Como Resolver Problemas de Física

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 Universidade Braz Cubas 
 
 
 
 
 
 
Curso de Engenharia 
 
 
Física B 
 
 
 
 
 
 
ALUNO:_________________________________________________ 
 
 
TURMA:______________________ RGM:_________ 
 
 
 
1 
 
2 
 
Como resolver problemas de Física ! 
 
 
 
1ª ETAPA: 
LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena que o 
enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar 
atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo. 
 
 
2ª ETAPA: 
FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação ajuda a 
visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações básicas como o 
sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o sentido do 
movimento do objeto em questão. 
 
 
3ª ETAPA: 
MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se você sabe 
o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão porque há a conservação da 
quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das quantidades de movimento 
antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso, você consegue montar as contas. 
 
 
4ª ETAPA: 
INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem, você achou 
um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber somente o número, mas 
também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você deve ser capaz 
de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma coisa que se 
chama erro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no que o número 
está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro, confira suas contas e 
o seu raciocínio. Se o número insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a possibilidade de 
que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece na prática. 
 
 
Leituras de Física - MECÂNICA 
GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física 
Instituto de Física da USP 
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Leis de Newton 
 
Introdução 
 
1) Usaremos a denominação de partícula ,que também se aplica a um corpo, desde que este 
tenha distribuição de massa uniforme. No caso de um corpo, suas características devem ser 
conhecidas. 
2) A localização e as propriedades de todos os objetos próximos ao corpo (partícula) em estudo, 
devem ser conhecidas. Isto é, sabemos tudo acerca do meio onde se situa o corpo. 
3) Queremos saber tudo acerca do movimento do corpo. O movimento de um corpo, pode 
acelerar, pode mudar de direção, e sempre que isso acontece, podemos encontrar um ou mais 
objetos nas proximidades que parecem estar associados com essa variação. 
 
Isaac Newton (1642-1727), ao propor suas leis do movimento e sua teoria gravitacional, foi o 
primeiro a solucionar o problema que acabamos de colocar. Para dar prosseguimento ao assunto 
vamos introduzir os seguintes conceitos: 
Força - noção de empurrar ou puxar um corpo, resultando em aceleração. 
Massa - definir e atribuir uma determinada massa a um corpo e associar esta a diferentes 
acelerações. 
Leis de Força - calcular as forças atuantes num corpo a partir das propriedades deste corpo e da 
vizinhança em que este se situa. 
Força resultante - mostrar como várias forças atuantes num corpo podem ser combinadas 
numa única. Uma força aparece nas leis de força como também nas leis de movimento. 
 
Primeira Lei de Newton 
Antes de Newton pensava-se que era necessária alguma “influência” ou força para 
manter um corpo em movimento com velocidade constante. Julgava-se que o repouso era o 
estado natural de um corpo. Para que o corpo se movesse com velocidade constante seria 
necessário uma força, caso contrário ele pararia. 
a) Se fizermos um livro deslizar sobre um carpete, com o tempo ele para. 
b) Se fizermos o livro deslizar sobre a superfície de gelo de um rinque de patinação, ele 
alcançará uma distância muito maior. 
4 
 
c) No caso de conseguirmos uma superfície muito grande(infinita) e sem atrito, o livro jamais 
pararia. Assim, concluímos que “não é preciso de uma força para manter um corpo em 
movimento com velocidade constante”. Um corpo pode estar em repouso em relação a um 
corpo e em movimento em relação a outro. Então, repouso e movimento uniforme não são 
coisas diferentes. 
 
Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia): “Um corpo permanece em seu estado de repouso ou 
de movimento com velocidade constante, a menos que seja atuado por uma força”. 
A primeira lei define os referenciais inerciais nos quais as leis da mecânica newtoniana são 
válidas, por isso a primeira lei pode ser enunciada também como: 
“Se a força resultante sobre um corpo é nula, é possível encontrar referenciais nos quais aquele 
corpo não tenha aceleração”. 
Verificar se um referencial é inercial. 
 
 
 
 
O vagão em movimento em linha reta com velocidade 
constante, não tira o pêndulo de sua posição e define, 
portanto, um referencial inercial. 
Se o vagão aumentar ou diminuir sua velocidade, ou 
fizer uma curva, o pêndulo se desloca da marca inicial 
e portanto o vagão é um referencial não inercial. 
 
 
Referencias girantes, mesmo com rotação constante não são referenciais inerciais. A 
Terra, por sua rotação, não é rigorosamente um referencial inercial, mas em primeira 
aproximação a tomaremos como tal. 
 
 
Força 
Vamos agora definir força em termos da aceleração fornecida a um corpo padrão de 
referência. 
Exemplo: puxando-se uma massa de 1kg sobre uma superfície horizontal sem atrito, até 
esta atinja uma aceleração de 1m/s2 , a força aplicada é de 1 Newton (1N). Em geral, se um 
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corpo está submetido a uma aceleração “a” , existe um força “F” atuante nele, de módulo igual 
ao da aceleração. A aceleração é um vetor e a força, pode-se verificar experimentalmente, 
também um vetor. 
 
 
As forças de 3N na direção y e de 4N na direção x atuando ao mesmo tempo, resultam 
numa aceleração de 5m/s
2
 na direção (θ) mostrada. Essa é a mesma aceleração que o corpo teria 
se fosse submetido a uma única força de 5N, na direção dada (θ). 
 
Massa 
A experiência diária nos mostra que uma mesma força produz diferentes acelerações em 
diferentes corpos, dependendo de sua massa. Se aplicarmos uma força em um corpo, este 
adquire uma aceleração. Aumentando a força, sua aceleração aumenta. 
Dividindo as forças pelas acelerações tem-se: 
F1 / a1 = F2 / a2 = ... = m = massa do corpo. 
De modo semelhante, se aplicarmos uma mesma força em um corpo padrão (de massa 
“m” conhecida), este terá uma aceleração “a”, e em seguida se aplicarmos a mesma força em 
outro corpo de massa diferente “m1”, este terá uma aceleração “a1”. 
Assim , 
 
ou 
Se a massa padrão é m = 1kg e aplicarmos nela uma força de 5N , sua aceleração será de 1m/s
2
 . 
Se está mesma força for aplicada em outro corpo de massa desconhecida e este adquirir uma 
aceleração de 0,25m/s
2
 , qual será a sua massa? m1 = 1kg. (1 / 0,25 ) = 4kg. 
 
6 
 
Segunda Lei de Newton 
Tudo que relaciona força e aceleração pode ser resumido na segunda lei de Newton que 
é expressa pela equação vetorial, 
∑ �⃗� =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 ; sendo �⃗� = 𝑚�⃗� , denominado momento linear; 
∑�⃗� =
𝑑(𝑚�⃗�)
𝑑𝑡
= 𝑚�⃗� + �⃗�
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 
Se a massa é constante ao longo do seu movimento, teremos: 
  amF .
 ou  F = m a 
Assim ∑ F é a soma vetorial ou a força resultante de todas as forças externas que atuam 
no corpo, isto é, forcas exercidas nocorpo por outros corpos. Na resolução de problemas, 
normalmente desenhamos um diagrama de corpo isolado, onde o corpo é representado por um 
ponto (dinâmica de partículas) e cada força externa (ou a força resultante ∑ F ) que atua no 
corpo é representada por um vetor com origem neste ponto. 
A equação vetorial é desdobrada em três equações escalares das componentes da força. 
∑ Fx = m ax ; ∑Fy = m ay ; ∑ Fz = m ay 
Observe que a primeira lei de Newton é um caso particular da segunda lei, pois se 
nenhuma força atua no corpo, a sua aceleração será nula. Isso, no entanto, não tira a importância 
da primeira lei que tem papel importante na definição dos referenciais inerciais. 
Unidades de Força 
Sistema Massa Aceleração Força 
SI quilograma (kg) m/s
2
 newton (N) 
CGS grama (g) cm/s
2
 dina (d) 
Técnico utm = 9,8 kg m/s
2
 kgf 
Britânico slug =14,59kg ft/s
2
 = pés/s
2
 libra (lb) 
 
Exemplo 1: 
Um homem empurra um trenó de massa 240kg, por uma distância de 2,3m sobre um 
lago gelado (sem atrito). A Força exercida sobre o trenó é constante e igual a F = 130N .Se o 
veículo parte do repouso, qual a sua velocidade final ? 
Solução: 
De Fx = m.ax => ax = Fx / m = 130N / 240kg = 0,542 m/s
2
. 
7 
 
Como a aceleração é constante,então podemos aplicar a expressão v
2
 = v0
2
 + 2.a.(x-x0) onde x-
x0 = d = 2,3m e v0 = 0 (repouso) 
v = 1,6 m/s. 
O diagrama de corpo isolado para este caso é 
 
Exemplo 2 : 
Se o homem do exemplo anterior quiser a) parar o trenó em 4,5s, b) reverter a sua velocidade 
neste tempo, que força deverá aplicar nestes dois casos? 
Solução: 
a) Da expressão v = v0 + a.t => a = (v - v0)/t 
a = (0 -1,6m/s) / 4,5s = - 0,356m/s
2
 o que resulta na força 
Fx = m ax = ( 240kg).(-0,356m/s
2
) = -85,44 N 
Solução 
b): a =(v - v0)/t = (-1,6m/s -1,6m/s) / 4,5s = -0,711 m/s
2
 
que corresponde à força Fx = m ax = (240kg).(-0,711m/s2) = -171N 
O sinal menos significa que o homem está empurrando o trenó no sentido negativo de x. 
 
Exemplo 3: 
Um caixote de massa m = 360kg está parado sobre a carroceria de um caminhão com velocidade 
de v0 = 120km/h . A seguir, o motorista freia e reduz a velocidade para v = 62 km/h em 
17s.Qual a força,suposta constante, sobre o caixote, durante este intervalo de tempo? 
 
8 
 
então da expressão v = v0 + at => a = (17,22m/s-33,33m/s)/17s = -0,946m/s
2
 e F = m a = 
(360kg) ×(-0,947m/s2) = -340N. 
 
Exemplo 4: 
Numa brincadeira de cabo de guerra, três meninos A B, C puxam um pneu nas direções 
mostradas na figura. FA=220N, FC =170N .Qual a força FB e a direção da força FC, para que 
pneu o permaneça parado. 
 
 
A figura acima mostra o diagrama de corpo isolado do pneu (toma FB sobre o eixo y). A 
aceleração do pneu é zero, porque a força resultante é nula então: 
F = FA + FB + FC = 0
Essa equação vetorial é equivalente a duas equações escalares 
Fx = FC cos- FA cos47= 0
Fy = FC sen+ FA sen47- FB = 0
cosφ = FA cos47°/FC =0,882588 
φ = 28,0° Substituindo este valor vem 
FB = FC senφ + FA sen 47° = 170×sen28° + 220×sen47° 
FB = 241N 
 
Peso 
O peso P de um corpo é a força gravitacional que este corpo é atraído para o centro de um outro 
corpo astronômico(no caso a Terra). O corpo de massa “m” é atraído para a Terra com uma 
aceleração “g” de queda livre, que por enquanto é considerada constante. Neste caso o módulo 
do vetor peso(força) é 
P = m g 
Esse vetor pode ser representado por 
9 
 
P = -mg j 
P = m g 
sendo que (+j ) aponta para cima no sentido +y , isto é afastando-se da Terra , e g = -g j. 
Observe que peso não é massa, mas sim uma força, e seu módulo em qualquer lugar, depende da 
aceleração da gravidade “g” neste local. 
Uma bola de boliche que pese 71N na Terra, pesará apenas 12N na Lua porque lá o “g” é menor. 
(P/g)Terra = (P/g)Lua = massa da bola(igual em qq.lugar)=7,2kg Uma balança de braços,como 
as de farmácia, permite medir por comparação, a massa dos corpos. 
 
 
(M) grandeza a ser medida e R grandeza (conhecida) de referência. A balança avalia a massa e 
multiplicando esta por g tem-se o peso do corpo. Usando o sistema técnico onde o peso(força) é 
em “kgf” ,a massa em “utm” e a aceleração g=9,8m/s2 , se tivermos o peso de 
um indivíduo como sendo 98kgf, sua massa será 
 
As “balanças” ou dinamômetros , na maioria das vezes são calibradas em massa no sistema SI 
ou em força no sistema técnico porque a força medida em kgf terá o mesmo valor numérico em 
massa (kg) no SI ( para não confundir os leigos). Ou seja , 98kgf (força) corresponde a 98kg 
(massa do SI). 
 
ATRITO 
 
 As forças de atrito fazem parte de quase tudo em nosso cotidiano. Os carros gastam cerca 
de 20% do combustível consumido para superar o atrito no motor, nos eixos e nas rodas. 
 Por outro lado, se não houvesse atrito, não poderíamos caminhar e nem andar de 
bicicleta, nem segurar objetos, não escreveríamos, as roupas de desfariam e os nós seriam 
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desfeitos. 
 Uma pequena esfera de aço é abandonada num recipiente contendo glicerina. A 
velocidade de queda da esfera cresce até um valor máximo e então permanece constante. Além 
do peso, atua sobre a esfera o empuxo e a força de resistência devido ao fluido. Um impulso faz 
uma moeda deslizar sobre uma mesa. A velocidade em relação à mesa diminuí até zero. A 
aceleração da moeda tem sentido contrário ao de sua velocidade e é causada pela força de atrito 
cinético devido à superfície da mesa. Sobre uma caixa em repouso sobre o chão aplica-se uma 
força horizontal de pequena intensidade. A caixa não se move. Além dessa força atua, na 
horizontal, a força de atrito estático. Um cilindro rola sem deslizar (rolamento puro) sobre uma 
mesa. A sua velocidade em relação à mesa diminui até zero. A aceleração do cilindro tem 
sentido contrário ao de sua velocidade e é causada pela força de atrito de rolamento. 
 As forças de atrito consideradas no primeiro exemplo (força de atrito viscoso ou força de 
resistência), no segundo exemplo (força de atrito cinético ou força de atrito de deslizamento) e 
no quarto exemplo (força de atrito de rolamento), que existem porque existe movimento relativo 
entre os corpos considerados, estão associadas à dissipação de energia mecânica. A força de 
atrito considerada no terceiro exemplo (força de atrito estático ou de aderência) não 
estáassociada à dissipação de energia mecânica porque ela não realiza trabalho e só existe se as 
superfícies em contato tendem a se mover uma em relação a outra. As forças de atrito estático e 
cinético estão associadas a superfícies secas. Caso contrário, a força de atrito teria, também, o 
caráter do atrito viscoso. 
 
Força de Atrito Viscoso 
 
 A força de resistência que aparece durante o 
movimento de um corpo em um fluido depende da forma 
do corpo, da sua velocidade em relação ao fluido e da 
viscosidade do fluido. Também entre duas superfícies em 
movimento relativo separadas por uma fina película 
contínua de fluido existe atrito viscoso. Nos dois casos, se 
o módulo da velocidade relativa é pequeno, o fluido se 
separa em camadas paralelas. Para entender a origem da viscosidade e, portanto, da força de 
resistência, consideremos duas placas planas e paralelas, com um fluido contínuo entre elas. 
 Aplicando uma força F a uma das placas, ela é acelerada até atingir uma velocidade 
terminal constante, cujo módulo é proporcional ao módulo da força aplicada. O fluido entre as 
placas se separa em lâminas paralelas. A lâmina adjacente à placa móvel se move com ela, a 
lâmina seguinte se move com uma velocidade demódulo um pouco menor e assim por diante, 
até a lâmina adjacente à placa imóvel que, como ela, tem velocidade nula. A viscosidade vem da 
interação entre lâminas adjacentes. Cada lâmina é puxada para trás por uma força devida à 
lâmina inferior e para frente, por uma força devida à lâmina superior. 
 Num gás, como as forças de coesão não são efetivas porque as moléculas estão longe 
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umas das outras, a viscosidade vem da transferência de quantidade de movimento entre camadas 
adjacentes. As moléculas que passam de uma camada a outra, que se move mais lentamente, 
transferem a ela uma quantidade de movimento maior do que a quantidade de movimento que as 
moléculas dessa camada transferem àquela ao cruzarem, em sentido contrário, a mesma 
fronteira. Assim, a velocidade da camada mais rápida diminui e a velocidade da camada mais 
lenta, aumenta, e a velocidade relativa diminui. A viscosidade dos líquidos vem das forças de 
coesão entre moléculas relativamente juntas. Desta maneira, enquanto que nos gases a 
viscosidade cresce com o aumento da temperatura, nos líquidos ocorre o oposto já que, com o 
aumento da temperatura, aumenta a energia cinética média das moléculas, diminui o intervalo 
de tempo que as moléculas passam umas junto das outras e menos efetivas se tornam as forças 
intermoleculares. 
 
Forças de Atrito Seco 
 Os dados referentes às forças de atrito estático e cinético são 
muito aproximados, dependendo dos diferentes graus de 
polimento das superfícies e/ou dos diferentes graus de 
contaminação com substâncias estranhas. Esses fatores é que 
realmente determinam os coeficientes de atrito e a dependência da 
força de atrito cinético com a velocidade relativa das superfícies 
em questão. Assim, não tem sentido tabelar coeficientes de atrito 
entre superfícies diversas, a menos que elas sejam padronizadas. O atrito nunca é entre uma 
superfície de cobre e uma de alumínio, por exemplo, mas entre uma superfície de cobre com 
certo polimento e com algumas impurezas e uma superfície de alumínio com outro polimento e 
com outras impurezas. Para entender a origem das forças de atrito seco deve-se considerar que, 
ao nível atômico, as superfícies tem pequenas irregularidades e que o contato ocorre num 
número relativamente pequeno de pontos, onde as irregularidades se interpenetram e se 
deformam, exercendo forças mútuas cujas intensidades dependem da intensidade da força que 
empurra as superfícies uma contra a outra . Nos pontos de contato existem ligações dos átomos 
de uma superfície com os átomos da outra, como soldas microscópicas. 
 Se uma força externa horizontal F é aplicada à superfície II, por exemplo, aparecem as 
forças horizontais fa, - fa, fb, - fb, fc, - fc, etc., associadas às deformações locais originadas pela 
tendência de movimento relativo entre as superfícies. Se as superfícies permanecem em repouso 
relativo, fa + fb + fc + ... é a força de atrito estático sobre a superfície II e - (fa + fb + fc + ...) é a 
força de atrito estático sobre a superfície I. Quanto maior for o módulo da força F, maiores são 
as deformações locais e maiores os módulos das respectivas forças. Se o módulo da força F é 
grande o suficiente para romper as soldas microscópicas nos pontos de contato, uma superfície 
desliza em relação à outra e, nesse movimento, as irregularidades de uma superfície colidem 
com as irregularidades da outra e as forças que surgem devido a essas colisões se somam para 
dar as respectivas forças de atrito cinético. As colisões originam oscilações locais que se 
propagam e são amortecidas pelo resto do material. Assim, a energia mecânica associada ao 
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movimento relativo das superfícies se transforma em energia interna, aumentando suas 
temperaturas. 
 
Força de Atrito de Rolamento 
 
 Um cilindro que rola sem deslizar sobre uma 
superfície horizontal termina por parar porque atua 
sobre ele a força de atrito de rolamento. Essa força 
depende das propriedades das substâncias de que são 
feitos o cilindro e a superfície horizontal. O cilindro e 
a superfície se deformam pela ação das forças de 
deformação mútuas, mas para o argumento que se segue vamos supor que apenas o cilindro se 
deforma. Se o cilindro está em repouso em relação à superfície, a cada força f que a superfície 
exerce sobre o cilindro, existe uma força f*, simétrica em relação ao plano vertical que passa 
pelo centro do cilindro. A resultante de todas essas forças é a força normal que, nesse caso, é 
vertical e está no plano mencionado. 
 Se o cilindro está em movimento em relação à superfície, a cada força f que a superfície 
exerce sobre o cilindro adiante do plano vertical que passa pelo centro do cilindro, existe uma 
força f*, atrás desse plano, de módulo menor. Essa diferença aparece porque a região do cilindro 
onde aparece a força f tem um movimento local no sentido de se aproximar da superfície e a 
região do cilindro onde aparece a força f* tem um movimento local no sentido de se afastar da 
superfície. Como a aceleração linear do cilindro é negativa, a resultante F de todas essas forças 
deve ser inclinada para trás, isto é, deve ter uma componente horizontal dirigida no sentido 
contrário ao da velocidade, e como a aceleração angular também é negativa, o ponto de 
aplicação dessa resultante deve estar situado a frente do plano vertical que passa pelo centro do 
cilindro e mais, a linha de atuação dessa resultante deve passar por cima do centro do cilindro. 
A componente vertical dessa resultante é a força normal e a componente horizontal, FR, é a 
força de atrito de rolamento. 
 
Forças de Atrito Seco 
 
DOIS TIPOS DE ATRITO: - ESTÁTICO E CINÉTICO. 
 Seja um corpo apoiado sobre uma superfície. Para por este corpo em movimento 
horizontal, é necessário aplicar sobre o mesmo, uma força horizontal F que sofrerá a oposição 
de uma força contrária de atrito Fe, denominada de força de atrito estático, e que se equilibra 
com a força aplicada. 
 O peso P se equilibra com a força normal N, de 
mesmo módulo e de sentido oposto. Se aumentarmos a 
força F, a de atrito estático também aumentará e o bloco 
permanecerá estacionário. 
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Entretanto, para um determinado valor de F, o bloco se move no sentido de F, isto é, rompe o 
contato com a superfície. A partir daí, a força de atrito é denominada de força de atrito cinético, 
Fc. Em geral a força Fc < Fe . Assim, após o bloco iniciar o movimento é necessário diminuir a 
força F até que ela se iguale a Fc, para que o bloco se mova com velocidade constante. 
 Foi o artista, inventor e cientista italiano Leonardo da Vinci (1452-1591) quem primeiro 
estudou o atrito nas máquinas que construiu. Ele chegou a enunciar as seguintes leis: 
 1) O atrito provocado pelo mesmo peso terá a mesma resistência no início do movimento, 
embora as áreas ou comprimento de contacto sejam diferentes; 
 2) O atrito provoca o dobro do esforço se o peso for dobrado; 
 3) O atrito depende da natureza dos materiais em contacto. 
 Em 1699, o físico francês Guillaume Amontons (1663-1705) reencontrou as leis do 
atrito DaVinciana. Em 1781, o físico francês Charles Augustin Coulomb (1736-1806) realizou 
experiências sobre atrito, em decorrência das quais confirmou as três leis de Da Vinci-
Amontons, bem como enunciou a quarta lei: 
 4) A força de atrito é independente da velocidade, uma vez o movimento iniciado. 
Desse modo, mostrou que havia uma diferença entre o atrito estático e o atrito dinâmico. 
Hoje, essas leis são resumidas no seguinte conjunto de equações: 
 
Fi = e N , Fe = e N , Fd = d N , Fe > Fd , me > md , 
 
onde Fi , indicaa força inicial necessária para vencer as ligações moleculares (“soldas”) entre as 
superfícies de contacto; Fe e Fd, representam, respectivamente, as forças de atrito estática e 
dinâmica; e e d significam, respectivamente, os coeficientes de atrito estático e dinâmico, 
que dependem do tipo de material em contacto (ferro-ferro, ferro-madeira, madeira-madeira 
etc.); e N é a reação normal entre as superfícies em contacto e é calculada por intermédio da lei 
da ação e reação formulada por Isaac Newton (1642-1727), em 1687. 
 Em 1987, C. M. Mate, G. M. McClelland, R. Erlandsson e S. Chiang mediram a força de 
atrito numa escala de nanômetro [10
-9
 N (newtons)], por intermédio de um instrumento que eles 
inventaram: microscópio de força atômica. 
 Nessa experiência, eles observaram que a força de atrito não dependia da carga normal 
( < 10
-4
 N ) aplicada. Observaram mais ainda que, para o intervalo de velocidade compreendido 
entre 40 angstrons/s e 4000 angstrons/s, a força de atrito apresentou pouca dependência com a 
velocidade. Registre-se que o estudo do atrito em nível atômico é hoje denominado de 
nanotribologia. 
 Em 1989, Jacqueline Krim descobriu que filmes de cripton ( 36Kr ) deslizando sobre 
superfícies cristalinas de ouro ( 79Au ) se tornavam mais escorregadias enquanto secas. 
Descobriu também que a força de atrito para filmes líquidos era cinco vezes maior do que para 
filmes sólidos. Nessas experiências, Krim usou uma microbalança de quartzo. 
 Em 1996, Krim examinou as experiências realizadas sobre a nanotribologia nos últimos 
anos, e concluiu que as leis macroscópicas do atrito de Da Vinci-Amontons-Coulomb não são 
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aplicadas na escala atômica. Nesta, valem as seguintes leis: 
 1) A força de atrito é proporcional ao grau de irreversibilidade (facilidade de aderência) 
da força que comprime duas superfícies, em vez da simples intensidade da força; 
 2) A força de atrito é proporcional à área de contacto real, em vez da área de contacto 
aparente; 
 3) A força de atrito é proporcional à velocidade de deslizamento das superfícies em 
contacto. 
 
Exemplos: 
Para a análise destes exemplos resolvidos, considere: g = 10 m/s², m= 2 kg , F = 4 N , sen =0,8 
e cos 0,6 
OBS.: 1) �⃑� = m · 𝑔 => P = 2 · 10 = 20 N 
 2) A Reação Normal é perpendicular à superfície 
EXEMPLO I: 
CÁLCULO DA REAÇÃO NORMAL 
 No Plano Horizontal 
MODELO 1: 
Calcule a Reação Normal no corpo da figura abaixo: 
RESOLUÇÃO 
1. Represente as forças Peso e a Reação Normal sobre o bloco 
2. Observe a figura e aplique as operações vetoriais. 
�⃑� + �⃑⃑� = 0 
�⃑� = - �⃑⃑� 
P = N 
P= 20N e N= 20N 
 
MODELO 2: 
Determine o módulo da Reação Normal no bloco da figura 
abaixo: 
 
 
RESOLUÇÃO 
1. Represente as forças Peso e Reação Normal que agem sobre 
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o bloco: 
2. Observe a figura e aplique as operações vetoriais 
�⃑� + 𝐹 + �⃑⃑� = 0 
 N - F - P = 0 
 N = P + F 
 N = 20 + 4 
 N = 24N 
 
MODELO 3: 
Determine a Reação Normal no bloco da figura abaixo: 
RESOLUÇÃO 
1. Represente as forças Peso e a Reação Normal sobre o bloco; 
 
2. Observe a figura e aplique as operações vetoriais. 
 
�⃑� + 𝐹 + �⃑⃑� = 0 
 N + F - P = 0 
 N = P - F 
 N = 20 - 4 
 N = 16N 
 
MODELO 4 
Dada a figura abaixo, determine a Reação Normal no bloco 
 
RESOLUÇÃO 
1. Represente as forças Peso e a Reação Normal sobre o bloco. 
2. Projete a força 𝐹 na direção vertical e calcule o valor da projeção 
Fy = F · sen  
Fy = 4 · 0,8 = 3,2 N 
 
3. Observe a figura e aplique as operações vetoriais 
N + Fy = P 
N + 3,2 = 20 
N = 16,8 N 
 
MODELO 5 
Determine a Reação Normal no bloco da figura abaixo: 
 
 
16 
 
RESOLUÇÃO 
1. Represente as forças Peso e Reação Normal sobre o bloco. 
2. Projete a força 𝐹 na direção vertical e calcule o valor da 
projeção; 
Fy = F · sen  
Fy = 4 · 0,8 = 3,2 N 
 
3. Observe a figura e aplique as operações vetoriais 
N = Fy + P 
N = 3,2 + 20 
N = 23,2 N 
 
No Plano Inclinado 
MODELO 6 
Determine o módulo da Reação Normal na figura abaixo: 
 
RESOLUÇÃO 
1. Represente as forças Peso e a Reação Normal sobre o bloco 
 
2. Projete a força Peso na direção da Reação Normal e calcule o valor 
da projeção 
Py = P · cos  
Py = 20 · 0,6 = 12 N 
 
3. Observe a figura e aplique as operações vetoriais 
N = Pn 
N = 12 N 
EXEMPLO II 
FORÇA DE ATRITO 
MODELO 1 
Dado, na figura abaixo, que g = 10 m/s², m = 20 kg, coeficiente de atrito estático = 0,3, 
coeficiente de atrito dinâmico = 0,2. O bloco está em repouso. 
17 
 
 
Verifique se o bloco entra ou não entra em movimento nos casos: 
 a) F = 40 N 
 b) F = 60 N 
 c) F = 80 N 
RESOLUÇÃO 
1) Calcule a reação normal; Plano Horizontal: N = 200 N 
2) Calcule a força de atrito estático máximo; 𝐹𝑎𝑡𝑒 = 𝜇𝑒𝑁 
 
Temos: Fate = 0,3 · 200 = 60 N 
 
3) Compare os valores da força F e a força de atrito estático. 
a) Fate > F, portanto o bloco não entra em movimento. 
b) Fate = F, portanto o bloco não entra em movimento. 
c) Fate < F, portanto o bloco entra em movimento. Como o bloco está em movimento, temos que 
calcular a força de atrito dinâmico. 
Fatd = 0,2 · 200 = 40 N 
 
MODELO 2 
Dado que g = 10 m/s², m = 5 kg e F = 20 N. Determine o coeficiente de atrito entre o bloco e a 
superfície. O bloco desloca com velocidade constante. 
 
RESOLUÇÃO 
1. Determine a reação normal. (plano Horizontal) P=N => N = 50 N 
2. Expresse a força de atrito dinamico Fatd = 𝜇𝑑· 50 
 
3. Represente sobre o bloco a força F e a força de atrito. 
 
4. Utilize a 2ª Lei de Newton, para determinar o valor de d. (Lembre-se: Quando o corpo está 
em movimento com velocidade constante a sua aceleração é nula) 
 
F - FAT = 5 · 0 
20 - 50 .d = 0 
d= 20/50 
d = 0,4 
 
 
18 
 
MODELO 3 
Dados: g = 10 m/s², m = 2 kg e F = 8 N. Determine o coeficiente de atrito se a aceleração do 
bçoco é de 1 m/s
2
. 
 
RESOLUÇÃO 
1) Determine a reação normal: (Plano Horizontal) N = 20 N 
2) Determine a força de atrito: Fatd = d· 20 
3) Represente sobre o bloco a força F e a força de atrito 
 F - Fatd = 2 · 1 
 8 - 20 d= 2 
 d = 6/20 => d = 0,3 
 
MODELO 4 
Dado que g = 10 m/s², m = 2 kg e v = 72 km/h. Determine o coeficiente de atrito da superfície 
da superfície áspera, sabendo que o bloco pára em 5 s. 
 
RESOLUÇÃO 
1. Determine a aceleração 
Para determinar a aceleração de um corpo existem diversas fórmulas, veja: 
v = v0 + a · t 
S = S0 + v0 · t + (a · t²)/2 
v² = v0² + 2 ·a · S 
Escolha a maneira que melhor se adapta aos dados que o enunciado lhe oferece. 
v = v0 +a · t v0 = 72 (km/h) = 20 m/s 
0 = 20 + a · 4 v = vFinal = 0 (o corpo pára) 
a = - 4 m/s² 
 
2. Determine a reação normal: (Plano Horizontal) N= 20 N 
19 
 
3. Determine a força de atrito: Fatd =d· 20 
4. Represente no bloco a força de atrito que age nele 
5. Utilize a 2ª lei de Newton: Fatd = 2 · 4 => d .20 = 8 => d = 0,4 
 
 
MODELO 5 
Dado: g = 10 m/s², mA = mB = 2 kg, F = 36 N e  = 0,1. Determine a aceleração do conjunto e a 
tração no fio. 
 
RESOLUÇÃO 
1. Determine a força Peso dos blocos 
P = m · g => PA = PB = 2 · 10 = 20 N 
2. Determine a reação normal do bloco A 
 (Plano Horizontal): N = 20 N 
3.Determine a força de atrito 
 Fatd = 0,1 · 20 = 2 N 
4. Represente as forças na direção do movimento 
 
 
 
5. Utilize a 2ª lei de Newton para cada bloco e resolva o sistema: {
𝐹 − 𝐹𝑎𝑡𝑑 − 𝑇 = 𝑚𝐴. 𝑎
𝑇 − 𝑃𝐵 = 𝑚𝐵. 𝑎
 
𝐹 − 𝐹𝑎𝑡𝑑 − 𝑃𝐵 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵). 𝑎 => a = 4,0 m/s
2
 e T = 28 N 
 
MODELO 6 
Dado, que na figura abaixo, g = 10 m/s², mA = 2 kg, mB = 3 kg, F = 45 N e  = 0,5. 
 
20 
 
 
 
Determine a aceleração do conjunto e a força que o bloco A exerce no bloco B. 
 
RESOLUÇÃO 
1. Determine a Força - Peso dos blocos 
P = m · g => PA = 20 N e PB = 30 N 
2. Determine a reação normal dos blocos 
 (Plano Horizontal) NA = 20 N e NB = 30 N 
3. Determine a força de atrito dos blocos 
FatA = 0,5 · 20 = 10 N 
FatB = 0,5 · 30 = 15 N 
 
4. Represente as forças na direção do movimento 
 
 
 
 
5. Utilize a 2ª lei de Newton para cada bloco e resolva o sistema 
BLOCO A BLOCO B 
45 - f - 10 = 2 a f - 15 = 3 a 
a = 5m/s
2
 
f = 27 N 
MODELO 7 
Determine a aceleração do bloco da figura abaixo, sabendo - se que o corpo é abandonado do 
repouso no ponto A. Dados: g = 10 m/s², m = 2 kg,  = 0,5, sen  = 0,6 e cos  = 0,8. 
 
RESOLUÇÃO 
1. Determine a Força - Peso 
 P = m · g => P = 20 N 
2. Determine componentes do peso. 
Px = P · sen  => Px = 20 · 0,6 = 12 N 
3. Determine a reação normal 
21 
 
N = P · cos  => N = 20 · 0,8 = 16 N 
4. Determine a força de atrito 
Fatd = d · N => Fatd = 0,5 · 16 = 8 N 
5. Represente as forças Px e T na direção do movimento 
6. Aplique a 2ª lei de Newton 
FR = m ·a 
12 - 8 = 2a 
a = 2 m/s² 
MODELO 8 
Dada a figura abaixo, determine a aceleração e a tração no fio. Dados: g = 10 m/s², mA = 2 kg, 
mB = 3 kg, sen  = 0,6, cos  = 0,8 e  = 0,5. 
 
RESOLUÇÃO 
1. Determine a Força - Peso dos blocos A e B 
P = m · g => PA = 20 N e PB = 30 N 
2. Determine Px do bloco A 
PxA = PA · sen  => PxB = 20 · 0,6 = 12 N 
3. Determine a reação normal 
NA = PA · cos  => NA = 20 · 0,8 = 16 N 
4. Determine a força de atrito no bloco A 
FatA =  · NA => FatA = 0,5 · 16 = 8 N 
5. Represente todas as forças que age no corpo , na direção do movimento. 
22 
 
 
 
6. Utilize a 2ª lei de Newton e resolva o sistema: 
 T - 12 - 8 = 2a e 30 - T = 3 a 
 a=2m/s2 e T= 24N 
 
EXERCÍCIOS 
1. Um corpo de 200kg e sustentado por dois fios fixados num teto horizontal. Encontre as 
trações T1 e T2. 
 T1=1435N
T2=1757N
200kg 
30
o
45
o
 
2. Determine a massa M no sistema abaixo para que fique em equilíbrio. 
 
 
a) Qual é a massa de um livro que pesa 3,20 N em um local onde g=9,8m/? R.: 0,327kg. 
b) Neste mesmo local, qual é o peso de um cachorro cuja massa é 14,0kg? R.: 137N. 
 
3. Um elevador de massa m está se deslocando de baixo para cima com uma aceleração a. A 
massa do cabo de suporte é desprezível. Qual é a tensão no cabo se suporte: 
23 
 
a) se o elevador aumenta de velocidade quando sobe? 
b) se o elevador diminui de velocidade quando sobe? 
 
4. Considere a figura abaixo. As caixas estão sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma 
força horizontal F=50,0N é aplicada sobre a caixa de 6,00kg. As massas das cordas são 
desprezíveis. 
a) Faça uma diagrama de corpo livre para cada uma das caixas. 
b) Qual é o módulo da aceleração da caixa de 6,00kg? R.: 5,00 m/s2. 
c) Qual é a tensão T na corda que conecta as duas caixas? R.: 20N. 
 
 
5. A posição de helicóptero de treinamento de 2,75.105N é dada por 
r = (0,020 m/s
3
)t
3
 i + (2,2m/s)t j - (0,060 m/s2)t
2
 k. Ache a força resultante sobre o helicóptero 
para t=5s. R.: F= (1,7.104 N)i – (3,4.103 N)k. 
 
6. Uma bala de um rifle 22, se deslocando a 350m/s, atinge um bloco de madeira, na qual ela 
penetra até uma profundidade de 0,130m. A massa da bala é de 1,80g. Suponha uma força 
retardadora constante. 
a) Qual é o tempo necessário para a bala parar? R.: 7,4.10
-4
s 
b) Qual é a força, em newtons, que a madeira exerce sobre a bala? R.: 848N. 
 
7. Uma pescadora orgulhosa suspende seu peixe em uma balança de molas no teto de um 
elevador. 
a) Se o elevador possui uma aceleração de baixo para cima igual a 2,45 m/s2 E O ponteiro da 
balança indica 50,0 N, qual é o peso verdadeiro do peixe? R.: 40N. 
b) Em que circunstâncias o ponteiro da balança indicará 30,0N? 
c) Qual será a leitura da balança se o cabo do elevador se romper? R.: 0 N. 
 
8. Um quadro está suspenso em uma parede por dois fios ligados em seus cantos superiores. Se 
os dois fios fazem o mesmo ângulo com a vertical, qual deve ser o ângulo se a tensão em cada 
fio for igual a 0,75 do peso do quadro? (Despreze o atrito entre a parede e o quadro). R.: 48º 
 
9. Uma rua em São Paulo possui uma inclinação de 17,5
o
 com a horizontal. Qual é a força 
paralela à rua necessária para impedir que um carro de 1390 kg desça a ladeira dessa rua? R.: 
4,10.103 N. 
 
10. Um bloco de gelo de 8,00kg é liberado a partir do repouso no topo de uma rampa sem atrito 
de comprimento igual a 1,50 metros e desliza para baixo atingindo uma velocidade de 2,50 m/s 
na base da rampa. Qual é o ângulo entre a rampa e a horizontal? R.: 12,3O. 
 
24 
 
11. Uma caixa com bananas pesando 40.0N está em repouso sobre uma superfície horizontal. O 
coeficiente de atrito estático entre a caixa e a superfície é igual a 0,40, e o coeficiente de atrito 
cinético entre a caixa e a superfície é igual a 0,20. 
a) Se nenhuma força horizontal for aplicada sobre a caixa, quando ela estiver em repouso, qual 
será a força de atrito exercida sobre a caixa? R.: 0 N. 
b) Se um macaco aplicar uma força horizontal de 6,0N sobre a caixa, quando ela estiver em 
repouso, qual será o valor da força de atrito exercida sobre a caixa? R.: 6 N. 
c) Qual é a força horizontal mínima que o macaco deve aplicar sobre a caixa para que ela 
comece a se mover? R.: 16 N. 
d) Qual é a força horizontal mínima que o macaco deve aplicar sobre a caixa para que ela, 
depois de começar a se mover, possa se manter em movimento com velocidade constante? 
R.:8N. 
e) Se o macaco exercer sobre a caixa uma força horizontal de 18,0 N, qual será o valor da força 
de atrito exercida sobre a caixa ? R.: 8N 
 
12. Um bloco de massa m1 está sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação α e está 
ligado por uma corda que passa sobre uma polia pequena a um segundo bloco suspenso de 
massa m2 (ver figura abaixo) O coeficiente de atrito cinético é µC e o coeficiente de atrito 
estático µe. 
a) Ache a massa m2 para a qual o bloco de massa m1 sobe o plano com velocidade constante 
depois que ele entra em movimento. R.:m1=(senα + µC cosα) 
b) Ache a massa m2 para a qual o bloco de massa m1 desce o plano com velocidade constante 
depois que ele entra em movimento. R.:m1=(senα - µC cosα) 
c) Para que valores de m2 os blocos permanecem em repouso depois deles serem liberados a 
partir do repouso? 
 
13. O bloco A da figura abaixo pesa 1,20N e o bloco B pesa 3,60N. coeficiente de atrito 
cinético entre todas as superfícies é 0,300. Determine o módulo da força horizontal necessária 
para arrastar o bloco B para a esquerda com velocidade constante, quando: 
a) bloco A está sobre o bloco B e se move com ele; R.: 1440N 
b) bloco A é mantido em repouso. R.:1,80N25 
 
 
 
14. No sistema indicado na figura abaixo, o bloco A possui massa mA, o bloco B possui massa 
mB e a corda possui massa diferente de zero mcorda. A 
corda possui comprimento total L e a polia possui raio 
muito pequeno. Ignore qualquer concavidade na parte 
horizontal da corda. 
a) Se não existe atrito entre o bloco A e o topo da mesa, 
ache a aceleração dos blocos no instante em que um 
comprimento d da corda fica suspenso verticalmente 
entre a polia e o bloco B. À medida que o bloco B cai, o 
módulo da aceleração cresce, diminui ou permanece 
constante? Explique. R.:a=g.(mB + mR) / (mA + mB + mR) 
b) Considere mA=2,00kg, mB=0,400kg, mcorda=0,160kg e L=1,00m. Se existe atrito entre o bloco 
A e o topo da mesa, com µC=0,200 e µE=0,250, calcule o valor da distância mínima d, tal que os 
blocos comecem a se mover se eles inicialmente estavam em repouso. R.: 0,63m 
c) Repita a parte b) para o caso =0,040kg. Os blocos se moverão neste caso? 
 
 
15. A figura ao abaixo mostra um sistema formado por três 
corpos,A, B e C. O coeficiente de atrito cinético entre os blocos A e 
B é de 0,4. A superfície horizontal e as roldanas não tem atrito. 
a) Faça diagrama de forças em cada bloco, 
b) determine a aceleração de cada bloco, 
c) determine as trações em cada fio. 
Dados: massa de A= 20kg 
 massa de B = 50kg 
 massa de C = 75k 
 
 
 
16. Um corpo de massa mA = 50kg está acoplado a um outro 
corpo de massa mB=25kg. Um dinamômetro calibrado em 
newtom é colocado ente o corpo A e a roldana. Considerando 
que d=0,5. 
a) Qual a aceleração do conjunto? 
b) Qual a leitura no dinamômetro? 
 
A
B
30