixa com 3 acelerômetros e 3
giroscópios.
ACELERÔMETROS, como os giroscópios, são
posicionados um em relação ao outro, em eixos
ortogonais (x,y,z). Objetivo: indicar a aceleração
inercial do componente, (força G), em cada eixo e,
por este motivo, é utilizado 3 acelerômetros.
Medindo a força G que o componente sofre em uma
determinada direção, pode-se deduzir se velocidade
do componente está aumentando ou diminuindo,
portanto consegue-se predizer em qual sentido o
componente se movimenta e a taxa de aceleração
naquele sentido. Dados processados por um software
que informa onde o componente estará em X horas.
CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS
Giroscópios têm como objetivo medir a taxa de
aceleração angular do componente em cada plano.
Por isso faz-se uso de 3 giroscópios acoplados
ortogonalmente um em relação ao outro.
Por exemplo, o Giroscópio instalado no eixo X medirá
a taxa de aceleração angular no plano três.
Dados obtidos pelos acelerômetros e giroscópios
devem ser processados por um software.
Dentro da I.M.U., há um microprocessadorque
processa este software. Funcionamento deste
software é através da utilização de um algoritmo
chamado Dead Reckoning para estipular a posição.
Este algoritmo, tendo o conhecimento dos dados
oriundos do acelerômetro e do giroscópio, consegue
traçar a trajetória do movimento.
A grande maioria dos aviões e navios têm um I.M.U.
Este sistema consiste em indicar a orientação do
corpo, velocidade e posição sem precisar utilizar
fontes externas de dados. Os valores que alimentam
este sistema são obtidos pelo I.M.U., pois, ele é capaz
de fornecer a localização do corpo sem precisar se
conectar com qualquer outro componente. Caso ele
se comunique com algum outro equipamento, o
sistema ficará mais completo e mais complexo.
Aviões e barcos têm I.M.U. integrados c/ mapas,
tornando a informação mais interessante, já que torna
possível fazer rotas em cima de mapas reais, e não
somente em cima de uma escala. Qualquer
movimento no corpo é acusado pelo I.M.U., e este
informa ao computador que processa esta informação.
Declive (Pitch), Giro (Roll) e Guinada (Yaw).
Navios de cruzeiro modernos possuem 
Sistema de Estabilização Hidrodinâmica: 
4 Estabilizadores Hidrodinâmicos (2 pequenas asas moveis em cada 
lateral do navio) controlados por computador (que se baseiam nas 
variações de inclinação do navio medidas por giroscópios).
Estabilizadores 
reduzem em mais 
de 90% o balanço 
do navio no mar.
Piloto Automático Corrige Variações
Declive (Pitch), Giro (Roll) e Guinada (Yaw).
API - Conjunto de rotinas e padrões de programação 
para acesso a um aplicativo de software ou 
plataforma baseado na Web. 
API - "Application Programming Interface" 
"Interface de Programação de Aplicativos".
API de acelerômetro permite determinar a orientação 
de um dispositivo num espaço tridimensional (com as 
coordenadas X , Y e Z). 
A documentação atual da API do PhoneGap informa 
que os valores devolvidos pelo acelerômetro indica 
as mudanças no movimento de um dispositivo 
através do espaço.
Se o acelerômetro realmente medisse apenas 
movimento através do espaço, então a API 
acelerômetro não retornaria nenhuma informação 
quando o dispositivo estivesse parado, o que não é o 
caso.
Em um dispositivo Android , com o aparelho deitado 
sobre uma mesa , o acelerômetro retornará os 
seguintes valores: X : 0; Y: 0; Z : 10. 
Como o dispositivo é girado para que fique em pé em 
sua borda esquerda, os valores irão se ajustar, 
aproximadamente, X : 10; Y : 0; Z : 0.
Se em vez disso movermos o dispositivo apoiando em 
sua borda inferior, os valores irão ajustar-se 
aproximadamente para X : 0; Y : 10; Z : 0. 
Apoiando em sua borda superior resultará em valores 
de acelerômetro aproximados X : 0; Y: -10; Z : 0.
Um aplicativo utilizaria esses valores para determinar 
como um usuário está segurando o aparelho e é mais 
útil para jogos e aplicações interativas.
Desenvolvedores PhoneGap podem consultar uma 
API para determinar a orientação de um dispositivo 
em um determinado momento ou pode assistir o 
acelerômetro para controlar a aceleração do 
dispositivo repetidamente durante um intervalo de 
tempo. 
Determinar movimento através do espaço é 
simplesmente uma questão de comparar medições de 
orientação subsequentes e a diferença entre elas.
• X - Eixo que 
“percorre” a tela do 
dispositivo de lado 
a lado (┴ a Y e Z).
• Y - Eixo que 
“percorre” a tela do 
dispositivo de baixo 
a cima (┴ a X e Z).
• Z - Eixo que 
completa o sistema, 
como “saindo” da 
tela (┴ a X e Y).
Se o smartphone ficar em pé, com o eixo Y apontando para 
cima e o eixo Z apontando para ós, beta valerá 90, pois apenas 
realiza uma rotação de 90° em torno do eixo X. 
Se o mesmo smartphone ficar de cabeça para baixo, beta 
valerá -90, pois realiza a mesma rotação no sentido contrário.
Alfa, Beta e Gama representam a rotação em 
graus em torno de cada um dos eixos Z, X e Y
respectivamente, como ilustrado abaixo:
Referências:
1) Paul A. Tipler e Gene Mosca. Física, vol.I – Mecânica;
2) Halliday, David., Resnick, R. e Walker, Jearl – Fundamentos 
de Física – Vol. I - Livros Técnicos e Científicos – Editora S.A. 
6ª Edição (2002) Rio de Janeiro/RJ Brasil;
3) Sears, F.; Zemansky, M.W. e Young H.D. – Física I Mecânica 
e Partícula dos Corpos;
4) J. B. Neto. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e 
Hamiltoniana. Livraria da Física, 1º edition, 2004;
5) J. L. Meriam. Engineering Mechanics: Dynamics, volume 2. 
John Wiley and Sons, 1986;
6) I. F. Santos. Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Makron 
Books, 2001;
7) N. A. Lemos. Mecânica Analítica. Livraria da Física, 2º 
edition, 2007;
8) J. E. Shigley. Dinâmica das Máquinas. Edgard Blucher, 1961.
Referências:
© By John Wiley & Sons - 2002;
© By Pearson Education – 2004;
© By David M. Harisson – 2004;
www.brasilescola.com/fisica/aceleração-centrípeta.htm;
www.brasilescola.com/fisica/impulso.htm;
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/ 
fisica/solido/precesion.html;
www.moderna.com.br/fundamentos;
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/ conser. 
html#conmom;
www.ebah.com.br/content/momento-angular;
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rotv2.html;
Um disco com 0,5 m de raio e 20 kg de massa
gira livremente em torno de um eixo horinzontal fixo 
passando pelo seu centro. 
Aplica-se-lhe uma força de 9,8 N puxando-se um fio 
enrolado em sua borda. 
Determine a Aceleração Angular () do disco e 
sua Velocidade Angular (ω) após 2s.
Notação Indicial - Muito usada em diferentes áreas 
de ciências, como mecânica dos fluidos, mecânica 
dos sólidos, dinâmica, elasticidade, etc. 
A matriz de inércia I é composta por 9 elementos.
Em vez de escrever x, y, z, usa-se os números 1, 2 e 
3 p/ representar os componentes de vetores e. 
Assim fica: L = {L1 L2 L3}
T e não L = {Lx Ly Lz}
T.
Os 9 elementos de Iij formam um TENSOR.
Distribuição interna de forças e momentos sobre 
um diferencial dS da superfície interna S em um 
contínuo, como resultado da interação entre as 2 
porções do contínuo separadas pela superfície. 
Esta forma de apresentar o Teorema do Momento 
Angular é conhecida como equação de Euler, em 
homenagem ao mecanicista e matemático alemão.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
ENERGÍA - Capacidade para produzir trabalho. 
Pode existir em uma variedade de formas e pode 
transformar-se de um tipo de energía a outro tipo. 
Sem embargo, estas transformações de energia estão 
restringidas pelo princípio fundamental de 
conservação da energia. 
Forma de establecer este principo:
a) "a energia não se cria nem se destroi". 
b) a energia total de um sistema isolado permanece 
constante.
MOMENTO DE INÉRCIA 
DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
A figura mostra um sistema de partículas em rotação 
ao redor de um mesmo eixo, mantendo suas posições 
relativas constantes. 
MOMENTO DE INÉRCIA DO SISTEMA
- Soma dos momentos de inércia de cada partícula:
3 - O conjunto parte do repouso e alcança uma 
velocidade angular de 150 rpm sob a ação de uma 
força T de 20N aplicada à corda por t segundos. 
Determine t. 
Despreze o atrito e todas 
as massas exceto as das 
quatro esferas de 3 kg, 
que podem ser tratadas 
como partículas. 
Resp: t = 15,1s.
Uma esfera de 3 kg move-se no plano x-y e possui a 
velocidade de 4m/s, no sentido mostrado na figura.
Determine:
(a) seu momento linear;
(b) seu momento angular;
(c) sua energia cinética.
Resp.: 
P = (8,5i-8,5j)kgm/s; 
L = - 7,73k kgm2/s