CAP. 10 AJUST DE CURVAS REGRESSÃO LINEARdocx

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165 
 
CAPÍTULO 10 
 
AJUSTAMENTO DE CURVAS: REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO 
 
1. Introdução 
São muitas as pesquisas que investigam as relações entre duas grandezas. Assim, sempre 
indagamos como a variação de uma grandeza acarreta variação em outra. 
Nas tabelas abaixo, podemos investigar: 
a) O aumento da área agricultável de soja no Estado do Paraná acarreta aumento da produção de 
grãos? 
Área 2,0 1.8 2,0 2,1 2,3 2,5 2,8 2,8 
Produção 3,6 3,4 5,3 5,5 6,0 6,6 7,1 7,7 
 área: milhões de hectares e produção: milhões de toneladas 
 Fonte: Armário Brasileiro de Agribusiness 
 
b) O saldo da caderneta de poupança aumentou no período de março a setembro? (Bilhões de 
reais). 
 
meses março abril maio junho julho agosto setembro 
 valores 116,6 116,6 112,5 113,4 113,8 114,1 114,7 
 
c) Diminuindo a taxa de analfabetismo diminui a taxa de mortalidade infantil? 
Região Taxa de mortalidade infantil Taxa de analfabetismo 
Sul 22,5 8,3 
Sudeste 25,2 8,6 
Centro Oeste 25,4 12,4 
Norte 35,6 12,7 
Nordeste 59,0 29,4 
- Fonte: Ministério da Saúde - IBGE 
 
Para respondermos às perguntas formuladas em a, b e c, devemos conhecer os fenômenos que 
envolvem o problema e não somente os dados fornecidos. Assim é possível obter alguma previsão dentro 
de certas margens de erro. 
O modelo matemático que procura descrever a relação entre duas variáveis, em que se relacionam 
os n pares de pontos dados por uma reta tão próxima quanto possível do conjunto de pontos dados, 
denomina-se Regressão Linear. 
 
 
166 
 
 y y 
 
 
 
 
 
Os gráficos acima denominam-se diagramas de dispersão. 
O método usado denomina-se método dos mínimos quadrados e tem como resultado uma equação 
que descreve o relacionamento entre duas variáveis. 
 Observando o diagrama de dispersão é possível visualizar uma curva que se aproxima dos dados, a 
essa curva denominamos de ajustamento. 
 2. Regressão linear 
A regressão linear feita pelo método dos mínimos quadrados é aquela em que a soma quadrática 
da diferença entre os y dados pela tabela e os y obtidos pela reta seja mínima. 
Sejam os pontos 
     1 1 2 2, , , ,..., ,n nX Y X Y X Y
, sendo
iX
a variável independente e 
iY
 a variável 
dependente. Desejamos obter a reta y = a x + b com o uso do método dos mínimos quadrados. 
 
 
Para isso determinamos uma reta do tipo y = a x + b, em que a e b são dados pelo método dos 
mínimos quadrados proposto por Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), tais que 
2 2
1 1
ˆ( )
n n
i i i
i i
Y Y D
 
  
seja 
mínimo. Sendo 
ˆ
i i iD Y Y 
 , desvio ou erro ou resíduo, desvio de cada 
iY
 e o valor corresponde da 
reta y = a x + b. Sendo 
iY
 o valor observado da variável dependente para o i-ésima observação e 
 
ˆ
iY
 o valor estimado da variável dependente para o i-ésima observação. 
 
y=ax+b
x
y
x x 
1 1( , )X Y
2 2( , )X Y
3 3( , )X Y
( , )n nX Y
167 
 
Determinemos 
min
2 2 2
2
1
( ) min ( ... )
n
n
i i n
i
D D D D

   
min
2
1
ˆ( )
n
i i
i
Y Y


= 
min
2
1
[ ( ( )] 0,
n
i i
i
Y aX b

  
denominamos
2
1
( , ) ( )
n
i i
i
f a b Y aX b

  
função de duas 
variáveis. Neste caso devemos impor a condição para obter o mínimo e esta é dada por: 
 
0 0
f f
e
a b
 
 
 
, sendo as derivadas parciais da f em relação a a e b. Assim 
 
1
2 ( )( ) 0
n
i i i
i
f
Y aX b x
a 

     

 2
1 1 1
0
n n n
i i i i
i i i
b x a x x y
  
     
, segue 
 
1 1
n n
i i
i i
y bn a x
 
  
 (I) 
 
1
2 ( ) 0
n
i i
i
f
Y b aX
b 

    


1 1 1
1 0
n n n
i i
i i i
b a x y
  
     
, segue 
 
1
n
i i
i
x y

 2
1 1
n n
i i
i i
b x a x
 
 
(II) 
Resolvendo o sistema formado por (I) e (II) e por comodidade, deixamos de colocar os índices 
dos somatórios. 
 2
2
(II)
(I)
xy a x b x
y a x bn
  

 
  
 
Dividindo (II) por (I) segue: 
 y x
a b b y ax
n n
    
  substituindo em (II) obtemos 2 ( )xy a x y ax x    
, 
desenvolvendo e colocando a em evidência obtemos:
 
22
 . 
n xy x y
a e b y ax
n x x

  

  
 
Para se ter 
as condições de mínimo, devemos impor ainda: 
2
2
1
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
2
1
2 2
2 . 0 e 2 0
2
n
i
n
i
i
n
i
i
f
n
a
f f f f f
x n
a bb a b a
f
x
a b




 

    
     
    


 



. Essas condições satisfazem as soluções do 
sistema: 
 
 xay=b e 
xxn
yxxyn
=a
22


   sendo n é o número de observações e 
168 
 
 e 
x y
x y
n n
 
  médias aritméticas. Portanto, a reta y = a x + b nessas condições denomina-se 
reta dos mínimos quadrados ou reta regressão linear. 
Exemplo 1: Problema dos pesos dos pais e de seus respectivos filhos 
Uma clínica médica pesquisou o relacionamento dos pesos dos pais e dos filhos, os dois do sexo 
masculino, todos com idades superiores a 20 anos, e obteve a seguinte tabela: 
Peso dos pais (kg) x 80 84 86 90 92 96 100 102 
Peso dos filhos(kg) y 82 86 88 86 90 100 98 104 
 
Determinar a reta Regressão Linear para esse problema. 
Solução: Adotamos os seguintes passos para resolver este problema: 
i) Montar uma tabela com as colunas indicadas por x, y, x.y e x
2 
. 
ii) Indicar a soma destas colunas na última linha da tabela. 
iii) Determinar a média. 
iv) Achar a e b, usando as fórmulas dadas. 
v) Construir o gráfico dos pontos dados e representar a reta y = ax + b. 
Como sugerido em i e ii, construímos a tabela: 
 
x y x.y x
2
 
80 82 6560 6400 
84 86 7224 7056 
86 88 7568 7396 
90 86 770 8100 
92 90 8280 8464 
96 100 9600 9216 
100 98 9800 10000 
102 104 10608 10404 
 x
730 
 y
734 
 xy
67380 
 
2x
67036 
Com os valores obtidos na tabela podemos calcular o item iii. 
730
 91,25 91,3
8
x
x
n
   

 
734
 91,75 91,8
8
y
y
n
   

 
 
 Os valores devem ser arredondados para um dígito significativo a mais do que os dados originais. 
Voltando à tabela, temos 
  67380xy
 e 
  67036x
2
 
 
iv) Com estes dados obtidos, podemos determinar a e b usando as fórmulas. 
169 
 
 
 
0,19504,0
3388
3220
532900536288
535820-539040
 
(730)-8(67036)
730.734-8(67380)
 
xxn
yxxyn
=a
222




  
 
 
b=y ax 91,8 - 1,0(91,3) 91,8 - 91,3 0,5.    
 Portanto a reta regressão linear é dada por y = x + 0,5 
 
v) Construindo o gráfico e representando a reta y = x+0,5, temos: 
 
 y 
 
y=x+0,5 
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 
80 
82 
84 
86 
88 
90 
92 
94 
96 
98 
100 
102 
104 
106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
x 
 
Para esboçarmos o gráfico da reta y = x + 0,5, tomemos dois valores de x,para x = 84, segue y 
= 84 + 0,5 = 84,5 e para x = 102, segue y = 102 + 0,5 = 102,5. Portanto a reta passa pelos pontos 
A(84; 84,5) e B(102; 102,5) 
 
A reta y = x + 0,5 é aquela em que a soma dos quadrados da diferença entre os pontos dados (y) e 
os valores yr (obtidos) da reta é mínima. 
 
Exemplo 2: Problema dos custos de televisores 
A tabela a seguir indica as quantidades de televisores da marca ABC produzidas 
mensalmente e os respectivos custos totais de produção. 
 
Quantidade produzida x 100 120 130 140 150 160 
Custo total (R$) y 2000 2300 2700 2900 2800 3000 
Pede-se 
a) A reta que melhor se ajusta a esses dados. 
b) O valor mais provável dos custos fixos. 
c) O valor do custo estimado para 180 televisores. 
 d) A representação dos pontos e da reta regressão linear. 
Resolução: Construindo a tabela 
170 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7,2616
6
15700
n
 e 133,3=
6
800
=
n





y
y
x
x
. 
Assim: 
 
 17=
14000
238000
=
800-1090006
15700800-21330006
=
xxn
yxxyn
=a
222 


   
Logo a = 17 e b é dado por 
2616,7 17 133,3 2616,7 2266,1 350,6b y ax       
 
a) Portanto a equação da reta que melhor se ajusta a esses dados é 
 y = ax + b = 17x + 350,6 
 y 
 
 3000 
 2800 
 2600 
 2400 
 2200 
 2000 
 
 100 110 120 130 140 150 160 x 
b) Custo fixo é obtido para x = 0 em y = 17x + 350,6 é dado por: 
 
x
 
y
 
xy
 
2x
 
100 2000 200000 10000 
120 2300 276000 14400 
130 2700 351000 16900 
140 2900 406000 19600 
150 2800 420000 22500 
160 3000 480000 25600 
800 15700 2133000 109000 
  800x
 
  15700y
 
  2133000y x
 
  109000x
2
 
171 
 
 y = 17(0) + 350,6 = 350,6 logo y (fixo) = R$ 350,60 
c) O custo estimado para x = 180 televisores é dado por 
 y = 17(180) + 350,6 = 3060 + 350,6 = R$ 3410,60 
d) Para representarmos a reta no gráfico, tomamos dois pontos: x =100 e portanto, y = 2050,6 e 
como segundo ponto x =180 e y = 3410,6. 
 
Exemplo 3: Problema dos custos de bolas de futebol de salão 
A tabela abaixo indica a quantidade de bolas de futebol de salão produzidas mensalmente e os 
respectivos custos totais de produção. 
Quantidade (x) 10 11 12 13 14 15 
Custos(y) em R$ 100 112 119 130 139 142 
Pede-se: 
a) A reta que melhor se ajusta a esses dados. 
b) O valor mais provável do custo fixo. 
c) O custo para a quantidade de 16 bolas. 
d) Esboçar o gráfico. 
Resolução: Construímos a tabela abaixo para avaliar a e b 
 
x
 
y
 
yx 
 
2x
 
 10 100 1000 100 
 11 112 1232 121 
 12 119 1428 144 
 13 130 1690 169 
 14 139 1946 196 
 15 142 2130 225 

 75 742 9426 955 
 
 75x
 
  742y
 
  9426y x
 
  955x
2
 
n = 6 
5,12
6
75
n
x
x 


 e 
7,12367,123
6
743
n

 y
y
, assim 
 
 
8,68,63 =
75-9556
74275-94266
=
xxn
yxxyn
=a
222




  
 
172 
 
 
123,7 8,6 12,5 16,2b y ax     
, logo y = 8,6x + 16,2 
a) Assim a reta que melhor se ajusta a esses pontos dados é y = 8,6x +16,2 
b) O valor mais provável do custo fixo é dado por x = 0; logo o valor é: 
Cf = 8,6.(0) + 16,2 = R$ 16,20 
c) O custo para 16 bolas produzidas é dada por:C = 8,6.(16)+16,2 = 153,8. Assim, o custo para 
16 bolas é R$153,80. 
 
d) Para a construção do gráfico da reta 
y=8,6x+16,2 é só tomarmos dois valores: 
para x=10, tem-se y=(8,6)(10)+16,2=102,2 
e 
 para x=15, tem-se 
y=(8,6)(15)+16,2=145,2 
 
 
3. Correlação 
 Correlação é o grau de relação entre as duas variáveis. A correlação tem por objetivo medir e 
avaliar o grau de relação existente entre duas variáveis aleatórias. 
 
3.1. Coeficiente de correlação linear (Karl Pearson (1857 – 1936) 
 O Coeficiente de correlação linear indica o grau de intensidade da correlação entre as duas 
variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação ( positivo ou negativo). 
 Se todos os valores das variáveis obedecem a uma equação, dizemos que elas estão relacionadas. 
Se ocorrerem duas variáveis, dizemos correlação ou regressão simples, Se ocorrerem mais que duas 
variáveis, dizemos correlação ou regressão múltipla. Enquanto a correlação mede a força ou grau de 
relacionamento entre duas variáveis, a regressão linear dá a equação que descreve o relacionamento. 
 Neste estudo usaremos o coeficiente de correlação de Pearson que é dado por: 
 
2 2 2 2
( )( )
[ ( ) ][ ( ) ]
n xy x y
r
n x x n y y


 
  
   
 
 Os valores de r estão no intervalo [ -1, +1] 
Se Coeficiente de correlação linear é tal que 
0 1r 
 , então a correlação se diz positiva. 
Se Coeficiente de correlação linear é tal que 
1 0r  
, então a correlação se diz negativa. 
Se Coeficiente de correlação linear é tal que 
1r 
, então a correlação se diz perfeita positiva. 
Se Coeficiente de correlação linear é tal que
1r  
 , então a correlação se diz perfeita negativa. 
 
 
 120 
 100 
 110 
 130 
 140 
 150 
10 11 12 13 14 15 x 
y 
16 
A 
B 
 
 
 
 
y=8,6x+16,2 
173 
 
Exemplo 4: A seguir segue dados de 10 famílias de uma determinada região, sendo a renda dada em 
R$100,00. 
 
Famílias Renda Poupança Nº de filhos 
1 10 5 8 
2 12 6 7 
3 15 7 6 
4 30 15 2 
5 50 20 2 
6 80 40 1 
7 40 20 2 
8 30 15 5 
9 20 10 6 
10 10 5 5 
 
 Calcular o coeficiente de correlação linear entre Renda familiar e a Poupança 
Renda(y)
 
Poupança(x) 
2x
 
2y
 xy 
10 5 25 100 50 
12 6 36 144 72 
15 7 49 225 105 
30 15 225 900 450 
50 20 400 2500 1000 
80 40 1600 6400 3200 
40 20 400 1600 800 
30 15 225 900 450 
20 10 100 400 200 
10 5 25 100 50 

297 143 3085 13269 6377 
 
O coeficiente de correlação linear é dado por: 
 
2 2 2 2
( )( )
[ ( ) ][ ( ) ]
n xy x y
r
n x x n y y


 
  
   
= 
 
       
2 2
10(6377) (143)(297
[10 3085 143 ][10 13269 297 ]
r


 
=
63770 42471
(10401)(44481)


0,99 
 
Conclusão: O valor r = 0,99 indica que a correlação é positiva, existe uma forte correlação entre a renda 
a poupança. 
 
 
174 
 
Exercícios de aplicação 26: 
1. A seguir segue dados da renda e número de filhos de 10 famílias de uma determinada região. 
Nº filhos (x) 8 7 6 4 3 3 2 3 2 1 
Renda (y) 10 12 15 20 20 30 40 50 60 70 
 
Determinar 
 a) A equação da reta que melhor se ajusta aos dados. 
 b) Calcular o coeficiente de correlação linear entre e o número de filhos e a renda (R$ 100,00). 
 
 2. Os dados a seguir apresentam o número de horas diárias, extraclasse, de estudo de matemática, dos 
alunos do Colégio Pedro Henrique e as respectivas notas obtidas na primeira prova semestral de 15 
alunos. 
 
 
 
 
a) Calcular a equação da reta que melhor se ajusta aos dados. 
b) Qual a nota que se espera para quem estuda 9 horas diárias? 
c) Calcular o coeficiente de correlação linear entre as horas de estudo e a respectivas notas. 
 
 3. Os dados a seguir apresentam o tempo em anos de trabalho e os salários mensais em R$ 1 00,00,de 10 
operários. 
Tempos em anos 10 12 14 16 16 20 20 22 22 22 
Salários 12 15 17 19 20 22 27 25 28 30 
 
a) Calcular a equação da reta que melhor se ajusta aos dados. 
b) Qual o salário que se espera para quem trabalhou 23 anos? 
c) Calcular o coeficiente de correlação linear entre os anos de trabalho e os respectivos salários. 
Horas estudo 0 1 2 2 3 3 3 4 5 6 6 7 8 8 8 
Notas obtidas 3 4,5 5 5,5 6 6,2 6,3 6,7 7 8 8,2 8,5 9 9 9,5