LISTA DE EXERCÍCIO ENVOLVENDO LIMITES

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Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Napoleão Sobrinho
E-mail: napoleaosobrinho@yahoo.com.br
ESTUDO DOS LIMITES
ESTUDO DOS LIMITES DE UMA FUNÇÃO
O conceito de Limite é fundamental em todo o Cálculo Diferencial
e Integral, um campo da Matemática que se iniciou no século XVII
com os trabalhos de Isaac Newton(1642-1727) e Gottfried
Wilhelm Leibnitz (1646-1716) para resolver problemas de
Mecânica e Geometria. A utilização de limites ajuda na
compreensão de diversas situações envolvendo funções, através
de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os
pontos de intersecção entre funções, a continuidade de funções
também utiliza as noções de limites, bem como os problemas
envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes.
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A ideia intuitiva de limite
Exemplo 1
3
Exemplo 2
4
Exemplo 3
5
Definição de Limites
Obs.: DELTA MINÚSCULO (δ) e ÉPSILON (ε)
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Relação entre  (delta) e  (épsilon) na definição de 
limite.
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Propriedades dos Limites
1) Regra da soma (ou subtração)
2) Regra do produto
3) Regra do quociente
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4) Regra da potência
5) Regra da raiz
6) Regra do logaritmo
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7) Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno)
8) Regra da exponencial
Observações: Sendo k um número real (uma constante), temos que: 
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Exercícios de fixação
Calcule os seguintes limites aplicando as propriedades vistas:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
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Limites laterais
Definição (1): Se x se aproxima de a através de valores maiores que a
ou pela sua direita, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
Definição (2): Se x se aproxima de a através de valores menores que a
ou pela sua esquerda, escrevemos: 
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Exemplos
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Continuidade
Definição: Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio 
se as seguintes condições são satisfeitas:
1) Existe f(a); 2) Existe Lim f(x)
x→a
3) Lim f(x)=f(a)
x→a
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento
de I. Dizemos que f é descontínua em a se f não for contínua em a. Da definição
decorre que, se f é descontínua em a, então as duas condições abaixo deverão
estar satisfeitas:
1) Existe f(a) 2) Não existe lim f(x) ou lim f(x) ≠ f(a)
x→a x→a
Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo aberto ]a, b[ se
f for contínua em qualquer elemento x desse intervalo.
Definição: Seja a um ponto do domínio da função f . Dizemos que f é contínua
à direita de a se Lim f(x) = f(a) e dizemos que f é contínua à esquerda de a se
x→a +
Lim f(x) = f(a).
x→a –
Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado [a, b]
se f for contínua no intervalo aberto ]a, b[ e se também for contínua à direita de
a e à esquerda de b.
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Propriedades:
1. Toda função polinomial é contínua em todos os reais.
2. Toda função racional (divisão de polinômios) é contínua em seu domínio.
3. As funções f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x) são contínuas para todo número real x
4. A função exponencial f(x) = ex é contínua para todo número real x.
5. Se f e g são funções contínuas em um ponto a, então:
(i) f + g é contínua em a; (ii) f - g é contínua em a;
(iii) f x g é contínua em a; (iv) f / g é contínua em a, desde que g(a) ≠ 0.
6) Sejam f e g funções tais que Lim f(x)= b e g é contínua em a. Então
x→a
Lim g[f(x)] = g[lim f(x)].
x→a x→a
7) Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então a função composta gof é 
contínua em a.
8) Seja y = f(x) definida e contínua em um intervalo real I. Seja J = Im(f). Se f
admite uma função inversa f -1:J→I, então f -1 é contínua em todos os pontos de
J.
Obs.: Devido a esta propriedade, a função f(x) = ln(x) é contínua em todo o seu
domínio (R+
* ), uma vez que é a inversa da função exponencial, que é contínua.
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EXEMPLOS
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Exercícios
Determine a para que a função seja contínua no ponto especificado:
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Alguns limites envolvendo Infinito
Conforme sabemos, a expressão x→ +∞ (x tende
para mais infinito) significa que x assume valores
superiores a qualquer número real e x→-∞ (x
tende para menos infinito), da mesma forma, indica
que x assume valores menores que qualquer
número real.
Exemplos:
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1) 
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2) 
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Limites Infinitos
O que acontece com os valores de f(x) na função abaixo quando x se
aproxima de 1?
Construindo a tabela e fazendo o esboço do gráfico, obtemos:
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Definição. Seja I um intervalo real, com a ∈ I , e f uma função real definida em I-{a}.
Então, dizemos que lim f (x) = +∞
x→a
quando x se aproxima de a e f(x) cresce ilimitadamente, ou seja, quando, para
qualquer número M > 0, existe um número δ > 0 tal que, se 0 < |x − a| < δ, então
f (x) > M, Ou ainda,
Tomemos, agora, a função g como sendo g(x) = −1/(x − 1)2 definida para todo x real
e x diferente de 1. Tomemos valores cada vez mais próximos de 1, respectivamente,
à esquerda e à direita. Temos:
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Definição: Seja I um intervalo real, com a ∈ I , e f uma função real definida em I-{a}.
Então, dizemos que lim f(x) = −∞
x→a
quando x se aproxima de a e f(x) decresce ilimitadamente, ou seja, quando, para
qualquer número M < 0, existe um número δ > 0 tal que, se 0 < |x − a| < δ, então
f (x) < M. Ou ainda,
Teorema:[Teorema da Conservação do Sinal] Se lim f (x) = b≠ 0,
x→a
então existe uma vizinhança Va de a, tal que ∀ x ∈ Va, x ≠ a, tem-se f (x) com o
mesmo sinal de b.
Teorema. Sejam f (x) e g(x) funções reais. Se lim f (x) = k, k ∈ R∗ e lim g(x) = 0,
x→a x→a
então:
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OBS.: Este teorema continua válido se “ x→a ” for substituído por “ x→a+ ” ou 
“ x→a- ” .
Exemplo
SOLUÇÃO
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OUTRO MODO DE RESOLVER A QUESTÃO:
Fazendo A(x) = 6 e B(x) = x – 5 e, em seguida, a distribuição dos sinais na reta 
real, obtemos:
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Calcule: 
Solução
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Obs.: Se fosse pedido para x→2 + , o limite seria +∞. Porém, o limite com 
x→2, não existiria pois, os limites laterais são diferentes.
Verifique o que ocorre o exemplo abaixo:
Calcular o limite Pode-se verificar através dos cálculos que:
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Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
Observação: Alguns limites poderão ser calculados de uma forma direta através 
do seguinte teorema:
Propriedades dos limites Infinitos 
Antes de prosseguirmos, façamos um resumo dos teoremas, lembrando que as 
proposições permanecerão válidas se substituirmos o símbolo “x→a” por 
x→a+) ou (x→a -)
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Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos:
Exemplos:Calcular os limites e
Solução
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Calcular os limites abaixo
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Limites no infinito
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Definição 1: 
Definição 2: 
Teorema:
Se n é um número inteiro positivo, então:
Limite de uma função polinomial para x→ ± ∞
Seja a função polinomial f(x)= anx
n + an-1x
n-1 + ... + a2x
2 + a1x
1 + a0.
Então lim f(x) = lim anx
n
x→± ∞ x→± ∞
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Exemplos
Encontre:
Solução:
Solução:
Solução:
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Solução
Solução
Solução
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Assíntotas
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se
aproximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce, conforme as figuras
abaixo:
Definição:
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y= f(x), se pelo menos uma das
seguintes afirmações for verdadeira:
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Exemplo:
1) A reta x=2 é uma assíntota vertical do gráfico de y= 1/(x-2)2.
De fato, lim 1/(x-2)2=1/0+=+∞, ou também, lim 1/(x-2)2=1/0+ =+∞
x→2+x→2-, 
2) A reta x=0 é uma assíntota vertical do gráfico das funções abaixo:
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Definição:
A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de y= f(x), se pelo menos uma
das seguintes afirmações for verdadeira:
Exemplos
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Observação: exemplos que NÃO representam assíntota (vertical ou horizontal)
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Definição:
A reta y = a.x+b (a≠0) é uma assíntota inclinada do gráfico de y= f(x), se pelo
menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
i) lim[f(x)-(a.x+b)] = 0
x→+∞
ii) lim[f(x)-(a.x+b)]= 0
x→-∞ 
Exemplo:
Observação:
Em muitos gráficos de funções é possível observar mais que um tipo de assíntotas.
Por exemplo, a função f(x) = x/(x2 - 9), possui as retas x = 3 e x= - 3 como assíntotas 
verticais e a reta y=0 (eixo dos x) é uma assíntota horizontal. (Verifique!!!)
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Exemplo
Como todos os valores da função seno estão entre – 1 e 1, temos que:
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LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO
Para isso, tomemos x no intervalo 0 < x < /2.
Representando na circunferência trigonométrica abaixo, temos: 
Geometricamente, é possível constatar que
sen(x)<x<tg(x)  sen(x) ≤ x ≤ tg(x). Com x≠0,
podemos inverter os termos dessa igualdade.
Assim, multiplicando por sen(x) os dois membros da
desigualdade acima, temos:
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Respostas: a) 3 b) 1/2 c) 5/2 d) m/n (n≠0) e) 1 
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j) Basta fazer y=1/xx=1/y e para x→+∞  y→0. Então lim[x.sen(1/x)]= lim[sen(y)]/y = 1
x→+∞ y→0
Respostas: f) 2 g) 2/3 h) cos(a) i) – sen(a)
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LIMITES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Teoremas com relevância para o estudo dos limites da função
exponencial.
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Exercícios de fixação
Limites da função logarítmica
Teoremas com relevância para o estudo dos limites da função logarítmica.
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Exercícios de fixação
Limite exponencial fundamental
Definição do número e 
O número e é um número irracional neperiano, cujo valor aproximado é e = 2,718281
Respostas: a) - 4 b) -∞ c) +∞ d) 4 e) ln62 f) 0
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Observações importantes 
Observe a tabela abaixo:
Ainda de forma mais geral, temos:
As duas últimas formas, dão solução imediata a exercícios do tipo abaixo evitando fazer
substituições algébricas.
Generalizando esta última propriedade, temos: 
Observação: se a = e, temos:
(1 )
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Demonstração de (1)
Exercícios de fixação
Calcular os limites
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Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO,
existe uma rocha. Possui 100 Km de altura, 100 Km
de largura e 100 Km de comprimento. A cada milênio
um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando
a rocha estiver totalmente gasta pela ação do
pássaro, um dia na eternidade terá se passado. 
(Hendrick Van Loon)
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