AI3 Administração Cálculo Aplicado à Administração

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Cálculo Aplicado à 
Administração
Prof. Me. Paulo Martinelli
Aula Interativa 3
Lógica Matemática
Raciocínio Lógico
Três funcionários, A, B e C, 
decidem dividir entre si a tarefa 
de conferir o preenchimento de 
420 formulários. A divisão deverá 
ser feita na razão inversa de seus 
respectivos tempos de serviços no 
Tribunal. (...)
(...) Se A, B e C trabalham há 3, 
5 e 6 anos, respectivamente, o 
número de formulários que B 
deverá conferir é:
a) 100
b) 120
c) 200
d) 240
e) 250
Resolução:
A + B + C = 420 � 420
1 + 1 + 1 10 + 6 + 5 21
3 5 6 30 30
Como queremos saber somente a 
quantidade de B, temos:
B = 420 � 5 . B = 420 . 30 = 12.600 = 120 
1 21 5 . 21 105 
5 30
Portanto, a resposta correta é 
a alternativa “b”.
Silogismo
Se João toca piano, então Lucas 
acorda cedo e Cristina não 
consegue estudar. Mas Cristina 
consegue estudar. Segue-se, 
logicamente, que:
a) Lucas acorda cedo.
b) Lucas não acorda cedo.
c) João toca piano.
d) João não toca piano.
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Resolução:
A questão começa com “Se João 
toca piano, então Lucas acorda 
cedo [...]”, o que impede Cristina 
de estudar. Mas se Cristina 
consegue estudar, isso quer dizer 
que Lucas não acorda cedo. Mas 
como informa a questão, “se” João 
toca, Lucas acorda, logo, João não 
toca.
Resposta correta = alternativa “d”.
Tabela-Verdade
O conectivo e é a conjunção.
O conectivo e é a conjunção de 
duas proposições p e q é outra 
proposição que tem como valor 
lógico V se p e q forem 
verdadeiras e F em outros casos.
O símbolo p Λ q (p e q) 
representa a conjunção, e com a 
seguinte tabela-verdade:
p = o número 17 é primo.
q = Brasília é a capital do Brasil. 
p Λ q = o número 17 é primo e Brasília é a capital 
do Brasil.
p = 2 é par.
q = o céu é rosa.
p Λ q = 2 é par e o céu é rosa.
p = 2 é ímpar.
q = o céu é azul.
p Λ q = 2 é ímpar e o céu é azul.
p = 9 < 6
q = 3 é par.
p Λ q = 9 < 6 e 3 é par.
Exemplo: O conectivo ou é a disjunção.
O conectivo ou é a disjunção de 
duas proposições p e q é outra 
proposição que tem como valor 
lógico V se alguma das 
proposições for verdadeira e F se 
as duas forem falsas. 
O símbolo p ∨ q (p ou q) 
representa a disjunção, e com a 
seguinte tabela-verdade:
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p = o número 17 é primo.
q = Brasília é a capital do Brasil.
p ν q = o número 17 é primo ou Brasília é a 
capital do Brasil.
p = 2 é par.
q = o céu é rosa.
p ν q = 2 é par ou o céu é rosa.
p = o número 9 é par.
q = o dobro de 50 é 100.
p ν q = o número 9 é par ou o dobro de 50 é 
100.
p = 9 < 6
q = 3 é par.
p ν q = 9 < 6 ou 3 é par.
Exemplo:
Medidas de Tendência Central 
e de Dispersão
� Introdução
� Medidas de tendência central:
• a média aritmética
• a mediana
• a moda
Dados os valores 7 – 6 – 5 – 4 – 8 
– 9 – 10 – 4 – 7 – 8 – 5 – 6 – 7, 
determine a média aritmética 
simples, a mediana e a moda.
4 – 4 – 5 – 5 – 6 – 6 – 7 – 7 – 7 –
8 – 8 – 9 – 10
Ma = (4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 
+ 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10) / 13 = 
6,6
Me = 7
Mo = 7
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� Medidas de dispersão:
• amplitude
• desvio médio
• variância
• desvio padrão
X – X f X – X . f
4 – 6,6 = –2,6 2 5,2
5 – 6,6 = –1,6 2 3,2
6 – 6,6 = –0,6 2 1,2
7 – 6,6 = 0,4 3 1,2
8 – 6,6 = 1,4 2 2,8
9 – 6,6 = 2,4 1 2,4
10 – 6,6 = 3,6 1 3,6
Σ 13 19,6
Amplitude = 10 – 4 = 6
Dm = 19,6/13 ∴ Dm = 1,5
X – X f X – X 2 . f
4 – 6,6 = –2,6 2 13,52
5 – 6,6 = –1,6 2 5,12
6 – 6,6 = –0,6 2 0,72
7 – 6,6 = 0,4 3 0,48
8 – 6,6 = 1,4 2 3,92
9 – 6,6 = 2,4 1 5,76
10 – 6,6 = 3,6 1 12,96 
Σ 13 42,48
S = 42,48 / 13 – 1 = 3,54
O desvio padrão será:
S = Σ (X – X)2 . f
n – 1
S = 42,48 = 1,8815
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Probabilidades
� Introdução
Um número é sorteado entre os 
inteiros de 1 a 20. Qual a 
probabilidade dele ser um número 
primo?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 
20}
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
P(A) = 8 = 2 ou 40%
20 5
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Teoria das Probabilidades
Regra da adição para eventos 
mutuamente exclusivos
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Obs.: ∪ significa união e 
corresponde à soma.
Lê-se “OU”.
Joguei um dado uma única vez. 
Qual a probabilidade de ter dado 
um número divisível por 3?
P(3 ∪ 6) = P(3) + P(6)
P(3 ∪ 6) = 1 + 1 = 2 = 1
6 6 6 3
ou 33,33%.
Regra da adição para eventos não 
mutuamente exclusivos
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Em uma disputa final de torneio 
de tiro ao alvo, a probabilidade de 
Álvaro acertar no alvo é de ½, e a 
de Bruno atingir o mesmo alvo é 
de 3/5. Qual a probabilidade do 
alvo ser atingido, se ambos 
atirarem nele? (Eventos não 
mutuamente exclusivos; ambos 
podem acertar o alvo)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
P(A ∪ B) = 1/2 + 3/5 – 1/2 * 3/5
P(A ∪ B) = 11/10 – 3/10
P(A ∪ B) = 8/10 ou 4/5, ou,
P(A ∪ B) = 80%
P(X) = CN,X . p X . q N - X = 
= N ! . p X . q N - X
X ! (N – X) !
Distribuição Binomial
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Experimento:
Jogar um dado honesto 7 vezes.
P(quatro 3 em sete jogadas) = ?
p = 1/6; q = 5/6
N = 7 (número de tentativas)
X = 4 (nnúmero de sucessos)
P(X = 4) = C7,4 . p 
4 . q 7 - 4 = 
= 7 ! . (1/6) 4 . (5/6) 7 - 4
4 ! (7 – 4) !
P(X = 4) = 7.6.5.4! . 1 . 125
4 ! . 3 ! 1.216 216
P(X = 4) = 210 . 1 . 125
6 1.216 216
P(X = 4) = 26.250 = 0,0166
1.575.936
P(X = 4) = 1,66%
Distribuição de Poisson
P(X  λ) = λX . e −λ
X !
Obs.: λ = número médio de 
sucessos (é sempre um valor 
conhecido)
Uma empresa de manutenção de 
computadores recebe, em média, 
9 chamadas por hora. Qual a 
probabilidade de que, em uma 
hora qualquer, sejam recebidas, 
exatamente, 5 chamadas?
P(X = 5λ = 9) = 95 . e−9
5 !
= 59049 . 0,000123 = 
120
= 0,0607 ou 6,07%
Curva da Distribuição Normal 
de Probabilidades
f(X)
X
Z
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Qualquer conjunto de valores X 
normalmente distribuídos pode 
ser convertido em valores 
normais padronizados z pelo uso 
da fórmula:
z = X − λ
S
Uma fábrica de pneumáticos 
verificou que o desgaste dos seus 
pneus obedecia a uma distribuição 
normal, com média de 72.000 km e 
desvio padrão de 3.000 km. Calcular 
a probabilidade de um pneu, 
aleatoriamente escolhido, durar 
entre 69.000 km e 75.000 km.
Distribuição Normal
Dados do enunciado: X1 = 75.000; 
X2 = 69.000; λ = 72.000 e S = 
3.000. 
Visualizando o que deve ser 
calculado: