Teoria das Estruturas 2 - Aula 11 - 2013 2S - EC

Prévia do material em texto

1 
1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 2 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 2 S 
A
U
LA
 11
 
13
.11
.2
0
13
 
2 
2 
3 
4 
B 
30 tf / m 
A 
9 m 1 m 
60 tf 
C 
20 cm 
80 cm 
I = 0,0060m4 
E = 2 . 107 tf / m² 
d = 0.80m 
α = 10-5 oC-1 
MA = 0tf 
tINF = 10 
oC 
tSUP = ? 
C. U. D.: 
E = (q . L²) / 4 
TEMPERATURA: 
E = (3 . E . I . α . Δt) / d 
MOMENTO NO APOIO: 
E = MB 
3 
5 
MB = - [(60 . 1) – (30 . 1 . 0,5)] = – 60 – 15 = – 75 tf . m (= MOMENTO NO APOIO) 
E = E1 (C.U.D) + E2 (TEMPERATURA) + E3 (MOMENTO APOIO) 
E1 = (q . L²) / 4 
E1 = (30 . 9²) / 4 
E1 = 2430 / 4 
E1 = 607,5 
E2 = (3 . E . I . α . Δt) / d 
E2 = (3 . 2.10
7 . 0,006 . 10-5 . Δt) / 0,8 
E2 = ( 3.6 . Δt) / 0,8 
E2 = 4,5 . Δt 
E = E1 (C.U.D) + E2 (TEMPERATURA) 
+ E3 (MOMENTO APOIO) 
E = 607,5 + 4,5 Δt + (– 75) 
E = 532,5 + 4,5 Δt 
MA = - E / 2 
E = 532,5 + 4,5 Δt 
MA = – [(532,5 + 4,5 Δt)] / 2 
MA = – 266,25 – 2,25 Δt 
MA = 266,25 + 2,25 Δt 
COMO MA = 0 (DO ENUNCIADO) 
MA = 266,25 + 2,25 Δt = 0 
Δt = – 118,33 oC 
PORTANTO, 
Δt = tINF – tSUP 
– 118,33 = 10 – tSUP 
ASSIM, tSUP = 128,33 
oC 
6 
4 
7 
8 
R O T A Ç Ã O F O R Ç A D A 
5 
9 
10 
6 
11 
12 
7 
13 
EXEMPLO 1: 
OBTER A ROTAÇÃO A SER IMPOSTA NO APOIO A, PARA QUE O MOMENTO FLETOR NESTE 
APOIO SEJA IGUAL A 20 tf.m. 
TRAÇAR EM SEGUIDA O DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR. 
14 
B 
40 tf / m 
A 
4 m 
15 cm 
60 cm 
I = 0,0027m4 
E = 2 . 107 tf / m² 
d = 0.60m 
MA = 20 tf.m (ENUNCIADO) 
C. U. D.: 
E = D = (q . L²) / 4 
ROTAÇÃO: 
E = (6 . E . I . ϕA) / L 
CARGA CONCENTRADA: 
E = [ (P . a . b) / L²] . (L + b) 
D = [ (P . a . b) / L²] . (L + a) 
80 tf 
2 m 
ϕA 
MA = - 1 / 3 . (2 . E – D) 
MB = - 1 / 3 . (2 . D – E) 
8 
15 
E = E1 (C.U.D) + E2 (CARGA CONCENTRADA) + E3 (ROTAÇÃO) 
E1 = (q . L²) / 4 
E1 = (40 . 6²) / 4 
E1 = 1440 / 4 
E1 = 360 
E2 = [ (P . a . b) / L²] . (L + b) 
E2 = [(80 . 4 . 2 / 6²] . (6 + 2) 
E2 = [ 640) / 36] . 8 
E2 = 142,22 
E3 = (6 . E . I . ϕA) / L 
E3 = (6 . 2 . 10
7 . 0,0027 . ϕA) / 6 
E3 = 54000 . ϕA 
E = E1 (C.U.D) + E2 (CARGA CONCENTRADA) + E3 (ROTAÇÃO) 
E = 360 + 142,22 + 54000 . ϕA = 502,22 + 54000 . ϕA 
D = D1 (C.U.D) + D2 (CARGA CONCENTRADA) 
D1 = (q . L²) / 4 
D1 = (40 . 6²) / 4 
D1 = 1440 / 4 
D1 = 360 
D2 = [ (P . a . b) / L²] . (L + a) 
D2 = [(80 . 4 . 2 / 6²] . (6 + 4) 
D2 = [ 640) / 36] . 10 
D2 = 177,77 
D = D1 (C.U.D) + D2 (CARGA CONCENTRADA 
D = 360 + 177,78 = 537,77 
16 
PORTANTO, 
MA = – 1 / 3 . [2 . (502,22 + 54000 . ϕA) – 537,77] 
MA = – 1 / 3 . [(1004,44 + 108000 . ϕA) – 537,77] 
MA = – 1 / 3 . (466,67 + 108000 . ϕA) 
20 = – 155,55 – 36000 . ϕA 
– 36000 . ϕA = 20 + 155,55 
ϕA = 175,55 / – 36000 
ϕA = – 0,00488 rad = – 0,279
o 
TEM-SE QUE: 
MA = – 1 / 3 . (2 . E – D) 
MA = 20 tf . m (ENUNCIADO) 
TEM-SE TAMBÉM QUE: 
MB = – 1 / 3 . (2 . D – E) 
PORTANTO, 
MB = – 1 / 3 . [(2 . 537,77) – (502,22 + 54000 . ϕA)] 
MB = – 1 / 3 . [(1075,54 – (502,22 + 
54000 . – 0,00488)] 
MB = – 1 / 3 . (1075,54 – 238,70) 
MB = – 1 / 3 . (836,84) 
MB = – 278,95 tf . m 
9 
17 
20 
MMÁX = 137,13 tf,m 
278,95 2,42 m 
B 
40 tf / m 
A 
4 m 
80 tf 
2 m 
ϕA 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
18 
EXEMPLO 2: 
QUAL A ROTAÇÃO FORÇADA NO APOIO B? ASSUMIR QUE O MOMENTO FLETOR NESTE 
APOIO É NULO! 
TRAÇAR EM SEGUIDA OS DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR E DE FORÇA CORTANTE. 
10 
19 
25 cm 
45 cm 
I = 0,0019m4 
E = 2 . 106 tf / m² 
d = 0.45m 
ϕB = ? 
MOMENTO CONCENTRADO: 
E = – [ M / L²] . (3 . b² – L²) 
D = – [ M / L²] . (L² – 3 . a²) 
MA = 0 tf.m 
MB = 0 tf.m (ENUNCIADO) 
2 m 4 m 
B 
ϕB 
A 
6 tf.m 
20 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
2,0 
4,0 - 
+ 
RESP: 
ϕB = - 0,0011 rd 
2 m 4 m 
B 
ϕB 
A 
6 tf.m 
11 
21 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES 
1,0 + 
2 m 4 m 
B 
ϕB 
A 
6 tf.m 
22 
F I M ! 
12 
23 
PRINCIPAL REFERÊNCIA DESTA AULA: 
VISANDO ESCLUSIVAMENTE FINS DIDÁTICOS, ESTA AULA REPRODUZ PARTE DO CONTEÚDO DA APOSTILA DE “ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II”, DE AUTORIA DO PROF. 
AIELLO GIUSEPPE ANTONIO NETO, ADOTADA NA ESCOLA DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE. 
AO AUTOR TODOS CRÉDITOS DE CONTEÚDO DEVEM SER ATRIBUÍDOS.