Exercícios CVGA

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Professor: Wildson Cruz/Novembro/2013 
Ângulos entre os planos 
1º) Determinar o ângulo entre os planos 
Π1: 2x+y-z+3=0 e Π2: x + y- 4 = 0 
 
2º) Determine o valor de m para que seja 30o o ângulo entre os planos: 
Π: x + my + 2z – 7 = 0 e Π2 : 4x + 5y + 3z + 2 = 0. 
 
 
Intersecção entre dois Planos: A intersecção entre dois plano é uma reta r cujas 
equações podemos determinar. 
 
1º)Sejam os planos não-paralelos: 
 
Π1: 5x – y + z – 5 =0 Π2: x + y + 2z – 7 =0 determinar a equação paramétrica da reta 
que é intersecção dos planos. 
 
 
2º) Sejam os planos não-paralelos: 
 
Π1: 3x – y + 2z –1 =0 Π2: x + 2y -3z – 4 =0 determinar a equação paramétrica da reta 
que é intersecção dos planos. 
 
 
Planos Perpendiculares: Dois planos são perpendiculares se o produto escalar entre os 
vetores n1 e n2 é igual a zero 
 
1º) Verificar se Π1 e Π2 são planos perpendiculares. 
 
a) Π1 :3x + y – 4z +2 =0 e Π2 :2x + 6y + 3z =0 
b) Π1: 4x-y-z+3=0 e Π2: -x + y - 3z - 1 = 0 
 
Distâncias: 
a) Distância entre dois pontos: )=√ 
 
 
b) Distância entre duas retas: )=
| |
| |
 
 
 
1º) Calcular a distância entre P1(2, -1 , 3) e P2(1, 1, 5) 
 
 
2º)Calcular a distância entre as retas: 
 
 
r1:{
 
 
 
 e r2 {
 
 
 
 
 
Cônicas: Circunferência e Elipse 
 
As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representações 
serão realizadas no plano cartesiano (ℜ2). A expressão geral de uma cônica, exceto 
para a circunferência, é uma equação do 2º grau da forma: Ax +Bxy+ Cy +Dx+ Ey +F= 0 
CIRCUNFERÊNCIA 
Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo 
C (centro) do mesmo plano. 
Seja a circunferência de centro C(m,n) e raio r. Seja P(x,y) um ponto qualquer 
da circunferência. Equação geral : x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º) Determinar a equação reduzida e normal da circunferência de centro C (3, 9) e 
raio igual a 5. 
2º) Calcule o valor de k para que o ponto P(2, 1) pertença a elipse de equação kx2 + 
2y2 = 6