Torque e Momento Angular 2023 v1

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<p>FISD36 –Física Geral Teórica I</p><p>Profas. Alanna Dutra, Maria Zucchi e Prof. Vilar</p><p>UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA</p><p>INSTITUTO DE FÍSICA</p><p>Depto de Física da Terra e do Meio Ambiente</p><p>Torque, Momento</p><p>angular e Equilíbrio</p><p>Movimento linear e circular</p><p>Deslocamento, velocidade e aceleração</p><p>Energia cinética para o movimento linear</p><p>Energia cinética para o movimento circular (partícula pontual)</p><p>Relacionando as variáreis que descrevem o movimento circular às variáveis que descrevem</p><p>o movimento linear</p><p>Vetor aceleração</p><p>O vetor aceleração tem duas componentes, uma radial</p><p>e outra tangencial,</p><p>Outra expressão útil para aceleração centrípeta (usando v=r):</p><p>Aceleração centrípeta:</p><p>Aceleração tangencial:</p><p>Aceleração angular constante</p><p>As equações cinemáticas para aceleração constante são obtidas em completa</p><p>analogia às do movimento linear com aceleração constante</p><p>Serway</p><p>Várias partículas pontuais</p><p>Agora vamos discutir a energia cinética de várias partículas pontuais</p><p>Compare</p><p>Em que I é o momento de inércia dado por</p><p>Se assumirmos que estas partículas mantêm suas distâncias fixas em relação umas</p><p>às outras (corpo sólido, todas se movem com a mesma velocidade angular)</p><p>podemos descrever</p><p>Serway</p><p>Cálculo da inércia rotacional</p><p>Estendendo a expressão para o momento de inércia de partículas discretas para corpos</p><p>extensos e contínuos. Aproximamos nosso corpo como uma coleção de cubos pequenos de</p><p>tamanho idêntico e de volume V e densidade  :</p><p>Comparando com:</p><p>Assim como antes, tomamos o limite para o qual o volume de cada cubo</p><p>vai a zero e obtemos</p><p>Assumindo que a densidade é constante, obtemos:</p><p>Portanto:</p><p>A massa para densidade constante </p><p>Serway</p><p>Qual é a forma comum?</p><p>Momento de inércia para outras formas geométricas</p><p>Serway</p><p>Corrida das formas (Rolamento)</p><p>A aceleração de um objeto pela gravidade independe</p><p>da massa deste objeto.</p><p>E no rolamento, a massa importa? O raio importa?</p><p>Vamos observar o caso de três objetos de mesma massa, mesmo</p><p>raio mas diferente distribuição da massa, rolando por um plano</p><p>inclinado.</p><p>Uma esfera maciça, um cilindro maciço, um cilindro oco.</p><p>Qual deles vencerá?</p><p>Pela CE:</p><p>Serway</p><p>Serway</p><p>Produto vetorial</p><p>O produto vetorial, representado por × , é uma operação</p><p>binária entre dois vetores, que resulta em outro vetor ⊥</p><p>ao plano dos dois vetores. Dados dois vetores Ԧ𝐴 e 𝐵 ,</p><p>o produto vetorial entre eles é:</p><p>C=AB sen 𝜃</p><p>Ԧ𝐶 é um vetor perpendicular ao plano</p><p>contendo os dois vetores Ԧ𝐴 e 𝐵, cujo</p><p>módulo é igual ao paralelogramo dado</p><p>por:</p><p>Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 × 𝐵</p><p>Não se aplica</p><p>a propriedade</p><p>comutativa!</p><p>Serway</p><p>Regra da mão direita</p><p>é usada para determinar a</p><p>direção do vetor Ԧ𝐶</p><p>Halliday</p><p>O produto vetorial entre dois vetores</p><p>resulta em outro vetor ⊥ ao plano</p><p>formado pelos dois vetores!</p><p>Serway</p><p>https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_ebooks_1?ie=UTF8&field-author=David+Halliday&text=David+Halliday&sort=relevancerank&search-alias=digital-text</p><p>Dado dois vetores e .</p><p>O produto vetorial é:</p><p>Módulo:</p><p>Direção: regra da mão direita</p><p>Produto vetorial</p><p>Outra forma:</p><p>Bauer</p><p>Torque</p><p>Módulo:</p><p>Sentido: horário ou anti-horário</p><p>Apertando um parafuso em uma placa:</p><p>Girando no sentido horário → torque para dentro da tela</p><p>Girando no sentido anti-horário → torque para fora da tela</p><p>Definição:</p><p>Simulações Halliday</p><p>Bauer</p><p>Bauer</p><p>Serway</p><p>Serway</p><p>Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹</p><p>../OneDrive/Documentos/FISD36 - FISICA GERAL TEÓRICA I/Simulacoes/Cap10/Torque/sim30.swf</p><p>Torque</p><p>Módulo:</p><p>Torque - Simulação Halliday</p><p>Bauer</p><p>Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹</p><p>../OneDrive/Documentos/FISD36 - FISICA GERAL TEÓRICA I/Simulacoes/Cap10/Torque/sim30.swf</p><p>Momento angular</p><p>Lembrando o momento linear:</p><p>O módulo do momento angular é dado por</p><p>Agora apresentamos o equivalente rotacional, o</p><p>momento angular. Usaremos o símbolo L para</p><p>representar o momento angular</p><p>Começamos definindo o momento angular de uma partícula pontual</p><p>Serway</p><p>Derivada temporal de L</p><p>Agora vamos tomar a derivada temporal do momento angular</p><p>Obtem-se:</p><p>Lembrando que</p><p>O momento angular é sempre</p><p>perpendicular ao vetor momento e ao</p><p>vetor coordenado</p><p>Direção do momento angular</p><p>Bauer</p><p>L de um sistema de partículas pontuais</p><p>Podemos generalizar nosso resultado para uma única partícula em um sistema</p><p>de n partículas</p><p>Novamente, tomamos a derivada temporal para obter a relação com o torque</p><p>O momento angular é o momento de inércia vezes a velocidade angular em</p><p>analogia ao momento linear para corpos rígidos!</p><p>L para corpos rígidos</p><p>Observe que não pudemos definir um momento</p><p>de inércia para um sistema de partículas em que</p><p>elas não fossem fixas em relação umas às outras,</p><p>embora tivéssemos sido capazes de determinar o</p><p>momento angular</p><p>Serway</p><p>Demonstração:</p><p>Com a definição de momento angular para um conjunto de partículas pontuais</p><p>e tomando o módulo absoluto</p><p>Distâncias fixas (objeto sólido): todas as partículas giram com a mesma velocidade angular</p><p>em torno do eixo de rotação</p><p>Relação entre as quantidades lineares e circulares:</p><p>Módulo do produto vetorial:</p><p>Inserindo ambos os resultados anteriores na equação do momento angular:</p><p>Começamos definindo o momento angular de uma partícula pontual</p><p>O módulo do momento angular é dado por</p><p>Momento angular e torque:</p><p>Para corpos rígidos (e somente para eles):</p><p>Revisão: Momento Angular</p><p>Regra da mão direita para o momento angular</p><p>Bauer</p><p>Torque e aceleração angular</p><p>Começando com a expressão do momento angular de um corpo rígido podemos</p><p>demonstrar</p><p>com a segunda lei de Newton</p><p>É possível ver a analogia deste resultado</p><p>Teorema Trabalho e Energia Cinética (rotação!)</p><p>Quando  é constante, temos:</p><p>Portanto o Teorema do Trabalho - Energia Cinética para o movimento rotacional:</p><p>O trabalho executado durante uma rotação:</p><p>Usando a regra da cadeia do cálculo, podemos expressar o torque como:</p><p>como:</p><p>Exemplo: torque Um bloco de 1,50 kg está suspenso por uma corda</p><p>sem massa enrolada em uma polia conforme demonstrado. A polia pode</p><p>ser considerada um disco sólido de massa 0,750 kg e raio 0,250 m</p><p>que gira ao redor do seu centro. A massa é liberada e começa a se</p><p>mover para baixo. Qual o módulo da aceleração linear da massa?</p><p>Diagrama de corpo livre</p><p>Diagrama de corpo livre</p><p>Para a massa:</p><p>Para a polia:</p><p>Nas equações :</p><p>Cancelando R:</p><p>Conservação do Momento Angular (L)</p><p>Se o torque resultante é zero, então</p><p>Cadeira giratória - Hyperphysics</p><p>A conservação do momento angular tem diversas consequências interessantes</p><p>Giroscópios, mergulhadores, dançarinos, patinadores de gelo...</p><p>Sendo o momento angular é conservado:</p><p>Serway</p><p>../OneDrive/Documentos/FISD36 - FISICA GERAL TEÓRICA I/Simulacoes/Yvette.mp4</p><p>Exemplo: Morte de uma estrela</p><p>Se o núcleo de ferro de uma estrela morrendo gira inicialmente com uma</p><p>frequência de rotação f0 = 3,20 s-1, e se o seu raio decresce durante</p><p>o colapso por um fator de 22,7, qual é a velocidade angular do</p><p>núcleo de ferro no fim do colapso (assumindo que o núcleo de ferro é</p><p>uma esfera uniforme antes após o colapso)?</p><p>Considerando a conservação do Momento angular:</p><p>Bauer</p><p>Abundância de elementos no sistema solar</p><p>d</p><p>o</p><p>B</p><p>ig</p><p>B</p><p>a</p><p>n</p><p>g</p><p>F</p><p>e</p><p>it</p><p>o</p><p>s</p><p>n</p><p>a</p><p>s</p><p>e</p><p>s</p><p>tr</p><p>e</p><p>la</p><p>s</p><p>De onde vêm estes</p><p>elementos?</p><p>Número de massa Bauer</p><p>Por que supernovas são interessantes?</p><p>© Livre de royalties/Corbis</p><p>A 6500 anos luz daqui a Supernova</p><p>em 1054 ficou visível a luz do dia por</p><p>diversas semanas. Formando uma</p><p>estrela de nêutrons de diversos km de</p><p>diâmetro</p><p>1. De onde vêm os átomos da Terra?</p><p>A explosão de uma supernova formou uma</p><p>nebulosa que se condensou e formou o nosso</p><p>sistema solar atual (Sol, Terra, Lua, outros</p><p>planetas, ...) há aproximadamente 4,5 bilhões de</p><p>anos.</p><p>2. Qual a idade do átomos em nossos corpos?</p><p>A maior parte do hidrogênio no seu corpo vem do</p><p>Big Bang e tem ~13,7 bilhões de anos.</p><p>A maioria dos elementos mais leves (O, N, C, …)</p><p>foram formados na estrela que antecedeu o nosso</p><p>sistema solar.</p><p>Os elementos pesados foram sintetizados na</p><p>explosão da supernova.</p><p>Desde então os átomos foram apenas reciclados!</p><p>Bauer</p><p>Agora a polia tem massa e as</p><p>tensões no fio são diferentes!m2 m1</p><p>a a</p><p>mp</p><p>T1</p><p>mpg</p><p>T2</p><p>m2g</p><p>T T</p><p>m1g</p><p>No caso de uma polia sem massa</p><p>Somando as equações:</p><p>Diagramas de corpo livre</p><p>Exemplo: Máquina de Atwood. Duas massas diferentes são penduradas</p><p>em uma corda e passam por uma polia. Qual é a aceleração?</p><p>Bauer</p><p>Bauer</p><p>Bauer</p><p>Somando as três equações:</p><p>Temos três equações e três incógnitas:</p><p>Combinando as equações:</p><p>Aceleração angular:</p><p>Momento de inércia (disco)</p><p>Torques sobre o eixo</p><p>A polia gira:</p><p>T1</p><p>T2</p><p>R</p><p>Exemplo: máquina de Atwood</p><p>Bauer</p><p>Precessão</p><p>Calculando a frequência de precessão</p><p>A frequência de precessão é</p><p>inversamente proporcional à</p><p>frequência de rotação</p><p>Gire um pião e observe como ele fica de pé</p><p>O eixo de rotação se move ao redor da vertical. Por quê?</p><p>Roda de Bicicleta - Hyperphysics</p><p>Hyperphysics</p><p>Física Moderna – Tipler /Llewellyn</p><p>a) Alinhamento do momento magnético com o campo externo;</p><p>b) Se o momento magnético gira, o torque causa uma</p><p>precessão do sistema ao redor do campo magnético externo</p><p>Precessão dos spins nucleares</p><p>Na presença de um campo magnético externo, o torque é dado por: B</p><p></p><p>=</p><p>)B.(d)cosB(dBsenddW</p><p></p><p>−=−===</p><p>O trabalho realizado na mudança de orientação, d, do momento magnético</p><p>em relação a direção do campo magnético externo, é dado por:</p><p>BBdBsendW =−=−=−= </p><p></p><p> 2cos 0</p><p>00</p><p>Aplicação: Ressonância Magnética Nuclear</p><p>Polarização do Spin Nuclear</p><p>EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS</p><p>Um corpo (ou sistema) só permanecerá estável se estiver sendo</p><p>apoiado exatamente embaixo do seu centro de gravidade.</p><p>(O corpo também pode ser suspenso por uma corda exatamente acima do centro de gravidade)</p><p>Centro de</p><p>gravidade</p><p>Centro de gravidade</p><p>Bauer</p><p>Torque resultante</p><p>Definição de torque resultante: soma de todos os torques no sentido horário menos a soma</p><p>dos torques no sentido anti-horário:</p><p>Condição de equilíbrio estático:</p><p>Um objeto só pode estar em equilíbrio se o torque resultante agindo sobre ele for 0:</p><p>E a força resultante sobre ele for igual a 0.</p><p>Exemplo: Gangorra</p><p>Se você colocar um peso m1 em uma ponta a uma distância r1 do eixo</p><p>central da gangorra, é óbvio que aquele lado vai para baixo,</p><p>simplesmente por causa da força e torque exercidos sobre ele pelo</p><p>peso.</p><p>Todas as forças referentes ao peso de M, m1 e m2,</p><p>agem no sentido negativo de y e há uma força</p><p>normal N agindo sobre a barra, que origina o pivô</p><p>Condições de equilíbrio em y: Bauer</p><p>Exemplo: placa pendurada</p><p>Uma placa suspensa em um poste fixado na parede por uma</p><p>dobradiça e sustentado por um cabo diagonal. Qual é a tensão</p><p>no cabo que sustenta o poste?</p><p>desconhecidos</p><p>O ângulo entre o cabo e a barra</p><p>Podemos descobrir qual é a tensão sem saber F ao calcular</p><p>o torque sobre o ponto em que o poste é fixado na parede</p><p>Bauer</p><p>Considerando: m = 19,7 kg, M = 33,1 kg e l = 2,40 m, r = 1,95 m.</p><p>Quais são o módulo e a direção da força F?</p><p>Em x:</p><p>Em y:</p><p>Módulo: Direção:</p><p>Exemplo: pessoa em uma escada:</p><p>Que força de atrito é necessária para manter a escada sem</p><p>escorregar?</p><p>Diagrama de corpo livre</p><p>3 condições de equilíbrio (Fx, Fy, torque)</p><p>Bauer</p><p>Resolvendo a equação do torque para R:</p><p>Para que a escada não escorregue:</p><p>Sendo fs=R:</p><p>Combinando as duas últimas equações:</p><p>* Quanto mais alto o homem</p><p>subir, maior a probabilidade de a</p><p>escada escorregar</p><p>* Reduzir o ângulo entre a escada</p><p>e a parede evita que a escada</p><p>escorregue</p><p>* Aumentar o coeficiente de atrito</p><p>vai ajudar para que a escada não</p><p>escorregue</p><p>Bauer</p><p>Exemplo: O átomo de Bohr</p><p>Em 1913, Niels Bohr postulou que qualquer sistema mecânico em</p><p>rotação, cuja inércia rotacional (momento de inércia) seja I, só</p><p>pode ter momento angular com valores múltiplos inteiros de um número</p><p>determinado igual a</p><p>ℎ</p><p>2𝜋</p><p>= 1, 0541034 J.s. Em outras palavras:</p><p>L = Iω =</p><p>𝑛ℎ</p><p>2𝜋</p><p>sendo n um inteiro positivo qualquer ou zero. Dizemos que L está</p><p>quantizado, desde que não pode mais assumir qualquer valor.</p><p>(a)Mostre que este postulado restringe a energia cinética que o</p><p>sistema em rotação pode ter, a um conjunto de valores discretos,</p><p>isto é, a energia é quantizada.</p><p>(b)Considere o assim chamado rotor rígido, que consiste em uma massa</p><p>m obrigada a girar em um círculo de raio R. Quais seriam as</p><p>velocidades angulares que poderia ter a massa se o postulado</p><p>fosse correto? Que valores de energia cinética a massa pode</p><p>alcançar?</p><p>(c)Desenhe um diagrama de níveis de energia, de qualquer tipo, que</p><p>indique como varia o espaçamento entre níveis de energia quando n</p><p>aumenta, podendo ser semelhante ao da figura ao lado. Certas</p><p>moléculas diatômicas de baixa energia comportam-se como um rotor</p><p>rígido.</p><p>(a) Tomando a expressão do momento angular, teremos:</p><p>𝐿 = 𝐼𝜔 =</p><p>𝑛ℎ</p><p>2𝜋</p><p>A energia cinética do sistema em rotação assume a forma:</p><p>K =</p><p>𝐼𝜔2</p><p>2</p><p>=</p><p>𝐿2</p><p>2𝐼</p><p>=</p><p>𝑛2ℎ2</p><p>8𝜋2𝐼</p><p>https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/185</p><p>647/mod_resource/content/0/plc0003_05.pdf</p><p>(b) Da primeira expressão do item (a), temos:</p><p>𝜔 =</p><p>𝑛ℎ</p><p>2𝜋𝐼</p><p>; 𝐼 = 𝑚𝑅2 𝑒 𝑣 = 𝜔𝑅</p><p>E para a energia cinética temos:</p><p>K =</p><p>𝑚𝑣2</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑚</p><p>2</p><p>𝑛ℎ</p><p>2𝜋𝑚𝑅</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑛2ℎ2</p><p>8𝜋2𝑚𝑅2</p><p>(c) Seja o nível 1 de energia dado por:</p><p>Assim teremos: n=2 ⇒ K2=4K1; n=3 ⇒ K3=9K1 e etc .</p><p>Equações que descrevem o movimento de translação e movimento de</p><p>rotação de um corpo rígido:</p><p>Outros exemplos e exercícios</p><p>Referências</p><p>Fundamentos de Física - Vol. 1 - Mecânica</p><p>David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker</p><p>Physics for Scientists and Engineers</p><p>Raymond A. Serway,Jr. Jewett and John W.</p><p>Física para Universitários: Mecânica</p><p>por Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias</p><p>http://hyperphysics.phy-</p><p>astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/indexv.html</p><p>Notas de Aulas: Módulo VI Alanna Dutra, Edvaldo Suzarthe e</p><p>Reynam Pestana</p><p>https://ava.ufba.br/pluginfile.php/805518/mod_resource/content/8/Notas_Aulas_M%C3</p><p>%B3dulo_VI.pdf</p><p>https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_ebooks_1?ie=UTF8&field-author=David+Halliday&text=David+Halliday&sort=relevancerank&search-alias=digital-text</p><p>https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_ebooks_2?ie=UTF8&field-author=Robert+Resnick&text=Robert+Resnick&sort=relevancerank&search-alias=digital-text</p><p>https://www.amazon.com.br/Jearl-Walker/e/B001H6OBVK/ref=dp_byline_cont_ebooks_3</p><p>https://www.amazon.com.br/s/ref=dp_byline_sr_book_3?ie=UTF8&field-author=Helio+Dias&text=Helio+Dias&sort=relevancerank&search-alias=stripbooks</p><p>http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/indexv.html</p><p>http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/indexv.html</p><p>Slide 1:</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28</p><p>Slide 29</p><p>Slide 30</p><p>Slide 31</p><p>Slide 32</p><p>Slide 33</p><p>Slide 34</p><p>Slide 35</p><p>Slide 36</p><p>Slide 37</p><p>Slide 38</p><p>Slide 39</p><p>Slide 40</p><p>Slide 41</p><p>Slide 42</p><p>Slide 43</p><p>Slide 44</p><p>Slide 45</p><p>Slide 46</p>