CAP 1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

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CAPÍTULO 1 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
1. Dados históricos 
Podemos considerar a Estatística como a ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise 
e interpretação dos dados experimentais. 
 Essa conceituação é absolutamente geral e engloba o conceito usual do que seja a Estatística. Esse 
conceito usual e popular relaciona a Estatística com tabelas e gráficos nos quais os dados experimentalmente 
obtidos são representados. Exemplos: Estatística do movimento da Bolsa de Valores; estatística da loteria 
esportiva; estatística da Saúde Púbica: Crescimento do número de infectados pela gripe suína, acidentes de 
transito com vítimas nas estradas Estaduais; estatística do crescimento da população nos estados; estatística 
do movimento bancário; cheques devolvidos; cheques sem fundo; tabelas do campeonato de futebol; pesquisa 
eleitoral, etc. 
 Essa noção refere-se apenas à parte de organização e descrição dos dados observados. Há ainda um 
campo de atuação da ciência Estatística que é a análise e interpretação desses dados. 
Desde a antiguidade observa-se a utilização da Estatística para descrever em números as condições 
econômicas, na agricultura, na indústria e no comércio. Assim, se lê no livro sagrado de Confúcio (551 a.C. a 
479 a.C.) (CHOUKING). 
No quarto livro de Moisés, chamado NÚMEROS, Moisés faz o recenseamento de todas as tribos de 
Israel, no deserto de Sinai, isso ocorreu após dois anos da saída do Egito (Cap. 1, vs. 1 a 46). 
O imperador romano César Augusto ordenou o recenseamento em todo império romano no ano de 
nascimento de Jesus. Portanto, podemos dizer que na antiguidade a Estatística preocupava-se com Registro dos 
dados, é uma Estatística Administrativa, pois ela se interessava em contar o número de homens aptos para a 
guerra e de produtos agropecuários. 
A palavra estatística é derivada da palavra latina “STATUS”, com o significado de Estado, Governo, 
atribuindo o significado “Ciência das coisas que pertencem ao Estado”. 
Como disciplina autônoma ela aparece no século XVII na Alemanha, tendo como objeto a descrição das 
coisas notáveis do estado. Para essa autonomia muito contribuiu o alemão Herman Conring (1606-1681) 
introduzindo a estatística com disciplina na Universidade de Helmstadt. Na Inglaterra surgem os chamados 
Aritméticos políticos, denominação atribuída a William Petty, aos que tinham interesse especial pelas tabelas de 
mortalidades em virtude de suas aplicações nos seguros de vida. 
Na França desenvolve-se a partir do século XVII, o cálculo de probabilidades como disciplina científica. 
Sua origem atribui-se a questões postas a Blaise Pascal (1623-1662) por Cavaleiro de Nére, para alguns autores 
 
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jogador inveterado, para outros um filósofo e homem de letras. Mas a maior contribuição aparece nas cartas 
entre Pascal e Pierre Fermat (1601-1665) em que ambos chegam a uma solução correta do problema dos jogos 
de azar. 
Foi Jacques Bernoulli (1654-1705) que aperfeiçoou a teoria das probabilidades escrevendo a sua grande 
obra “Ars Conjectandi”, publicada oito anos após sua morte. Pode-se dizer que foi devido as contribuições de 
Bernoulli que o cálculo de probabilidades adquiriu o estatus de ciência. 
São fundamentais as contribuições de Pierre Laplace (1749-1827) com as publicações da “Teoria 
Analítica da Probabilidade” e a definição clássica da probabilidade (Quociente entre o número de casos 
favoráveis e o número de casos possíveis). Gauss (1777-1855) apresentou em 1809 a “Theoria Combinationis 
Observatorium Erroribus Minimis Obnoxia” que mostra uma teoria sobre a análise de observações, que pode ser 
aplicável a qualquer ramo da ciência. 
Podemos citar outros grandes estatísticos como: Francis Galton (1822-1911) da escola de estatística 
inglesa que criou a teoria da regressão linear. Karl Pearson (1857-1936) físico matemático dedicou-se a teoria 
da correlação. Ronald Aylmer Fisher, suas contribuições para a moderna estatística são as mais importantes de 
todas, sendo a figura de maior destaque de todos os tempos, desenvolveu e estruturou de forma rigorosa a 
Teoria da Inferência Estatística. William S. Gosset, com pseudônimo de “Student”, devido ao fato de trabalhar 
para uma fábrica de cerveja , desenvolveu em 1908 a Teoria da Amostragem 
Assim, podemos dizer que a estatística atual passou a ter um caráter mais científico, deixou de ser uma 
simples técnica de coleta de dados e de apresentação de dados, para se tornar um ramo de conhecimento 
humano que procura tirar conclusões a partir de fatos numéricos de observação. 
São muitas as definições de Estatística, citamos aqui algumas: 
 A Estatística é a parte da Matemática Aplicada que se preocupa em obter conclusões a partir de 
dados observados”. (Rui Aguiar da Silva Leme). 
 A Estatística é o estudo numérico dos fatos sociais”. (Levasser) 
 Conjunto de processos que tem por objetivo a observação, a classificação formal e a análise dos 
fenômenos coletivos ou de massa e, por fim, a indução das leis a que tais fenômenos obedecem 
globalmente”. (Milton da Silva Rodrigues) 
 É um ramo da Matemática Aplicada e pode ser considerada como a Matemática Aplicada a 
dados observados” (R. A. Fisher) 
 A Estatística é a coleta, apresentação, análise e interpretação de dados numéricos”. (Croxton e 
Cowden) 
 
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Assim, podemos concluir que a Estatística é ciência, quando estuda populações e é método, quando 
serve de instrumento a uma outra ciência. 
Existem três ramos da estatística: 
 A estatística descritiva; 
 O cálculo das probabilidades e 
 Inferência estatística. 
É importante enfatizar que a estatística descritiva começou antes do aparecimento do cálculo das 
probabilidades, sendo seu estudo concebível sem os conceitos probabilísticos. As probabilidades são 
ferramentas para a inferência estatística. A inferência estatística é interpretada de duas maneiras: 
 ou fazendo uma estimação a respeito de uma característica da população cujo o valor se desconhece; 
 ou realizando um teste sobre essa característica, da qual se afirma ter um determinado valor. 
 São três áreas de interesses para a estatística: 
a) descrição e resumo de dados, 
 b) teoria da probabilidade e 
 c) análise e interpretação de dados. 
Essas três áreas da estatística não são separadas ou distintas, ao contrário, elas tendem a se entrelaçar. 
 
2. Ramos da Estatística 
2.1. Estatística descritiva 
A palavra estatística lembra sempre: taxas mensais de acidentes, índices de mortalidade infantil por 
estados, consumo de combustível por quilômetro rodado, etc. Essa parte da estatística que utiliza números para 
descrever fatos é chamada estatística descritiva. 
Estatística descritiva é o ramo da estatística que envolve a organização, o resumo e a representação dos 
dados. 
 
2.2. Probabilidade 
 
O conhecimento das probabilidades associadas a uma situação fornece a base para o desenvolvimento 
das técnicas de tomada de decisão, explica o funcionamento dessas técnicas e indica de que modo as conclusões 
podem ser apresentadas e interpretadas corretamente. 
 
2.3. Inferência estatística 
 
É quando se generaliza para a população, aquilo que se observa na amostra. 
 A palavra inferência é utilizada em Estatística com dois significados: 
 conclusões tiradas a partir de valores ou de evidências; 
 processo utilizado para se chegar a essas conclusões. 
 
 
 
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3. População – Amostra 
 
Se a estatística se preocupa com registro de fatos, então a população tem o significado de conjunto dos 
habitantes de uma determinada região. Modernamente população é qualquer coleção de objetos, seres ou entes 
que apresentam pelomenos uma característica em comum. 
 
Exemplos 1: 
 Vazão do rio Tietê de 1950 a 2015; 
 Acidentes da Via Dutra de 2000 a 2015; 
 Inflação brasileira de 1995 a 2015; 
 Notas de Matemática dos alunos do Ensino médio. 
 
A população pode ter um número finito de elementos ou ter um número ilimitado, isto é, população 
infinita. 
 
Quando se estuda uma população com um número muito grande de elementos, somos obrigados a 
examinar uma parte, a amostra. 
 
Entendemos por amostra, parte da população retirada segundo uma regra conveniente, probabilística ou 
aleatória. A amostra é sempre finita. 
 
A seguir mostramos um exemplo de fenômeno aleatório. A figura que segue mostra esferas de mesmo 
diâmetro, caindo de um reservatório superior e passando por uma série de obstáculos, que em cada obstáculo a 
probabilidade da esfera se desviar para a esquerda ou para a direita é ½ . As esferas são colhidas em reservatório 
abaixo e observa-se que elas se acumulam na parte central e tornam-se mais raras nas extremidades. 
 
O gráfico observado tem a forma de um sino, com a boca voltada para baixo. A essa distribuição 
denominamos de Distribuição Normal ou de Gauss. (Figura 1) 
 
 
Figura 1 
 
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Exemplos de retirada de amostras de uma população por meio da tabela de números aleatórios. 
Exemplo 2: 
 Um candidato a prefeito de uma Capital contrata uma empresa de pesquisa de dados para avaliar sua 
posição entre os candidatos, a quinze dias das eleições. Sabemos que a população da Capital é formada por 
milhões de eleitores e como o órgão de pesquisa trabalha com tempo e recursos econômicos limitados, ele não 
estuda individualmente todos os eleitores do município e sim uma amostra, que deve ser retirada 
convenientemente da população e que apresente as mesmas informações da população. Assim, se o candidato A 
é o preferido por 40% dos eleitores da amostra, isso equivale a ser também o preferido por 40% da população. 
Para essa pesquisa, os eleitores são consultados aleatoriamente por meio de sorteios de bairros, ruas, casas e 
classes sociais A, B, C, D e E. Para retirar uma amostra de uma população aleatoriamente, usamos a tábua de 
números Aleatórios ou Randômicos, a expressão números Randômicos provém da palavra inglesa random que 
significa “casual, aleatório”. A tabela 1 é parte de uma tabela de números aleatórios. 
 
Tabela 1 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 
575 862 053 359 191 045 078 892 944 508 844 129 
063 558 334 157 151 189 770 246 377 362 560 634 
666 181 029 348 396 735 984 632 383 737 532 259 
387 297 267 470 545 549 719 531 099 784 959 438 
716 262 928 273 326 161 742 884 879 184 627 953 
931 443 459 268 505 364 789 838 178 892 645 618 
087 370 911 952 595 863 589 024 276 605 317 913 
285 852 975 574 503 355 339 907 655 998 807 058 
283 133 568 029 147 973 759 205 690 763 953 361 
919 386 487 101 360 500 001 045 364 436 862 234 
374 415 513 773 874 046 443 549 905 554 962 432 
903 090 386 175 422 490 435 185 447 429 756 170 
813 435 050 845 473 381 242 597 581 435 931 122 
845 507 797 223 001 740 233 067 235 969 218 915 
 
 6 
102 184 165 787 207 250 416 874 144 175 850 230 
092 829 185 336 538 837 596 690 702 096 328 284 
737 467 011 721 389 114 950 528 794 431 632 741 
076 069 066 346 180 043 526 035 712 099 962 866 
 
Exemplo 3: 
 
O professor de Educação Física do Ensino Médio faz uma pesquisa para estudar as alturas de seus 
alunos do sexo masculino, envolvendo 999 alunos e deseja retirar uma amostra de 100 alunos seguindo a tabela 
de números aleatórios. 
Para construirmos essa amostra, podemos numerar os 999 alunos, atribuindo a cada aluno um número de 
três dígitos como os da sequência: 001, 002, 003, ... , 998 e 999. Para a escolha dos 100 elementos dentre os 
999 alunos, podemos iniciar a consulta à tabela dos números aleatórios a partir de qualquer número da tabela 
randômica, por exemplo: tomamos três a três os números a partir do número 884 que está na quinta linha e na 
oitava coluna, e em seguida tomamos a medida da altura dos alunos cujos números são: 879; 184; 627; 953; 
931; 443;..., até o encontrarmos o centésimo aluno. Assim, retiramos de uma população de 999 elementos uma 
amostra de 100 elementos, de maneira aleatória, por meio da tabela de números randômicos. Se a população é 
maior ou menor que 999 elementos, desenvolvemos um novo processo para a retirada da amostra. 
 
Exemplo 4: 
 Retirar da população da tabela 2 uma amostra de 100 elementos, por meio de amostragem simples ao 
acaso, consultando a tabela 1 de números aleatórios. Por exemplo, inicie a retirada dos números começando 
pelo número aleatório da tabela, localizado na sexta linha, primeira coluna, número (931) em seguida 443 e 
sempre três a três. 
 
Tabela 2 
8,8 15,6 15,3 12,7 5,9 3,3 3,5 7,2 16,7 14,7 
7,7 13,4 15,5 14,5 7,0 10,8 11,8 2,7 3,8 9,0 
11,6 9,5 8,6 7,0 7,5 10,9 7,2 9,5 8,4 12,9 
14,9 4,1 13,1 10,6 17,0 4,2 3,8 10,6 4,5 11,8 
6,4 8,4 7,3 13,1 16,5 5,5 15,3 13,7 9,7 11,5 
11,2 9,6 8,8 11,7 3,1 6,5 1,9 6,9 10,2 8,3 
16,0 7,5 8,6 9,0 6,9 12,4 6,4 11,9 3,5 5,1 
16,6 6,1 8,7 3,9 11,2 8,5 9,4 5,7 12,4 11,6 
9,2 10,9 8,4 3,8 7,6 2,2 10,0 2,7 6,9 8,5 
 
 7 
12,9 8,1 9,4 7,8 17,0 12,1 9,4 4,7 9,0 11,2 
13,8 16,4 14,3 5,9 9,8 9,8 7,7 8,7 6,8 10,7 
9,1 5,1 16,7 6,2 14,4 14,0 9,8 10,5 9,3 7,8 
12,3 13,2 6,5 4,1 11,8 5,3 14,4 10,9 14,2 7,2 
10,0 14,1 8,6 7,9 6,8 14,7 12,2 10,0 2,0 3,5 
5,5 13,1 15,1 5,1 10,6 8,3 6,3 12,2 15,1 5,5 
14,0 7,6 16,6 2,6 8,4 5,7 9,9 9,9 9,0 13,7 
16,6 6,3 3,2 10,8 5,8 3,7 14,0 11,3 16,8 9,7 
8,7 6,4 8,1 10,7 8,3 10,2 11,7 7,9 11,8 10,5 
11,2 5,9 5,2 15,7 10,2 2,2 10,7 9,0 4,7 10,3 
2,8 11,4 11,1 3,0 7,9 12,0 6,9 12,2 14,0 9,8 
 
Resolução: 
Os números aleatórios na tabela 1 foram colocados de três em três algarismos para facilitar nossa 
visualização. No exemplo 3 a tabela 2 é formada por 200 números. Devemos transformar essa tabela 2 em 1000 
números para corresponder aos elementos da tabela de números randômicos. Para isso adotamos que cada 
número dado na tabela 2 seja considerado como 5 números iguais. Por exemplo, o primeiro número da tabela é 
8,8 deve ser considerado como 8,8 – 8,8 – 8,8 – 8,8 – 8,8. Dessa forma passaremos a ter 1000 números. A 
tabela a seguir indica esses números. 
 
Tabela 3 
De 01-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 
0 8,8 15,6 15,3 12,7 5,9 3,3 3,5 7,2 16,7 14,7 
50 7,7 13,4 15,5 14,5 7,0 10,8 11,8 2,7 3,8 9,0 
100 11,6 9,5 8,6 7,0 7,5 10,9 7,2 9,5 8,4 12,9 
150 14,9 4,1 13,1 10,6 17,0 4,2 3,8 10,6 4,5 11,8 
200 6,4 8,4 7,3 13,1 16,5 5,5 15,3 13,7 9,7 11,5 
250 11,2 9,6 8,8 11,7 3,1 6,5 1,9 6,9 10,2 8,3 
300 16,0 7,5 8,6 9,0 6,9 12,4 6,4 11,9 3,5 5,1 
350 16,6 6,1 8,7 3,9 11,2 8,5 9,4 5,7 12,4 11,6 
400 9,2 10,9 8,4 3,8 7,6 2,2 10,0 2,7 6,9 8,5 
 
 8 
450 12,9 8,1 9,4 7,8 17,0 12,1 9,4 4,7 9,0 11,2 
500 13,8 16,4 14,3 5,9 9,8 9,8 7,7 8,7 6,8 10,7 
550 9,1 5,1 16,7 6,2 14,4 14,0 9,8 10,5 9,3 7,8 
600 12,3 13,2 6,5 4,1 11,8 5,3 14,4 10,9 14,2 7,2 
650 10,0 14,1 8,6 7,9 6,8 14,7 12,2 10,0 2,0 3,5 
700 5,5 13,1 15,1 5,1 10,6 8,3 6,3 12,2 15,1 5,5 
750 14,0 7,6 16,6 2,6 8,4 5,7 9,9 9,9 9,0 13,7 
800 16,6 6,3 3,2 10,8 5,8 3,7 14,0 11,3 16,8 9,7 
850 8,7 6,4 8,1 10,7 8,3 10,2 11,7 7,9 11,8 10,5 
900 11,2 5,9 5,2 15,7 10,2 2,2 10,7 9,0 4,7 10,3 
950 2,8 11,4 11,1 3,0 7,9 12,0 6,9 12,2 14,0 9,8 
 
 
 
Portanto, os 100 números retirados aleatoriamente são os dados brutos. 
 
10,7 6,9 8,1 8,8 13,8 8,7 9,9 11,3 4,2 11,8 
14,2 4,1 2,7 9,0 5,2 2,8 6,8 8,1 10,5 5,9 
6,5 12,3 9,0 5,2 1,9 8,7 7,9 14,4 13,8 16,6 
11,9 5,9 10,0 9,86,3 13,4 1,9 7,2 6,2 3,3 
12,9 7,9 7,6 6,4 10,0 16,6 2,8 8,6 15,7 5,7 
4,7 11,6 6,1 11,2 8,8 16,7 8,7 2,7 3,2 15,3 
11,9 8,4 14,3 8,3 14,7 9,0 10,7 11,2 9,1 11,1 
10,0 11,2 2,7 11,9 17,0 7,6 4,7 17,0 3,8 8,5 
2,2 7,6 10,6 3,2 10,0 14,7 16,8 17,0 9,4 9,7 
7,8 9,8 10,0 10,7 7,5 16,8 5,1 13,7 16,5 8,4 
Tabela 4 
 
4. Tipos de Variáveis 
Em Estatística variável é uma atribuição de um número a cada característica da unidade de observação, 
ou seja, é uma função matemática definida na população ou ainda, uma variável corresponde a uma 
característica de um item ou de um individuo. 
As variáveis são classificadas como qualitativas e quantitativas. 
4.1. Variável qualitativa 
 Quando uma característica ou variável é não numérica, denomina-se variável qualitativa ou atributo. 
 
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Exemplo 5: São variáveis qualitativas: sexo, religião, naturalidade, cor dos olhos e faixa etária. 
 
4.2. Variável quantitativa 
 
Quando uma característica ou uma variável é numérica, denomina-se variável quantitativa. 
 As variáveis quantitativas se classificam em dois grupos: 
 
4.2.1. Variáveis discretas 
 
a) As variáveis quantitativas discretas cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou 
enumerável de números que resultam frequentemente de contagem. 
Exemplo 6: 
a) Quantidade de alunos de uma disciplina. 
b) Quantidade de apartamentos de um prédio. 
 c) O número de crianças em uma família. 
4.2.2. Variáveis contínuas 
As variáveis cujos valores pertencem a um intervalo de números reais e que resultam frequentemente 
de medidas, são denominadas variáveis quantitativas contínuas. 
 
Exemplo 7: 
 a) Tempo de duração das provas de matemática. 
 b) Tempo duração de baterias de carros. 
 c) As alturas dos alunos de uma classe da disciplina de Estatística. 
 
 Nas Variáveis contínuas quando feitas por medidas, por exemplo, as alturas dos alunos, e dependendo 
da unidade de medida podemos obter 1,65 m, ou 165,2cm ou 1652,7mm conforme a precisão da medida. 
 
4.3. Níveis de mensuração e escalas de mensuração 
 
 São quatro os níveis de mensuração: Nominal, ordinal, intervalar e de razão. 
 
1) Escala nominal de mensuração envolve simplesmente o ato de nomear ou rotular, não esta explícito nenhum 
tipo de classificação. 
Exemplo 8: 
 a) Possui computador: sim ___ não____. 
 b) Sexo: masculino ____ feminino ____. 
 c) Religião: católica ____ crente _____. 
 d) Estado civil: casado ____ solteiro___. 
 
2) Escala ordinal de mensuração ocorre quando se procura ordenar seus elementos ou classificar. 
Exemplo 9: 
 
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 a) Classificação sócio econômica: Classe baixa, classe média e classe alta. 
 b) Satisfação de um produto: Insatisfeito, satisfeito e muito satisfeito. 
 c) Classificação docente: Assistente e titular. 
 
3) Escala intervalar consiste numa escala ordenada a qual podemos afirmar se uma medida é igual ou diferente, 
maior e quanto maior que outra, mas não tem origem. 
Exemplo 10: 
 a) Temperatura de um indivíduo: [36C°, 40C°]. 
 b) Temperatura da cidade de São Paulo: [12C° a 30C°]. 
 
4) Escala de razão é uma escala ordenada que envolve medidas nessa escala. Se for medida em cm tem-se o 0 
(zero) como origem e a unidade 1 cm. Tem origem fixa. 
Exemplo 11: 
 a) Altura dos alunos em cm. 
 b) Peso dos alunos em Kg. 
 c) Idade em anos. 
 d) Salários dos funcionários da faculdade. 
 
5. Distribuições de frequência na variável discreta 
 
5.1. Dados brutos 
 
 Dados brutos são aqueles que ainda não foram numericamente organizados. Um exemplo é o conjunto 
das alturas de 100 estudantes do sexo masculino, tirado de uma lista alfabética do registro de alunos de uma 
Faculdade. 
 
5.2. Rol 
 
Um rol é um arranjo numérico bruto em ordem crescente ou decrescente de grandeza. A diferença entre 
o maior e o menor número do rol chama-se amplitude total dos dados. Por exemplo, se a maior altura dos 100 
estudantes do sexo masculino é 188 cm e a menor 152 cm, a amplitude total será de R = 36 cm. 
 
5.3. Distribuição de frequência 
 
Uma vez coletados os dados é comum ordená-los, dando origem ao rol. A tabulação desses dados junto 
com as frequências correspondentes obtém-se a chamada distribuição de frequências. 
Exemplo 12: 
 A tabela que segue é um exemplo de distribuição de frequência discreta e apresenta as idades de alunos da 
disciplina de estatística e suas frequências. 
 
 
 
 11 
 
ix
 
if
 
18 
19 
20 
21 
22 
8 
10 
7 
5 
4 
ix
: Idade dos alunos que cursam a disciplina 
de estatística 
if
 : número de alunos com a respectiva idade 
 
5.4. Frequência absoluta 
 Frequência absoluta de uma variável 
ix
é o numero total de dados que se repete em 
ix
 e representamos 
por 
if
. 
 
5.5. Frequência relativa 
 Frequência relativa é a razão entre cada frequência absoluta 
if
 e o total n das frequências absolutas.
1,2,3,...,ir
f
f com i n
n
 
. 
 
5.6. Frequência acumulada 
 Colocando-se os valores em ordem crescente da variável 
ix
, obtém-se a frequência acumulada 
adicionando-se as frequências absolutas dos valores anteriores. 
Tomando os valores do quadro anterior, podemos escrever: 
 
ix
 
if
 
rf
 acf
 
18 
19 
20 
21 
22 
8 
10 
7 
5 
4 
 8/34=0,235 
10/34=0,294 
 7/34=0,205 
 5/34=0,147 
 4/34=0,117 
 
8 
18 
25 
30 
34 
Total 34 1 
 
 
5.7. Gráfico de frequências 
 Gráficos são representações de dados para melhor visualização dos resultados. 
 Colocando os valores dos dados no eixo horizontal e as frequências no eixo vertical. 
 
 
 
 
 12 
 
Tipos de gráficos: 
a) Gráfico de barras ou colunas 
 
 
b) Gráfico de setores (pizza) 
 Servem para representar séries categóricas ou nominais, utiliza-se um círculo feito em fatias que 
representam as categorias usando a porcentagem de cada categoria que será transformada em graus. 
 
Exemplo 13: 
 Gastos mensais de uma família formada pelos e dois filhos que estudam em colégio pago. 
 
 
 GASTOS 
 
Educação 19% 68º 
Alimentação 30% 108º 
Transportes 20% 72º 
Moradia 15% 54º 
Gerais 16% 58º 
 
 
 
 
 
Seguem os gráficos correspondentes ao exemplo 12. 
Mostram os valores dos dados 
ix
no eixo horizontal e as frequências no eixo vertical 
0
1
2
3
4
5
6
Categoria 1 Categoria 2 Categoria 3 Categoria 4
Série 1
Série 2
Série 3
Gastos 
Educação
Alimentação
Transportes
Moradia
Gerais
 
 13 
c) Gráfico da frequência absoluta d) Gráfico da frequência acumulada 
 
 
 
Exemplo 14: 
 Uma clínica dentária relacionou os tempos de atendimento em minutos, de seus clientes e apresentou a 
tabela de atendimento do mês de maio. 
 
10 12 13 10 11 12 11 13 
11 10 11 12 12 11 12 10 
14 12 14 12 13 10 13 11 
13 11 12 14 12 13 12 14 
 
a) Construir a tabela da distribuição de frequência. 
b) Mostre as frequências acumuladas. 
c) Mostre as frequências relativas. 
Resolução: Chamamos de 
ix
os valores dos tempos de atendimento e por 
if
 as suas frequências e seguem as 
frequências relativas e acumuladas. 
 
ix
 
if
 
rf
 acf
 
10 
11 
12 
13 
14 
5 
7 
10 
6 
4 
 0,16 
0,22 
0,31 
0,19 
0,12 
5 
12 
22 
28 
32 
Total 32 16. Medidas de tendência central ou de posição 
 
A média é um valor típico ou representativo de um conjunto de dados, sendo a medida de posição mais 
importante de uma variável. Como esses valores típicos tendem a se localizar em um ponto central de um 
conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, as medidas também são denominadas medidas da 
tendência central. 
18 19 20 21 22
8
10
7
5
4
9
6
3
2
1
0
f
i
xi
18 19 20 21 22
10
25
5
35
20
30
15
0
f
ac
x i
 
 14 
Vários tipos de médias podem ser definidos: a média, a média geométrica e a média harmônica, sendo a 
mais comum a média aritmética ou, abreviadamente média. Cada uma delas apresenta vantagens e 
desvantagens, dependendo dos dados e dos fins desejados. 
 
6.1. Média Aritmética 
 
Situação-problema: 
Um professor de matemática aplicou sua prova bimestral a 20 alunos e no momento da entrega das 
provas pelos alunos, as corrigia, não comunicando as notas para que não houvesse tumulto. Durante a 
correção foi anotando ao lado as notas e na saída da sala disse a todos que a média obtida pela classe era 6. 
Levou para casa as provas e as perdeu. 
a) Como deve o professor atribuir as notas de cada aluno? 
b) O professor recuperou as notas que foram dadas: 
 
6 5 6 4 6 5 7 6 6 7 
7 6 5 7 8 4 6 5 8 6 
 
Com as notas recuperadas determine a média aritmética. 
Resposta: 
a) Se o professor perdeu as provas, mas conhece a média, deve atribuir a média 6 para todos os 
alunos, pois, podemos observar que a soma de todas as notas da tabela é igual a soma de 20 notas de valor 6. 
Assim, substituímos todas as notas dos alunos pelo valor 6. 
 
 6+5+6+4+6+...+8+6 = 6+6+6+6+6+...+6+6 ou ainda 
 
120
120 20 6 6
20
   
 
b) Para definir média devemos ter o conceito de somatório. 
Escrevemos uma soma da seguinte maneira (
A letra indica somatório
). 
 
n
1 = i
n321i x......xxxx
 
 
Exemplo 15: 
 Sendo 
10x ,5x ,7x ,3x ,1x 54321 
 
Calcular a) 

5
1 = i
ix
 b) 

5
1 = i
2
ix
 
Solução: 
 a) 
26105731x
5
1 = i
i 
 
 b) 
184100254991105731x 22222
5
1 = i
2
i 
 
 
 
 
 
 15 
Exercícios de aplicação 01: 
1) Verifique se as igualdades são verdadeiras. 
a) 
 

3
ok
2 )7k(
 = 42 
 b) 


4
2i 1i
i
 = 29/6 
 c) 
 

2
1j
2 )1jj(
 = 6 
2) Sejam os valores de 
ix
 e 
if
 dados pela tabela 
ix
 
1 2 3 4 5 6 7 Determinar: 
if
 
2 3 5 7 4 3 1 
a)
xi
i = 1
7

 b) 

7
1 = i
if
 
 
A resolução é mais simples se montarmos a tabela na forma indicada e na última linha colocamos a 
soma das colunas. 
 
ix
 
if
 
 1 2 
 2 3 
 3 5 
 4 7 
 5 4 
 6 3 
 7 1 

 
 
Definição de média aritmética 
Média Aritmética, ou média de um conjunto de n números 
1 2, ,...., nx x x
é representada por 
x
 (leia-se “x 
barra”) e é definida por: 1 2 1...
n
i
n i
x
x
n n
x x x    
 
 
Exemplo 16: 
Sejam as notas obtidas por um aluno de matemática 
9x ,5x ,6x ,4x 4321 
, determinar a média 
x
. 
A média é dada por 
 
 16 
 
x
4
 = 1 1 2 3 4 4 6 5 9 24 6
n n 4 4
i
i
x
x x x x     
    
 
Quando 
ix
 apresentar elementos repetidos, a média aritmética dos valores de x é dada por: 
 1 
n
n
i i
i
x f
x 

 ou por comodidade, deixaremos de colocar os índices do somatório e 
escrevemos: 
 
n
i ix f
x 
 
Voltando ao item b) do nosso problema, segue a tabela de notas dos alunos 
 
ix
 
if
 
i ix f
 
4 2 8 
5 4 20 
6 8 48 
7 4 28 
8 2 16 

 20 120 
 
 
n
i ix f
x 
 =120
6
20

. Portanto, a média aritmética é 6. 
6.2. Média Aritmética Ponderada 
 Se os números ocorrem f1, f2, f3, ..., fn vezes, respectivamente, isto é, ocorrem para cada número uma 
frequência f1, f2, f3, .......fn , a média aritmética será definida por: 
 
 
n
i ix f
x 
 
Exemplo 17: 
 Se o exame final de um curso tem peso 3 e as 2 provas mensais peso 1, um estudante que obteve 70 e 90 
pontos nas provas e 85 no exame final, então a média é dada por: 
            1 . 70 1 . 90 3 . 85
83 pontos.
1 1 3
x
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 02: 
 
Calcular a média aritmética simples ou ponderada. 
 
1) Notas na disciplina de Economia. 
 3; 5; 7; 6; 4; 2; 5; 2; 4; 5; 7; 6; 4; 6; 2; 3; 7 e 5. 
 
 
 
 17 
 
2) Notas na disciplina de estatística. 
 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 e 8. 
 
 
 
3) Medidas de diâmetros de parafusos. 
 1,2; 1,4; 1,4; 1,4; 1,6; 1,6; 1,6; 1,6; 1,6; 1,8; 1,8; 1,8; 1,8; 2 e 2. 
 
 
 
 
 
6.3. Mediana - Md(X) 
 A mediana é outra medida de posição central de uma variável. Dados um conjunto de números 
ordenados em ordem crescente a mediana é o valor central. 
Exemplo 18: 
 O conjunto dos números 3,4,4,5,6,8,8,8,10 tem mediana Md(X) = 6, pois, ocupa a 5ª posição. 
 Se o número de observações é ímpar, então para localizar a mediana é só aplicar a fórmula 
1
2
n 
, 
portanto, Md(X) é o elemento que ocupa a posição 
1
2
n 
. 
 Se o número de observações é par, então a mediana ocupa dois elementos centrais: Md1(X) é o 
elemento que ocupa a posição 
2
n
 e Md2(X) é o elemento que ocupa a posição 
1
2
n

. Uma vez obtidos esses 
valores, a mediana é definida como a média aritmética Md (X)=
1 2
2
Md Md
 
Exemplo 19: 
 No conjunto dos números 5,5,7,9,11,12,15,18 determinar a mediana. Como n é par procuramos os 
elementos que ocupam a posição 
8
4º
2 2
n
 
, Md1(X)=9 e 8
1 1 5º
2 2
n
   
, Md2(X)=11. Assim, a mediana é 
definida por: 
 Md(X) =
10
2
119


 
6.4. Moda - Mo(X) 
 A moda é outra medida de posição central, sendo o valor que ocorre com maior frequência na 
distribuição. Se dois valores tem maior frequência então a distribuição é bimodal. No exemplo 19 acima 5 
representa a moda. 
 
6.5. Separatrizes 
 Separatriz de um conjunto de dados ordenados em ordem crescente ou (decrescente) é o elemento da 
série dos dados que divide em partes. 
 
 As principais separatrizes são: A mediana, os quartis, os decis e os percentis. 
 
 
 18 
 Os quartis, decis e percentis são as separatrizes que dividem a série respectivamente em quatro, dez e 
cem partes iguais. 
 
 A mediana é uma separatriz que divide a série em duas partes iguais. 
 
 Os quartis dividem a série em quatro partes iguais e são representados por: 
1 2 3, e q q q
, sendo 
denominados, respectivamente, primeiro, segundo e terceiro quartil, sendo o valor 
2q
= Md(X). 
 Os decis são os valores que dividem a série de dados em dez partes iguais e são representados por 
1 2 9, ,...,d d d
. 
 Percentis. Da mesma forma como estudamos mediana, quartis e decis, os valores que dividem a série 
em 100 partes iguais denominam-se percentis e são representados por 
1 2 99, ,...,p p p
. 
 
Notação: 
Quando escrevemos 
( )ip Q
 indicamos a posição do quartil 
iq
. 
Quando escrevemos 
( )ip D
 indicamos a posição do centil 
id
. 
Quandoescrevemos 
( )ip P
 indicamos a posição do percentil 
ip
. 
 
Exemplo 20: 
 Determinar os quartis para a amostra A: 6, 8, 4, 3, 9, 8, 5, 4, 7, 5, 8, 2, 7, 8 e 4. 
Solução: Colocando os valores da amostra em ordem crescente, tem-se: 
 
2 3 4 4 4 5 5 6 7 7 8 8 8 8 9 
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 
 
O número de elementos n é ímpar, logo 
Primeiro quartil é o elemento que ocupa a posição: 
 
1
15 1
( ) .1
4
p Q


= 4º elemento, portanto, 
1 4q 
. 
Segundo quartil é o elemento que ocupa a posição: 
 
2
15 1
( ) .2
4
p Q


= 8º elemento, portanto, 
2 6 ( )q Md X 
. 
Terceiro quartil é o elemento que ocupa a posição: 
 
3
15 1
( ) .3
4
p Q


= 12º elemento, portanto, 
3 8q 
. 
Decis. Para determinarmos o decil quando n é ímpar devemos utilizar o seguinte procedimento. 
O i-ésimo decil ocupa a posição: 
 
 
( )ip D
=
( 1)
.
10
n
i

, assim o 7º decil ocupa a posição 
( )ip D
 = 
( 1)
.7
10
n 
 
 
Exemplo 21: 
 A tabela apresenta uma amostra de 36 elementos. Determinar: 
 a) Mediana. 
 b) Quartis. 
 c) 4ºDecil. 
 
 
 
 19 
Da tabela escrevemos 
xi fi fac 
 5,01 4 4 
7,03 7 11 
9,05 11 22 
11,07 8 30 
13,09 6 36 
 36 
 
Mediana: como n =36 (par) temos dois valores centrais 
18º sendo 
1( )Md X 
9,05 e 19º como 
2 ( ) 9,05Md X 
, logo, a 
mediana é 
( ) 9,05Md X 
. 
Quartil: 
1
36
( ) .1 9º
4
p Q  
e 10º elementos, logo
1 7,03q 
 
2
36
( ) .2 18º
4
p Q  
e 19º elementos, logo, 
2 9,05q 
 
3
36
( ) .3 27º
4
p Q  
e 28ºelementos, logo, 
3 11,07q 
 
Decil: 
4
36
( ) .4 14,4 14º
10
p D   
 e 15º elementos, logo, 
4 9,05d 
 
 
 
Observação1: De maneira análoga são obtidas as soluções para os percentis. 
 
7. Box Plot ou diagrama de caixa 
 
 O gráfico denominado Box plot é obtido por meio dos quartis. Obtidos os quartis 
1 2 3, e q q q
, determinamos a amplitude interquartílica, definida por: 
3 1,qI q q 
isto é, a distância entre o maior 
e o menor quartil. O quartil 
2q
 ou mediana fica representado no 
interior da caixa. 
 
 
 O extremo inferior da cauda é denominado limite inferior e é determinado por 
1 1,5 qLI q I 
 e o limite 
superior 
3 1,5 .qLS q I 
Os valores que se situam fora dos limites da distribuição são denominados outliers. 
 Utilizando os dados do exemplo 20 temos: 
1 7,03q 
, 
2 9,05q 
e 
3 11,07q 
. Nesse caso o intervalo 
interquartílico é dado por 
3 1 11,07 7,03 4,04qI q q    
 e tem como limites: 
 
1 1,5 qLI q I 
=7,03-1,5.(4,04)=0,97. 
 
3 1,5 qLS q I  
11,07+1,5.(4,04)=17,13. 
 
O gráfico Box plot é dado por: 
 
1 7,03q 
 
2 9,05q 
 
3 11,07q 
 
 
 LI=0,97 L S=17,13 
 
 
 
 
 20 
8. Medidas de dispersão 
 
Quando propusemos substituir todas as notas perdidas pelo professor pela nota (média) 
6x 
, os alunos 
cujas notas eram superiores à média 6 reclamaram, porém, os de notas inferiores não. Na ótica do professor 
atribuir nota 6 a todos os alunos não mostra a performam-se da turma, pois todos recebem a mesma nota, mas 
ao atribuir as notas verdadeiras se observa a variabilidade da turma. 
Estudemos a variabilidade para as amostras que seguem: 
Amostra A: 2,3,4,8,9,10 com seis elementos e tem média 
6x 
 
 
Amostra B: 5,5,6,6,7,7 com seis elementos e tem média 
6x 
. 
Adotando a média como o valor mais representativo da distribuição, observamos que os valores da amostra 
A estão mais dispersos em relação à média, enquanto a amostra B os valores estão mais próximos da média. As 
medidas que avaliam dispersão são denominadas de desvios. 
 
8.1 Desvio médio: dm(X) 
 
Definimos desvio com o resultado da diferença entre o valor de cada observação e o valor da média. 
Observação 2: 
 1) A soma dos desvios calculados em relação à media é sempre igual a zero, isto é, 
( ) 0ix x 
 
2) Como a soma é sempre nula tomamos cada parcela da soma em módulo e definimos desvio médio da 
amostra em relação à média por: 
| |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
8.2 Variância ou desvio quadrático médio da amostra 
 
 Outra maneira para calcular o desvio é elevar ao quadrado cada uma de suas parcelas, pois, teremos 
também soma diferente de zero, dessa maneira definimos desvio quadrático médio ou variância por: 
 2
2
( )
( ) ar( )
i ix x f
S X V X
n

 
 
8.3 Desvio padrão da amostra 
 
 Sendo a variância uma medida de dimensão igual ao quadrado da dimensão dos dados, isso pode causar 
problemas de interpretação, portanto, costuma-se usar o desvio padrão que é definido como raiz quadrada da 
variância. Utilizamos dois tipos de desvios padrões: 
a) Desvio padrão da amostra: 2( )
( ) ar( )
i ix x f
S X V X
n

 
 
b) Desvio padrão da amostra: dp(X)= 2( )
ar( )
1
i ix x f
V X
n



(Essa definição é a mais usada) 
 
 
 21 
Observação 3: Para valores de n grandes é indiferente o uso de uma ou outra fórmula. 
 
Exemplo 22: 
 Dar as medidas de tendência central e as de dispersão para as amostras A e B. Resolução: Montando 
primeiramente a distribuição para os valores da tabela A, segue: 
 
xi fi xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )
i
x x
 fi 
2 1 2 4 4 16 
3 1 3 3 3 9 
4 1 4 2 2 4 
8 1 8 2 2 4 
9 1 9 3 3 9 
10 1 10 4 4 16 

 6 36 18 58 
 
Com o uso das fórmulas dadas calculamos os valores desejados: 
a) Média: 36
6
6
i ix f
x
n
  
 
 b) Desvio médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 18
3
6
 
 
 c) Desvio quadrático médio ou variância da amostra: 
 2( )
ar( )
1
i ix x f
V X
n



 58
11,6
5
 
 
d) Desvio padrão da amostra: 
dp(X)= 2( )
ar( )
1
i ix x f
V X
n




11,6 3,40587 
 
 Para a amostra B, tem-se: 
 
xi fi xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2|| xxi 
 fi 
5 2 10 1 2 2 
6 2 12 0 0 0 
7 2 14 1 2 2 

 6 36 4 4 
 
 
 22 
Como fizemos para a amostra A, calculamos com o uso das fórmulas os valores: 
 
a) Média. 
 
36
6
6
i ix f
x
n
  
 , logo, se vê que a média das duas amostras são iguais. 
 b) Desvio médio 
 | |
( )
i ix x f
dm X
n


 4
0,7
6
 
, valor bem menor que da amostra A igual a 3. 
c) Desvio quadrático médio ou variância da amostra 
 2
2
( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 

4
0,8
5
 
 
d)Desvio padrão da amostra 
 
 2( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 

 
0,8 0,894 
. 
Conclusão: 
 Comparando as duas amostras tem-se que os valores obtidos pelo desvio padrão são: da amostra A, (
( ) 3,40587S X 
) e da amostra B, (
( ) 0,894S X 
). Assim concluímos que a amostra A tem maior dispersão 
que a amostra B, isto é, os valores da amostra B estão mais próximos da média. 
 
9. Coeficiente de Variação de Pearson 
 
O coeficiente de Variação de Pearson mede a dispersão em relação à média e é dado 
 por: 
( )
( )
dp X
CV X
x

=
desvio padrão
médiaA maior utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação da variabilidade de diferentes 
distribuições. Se o valor obtido for menor que 20%, dizemos que a distribuição pode ser considerada 
homogênea. 
 
 Se 
( ) 15%CV X 
 tem-se baixa dispersão. 
 
Se 
15% ( ) 30%CV X 
 tem-se média dispersão. 
 
Se 
( ) 30%CV X 
 tem-se elevada dispersão. 
 
Exemplo 23: 
 Utilizando os dados do exemplo anterior, determinar o coeficiente de Variação de Pearson: 
Para a amostra A, segue 
( )
( )
dp X
CV X
x

=
3,40587
0,5676 56%
6
 
 
 
 23 
 
Para a amostra B, segue 
( )
( )
dp X
CV X
x

=
0,894
0,149 15%
6
 
, o que mostra que a amostra B é mais 
homogênea que A. 
 
 
Exemplos usando a distribuição de frequência na Variável Discreta 
 
 
Exemplo 24: 
 Com o uso da tabela que segue, determinar as medidas de tendência central e as de dispersão. 
a) Média 
b) Moda 
c) Mediana 
d) Desvio Médio 
e) Variância 
f) Desvio Padrão 
g) Gráfico de frequência absoluta e gráfico da frequência acumulada 
 h) Coeficiente de variação 
 
5,01 5,01 5,01 5,01 7,03 
7,03 7,03 7,03 7,03 7,03 
7,03 9,05 9,05 9,05 9,05 
9,05 9,05 9,05 9,05 9,05 
9,05 9,05 11,07 11,07 11,07 
11,07 11,07 11,07 11,07 11,07 
13,09 13,09 13,09 13,09 13,09 
13,09 
 
 Com os valores dados construímos a distribuição de frequência e calculamos as medidas com uso da 
tabela que segue. 
 
xi fi xi fi fac 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )
i
x x
fi 
5,01 4 20,04 4 4,32 17,28 74,6842 
7,03 7 49,21 11 2,30 16,11 37,0622 
9,05 11 99,55 22 0,28 3,09 0,8686 
11,07 8 88,56 30 1,74 13,91 24,1930 
13,09 6 78,54 36 3,76 22,55 84,7805 
 36 335,90 72,94 221,5885 
 
Usando os valores determinados na tabela temos: 
 
 24 
 
a) Média. (Tomamos a média com uma casa decimal a mais que xi ) 
 
335,9
9,331
36
i ix f
x
n
  
 
b) Moda 
 O elemento de maior frequência na tabela é a moda: 
( ) 9,05Mo X 
 
c) Mediana se n é par, então 
0
1
0
2
18 .......... 9,05
2
1 19 ..... 9,05
2
n
Md
n
Md
 
  
portanto, 
( )Md X 
9,05 
d)Desvio médio 
 | |
( )
i ix x f
dm X
n


 72,94
2,03
36
 
 
e) Desvio quadrático médio ou variância 
 
 2( )
ar( )
1
i ix x f
V X
n



 221,5885
6,3311
35
 
 
f) Desvio padrão 
 2( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 


6,3311 2,516168 
 
Se a distribuição de frequência tem a forma de um sino e é simétrica, então aproximadamente 68% das 
medições estão contidas no intervalo 
] ( ), ( )[x S X x S X 
. 
 
 
 
g) Gráfico da frequência absoluta 
 
 
 
 
 
 
5,01 7,03 9,05 11,07 13,09
8
10
7
5
4
9
6
3
2
1
0
fi
xi
11
 
 25 
h) Coeficiente de variação 
 
 
( )
( )
dp X
CV X
x

=
2,516168
9,331
=0,2696568
27%
(não é homogênea, e tem média dispersão ) 
 
Exercícios Aplicativos 03: 
 
Exercício 1: 
 
A tabela apresenta as notas de matemática da primeira prova bimestral, determinar 
a) as medidas de tendência central e as de dispersão. 
 b) gráfico da frequência. 
 
 6 7,5 8 8,5 6,5 7,5 8 7,5 9,5 6 
7 7 7 9 7 9,5 7 6 7 7 
8 8,5 7,5 5,5 7,5 7 5,5 7 7 8 
6,5 7,5 9 6,5 8,5 7,5 6,5 9,5 8,5 8 
 
 
xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
1) Média: 


n
fx
x
ii
 
 
2) Moda: 
( )Mo X 
 Mediana: 
( )Md X 
 
 
 
 26 
3) Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
4) Desvio quadrático Médio ou variância: 
 
 
2 ( )S X 
2
( )
1
i i
x x f
n



 
 
 
5) Desvio Padrão: 
 
 dp(X) = 2( )
( ) ( )
1
i ix x f
S X Var X
n

 

 
 
 
6) Coeficiente de variação. 
 
 
 
 
7) Construir o gráfico da frequência e representar a média e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Construir o gráfico da frequência acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
Exercício 2: Foram coletados os seguintes dados de uma pesquisa, determinar as medidas de tendência central 
e as de dispersão. 
 1,2 – 1,8 – 2,0 – 1,4 – 1,6 – 1,8 – 1,4 – 1,8 – 2,0 – 1,6 –1,6 – 1,2 – 1,6 – 1,8 –1,4 – 
 1,6 – 1,8 – 1,4 – 2,0 – 1,4 – 1,8 – 1,6 – 1,2 – 1,6 – 2.0 –1,4 – 1,6 – 1,6 –1,4 
 
xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
fi 
 
 
 
 
 
 

 
 
1) Média: 


n
fx
x
ii
 
 
2)Moda: 
( )Mo X 
 3) Mediana: 
( )Md X 
 
 
4)Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
 
5)Desvio quadrático Médio ou variância: 
 
 
2 ( )S X 
2
( )
1
i i
x x f
n



 
 
 
6)Desvio Padrão: 
 
 dp(X) = 2( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 

 
 
 
7) Coeficiente de variação 
 
 
 
 
 
 28 
 
8) Construir o gráfico da frequência e representar a média e o desvio padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: Idem. Dada a tabela, determinar as medidas de tendência central e as de dispersão. 
 
22,3 23,0 22,3 21,0 22,3 22,4 
23,2 23,0 20,1 23,5 23,0 23,5 
21,0 23,2 22,3 23,2 22,3 23,0 
22,3 22,4 21,0 22,3 23,5 23,0 
22,4 22,3 23,0 23,0 22,4 21,0 
 
 
xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
fi 
 
 
 
 
 
 
 

 
1) Média: 


n
fx
x
ii
 
 
 
 29 
 
2)Moda: 
( )Mo X 
 
 
 
3) Mediana: 
( )Md X 
 
 
 
4)Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
 
5)Desvio quadrático Médio ou variância: 
 2( )
ar( )
1
i ix x f
V X
n



 
 
 
 
6)Desvio Padrão: 
 
 
2( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 

 
 
 
 
7) Coeficiente de variação 
 
 
 
 
8) Construir o gráfico da frequência e representar a média e o desvio padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
 10. Distribuições de frequência na variável contínua 
 
A variável contínua é na maioria das vezes obtida por meio de medidas, e os dados têm frequência 
absoluta praticamente unitária (os dados são quase todos distintos) e neste caso, a tabela de distribuição se 
torna longa, trabalhosa e pouco eficiente, desta maneira se usa a distribuição na variável contínua. 
Exemplo 25: 
O professor de Educação Física do Colégio Estadual João Felipe, coletou as idades de seus alunos e as 
apresentou por meio da tabela. 
 
15,6 7,8 13,8 5,1 12,4 9,5 12,2 10,3 13,8 5,5 
7,7 6,5 6,4 10,0 2,2 9,3 6,4 10,0 8,5 13,111,8 12,7 15,5 2,7 6,4 6,8 5,1 11,2 16,6 3,6 
8,3 12,4 6,4 7,2 10,5 4,7 14,0 17,0 6,8 15,1 
12,2 13,2 4,7 8,4 14,1 10,8 17,0 14,0 13,1 10,7 
9,8 6,2 7,7 9,0 17,0 12,2 9,0 12,1 9,8 6,2 
8,7 6,5 13,7 11,8 7,7 15,5 5,7 5,1 10,2 7,7 
5,9 3,9 3,3 12,2 8,4 9,3 16,6 3,7 9,4 12,2 
14,0 6,9 10,8 8,5 6,4 8,6 10,0 10,0 10,9 9,3 
17,0 10,9 12,7 14,0 15,6 11,2 15,6 12,4 6,4 9,4 
 
 Essa tabela nos diz que seus elementos são quase todos distintos, portanto, trata-se de uma variável 
contínua. Neste caso trabalharemos com dados agrupados e seguiremos os seguintes passos para o estudo dessa 
distribuição. 
 10.1. Amplitude da amostra 
 A amplitude da amostra é dada pela diferença entre as observações de maior valor numérico e a de 
menor valor, neste caso
max minR x x 
= 17,0-2,2=14,8. 
10.2. Número de classes 
 Queremos dividir R = 14,8 em classes, todas com mesma amplitude. Não existe regra única para 
escolher o número destas classes, é recomendável que se n é o número de 
elementos da amostra, então o número de classes K é dado por: 
a) Critério da raiz: 
[ ]K n
, sendo K o maior número inteiro menor ou igual a 
n
 ou 
 
 31 
b) Critério de Sturges: K 
1 3,322logn 
, sendo K o maior número inteiro menor que 
1 3,322logn
. Por 
simplicidade adotaremos o critério da raiz, logo 
[ ]K n
=
[ 100] 10
 
10.3. Amplitude de cada classe 
 A amplitude de cada classe é dada por: 
14,8
1,48
10
R
r
K
  
. Os limites das classes devem ser 
escolhidos de modo que cada um dos valores pertença somente a uma classe, se o valor coincidir com o extremo 
da classe, ele deve ser contado como elemento da classe posterior, com exceção da última classe. Definindo xi 
como ponto médio da classe, isto é, a soma do limite superior da classe com o limite inferior da classe dividindo 
por 2 e fazendo a contagem dos elementos (idades dos alunos) em cada classe, segue a tabela. 
classes 
xi fi xi fi 
acf
 || xxi 
 
|| xxi 
 fi 2
( )
i
x x
 fi 
2,20 |— 3,68 2,94 4 11,76 4 6,882 27,528 189,447696 
3,68 |— 5,16 4,42 7 30,94 11 5,402 37,814 204,271228 
5,16 |— 6,64 5,90 13 76,70 24 3,922 50,986 199,967092 
6,64 |— 8,12 7,38 9 66,42 33 2,442 21,978 53,670276 
8,12 |— 9,60 8,86 15 132,90 48 0,962 14,430 13,881660 
 9,60 |— 11,08 10,34 14 144,76 62 0,518 7,252 3,756536 
11,08 |— 12,56 11,82 13 153,66 75 1,998 25,974 51,896052 
12,56 |— 14,04 13,30 12 159,60 87 3,478 41,736 145,157808 
14,04 |— 15,52 14,78 4 59,12 91 4,958 19,832 98,327056 
15,52 |—| 17,00 16,26 9 146,34 100 6,438 57,942 373,030596 
 

 100 982,20 305,47 1333,4060 
Completada a tabela podemos calcular 
 
a) Média (Adotamos a média com uma casa decimal a mais que xi ) 
 982, 2
9,822
100
i ix f
x
n
  
 
 
c) Moda: Classe modal é a classe de maior frequência 8,12 |— 9,60. 
 
Utilizamos para a determinação da moda a fórmula de Czuber, a qual é obtida por semelhanças de 
triângulos. 
 
 32 
 
 
Fórmula de Czuber: 
( )Mo X
 
Os triângulos AOB e COD são semelhantes, então 
H AB
h CD

ou 
H AB
H h AB CD
 
 
1
1 2
MoMo l
r
 

  
 
H: altura do triângulo AOB. 
h: altura do triângulo COD. 
mol
: limite inferior da classe modal. 
r
: amplitude da classe modal. 
1
: diferença da frequência superior e da inferior da 
classe que antecede a classe modal. 
2
: diferença da frequência superior e inferior da 
classe posterior da classe modal. 
 
 
Substituindo os valores em 
1
1 2
moMo l
r
 

  
, segue 
8,12 6
1,48 6 1
Mo 


 e o valor da moda é 
( )Mo X
= 8,12 +1,2685 = 9,3885 
 
c) Mediana 
 
 O cálculo da mediana para a variável contínua difere do modelo de variável discreta, neste caso a 
mediana esta localizada na classe mediana, porém, o valor do elemento da série não é identificável. 
 Sabemos que a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma distribuição ordenada. Se o 
número de elementos for ímpar, então a mediana é o elemento que ocupa a posição
1
2
n 
. Voltando ao 
exemplo verificamos que o número de elementos é par, logo 
se n é par, então a mediana ocupa a posição 
100
50º
2 2
100
1 1 51º
2 2
n
n

 

    

 e, devemos encontrar o elemento que 
ocupa 
0(50,5)
. Tomamos para isso a classe mediana e os elementos da frequência acumulada anterior e 
posterior do elemento
0(50,5)
. Usando semelhança de triângulos podemos escrever: 
 
classes
r
Mo


2
1
9
14
15
6,64 8,12 9,6 11,08
fi
C
0
A
B
D
 
 33 
 
 Os triângulos ABC e ADE são 
semelhantes, então 
AC BC
AE DE

, 
substituindo, segue: 
 
9,6 50,5 48
11,08 9,6 62 48
9,6 2,5
1, 48 14
Md
Md
 

 


 
 
9,6 (1,48 2,5) :14
( ) 9,8642857
Md
Md X
   

 
 
d) 1º quartil 
 A determinação do 1º quartil se faz analogamente à mediana, determinamos primeiramente a posição 
1( )p Q
e como o número de elementos é par segue: 
 
100
.1 25º
4 4
100
.1 1 1 26º
4 4
n
n

 

    

 , assim, devemos 
determinar 25,5 e a classe do 1º quartil é 
[6,64;8,12]. De maneira semelhante a 
construção da mediana, segue 
1 6,64 25,5 24
8,12 6,64 33 24
q  

 

1 6,64
1.48
q 

1,5
0,1666
9
 
 então o 1º quartil é 
1 6,886568q 
 
 
Observação 4:Analogamente encontramos o 2º e 3º quartil. 
e) Desvio médio 
 | |
( )
i ix x f
dm X
n


 305,472
3,05472
100
 
 
 
f) Desvio quadrático médio ou variância 
 S(X)= 2( )
ar( )
1
i ix x f
V X
n



 1333,4059
13,468746
99
 
 
g) Desvio padrão 
 dp(X)= 2( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 


13,46874717 3,669979179 
 
A
B
C
D
E48
50,5
62
9,6 11,08Md
classes
f
ac
classes
f
ac
24
25,5
33
6,64 8,12
A
B
C
D
E
q
1
 
 34 
h) Gráficos. O gráfico da frequência é denominado histograma e é representado por barras e ligando os pontos 
médio das classes tem-se o polígono de frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios aplicativos 04: 
 
Exercício 1: 
A experiência com trabalhadores de uma indústria indica que o tempo requerido em minutos para que 
um operário aleatoriamente selecionado realize uma tarefa, esta indicado na tabela. Montar a tabela e 
determinar o que se pede: 
31 29 20 31 22 22 32 41 21 29 30 25 35 40 31 
32 21 36 38 39 32 21 36 38 39 28 36 23 36 31 
27 41 29 22 41 25 40 37 24 27 34 37 28 28 31 
36 20 30 22 35 24 25 23 33 34 32 27 28 34 30 
 
1) Amplitude da Amostra: R = xmax - xmin = 
 
 
2) Número de Classes: K =[ n ] = 
 
 
3) Amplitude da Classe: r = R/K = 
 
 






















xi
fi
 
2,20 3,68 5,16 6,64 8,12 9,60 11,08 12,56 14,04 15,52 17,00
classe
0
mo
Histograma
com
Moda, Média, e Mediana
 
 35 
classes xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )
i
x x
 fi 
 
 
 
 
 
 
 

 
4)Média: 


n
fx
x
ii
 
 
5)Moda: 
( )Mo X 
 
 
 
 
 
 6) Mediana:( )Md X 
 
 
 
 
 
 
 
7)Desvio Médio: | |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
 
 
8)Variância : 
2 ( )S X 
2( )
1
i ix x f
n



 
 
 
9)Desvio Padrão: 
 dp(X)= 2( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 

 
 
 
10) Coeficiente de variação: 
 
 
 
 36 
11) Construir o Histograma e o polígono da frequência e representar a média e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2: Foram coletados os dados de uma pesquisa e obteve-se a distribuição na variável contínua. 
Determinar o que se pede. 
classes xi fi fac xi fi 
|| xxi 
 
|| xxi 
 fi 
2( )ix x
fi 
2,1 |—— 3,1 3 
3,1 |—— 4,1 7 
4,1 |—— 5,1 10 
5,1 |—— 6,1 6 
6,1 |—— 7,1 3 

 
 
1) Média: 


n
fx
x
ii
 
 
2) Moda: 
( )Mo X 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Mediana: 
( )Md X 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
4) Desvio Médio: 
| |
( )
i ix x f
dm X
n


 
 
 
5)Variância : 
 
 
2 ( )S X 
2
( )
1
i i
x x f
n



 
 
 
6)Desvio Padrão: 
 
 dp(X) = 2( )
( ) ar( )
1
i ix x f
S X V X
n

 

 
 
 
 
7) Coeficiente de variação: 
 
 
 
 
8) Construir o Histograma e o polígono de frequência e representar a média e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
Exercícios aplicativos 05: 
 
1. A tabela a seguir apresenta as notas 
ix
 e as frequências 
if
 obtidas pelos alunos na prova de geografia. A 
partir destes dados podemos dizer que 
 
ix
 
if
 
i ix f
 
5 2 
6 4 
7 8 
8 4 
9 2 
 
 
(A) A moda corresponde a nota 8. 
(B) A mediana corresponde a nota 8. 
(C) A média é 7. 
(D) A quantidade de alunos da amostra é 5. 
(E) nda. 
2. Seja a amostra X: 4,5,5,3,3,5,7,6,6,7,8,8, então sua mediana é dada por 
 
 
 
 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 5,5 
(D) 6,5 
(E) nda 
3. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta as classes e suas respectivas 
frequências. Nestas condições podemos dizer que a mediana é 
 
classes 
if
 
0 |—— 2 3 
2 |—— 4 7 
4 |—— 6 10 
6 |—— 8 6 
8 |—— 10 3 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
 
 39 
4. Sejam as seguintes informações das amostras; 
Amostra A tem média 6 e desvio padrão 1 e a amostra B tem média 6,5 e desvio padrão 0,5. Então 
podemos afirmar que 
 
 
 
 
 
 
(A) A amostra A tem menor dispersão que a amostra B 
(B) A amostra A tem maior dispersão que a amostra B 
(C) As duas amostras têm a mesma dispersão 
(D) Não da para comparar as duas amostras quanto a dispersão 
(E) nda 
5. Após a análise dos dados de uma amostra, segue a representação gráfica da distribuição na forma de Box 
plot, sendo 
1 2 3, eq q q
 os seus quartis. Então a distribuição é 
 
(A) Simétrica à direita (B) Simétrica à esquerda 
(C) Assimétrica positiva (D) Assimétrica negativa 
(E) nda 
6. A tabela a seguir apresenta o número de acidentes por dia (
ix
) em uma rodovia, durante os primeiros 23 
dias do mês de janeiro de 2015. 
 
ix
 
if
 
0 9 
1 7 
2 5 
3 2 
 
 
A partir destes dados afirmamos que 
(A) o primeiro quartil é de 1 acidente por dia. 
(B) a moda é de 9 acidentes por dia. 
(C) a mediana é de 2 acidentes por dia. 
(D) a média é de 1 acidente por dia. 
(E) o terceiro quartil é de 3 acidentes por dia. 
 
 
 
 40 
7. A tabela a seguir representa uma distribuição na variável discreta e seus quartis 
1 2 3
, eq q q
 são 
respectivamente 
ix
 
if
 
2 5 
5 1 
8 7 
10 2 
12 4 
 
 
 
 
(A) 5, 8 e 10 (B) 1, 7 e 13 (C) 2, 8 e 10 (D) 2, 8 e 12 (E) 2, 5 e 12 
8. Após a análise dos dados de uma amostra que tem distribuição na variável discreta, obtiveram-se os 
seguintes valores para os quartis: 
1 2 3
3, 8 e 10q q q  
. Nestas condições a distribuição é 
 
 
(A) Simétrica. 
(B) Assimétrica negativa. 
(C) Assimétrica positiva 
(D) Assimétrica à direita 
(E) Não é Simétrica e nem Assimétrica 
9. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta as classes e suas respectivas 
frequências. Nestas condições dizemos que a mediana é 
 
classes 
if
 
2,1 |—— 4,1 5 
4,1 |—— 6,1 9 
6,1 |—— 8,1 14 
8,1 |—— 10,1 9 
10,1|—— 12,1 4 

 
 
 
 
 
 
 
(A) 6,1 
(B) 7,1 
(C) 7,3 
(D) 8,1 
(E) 10,1 
 
 41 
10. Se uma distribuição na variável contínua é perfeitamente simétrica (em forma de sino) em relação a 
média, então o intervalo 
[ , ]x x  
 contém aproximadamente 
(A) 95% dos elementos da distribuição. (B) 75% dos elementos da distribuição. 
(C) 68% dos elementos da distribuição. (D) 34% dos elementos da distribuição. 
(E) 14% dos elementos da distribuição 
11.Se uma variável X tem 
10 e ( ) 2x S X 
 e uma variável Y tem 
10 e ( ) 5y S Y 
, então 
 
 
(A) X tem maior dispersão que Y. 
(B) Y tem maior dispersão que X. 
(C) as duas variáveis têm a mesma dispersão. 
(D) não é possível comparar as duas variáveis. 
(E) X tem dispersão infinita. 
12.Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos: 
 (A) A mediana. 
 (B) O desvio padrão. 
 (C) A moda. 
 (D) A média geométrica. 
 (E) A variância. 
13. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre: 
(A) o desvio padrão e a variância. 
(B) o desvio padrão e a mediana. 
(C) o desvio padrão e a moda. 
(D) o desvio padrão e o terceiro quartil. 
(E) o desvio padrão e a média. 
14. A tabela a seguir apresenta as notas 
ix
 e as frequências 
if
 obtidas pelos alunos na prova de matemática. A 
partir destes dados podemos dizer que 
ix
 
if
 
1 6 
3 3 
5 5 
7 10 
9 7 
 

 
(A) A moda corresponde a nota 9. (B) A mediana corresponde a nota 5. 
(C) A média é 5,6. (D) A quantidade de alunos da amostra é 10. 
(E) A soma de todas as frequências é 30. 
 
 
 42 
Exercícios aplicativos 06: 
 
1. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta as classes e suas respectivas 
frequências. Nestas condições, podemos dizer que a média será: 
 
Classes 150 a 200 200 a 250 250 a 300 300 a 350 350 a 400 400 a 450 450 a 500 
if
 5 16 21 28 19 8 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 352 (B) 353 (C) 315 (D) 314 (E) 313 
 2. A tabela a seguir apresenta as notas atribuídas aos ginastas de uma modalidade esportiva. 
ix
 
if
 
4,0 6 
4,2 5 
4,4 9 
4,6 6 
4,8 4 
 
 
 
A partir destes dados afirmamos que 
(A) o primeiro quartil é de 3,9. (B) a moda é de 9. 
(C) a mediana é de 4,5. (D) a média é 4,38. (E) o terceiro quartil 4,7. 
 
3. Os dados que seguem representam o índice de precipitação pluviométrica em uma cidade noano de 
2014. 
Meses Janeiro Fevereiro Março Abril 
Índices (mm) 68,5 35,1 332,2 92,8 
 
Assim, podemos dizer que os dados estão mais apropriados para o nível de medidas na variável 
(A) nominal. (B) ordinal. (C) intervalar. (D) de razão. (E) irracional. 
 
 43 
4. A experiência com trabalhadores de uma indústria indica o tempo em minutos requerido para que um 
operário realize uma tarefa. Segue tabela da distribuição na variável contínua dessa experiência. 
classes 
i
f
 
23 |— 26 6 
26 |— 29 7 
29 |— 32 11 
32 |— 35 8 
 
 
Nestas condições a moda obtida pela fórmula de Czuber é 
(A) 29,85 (B) 30,02 (C) 30,71 (D) 31,24 (E) 31,65 
5. Os alunos do terceiro ano do Ensino Médio do Colégio ABC apresentaram os seguintes resultados das 
avaliações em: 
Geografia: Média 5,0 e desvio padrão 1,6. 
Matemática: Média 6,4 e desvio padrão 1,5. 
Nessas condições podemos afirmar que 
 
 
(A) As notas de Geografia e Matemática apresentam baixa dispersão. 
(B) Só as notas de Matemática apresentam baixa dispersão. 
(C) As notas de Geografia apresentam alta dispersão. 
(D) As notas de Geografia apresentam menor dispersão que as de matemática. 
(E) Não é possível avaliar as notas usando o conceito de coeficiente de dispersão. 
6. A tabela a seguir apresenta as notas 
ix
 e as frequências 
if
 obtidas pelos alunos na prova de matemática. A 
partir destes dados podemos dizer que 
ix
 
if
 
2,5 3 
5,0 7 
6,5 10 
8,0 6 
10,0 5 
 
(A) A moda é10 (B) A mediana é 5 (C) A média é 6,63 (D) A quantidade de alunos da amostra é 30 (E) A 
soma de todas as frequências é 29. 
 
 44 
7. A tabela a seguir é uma distribuição na variável contínua e apresenta os dados de uma loja de presentes ao 
final da semana, contendo o número de clientes e seus gastos em presentes. Nestas condições podemos 
dizer que a moda segundo Czuber é 
 
classes 
if
 
 0 |—— 50 7 
 50 |—— 100 8 
100 |—— 150 10 
150 |—— 200 6 
200 |—— 250 4 
 
 (A) 116,6. (B)126,6. (C) 15,6. (D) 117,6. (E) 118,6. 
8. A tabela a seguir apresenta as idades dos alunos do primeiro ano de Administração. Nessas condições o 3º 
quartil é 
classes 
if
 
 17|—— 19 4 
19|—— 21 12 
21|—— 23 16 
23|—— 25 8 
25|—— 27 3 
 
(A) 23,20. (B) 23,25. (C) 23,45. (D) 23,55. (E) 23,65. 
9. A turma A de estatística I formada de 25 alunos tiveram média 7 na prova P1e a turma B formada por 30 
alunos tiveram média 6. Então a média combinada dos 55 alunos nas duas provas foi 
 
 
(A) 6,25. (B) 6,35 (C) 6,45 (D) 6,55. (E) 6,65 
10. Analise as afirmativas referentes a uma série na variável discreta ímpar de dados: 
I. A Moda sempre é um dos dados da série. 
II. A Média sempre é um dos dados da série. 
III. A Mediana sempre é um dos dados da série. 
Podemos afirmar que: 
(A) Somente a afirmativa II está correta. 
(B) Nenhuma afirmativa está correta. 
(C) Todas as afirmativas estão corretas. 
(D) Somente a afirmativa III está correta. 
 (E) Somente a afirmativa I está correta. 
 
 
 45 
11. Em recente pesquisa perguntou-se ao corpo discente qual o tempo semanal (em horas) destinado ao 
estudo extraclasse da disciplina Estatística I. As respostas forneceram um tempo médio de 5,5 horas e uma 
mediana de 6 horas. 
Podemos considerar que essa distribuição dos tempos é do tipo: 
 
(A) Simétrica negativa. 
(B) Assimétrica negativa. 
(C) Assimétrica positiva. 
(D) Desviada à direita. 
(E) Simétrica. 
12. Melhorar a infraestrutura é essencial para ter competividade e incentivar outros investimentos e permitir o 
crescimento do PIB. A tabela a seguir mostra a taxa de crescimento da infraestrutura no setor de geração de 
eletricidade (% a.a.). 
 
 anos 
if
 
1931 |—— 1950 4,5 
1951 |—— 1963 9,8 
1964 |—— 1980 9,8 
1981 |—— 1993 4,1 
1994 |—— 2002 3,8 
 
Nestas condições, o ano em que ocorreu a taxa média de crescimento da infraestrutura no setor de geração de 
energia foi 
(A) 1968. (B) 1972. (C) 1974. (D) 1976. (E) 1978.