Apostila Geometria Grafica Tridimensional 2016

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Apostila 
 
GEOMETRIA GRÁFICA 
TRIDIMENSIONAL 
 
 
Autoras: 
Profª Andiara Lopes 
Prof ª Mariana Gusmão 
 
 Organização dos exercícios: 
Prof. Cesário Júnior 
 
 
 
2016.1 
APRESENTAÇÃO e AGRADECIMENTOS 
 
 
Caro(a) Aluno(a), 
 
 Esta é uma apostila desenvolvida especialmente para os alunos da disciplina 
Geometria Gráfica Tridimensional, ministrada no Ciclo Básico do Curso de Engenharias da 
Universidade Federal de Pernambuco. 
Essa apostila surgiu da necessidade de registrar soluções didáticas encontradas em 
sala de aula e discussões posteriores realizadas periodicamente por uma equipe de 
professores que ministram essa disciplina desde 2009. Vale salientar que essa equipe de 
professores não é fixa e, portanto, não há como registrar nominalmente cada um dos 
membros que contribuiu com as discussões. 
 Essa apostila aborda três tipos de projeções bastante utilizadas em desenho técnico: 
Cavaleira, Desenho Isométrico e Sistema Mongeano. Além disso, aborda temas como Vistas 
Auxiliares, Verdadeira Grandeza e o estudo da Seção Plana nos sólidos básicos. 
 A apostila está dividida em seis capítulos. O primeiro capítulo é introdutório e aborda 
algumas noções básicas sobre desenho, representação, projeção e perspectiva, bem como 
materiais de desenho e sua utilização. O segundo capítulo trata da Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira. O terceiro capítulo aborda o Desenho Isométrico, que é uma simplificação da 
Perspectiva Cilíndrica Isométrica. O quarto capítulo tem como tema o Sistema Mongeano de 
Representação. Finalmente, o quinto e sexto capítulos tratam dos estudos de Verdadeira 
Grandeza e Seção Plana, respectivamente. 
Os exercícios foram retirados, em parte, de livros e apostilas, especialmente do livro 
do professor Mário Duarte e da apostila anterior da disciplina, do professor João Duarte. Outra 
parte dos exercícios foi retirada de provas anteriores elaboradas pela equipe de professores já 
citada acima. 
 
 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
 
1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 4 
1.2. Instrumentos de Desenho 4 
1.3. Elementos Básicos do Desenho 6 
1.4. O Desenho como Linguagem 7 
1.5. Ortoedro de Referência 9 
1.6. Sistema de Projeção 10 
1.7. Tipos de Projeção 12 
1.7.1. Projeção Cônica 13 
1.7.2. Projeção Cilíndrica 14 
1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 16 
 
CAPÍTULO 2 – Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 
2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 18 
2.2. Eixos Coordenados 18 
2.3. O Eixo y 20 
2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 21 
2.4.1. A Direção da Cavaleira – ângulo α 21 
2.4.2. Fator de Deformação (K) 22 
2.5. Rotação da Peça 23 
2.5.1. Diferença entre Rotação e Variação do 
 Quadrante de Projeção do Eixo y 24 
2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 25 
2.6. Cilindros e Cones 26 
2.6.1. Cilindros 27 
2.6.2. Cones 28 
2.6.3. O Desenho da Elipse 28 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
 
3.1. Caracterização da Axonometria 33 
3.2. Caracterização do Desenho Isométrico 34 
3.3. Desenho Isométrico na Prática 35 
3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de 
 Referência 36 
3.4. 1. A Visualização de Todas as Faces 36 
3.4.2. Rotação da Peça 37 
3.5. Cilindros e Cones 37 
3.5.1. O Desenho da Elipse e da Oval 39 
 
EXERCÍCIOS DA PRIMEIRA UNIDADE 44 
 
 
 
CAPÍTULO 4 – A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
 
4.1. Introdução 49 
4.2. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica 
 Ortográfica 
 
50 
4.3. Observador, Objeto e Planos de Projeção 52 
4.3.1. Primeiro e Terceiro Diedros 53 
4.3.2. Segundo e Quarto Diedros 54 
4.3.3. Sistemas Alemão e Americano 54 
4.4. As Seis Vistas 55 
4.5. Os Eixos Coordenados 58 
4.6. Visualização das Vistas Mongeanas e da Peça 59 
4.7. A Escolha das Vistas 61 
4.8. Desenhando as Primeiras Peças em Mongeano 62 
4.9. Os Sólidos Básicos: Prismas, Pirâmides, Cilindros, 
 Cones e Esferas 
 
65 
4.9.1. Prisma 65 
4.9.2. Pirâmides 67 
4.9.3. Cilindros 68 
4.9.4. Cones 70 
4.9.5. Esferas 72 
 
EXERCÍCIOS DA SEGUNDA UNIDADE 75 
 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
 
5.1. Definições e Usos 100 
5.1.1. Compreendendo as Três Posições 
 Básicas: Paralela, Perpendicular e 
 Oblíqua 
 
100 
5.2. Sistema Mongeano e Plano Auxiliar 102 
5.3. Mudança de Plano 105 
5.4. Caso 1 105 
5.5. Caso 2 107 
5.6. Caso 3 109 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
 
6.1. Introdução ao Conceito de Seção Plana e 
 Interseção 
 
112 
6.1.1. Superfície e Sólido 112 
6.1.2. Interseção e Seção 113 
6.2. Seção Plana de Sólidos Geométricos Básicos 115 
6.2.1. Seção Plana de Prismas 115 
6.2.2. Seção Plana de Pirâmides 117 
6.2.3. Seção Plana de Cilindros 120 
6.2.4. Seção Plana de Cones 124 
 
EXERCÍCIOS DA TERCEIRA UNIDADE 
 
133 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
4 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
 
1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 
 
O conteúdo dessa disciplina é importante para os estudantes de engenharia porque a prática 
profissional inclui a resolução de problemas que envolvem a visualização e representação de objetos 
e construções em diversas escalas nos projetos de engenharia. 
O principal objetivo da disciplina Introdução ao Desenho é desenvolver as habilidades de 
visualização espacial, expressão e interpretação gráficas. Isso quer dizer que ao final do semestre, se 
espera que os alunos possam visualizar sólidos geométricos, se expressar graficamente e representar 
objetos em cavaleira, desenho isométrico e no sistema mongeano. 
Para tanto, a metodologia utilizada na disciplina inclui aulas expositivas e resolução de 
exercícios em sala. No entanto, para atingir um nível satisfatório na disciplina é necessário que o 
aluno reserve tempo extra-aula para complementar com resolução de exercícios. 
A disciplina será divida em três unidades: I) cavaleira e desenho isométrico; II) sistema 
mongeano e; III) verdadeira grandeza e seção plana. Ao final de cada unidade será realizada uma 
prova. O assunto é cumulativo. O calendário do curso é fixo, portanto as datas das provas são 
definidas no início do semestre. As informações e materiais trocados entre professor e aluno deverão 
ser feitas em sala de aula e através de e-mail. 
 
1.2. Instrumentos de Desenho 
 
É muito importante que os alunos das disciplinas de desenho tenham total domínio do uso dos 
instrumentos básicos de desenho. 
 
1. Lapiseira: recomenda-se o uso de lapiseira com grafite do tipo HB com espessura de 0,5 mm, 
para evitar perda de tempo e imprecisão. 
2. Borracha: recomenda-se o uso de borracha branca macia, se possível borracha específica para 
desenho técnico. 
3. Régua: recomenda-se o uso de régua transparente de plástico ou acrílico, com 15 ou 20 cm. 
4. Compasso de Metal: recomenda-se o uso de compasso de metal. O compasso é um 
instrumento utilizado para desenhar arcos e circunferências, mas ele também pode ser usado 
para transportar medidas e ângulos. 
5. Par de Esquadros: recomenda-se o uso de um par de esquadros que não tenham marcação de 
escala. No par, um deve ter dois ângulos de 45ᵒ e o outro um ângulo de 60ᵒ e um de 30ᵒ. Veja 
as figuras 1.1 e 1.2. O tamanho dos esquadros é medido pelo lado maior, a hipotenusa do 
triângulo formado pelo esquadro de 45ᵒ e o lado de tamanho médio, cateto maior, do 
esquadro de 60ᵒ. 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
5 
 
 
Fig. 1.1 
 
 
Fig. 1.2 
 
Os esquadros são vendidos em pares por duas razões: primeiro porque um serve de 
apoio para o outro no traçado de linhas paralelas e perpendiculares e segundo, porque 
quando usados em conjunto com a régua T ou a régua paralela, seus ângulos permitem a 
formação de diversosoutros ângulos. Ver figura 1.3. 
 
Fig. 1.3 
 
6. Papel: recomenda-se o uso de papel branco com formato A4. A quantidade a ser utilizada é 
de aproximadamente meia resma. O formato básico de papel designado de A0 (A zero) 
considera um retângulo de 841 mm (altura “a”) por 1.189 mm (largura “l”) correspondente a 
1 m² de área. Deste formato derivam-se os demais formatos na relação l = a√ 2 , conforme 
figura 1.4. 
 
Fig. 1.4 
http://blog.creativecopias.com.br/simplificando-o-tamanho-e-formato-dos-papeis/ 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
6 
 
 
1.3. Elementos Básicos do Desenho 
 
O desenho possui quatro elementos básicos por meio dos quais podemos expressar ideias. 
São eles: o ponto, a linha, a superfície e o volume. Esses elementos são conceitos ou ideias, portanto 
são abstratos. Quando desenhamos um ponto, uma linha, uma superfície ou um volume esses 
conceitos deixam de ser conceitos e passam a ser formas ou representações. 
 
1. O Ponto: É o elemento mais básico e mais fundamental do desenho. Ele indica uma posição, 
não possui formato ou dimensão, não ocupa um lugar no espaço. É também o lugar do 
cruzamento de duas ou mais linhas. O ponto marca o início e o fim de uma linha. É 
representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino (A, B, D, K). Observe as figuras 1.5, 
1.6 e 1.7. 
 
 
Fig. 1.5 
 
Fig. 1.6 
 
Fig. 1.7 
 
2. A linha: À medida que o ponto se move, a sua trajetória se torna uma linha. Assim, a linha é o 
enfileiramento de pontos unidos. Possui apenas uma dimensão (comprimento); mas possui 
posição e direção. Porém, a posição e a direção são sempre relativos a um referencial, 
conforme veremos. É representada por uma letra minúscula do alfabeto latino (a, b, c, r, p, q, 
v, x). A linha define os limites de uma superfície e podem ser classificadas de acordo com o 
Formato e de acordo com o Traço. 
 
Nessa disciplina utilizaremos, com relação ao formato, linhas retilíneas e linhas curvas. 
Com relação ao tipo de traço, utilizaremos três tipos de linhas, conforme o quadro abaixo. 
 
TIPO DE LINHA DESENHO FUNÇÃO 
Linha fina contínua Representar linhas auxiliares de 
construção ou arestas não visíveis 
no desenho da cavaleira e do 
desenho isométrico 
Linha grossa contínua Representar arestas visíveis 
 
Linha grossa tracejada Representar arestas não visíveis no 
sistema mongeano 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
7 
 
3. A superfície: Na medida em que a linha se desloca, a sua trajetória, que não seja a sua direção 
intrínseca, se torna uma superfície. Assim, a superfície é o enfileiramento de linhas unidas. As 
superfícies possuem apenas duas dimensões, profundidade e largura. A superfície define os 
limites de um volume. Porém, a posição e a direção são sempre relativas a um referencial, 
conforme veremos. É representada por uma letra do alfabeto grego (α, β, γ, δ, λ, π, φ). 
 
4. O Volume: A trajetória de uma superfície em uma direção, que não seja a sua direção 
intrínseca, se torna um volume. O volume tem uma posição no espaço e possui também três 
dimensões: largura, altura e profundidade. No espaço o volume é limitado por planos. Ver 
figura 1.8. 
 
Fig. 1.8 
 
1.4. O Desenho como Linguagem 
 
De maneira geral, o desenho é uma forma de linguagem. Em outras palavras, pode-se dizer que 
um dos interlocutores usa-o para representar uma ideia e, assim, transmiti-la para o outro. No campo 
das engenharias, ele adquire um caráter específico, uma vez que precisa representar a forma, 
dimensão e posição de um objeto de acordo com as necessidades de cada projeto. Para os desenhos 
dessa natureza dá-se o nome de Desenho Técnico. 
Nas engenharias, como em muitas áreas de conhecimento existe a necessidade de se criar 
formas, desde um parafuso até uma edificação. A base desse processo está numa etapa chamada de 
criação, sendo seu produto um projeto. Esse último consiste na representação daquilo que está no 
plano das ideias, para que essas sejam compreendidas e executadas pelos outros profissionais 
envolvidos no processo precisam ser desenhadas. Esse desenho não pode ser feito de qualquer 
maneira, deve obedecer a alguns padrões e procedimentos que visem sua universalização. Dessa 
maneira, o desenho técnico cumpre sua função, que é a de estabelecer a comunicação entre as 
partes envolvidas no processo de criação e execução de objetos. 
Em um desenho artístico a representação é uma escolha do artista, este não tem compromisso 
com o que é real, sua representação é livre e é feita de acordo com a interpretação do objeto no 
contexto de sua visão do mundo. Nesse caso, cada artista possui uma linguagem própria, única e 
quanto mais particular for essa linguagem mais marcante será seu estilo. Diferentemente do desenho 
artístico, o desenho técnico é comprometido com a representação da realidade. Essa sua 
característica possibilita a comunicação entre as partes envolvidas no processo de produção de um 
objeto através da linguagem universal. Observe as figuras abaixo e reflita um pouco sobre as 
diferenças entre o desenho artístico, à esquerda, e o desenho técnico, à direita. 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
8 
 
 
 
Kandinsky, Arch and Point, 1923 
http://www.invisiblebooks.com/Kandinsky.htm 
Fig. 1.9 
 
 
http://aordemsinequanonoide.blogspot.com.br/2010/12/desenho-
tecnico-mecanico.html 
Fig. 1.10 
 
Para representar um objeto é importante perceber que todos os objetos que estão a nossa 
volta possuem três dimensões: largura, altura e profundidade. Quando vamos fazer a representação 
desse objeto, as dimensões precisam ser desenhadas em uma superfície com apenas duas 
dimensões, como é o caso do papel ou da superfície da tela do computador. Como fazer essa 
representação é exatamente o objetivo dessa disciplina. 
É importante salientar, mais uma vez, que a representação para o desenho técnico, não pode 
ser feita de maneira aleatória, ela deve obedecer a normas específicas para garantir a universalidade 
da linguagem. Tanto quem desenha como quem lê o desenho precisa falar a mesma língua, ou seja, 
dominem a representação na qual o desenho foi feito. Visando padronizar as possíveis 
representações de um objeto foram criados sistemas de representação. 
Os sistemas de representação são como linguagens a qual os profissionais da área dominam. 
Quem desenha e que lê o desenho sabem em qual sistema de representação o objeto foi desenhado, 
sabe retirar/interpretar do próprio desenho as informações necessárias para a sua construção. As 
representações dentro dos Sistemas de Representação são chamadas de perspectivas. 
O principal objetivo perspectivas é representar em uma superfície bidimensional as três 
dimensões de um objeto. Existem duas etapas nessa representação. A primeira diz respeito ao 
processo cognitivo de transpor a imagem do objeto real para a representação do mesmo no papel. A 
outra etapa é, exatamente, percorrer o caminho inverso, o qual consiste em perceber a 
tridimensionalidade do objeto quando ele está representado em duas dimensões, ou seja, no papel. 
Ambos os processos requerem o domínio das regras que diferenciam asperspectivas. 
A palavra perspectiva possui origem grega e deriva da palavra Perspicere, que significa “ver 
através de”. A maneira mais simples de definir perspectiva é: Perspectiva é a representação de um 
objeto ou paisagem – que possui três dimensões – em desenho, ou pintura, ou outra forma de 
representação gráfica, em duas dimensões. Ou ainda, a representação de três dimensões em duas 
dimensões. 
 
PERSPECTIVA = 3D 2D 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
9 
 
Abaixo estão diferentes representações de um mesmo objeto utilizadas no desenho técnico, 
figuras 1.11, 1.12, 1.13 e 1.14. 
 
 
 
 
 
Axonometria Cônica 
Fig. 1.11 
 
IsometriaFig. 1.12 
 
Cavaleira 
Fig. 1.13 
 
Mongeano 
Fig. 1.14 
 
 
Essas representações se diferenciam em função de dois aspectos: 
1°) Posicionamento do ORTOEDRO DE REFERÊNCIA, que imaginariamente envolve o objeto, 
em relação ao plano de projeção e; 
2°) Tipo de projeção. 
A seguir será explicado o significado de cada um desses termos. 
 
1.5. Ortoedro de Referência 
 
A utilização do ortoedro de referência é uma técnica muito útil quando se trabalha com 
representações em geral. Ela consiste em imaginarmos o objeto que queremos desenhar dentro de 
uma caixa, mas não de uma caixa qualquer. Essa caixa também pode ser chamada de ortoedro 
auxiliar, ortoedro envolvente, ou ainda, de paralelepípedo de referência. Ver figura 1.15. 
O ortoedro de referência possui características que facilitam a visualização espacial do objeto, 
são elas: 
1. Todas as suas arestas são paralelas a algum dos três eixos coordenados x, y e z, largura, 
profundidade e altura, respectivamente; 
2. Possui faces retangulares; 
3. As faces formam ângulos retos umas com as outras; 
4. As faces opostas são iguais entre si. 
 
 
Fig. 1.15 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
10 
 
A técnica do ortoedro de referência é um artifício que utilizamos para desenhar objetos 
quaisquer. É muito importante que ortoedro envolva o objeto completamente e, além disso, que 
fique bem “colada” ao objeto, de modo que possibilite a coincidência de faces e arestas do objeto 
com faces do ortoedro. Dessa maneira, o ortoedro de referência seria a MENOR CAIXA POSSÍVEL 
capaz de conter o objeto que queremos desenhar. 
Muitas vantagens podem ser vistas quando usamos o ortoedro de referência: 
1. O ortoedro é um objeto simples de ser desenhado; 
2. O uso do ortoedro faz com que possamos controlar quais faces queremos mostrar, porque 
primeiro decidimos como fica o desenho do ortoedro e só então colocamos o objeto 
dentro dele; 
3. Como o ortoedro possui todas as suas arestas paralelas a um dos três eixos coordenados, 
é fácil fazer uma correlação entre as medidas do objeto e as medidas do ortoedro; 
4. Qualquer objeto pode ser colocado, ou imaginado, dentro de um ortoedro, especialmente 
os objetos com faces curvas ou muito detalhadas. Quando mais detalhado é o objeto mais 
precisamos do ortoedro de referência. A figura 1.16 mostra um objeto qualquer e a figura 
1.17 mostra o mesmo objeto inserido no Ortoedro. 
 
 
Fig. 1.16 
 
 
Fig. 1.17 
 
1.6. Sistema de Projeção 
 
As representações têm em seu arcabouço sistemas de projeção. Para entender como funciona 
um sistema de projeção o exemplo mais comumente utilizado é o da sombra. Ver figura 1.18. 
 
 
http://well31.comunidades.net/index.php?pagina=1305455344 
Fig. 1.18 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
11 
 
Na figura 1.18, da fonte de luz (F) saem os raios luminosos que iluminam o objeto e a parede 
atrás do objeto. A sombra acontece porque os raios que iluminam o objeto não chegam até a parede, 
deixando a projeção da imagem do objeto na superfície bidimensional da parede. 
Um sistema de projeção funciona de forma semelhante. Para representar um objeto 
primeiramente é necessário projetá-lo. O processo de projeção funciona como uma cena, para 
compreendê-la precisamos conhecer alguns elementos básicos que a compõe. São eles: 
a. Observador: centro de projeção; 
b. Objeto: o objeto é o que queremos representar; 
c. Projetantes: raios visuais que partem dos olhos do observador; 
d. Plano de Projeção: é o plano onde será desenhada a projeção. 
 
A cena funciona da seguinte maneira: o observador observa o objeto. Para perceber o objeto, 
dos olhos do observador partem raios visuais, ou projetantes, que conectam os olhos do observador 
aos limites do objeto, projetando o objeto no plano de projeção. Os pontos, onde as projetantes 
“passam” ou “tocam” no plano de projeção definem o desenho da projeção do objeto, que consiste 
em uma imagem bidimensional proporcional ao objeto tridimensional. 
Na figura 1.19 abaixo o centro de projeção está representado pela lanterna, os raios de luz 
que saem da lanterna (projetantes) incidem sobre o objeto projetando-o no plano do quadro (plano 
de projeção). 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.19 
 
Na situação anterior o exemplo foi dado a partir de um objeto real, porém, podemos imaginar 
uma situação na qual o objeto é virtual, ou seja, existente apenas como uma ideia. Sendo assim, é 
necessário um grau de abstração relativamente maior para imaginar toda essa cena primeiramente 
em nossa mente, para, só então, representar no papel a projeção final do processo. 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
12 
 
 
1.7. Tipos de Projeção 
 
Existem dois tipos de projeção bastante conhecidos e utilizados, a PROJEÇÃO CÔNICA e a 
PROJEÇÃO CILÍNDRICA. Cada tipo possui uma subdivisão. Nessa disciplina serão abordadas as 
projeções Cilíndricas: cavaleira, isometria e sistema mongeano. Observe abaixo um quadro síntese 
que mostra o mesmo objeto sendo representado em cada um dos tipos de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE 
PROJEÇÃO 
1 FUGA 
PROJEÇÃO 
CÔNICA 
2 FUGAS 
3 FUGAS 
PROJEÇÃO 
CILÍNDRICA 
SISTEMA 
MONGEANO
O 
AXONOMETRIA 
CAVALEIRA 
DIMETRIA 
TRIMETRIA 
ISOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
13 
 
1.7.1. Projeção Cônica 
Na projeção Cônica o centro de projeção é chamado de PRÓPRIO, isso porque ele está a uma 
distância finita do objeto. Esse sistema é bem semelhante ao exemplo dado anteriormente, que 
comparou o centro de projeção com uma lanterna. No exemplo da figura 1.20 é fácil perceber que as 
projetantes que partem dos olhos do observador formam um feixe cônico. Por essa razão o sistema é 
chamado de Cônico. Esse feixe projeta o objeto, a esfera, no plano de projeção, ficando a imagem 
projetada em forma de circunferência. 
Na figura 1.21 temos um exemplo da uma projeção cônica de um objeto bidimensional, o 
triângulo ABC, o qual projetado segundo um centro de projeção O, forma a imagem A’B’C’. 
 
Projeção cônica 
Fig. 1.20 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção cônica 
Fig. 1.21 
 
Nesse curso nós não estudaremos esse tipo de projeção. Mas é importante sabermos que a 
projeção cônica imita a visão humana. Por isso, seu desenho é mais facilmente percebido, mesmo 
por pessoas que não conhecem o desenho. 
Nas figuras 1.22 e 1.23 temos a mesma cena vista de ângulos diferentes. A cena mostra uma 
projeção cônica com o plano de projeção localizado entre o observador e o objeto. Ao observarmos 
as duas imagens, podemos perceber claramente a relação entre observador, projetantes, objeto e 
sua imagem. 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
14 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.22 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.23 
 
 
1.7.2. Projeção Cilíndrica 
Na projeção Cilíndrica o observador está uma distância infinita do objeto. Nesse caso o centro 
çde projeção é IMPRÓPRIO, ver figura 1.24. 
As projetantes ao invés de serem concorrentes (num ponto que é o centro de projeção), como 
ocorre no sistema cônico de projeção, elas são paralelas. Isto é, as projetantes partem do centro de 
projeção num feixe em forma de cilindro, é por essa razão que esse sistema de projeção é chamado 
de cilíndrico. Um exemplo que ilustra bem a mecânica desse sistema de projeção é o dos raios 
luminosos que partem do sol. O sol está a uma distância tão grande da terra que ao chegar à sua 
superfície os raios luminosos estão quase paralelos entre si e aí projetam a sobra dos objetos sobrea 
superfície terrestre de forma cilíndrica. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
15 
 
 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-
conicas.html 
Fig. 1.24 
 
No sistema cilíndrico de projeção podemos ter as projeções cilíndricas oblíquas (figura 1.25) e 
as projeções cilíndricas ortogonais (figura 1.26). O que diferencia uma da outra é exatamente o 
ângulo de incidência das retas projetantes no plano de projeção. Nas projeções cilíndricas oblíquas o 
ângulo é diferente de 90° e nas projeções cilíndricas ortogonais esse ângulo é igual a 90°. Reparem a 
diferença: 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção Cilíndrica Oblíqua 
Fig. 1.25 
 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção Cilíndrica Ortogonal 
Fig. 1.26 
 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
16 
 
 
1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 
 
Uma coisa muito importante e motivadora para aprender um novo assunto é saber sobre a 
aplicabilidade do que se está aprendendo. Uma pergunta sempre válida diante de um novo 
conhecimento é “Que usos esse assunto possui?”. No caso dessa disciplina a pergunta seria? Que 
usos a representação de objetos tridimensionais em duas dimensões pode ter para um futuro 
engenheiro? 
A primeira aplicação seria a representação de objetos que muitas vezes estão apenas no plano 
das ideias. Quando é necessário comunicar uma ideia para outros, apenas palavras não explicam 
tudo, especialmente quando as ideias tratam de formas. 
 As Perspectivas Cilíndricas são indispensáveis para todas as áreas do conhecimento que 
trabalham ou estudam a FORMA: Arquitetura, Engenharia, Arte, Design, Expressão Gráfica, entre 
outras. Tal tipo de representação é a base do desenho técnico. 
Outra aplicação das Perspectivas Cilíndricas está presente em manuais de equipamentos 
sejam de móveis, de máquinas e até de brinquedos. Esses se utilizam das perspectivas cilíndricas tipo 
cavaleira ou axonometria (usualmente o desenho isométrico) para representar peças e 
equipamentos. Veja a figura 1.27 de um manual virtual para montagem de um brinquedo. Observe 
que desde as peças do menu até a representação da peça a ser montada estão em desenho 
isométrico. 
 
 
http://www.baixaki.com.br/download/lego-digital-designer.htm 
Fig. 1.27 
 
Uma terceira forma de aplicação das perspectivas está nos ambientes virtuais de jogos e 
manuais. Nesse ambiente a visão isométrica é um recurso amplamente utilizado, como mostra a 
figura 1.28. 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
17 
 
 
http://www.tecmundo.com.br/1085-o-que-e-visao-isometrica-.htm 
Fig. 1.28 
 
 
Na área das Engenharias a aplicabilidade das perspectivas em geral é quase uma 
obrigatoriedade, porque não há como falar de objetos, sejam reais ou virtuais, sem lançar mão do 
uso de algum tipo de representação da forma (ver figura 1.29). As perspectivas nesse caso são o 
recursos que estabelecem a comunicação na área. Nesse caso é possível utilizar tanto as perspectivas 
feitas à mão livre, quanto as feitas com esquadros e compasso, até mesmo as feitas com o auxílio de 
softwares especializados. Independentemente de como as perspectivas são elaboradas, para 
desenhá-las são necessários conhecimentos específicos sobre o assunto. 
 
 
HTTP://WWW.NAVAL.COM.BR/BLOG/2012/03/09/AVISOS-HIDROCEANOGRAFICOS-FLUVIAIS-AVHOFLU-RIO-SOLIMOES-E-RIO-
NEGRO/ 
 Fig. 1.29 
 
Muitos acreditam que com o amplo uso do computador não será mais necessário aprender 
certos conceitos, essas pessoas esquecem que o computador não realiza procedimentos sozinho. 
Para que o desenho seja feito com softwares é preciso efetuar comandos, caso contrário, mesmo 
com os mais avançados softwares disponíveis no mercado, o desenho pode findar incorreto ou 
incompleto. 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
18 
 
CAPÍTULO 2 – PERSPECTIVA CILÍNDRICA CAVALEIRA 
2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 Conforme visto no item 1.4 do capítulo anterior, as representações de objetos em perspectiva 
se diferenciam em função de dois aspectos: 
1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 
2. Tipo de projeção. 
No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, que está representada na figura 2.1, a posição 
característica ortoedro de referência é tal que sua face frontal SEMPRE ficará paralela ao plano de 
projeção. 
Já a projeção é do tipo CILÍNDRICA OBLÍQUA, ou seja, as retas projetantes são paralelas entre 
si, porque o observador está em um ponto impróprio, e essas encontram o plano de projeção de 
forma oblíqua, fazendo, portanto, um ângulo diferente de 90ᵒ, como aparece na figura 2.1. 
 
Fig. 2.1 
Fonte: DUARTE, 2008. 
 
Fig. 2.2 
 
A análise da figura 2.2, que traz a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do objeto 
da figura 2.1, mostra que os ângulos retos existentes na face frontal são mantidos em sua verdadeira 
grandeza, ou seja, a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira mantém a VG das medidas angulares, bem como 
lineares na face frontal da peça. Lembrando que isso ocorre porque a face frontal encontra-se 
paralela ao plano de projeção. Além disso, as arestas referentes às profundidades e às alturas são 
paralelas entre si. 
2.2. Eixos Coordenados 
A visualização de objetos tridimensionais se dá com mais facilidade quando se utilizam os 
eixos coordenados, uma vez que eles funcionam como uma estrutura que dá suporte a todo o 
desenho. A figura 2.3 traz um desenho esquemático dos três eixos coordenados. Nele está o eixo x, 
que é o eixo referente às larguras; o eixo y que é o eixo referente às profundidades, e o eixo z, que é 
o eixo referente às alturas. Dessa forma, todas as larguras da peça ficarão paralelas ao eixo x, todas 
as profundidades ficarão paralelas ao eixo y e todas as alturas ficarão paralelas ao eixo z. 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
19 
 
 
Posicionamento das Faces 
A figura 2.4 mostra um dado desenhado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e referenciado 
pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado é a FACE SUPERIOR do objeto, a 
face que contém o número dois é a FACE FRONTAL e a face que contém o número três é a FACE 
LATERAL DIREITA. A face oposta à face frontal é a FACE POSTERIOR, já a face oposta à face superior é 
a FACE INFERIOR e, finalmente, a face oposta à face lateral direita é a FACE LATERAL ESQUERDA. 
 
ATENÇÃO! 
É muito comum confundir a denominação das faces laterais, esquerda e direita. 
A face lateral esquerda fica do lado esquerdo de quem observa. Consequentemente, a face 
lateral direita fica do lado direito. 
Lembrem-se de que desenhos são inanimados, eles não possuem consciência e referência próprias. 
O observador é quem denomina as partes, direções e demais elementos do desenho. Portanto, é o 
referencial de quem observa que é levado em consideração. 
 
Quando os eixos coordenados são desenhados, como na figura 2.3, é possível perceber alguns 
aspectos particulares desse tipo de Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. O primeiro deles é a manutenção 
da ortogonalidade entre os eixos x e z. Se considerarmos o espaço tridimensional, é possível afirmar 
que todos os eixos fazem 90ᵒ entre si. No entanto, se considerarmos a representação em Perspectiva 
Cilíndrica Cavaleira só enxergamos 90ᵒ de fato entre os eixos x e z. Essa característica confere à 
Perspectiva Cilíndrica Cavaleira um aspecto importante que é o fato dos ângulos e medidas contidas 
na face frontal e posterior do ortoedro de referência manterem suas verdadeiras grandezas (VG), isto 
é, as medidas do desenho são iguais às medidas do objeto real. É por essa razão que se diz que na 
Perspectiva Cilíndrica Cavaleira as faces paralelas ao plano de projeçãoestão em VG. Já as outras 
faces sofrem algum tipo de deformação, fato que será estudado com mais detalhes adiante. Dessa 
maneira, quando se desenha uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira os eixos x e z SEMPRE fazem 90ᵒ 
entre si, ou seja, eles ficam fixos nessa posição, já o eixo y não tem uma posição fixa. A variação da 
direção do eixo y e as implicações dela serão estudadas no próximo item. 
 
Fig. 2.3 
 
Fig. 2.4 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
20 
 
2.3. O Eixo y 
As perspectivas sempre mostram três faces. No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira a 
face frontal, que fica paralela ao plano de projeção, SEMPRE é mostrada. Esta é, em geral, a 
principal face da peça. Usualmente, são mostradas as três faces que contêm mais detalhes ou as 
três que melhor definem o objeto. Sendo assim, podemos ter apenas as seguintes combinações: 
§ Frontal, lateral direita e superior; 
§ Frontal, lateral esquerda e superior; 
§ Frontal, lateral direita e inferior, e; 
§ Frontal, lateral esquerda e inferior. 
A representação de um ou de outro conjunto de faces, acima listados, depende da direção 
escolhida para projetar o eixo coordenado y, pois, como foi mencionado, os eixos x e z ficam fixos, 
fazendo 90° entre si. Assim, caso a direção escolhida para o eixo y seja como a que está na figura 2.5, 
as faces mostradas são a FRONTAL, a LATERAL ESQUERDA e a SUPERIOR. Já se a direção de y for 
como na figura 2.6 as faces mostradas são FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. 
 
Fig. 2.5 
 
Fig. 2.6 
A figura 2.7 traz a síntese das quatro possíveis direções que o eixo y pode assumir, bem como 
as faces que são mostradas em cada caso. Quando a direção escolhida para a projeção do eixo y é a 
que está no quadrante 1, são mostradas as faces: FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e INFERIOR. No 
quadrante 2 são as faces: FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. No quadrante 3, as faces: 
FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR; e, finalmente, no quadrante 4, as faces mostradas são: 
FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e SUPERIOR. 
 
Fig. 2.7 
1 
4 3 
2 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
21 
 
2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 Para que uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira possa ser elaborada dois parâmetros precisam 
ser previamente definidos: a direção da Cavaleira (α) e o fator de deformação (k). 
 
A figura 2.8 apresenta a projeção de um 
objeto em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. 
Nessa representação podemos perceber que 
as arestas referentes à largura (ex.: AC) e à altura (ex.: 
AD) são paralelas ao plano de projeção e quando 
projetadas aparecem nesse plano exatamente com a 
mesma medida que possuem no real. Isso significa 
que na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira elas estão em 
VG. 
No entanto, as arestas referentes à 
profundidade (ex.: AB), que no espaço estão 
perpendiculares ao plano de projeção, quando 
projetadas, aparecem de maneira deformada. Essa 
deformação vai depender da direção tomada pelas 
retas projetantes (ex.: AA’). Tal direção pode ser 
determinada por dois ângulos (α e β). No próximo 
item tais ângulos e as relações que eles têm com os 
parâmetros determinantes da Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira serão estudados. 
 
 
Fig. 2.8 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
2.4.1. A Direção da Cavaleira (α) 
DEFINIÇÃO: O ângulo α pode ser definido como sendo o ângulo formado pela horizontal da projeção 
(ex.: A’C’) e pela projeção da profundidade do objeto (ex.: A’B’), como podemos ver na figura 2.8. 
Não existe uma medida definida para α, ou seja, uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira pode ser 
desenhada com α medindo qualquer ângulo entre 0ᵒ e 90ᵒ. No entanto, a medida de α vai influir na 
porção vista das faces. Na prática, os ângulos existentes nos esquadros (30ᵒ, 45ᵒ e 60ᵒ) acabam 
sendo, pela praticidade, os ângulos mais utilizados na elaboração de Perspectivas Cilíndrica Cavaleira, 
mas nada impede que outras medidas sejam adotadas. Veja nas três figuras abaixo uma comparação 
mostrando o que acontece quando variamos os valores de a. 
 
Fig. 2.9 
 
Fig. 2.10 
 
Fig. 2.11 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
22 
 
O que podemos concluir após a análise das figuras acima é que mesmo que estejam sendo 
mostradas as mesmas faces (FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR), quando o ângulo α varia, 
porções diferentes das faces FRONTAL e LATERAL DIREITA são mostradas. No entanto, o mesmo não 
ocorre com a face FRONTAL, a qual aparece da mesma forma nas três figuras. Isso acontece porque 
ela está paralela ao plano de projeção e, consequentemente, em VG. Dessa forma, suas medidas 
lineares e angulares são resguardadas mesmo depois da sua projeção. 
Na figura 2.9, α mede 30°, e a face LATERAL DIREITA aparece com bem mais destaque do que 
a face SUPERIOR. Já na figura 2.10, onde α mede 45ᵒ, ambas as faces aparecem com o mesmo 
destaque. Finalmente, na figura 2.11, que tem α medindo 60°, vemos uma porção bem menor da 
face LATERAL DIREITA do que da face SUPERIOR. O mesmo pode ser feito com as outras combinações 
de faces. 
ATENÇÃO! 
 Ao escolher a medida de α, evite os ângulos 90ᵒ e 180ᵒ, porque com esses valores só é 
possível mostrar duas das faces do ortoedro. 
 
 
 
 
 
 Fig. 2.12 
 Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
2.4.2. Fator de Deformação (K) 
DEFINIÇÃO: O fator de deformação (K) consiste na relação constante entre o comprimento real de 
um segmento (ex.: AB, da figura 2.13) e o comprimento dele depois de projetado (ex.: A’B’). 
 Essa relação também é dada pela tangente do 
ângulo β, o qual está contido no triângulo AOA’ da figura 
2.13. 
DEMONSTRAÇÃO: K = tg (b) 
 
tg (β) = cateto oposto = A’O = A’B’ 
 cateto adjacente AO AB 
 
Assim: K = A’B’ 
 AB 
 A’B’ = K x AB 
 
Se K = 1; A’B’ = AB 
Se K = 0,5; A’B’ = 0,5 x AB 
Fig. 2.13 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
23 
 
 
ATENÇÃO! 
O fator de deformação (K) atua apenas nas projeções das arestas que são paralelas ao eixo 
coordenado Y, ou seja, aquelas que no espaço, são ortogonais ao plano de projeção. As projeções 
das arestas paralelas ao plano de projeção permanecem com o tamanho real. 
O fator de deformação (K) é utilizado nos casos em que se quer mostrar uma face em 
detalhes. Muitas vezes o desenho da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira sem deformação (K=1), ou seja, 
com as medidas iguais às do objeto real faz com que porções de uma determinada face não 
apareçam, ver figura 2.14. Se uma face não estiver sendo vista completamente é possível aplicar o 
fator de deformação (K) de forma que essa face seja mostrada completamente, ver exemplo das 
figuras 2.14 e 2.15. Na primeira figura K = 1 e na segunda k = 0,4. 
 
 
 
 
 
Fig. 2.14 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
Fig. 2.15 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
ATENÇÃO! 
 A prática mostrou que se o fator de deformação (K) variar entre 0,5 e 1 a representação da 
peça se assemelha bastante ao aspecto real da mesma. Portanto, para que a perspectiva se 
assemelhe à peça real utilize esses valores. 
2.5. Rotação da Peça 
A rotação é uma operação gráfica utilizada 
no aprendizado da visualização espacial. Uma 
maneira de realizar essa rotação ainda no plano das 
ideias é utilizar os eixos coordenados como 
referência e imaginar o objeto sendo rotacionado 
em torno de um dos eixos, ver figura 2.16. 
Dessa forma, a rotação depende: 
1. do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 
2. do sentido da rotação, se horário ou anti-
horário, e; 
3. da extensão da rotação, ou seja, comquantos graus deverá ser feito o giro. 
 
Fig. 2.16 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
24 
 
 
As figuras 2.17 e 2.18 mostram um exemplo de rotação. Na primeira figura tem-se a peça na 
posição original, já a figura 2.18 mostra a representação da mesma peça após uma rotação de 90ᵒ, 
em torno do eixo z, no sentido anti-horário. 
 
2.5.1. Diferença entre ROTAÇÃO e VARIAÇÃO DA DIREÇÃO DA PROJEÇÃO DO EIXO Y 
É importante não confundir a ROTAÇÃO, discutida no item 2.5, com a VARIAÇÃO DA DIREÇÃO 
DA PROJEÇÃO DO EIXO Y, discutido no item 2.3. Tais procedimentos podem ocorrer em comandos 
distintos, ou num mesmo comando. Se esse for o caso, a rotação ocorrerá primeiro e somente no 
plano das ideias (mentalmente), ou seja, o objeto será rotacionado em torno de um dos eixos e, em 
seguida, serão escolhidas as faces que serão mostradas após a rotação. Essa escolha dependerá da 
direção tomada pela projeção do eixo y. 
A peça da figura 2.17 após rotacionada 90ᵒ, em torno do eixo z, no sentido anti-horário, pode 
ser representada de quatro maneiras, conforme mostra a figura 2.19. É possível perceber na figura 
abaixo que os quatro desenhos mostram a peça na mesma posição, porém as faces mostradas 
variam. 
 
Fig. 2.19 
 
Figura 2.17 
 
Figura 2.18 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
25 
 
2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 
 Existe uma diferença entre FACES e 
VISTAS. A face pertence ao objeto, enquanto que 
a vista é própria do ortoedro de referência. 
 As vistas do ortoedro de referência se 
configuram num referencial fixo de 
posicionamento. Por exemplo, na figura 2.20, a 
face do objeto que contém o número um 
corresponde à vista SUPERIOR do ortoedro de 
referência. Da mesma maneira, a face do objeto 
que contém o número dois corresponde à vista 
FRONTAL do ortoedro. Já a face do objeto que 
contém o número três corresponde à vista 
LATERAL DIREITA do ortoedro. 
 
 
Fig. 2.20 
 
2.6. Cilindros e Cones 
 
 
Fig. 2.21 
 Cilindros e cones são sólidos geométricos 
gerados segundo algumas “leis de geração”. 
 Pode-se dizer, por exemplo, que o cilindro é 
uma superfície gerada por uma reta (geratriz) 
paralela a um eixo, a qual se desloca em torno de 
uma circunferência (diretriz), como aparece na 
figura 2.21. 
 Outra forma de gerar uma superfície 
cilíndrica é quando uma circunferência (geratriz) se 
desloca ao longo de um eixo. Esse movimento, 
também, gera uma superfície cilíndrica. 
 Portanto, um cilindro possui geratrizes retas 
(primeiro exemplo), bem como geratrizes curvas 
(segundo exemplo). 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
26 
 
Superfícies cônicas podem ser geradas de 
forma semelhante à descrita acima. No primeiro 
caso, tem-se uma reta g (geratriz) apoiada num 
eixo Hh que se desloca em torno de uma 
circunferência (diretriz). Outra forma de gerar 
um cone é quando uma circunferência (geratriz) 
se desloca ao longo de um eixo, e na medida em 
que se desloca tem seu raio diminuído até 
chegar ao vértice, onde o raio é igual a zero. Ver 
figura 2.22. 
 
Fig. 2.22 
http://www.solucaomatematica.com.br/?p=1873 
 
Nesta disciplina trataremos apenas de Cilindros e de Cones de Revolução. Eles são casos 
particulares dos cilindros e cones uma vez que possuem uma propriedade específica que diz que todo 
plano perpendicular ao eixo desses sólidos cortará a superfície desse sólido segundo uma 
circunferência. Na representação de objetos em forma de cilindros e cones de revolução em 
Perspectiva Cilíndrica Cavaleira são utilizados segmentos curvos (circunferências e elipses) para 
representar as faces planas, e segmentos retos para representar a superfície curva. Tais segmentos 
retos são chamados de geratrizes de limite de visibilidade. Elas, em geral, estão paralelas a um dos 
eixos coordenados. Na figura 2.23 as geratrizes de limite de visibilidade estão paralelas ao eixo z, 
enquanto que na figura 2.24 elas estão paralelas ao eixo x, já na figura 2.25 elas estão paralelas ao 
eixo y. 
 
Fig. 2.23 
 
 
 
Fig. 2.24 
 
 
Fig. 2.25 
 
No caso da representação de objetos em forma 
de cones de revolução as geratrizes de limite de 
visibilidade concorrem em um ponto chamado vértice. 
Tais elementos serão estudados mais adiante. 
 
geratrizes de limite de visibilidade 
geratriz de 
limite de 
visibilidade 
Fig. 2.26 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
27 
 
2.6.1. Cilindros 
No espaço, um objeto em forma de cilindro possui duas faces planas e uma superfície curva. O 
desenho das faces planas em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira é composto por circunferências e arcos 
de circunferência. É preciso chamar a atenção para o fato de que as faces planas do cilindro possuem 
forma de circunferência quando estão no espaço. No entanto, quando são representadas em duas 
dimensões, elas podem permanecer com forma de circunferência ou tomar forma de elipse, 
dependendo da posição dessas faces em relação aos eixos coordenados, como mostram as figura 
2.27 e 2.28. 
 
 
Fig. 2.27 
 
 
Fig. 2.28 
 
 
A figura 2.29 traz a representação de um cilindro cujas faces planas são paralelas aos eixos x e 
y. Nessa situação, as curvas assumem a forma de elipse. Situação semelhante ocorre com o cilindro 
da figura 2.30, onde as curvas aparecem como elipses. Nessa figura, as faces planas são paralelas aos 
eixos y e z. Já na figura 2.31, as faces planas aparecem como circunferências, nesse caso, elas estão 
paralelas aos eixos x e z. 
É importante destacar que as faces que aparecem como circunferências estão paralelas ao 
plano de projeção, portanto em VG. Quando estão perpendiculares a este plano, elas aparecem 
como elipse, uma vez que sofrem deformação causada pelo eixo y. 
 
 
Fig. 2.29 
 
 
 
Fig. 2.30 
 
 
Fig. 2.31 
 
 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
28 
 
2.6.2. Cones 
Situações semelhantes ocorrem na representação de objetos em forma de cone. As figuras 
2.32, 2.33 e 2.34, mostram que a face plana do cone pode aparecer em forma de circunferência ou 
de elipse pelas mesmas razões explicadas acima para o cilindro. 
 
Fig. 2.32 
 
Fig. 2.33 
 
Fig. 2.34 
Na figura 2.32 a face plana do cone aparece como uma circunferência porque ela está paralela 
ao plano de projeção, portanto em VG. Já os cones das figuras 2.33 e 2.34 têm suas faces planas 
representadas em forma de elipses. Essas faces estão perpendiculares ao plano de projeção, 
portanto sofrem deformação. 
 
2.6.3. O Desenho da Elipse 
Existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. A seguir serão apresentados 
dois deles para a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira: o procedimento dos 8 pontos, também chamado de 
procedimento das diagonais, e o procedimento dos “n” pontos. 
Procedimento dos 8 Pontos 
Para desenhar uma elipse parte-se de parâmetros que valem para uma circunferência inscrita 
em um quadrilátero, ou seja: a circunferência tangencia o quadrado na qual está inscrita em quatro 
pontos, os pontos 1, 2, 3 e 4 da figura 2.35. Esses quatro pontos são os pontos médios dos lados do 
quadrado. As diagonais do quadrado interceptam a circunferência inscrita nele em outros quatro 
pontos, que são os pontos 5, 6, 7 e 8 da figura 2.36. 
 
Fig. 2.35 
 
Fig. 2.36 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
29 
 
Colocados os parâmetros que valem para a circunferência, é possível transpô-los para a 
representação da circunferência em perspectiva, ou seja, da elipse. Ver figura 2.37. Vamos começar 
pelo desenho do quadrado em perspectiva, que será um paralelogramo posicionado de forma 
perpendicular ao plano de projeção, ou seja, paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo, desenham-
se os mesmos parâmetros vistos acima para o quadrado, ou seja, as retas que ligam ospontos 
médios dos lados e as diagonais. Dessa maneira, encontram-se os primeiros quatro pontos, que são 
os pontos de tangência da elipse no paralelogramo: pontos 1’, 2’, 3’ e 4’ da figura 2.37. Esses pontos 
estão localizados nos pontos médios de cada lado do paralelogramo e correspondem aos pontos 1, 2, 
3 e 4 do quadrado. 
 
Fig. 2.37 
 
Fig. 2.38 
 
Para encontrar os pontos correspondentes aos pontos 5, 6, 7 e 8 do quadrado, é necessário 
levá-los para o paralelogramo por meio de duas linhas, uma paralela ao eixo z, que liga os pontos 6 e 
7 e outra paralela ao eixo y, que ao cruzar com as diagonais do paralelogramo, liga os pontos 6’ e 7’, 
como aparece na figura 2.38. O mesmo procedimento é feito para encontrar os pontos 5’ e 8’. 
 
 
Fig. 2.39 
 
Fig. 2.40 
 
Para determinar a elipse traçamos a mão livre uma linha curva que passe pelos oito pontos 
encontrados anteriormente, ver figura 2.39. Para desenhar uma elipse na face lateral direita do 
objeto procede-se de maneira análoga, como mostra a figura 2.40. 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
30 
 
Um exercício muito interessante, que pode ser realizado tanto com o procedimento que 
acabou de ser apresentado, quanto com o procedimento que será apresentado a seguir, consiste em 
desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro de referência. 
DICA IMPORTANTE! 
É possível determinar os pontos correspondentes aos pontos 5’, 6’, 7’ e 8’ do exemplo 
anterior sem que seja necessário desenhar um quadrado com uma circunferência circunscrita 
previamente. 
Para isso encontra-se o segmento AB, da figura 2.41, através da fórmula: AB = r x 0,3. 
A justificativa desse procedimento se baseia no fato de que: 
AB = OB – OA = r – r cos (45o) 
AB = r (1 - cos (45o)) = r (1 - 0,707) 
AB = 0,293 x r, ou seja, AB = r x 0,3 
O ponto D do paralelogramo corresponde ao ponto C do quadrado. 
 
Fig. 2.41 
Fonte: DUARTE, J. 2008. 
 
Procedimento dos “n” Pontos 
Existe outro procedimento que determina pontos da elipse, auxiliando a construção dessa 
curva, o chamado procedimento dos “n” pontos. Com esse procedimento é possível determinar 
quantos pontos se desejar, ou seja, “n” pontos. Enquanto que o procedimento anterior determina no 
máximo oito pontos da elipse. Quanto mais pontos da elipse forem conhecidos, mais precisa será a 
construção da mesma, sobretudo se o desenho for feito à mão livre. Portanto, a vantagem desse 
procedimento é o desenho mais preciso da circunferência em perspectiva. 
Partimos do paralelogramo que circunscreve a elipse que se quer construir. Em seguida, 
determinam-se os quatro pontos médios dos lados do paralelogramo: M1, M2, M3 e M4. A partir 
desses pontos, divide-se o paralelogramo em quatro quadrantes. 
 
Fig. 2.42 
 
Fig. 2.43 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
31 
 
Dividem-se os segmentos destacados na figura 2.44 em qualquer quantidade de partes iguais. 
Nesse exemplo, os segmentos foram divididos em três partes iguais. É muito importante que os 
segmentos sejam divididos no mesmo número de partes. Ver na página seguinte como se divide um 
segmento em partes iguais. Não importa que largura, altura ou profundidade, tenha o paralelogramo 
que envolve a elipse, os dois segmentos que formam cada quadrante devem ser divididos no mesmo 
número de partes. Depois, enumeram-se os segmentos destacados da mesma forma como aparece 
na figura 2.44 e 2.45. 
 
Fig. 2.44 
 
Fig. 2.45 
 Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante (fig. 
2.46) e, depois, repeti-lo nos demais quadrantes. Liga-se o ponto A ao ponto 1 do segmento oblíquo 
e o ponto B ao ponto 1 do segmento horizontal. O cruzamento dos segmentos A1 e B1 é um dos 
pontos da elipse, o ponto C. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, repita a operação 
anterior ligando o ponto A ao ponto 2 do segmento oblíquo e o ponto B ao ponto 2 do segmento 
horizontal, o cruzamento dos segmentos A2 e B2, resulta no ponto D, figura 2.47. 
 
Fig. 2.46 
 
Fig. 2.47 
Já é possível traçar à mão livre a elipse nesse quadrante. Para isso, inicia-se o traçado no 
ponto B (que é um dos ponto de tangência da elipse com o quadrilátero que a circunscreve), e segue-
se traçando o arco de elipse até o ponto D, em seguida, segue-se ao ponto C e finaliza-se o arco de 
elipse no ponto O (que é outro ponto de tangência da elipse com quadrilátero que a circunscreve), 
ver a figura 2.49. 
 
Figura 2.49 
 
Fig. 2.50 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
32 
 
 
Para traçar a elipse nos outros quadrantes, inicia-se o traçado em um dos pontos de tangência 
da elipse e procede-se analogamente, como mostra a figura 2.49. A elipse completa fica como na 
figura 2.50. 
 
DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS 
Tomamos como exemplo o segmento AB (figura 2.51), que será dividido em “n” partes iguais. 
 
Fig. 2.51 
 
Fig. 2.52 
 
O primeiro procedimento consiste na construção de uma linha auxiliar partindo de uma das 
extremidades do segmento AB, formando um ângulo qualquer com o segmento AB, figura 2.52. Em 
seguida, divide-se a linha auxiliar no número de partes que queremos dividir o segmento AB (nesse 
exemplo dividiremos em três partes iguais). Essa divisão pode ser feita com escala ou utilizando uma 
mesma abertura no compasso, como mostra a figura 2.52. 
Em seguida, liga-se a extremidade da última divisão à extremidade do segmento, nesse caso 
o ponto A, traçando assim o segmento 3A, como mostra a figura 2.53. Para finalizar deve-se traçar 
segmentos paralelos ao segmento 3A passando pelos pontos 1 e 2. Dessa maneira, os segmentos 
traçados irão interceptar o segmento AB dividindo-o em 3 partes iguais, como se vê na figura 2.54. 
 
Fig. 2.53 
 
 
Fig. 2.54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
33 
 
CAPÍTULO 3 – DESENHO ISOMÉTRICO 
 
3.1. Caracterização da Axonometria 
A isometria faz parte de um sistema de representação chamado AXONOMETRIA. Conforme foi 
explicitado no capítulo 1, os sistemas de representação se diferenciam por duas características: 
1. Posição de ortoedro de referência com relação ao plano de projeção; 
2. Tipo de projeção. 
 
Na axonometria a projeção é CILINDRICA ORTOGONAL, ou seja, as retas projetantes são paralelas 
entre si e formam um ângulo de 90° com o plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.2 
 
 
 
No caso da axonometria o ortoedro de referência está posicionado de tal maneira com 
relação ao plano de projeção que se as três arestas que partem de um mesmo vértice A forem 
prolongadas todas elas encontrarão o plano de projeção nos pontos E, F e G (ver figura 3.1). 
Diferente da cavaleira, na qual apenas uma das três arestas encontraria o plano de projeção caso 
fossem prolongadas. Quando todas as faces do objeto são projetadas obtém-se uma imagem como 
mostra a figura 3.2. Como não existem faces paralelas ao plano de projeção, pois estão todas 
oblíquas em relação a ele, não existe nenhuma face em VG, ou seja, as três faces sofrem deformação 
ao serem projetadas. 
Como cada face, ao ser projetada, faz com o plano do desenho um determinado ângulo 
podem ocorrer três situações: (1) se os três ângulos são diferentes entre si, temos a TRIMETRIA, 
onde as faces que têm maiores ângulos têm menos destaque, ver figura 3.3; (2) se dois dos ângulos 
são iguais e apenas um deles é diferente, temos a DIMETRIA, onde duas faces terão mais destaque do 
que a outra, ver figura 3.4; (3) se os três ângulos são iguais, temos a ISOMETRIA, onde as três faces 
sofrem a mesma deformação. O ângulo que as faces fazem com o plano de projeção é igual a 120° 
(pois 360°/3 = 120°, ver figura 3.5). 
Fig. 3.1 
Fonte: Duarte, 2008 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
34 
 
 
Fig. 3.3 
 
Fig. 3.4 
 
Fig. 3.5 
 
3.2. Caracterização do DesenhoIsométrico 
Dentre as projeções axonométricas, a isometria é a mais utilizada. Principalmente a 
perspectiva isométrica na sua forma simplificada, o DESENHO ISOMÉTRICO ou ISOMETRIA 
SIMPLIFICADA, que não carece de coeficientes de redução. 
O termo isométrico significa igual medida. Nos desenhos de perspectiva isométrica, o objeto 
está oblíquo em relação ao plano de projeção, conforme mostra a figura 3.5. Essa obliquidade em 
relação ao plano de projeção faz com que a projeção das dimensões do objeto no plano de projeção 
seja reduzida igualmente em cada direção dos eixos. Dessa maneira, na isometria, todas as arestas da 
peça que possuem direção igual a uma das direções das arestas de um ortoedro envolvente (AB, AC 
ou AD) têm a mesma inclinação em relação ao plano de projeção. Portanto as projeções ortogonais 
dessas arestas têm a mesma deformação (nesse caso, uma redução): 
 
A’B’= 0,816 x AB 
A’C’= 0,816 x AC 
A’D’= 0,816 x AD 
 
Veja a demonstração na figura 3.6: 
Os pontos E, F e G são as interseções dos 
prolongamentos das arestas AB, AC e AD 
com o plano de projeção. Traçando por A 
e B perpendiculares a EG determina-se o 
segmento A’’ B’’. 
A’’B’’ = AB x cos(45o) = A’B’ x cos(30o) à 
A’B’= cos(45o) / cos(30o) x AB = 0,816 x AB 
 
 
 
 
 
Sendo assim, o desenho da projeção fica como a figura 3.6 Com todas as arestas reduzidas 
com relação à peça real. Observe abaixo a diferença entre a perspectiva isométrica e o desenho 
isométrico feito para a mesma peça. O DESENHO ISOMÉTRICO, figura 3.7 é maior porque não há 
redução das arestas. O Desenho Isométrico é muito utilizado para o ensino de disciplinas 
introdutórias de desenho e para o desenho em softwares. 
 
 
 Fig. 3.6 
Fonte: Duarte, J. 2008 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repetindo: No Desenho Isométrico as projeções das arestas não são reduzidas (A’B’= AB, 
A’C’= AC e A’D’= AD). Os desenhos feitos com esquadros nessa disciplina serão executados 
adotando o Desenho Isométrico. 
 
3.3. Desenho Isométrico na prática 
Na prática, a construção do ortoedro envolvente em desenho isométrico começa com o 
desenho de uma linha horizontal de referência. Em seguida é escolhido um ponto nessa linha para a 
partir dele desenharmos duas linhas formando 30o com a linha horizontal (ver figura 3.9). 
 
 
 
 
 
Fig. 3.9 
Para desenhar as linhas com 30° comece desenhando uma reta vertical e posicione os 
esquadros como indicado na fig. 3.10 Desloque o esquadro de 30o na direção da seta e desenhe a 
reta destacada. Em seguida posicione os esquadros como indicado na fig. 3.11 e desenhe a reta 
destacada nessa figura. 
 
 
 
Fig. 3.10 Fig. 3.11 
 
Fig. 3.7 
Fonte: Duarte, J. 2008 
Fig. 3.8 
Fonte: Duarte, J. 2008 
Isometria Exata Desenho Isométrico 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
36 
 
Determine a altura, a largura e a espessura da peça de acordo com os eixos coordenados e 
complete o ortoedro traçando as paralelas indicadas, conforme veremos no próximo item. 
 
3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência 
Da mesma forma como foi demonstrado para a perspectiva cavaleira, podemos visualizar as 
peças desenhadas com mais facilidade quando relacionamos suas dimensões com os eixos 
coordenados. Ao pensarmos que tudo a nossa volta possui três dimensões facilitamos a transposição 
do objeto real para o objeto desenhado no papel. Dessa maneira, teremos o eixo das larguras, o eixo 
x; o eixo das profundidades, o eixo y e o eixo das alturas, o eixo z. Observe o exemplo abaixo. 
As figura 3.12 mostra como fica a posição dos eixos coordenados no desenho isométrico. Na 
literatura o eixo z sempre aparece localizado verticalmente, porém, não há um consenso com relação 
ao posicionamento dos eixos coordenados x e y. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 
adota o eixo x posicionado à esquerda e o eixo y à direita. No entanto, muito autores da área 
(Duarte, M. 1996; Duarte, J., 2008 e Bortolucci) adotam o eixo x posicionado à direita e o eixo y à 
esquerda. Nessa disciplina adotaremos esse último posicionamento, conforme mostra a figura 3.12. 
A representação padrão exibe o objeto como na figura 3.13, que mostra um dado desenhado 
em isometria e referenciado pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado 
corresponde à vista superior do ortoedro de referência; a face que contém o número dois do dado 
corresponde à vista frontal do ortoedro de referência e, consequentemente, a face que contém o 
número três do dado corresponde à vista lateral direita do ortoedro de referência. Todas as peças 
desenhadas em desenho isométrico seguirão essa mesma convenção. 
 
Fig. 3.12 
3.13 
 
3.4.1. Visualização de Todas as Faces 
A exemplo da Perspectiva Cavaleira, no Desenho Isométrico são sempre mostradas três faces 
do ortoedro envolvente. Na figura 3.13 foram mostradas as faces frontal, lateral direita e superior. 
Para mostrar as outras faces do objeto podemos ter as seguintes combinações: 
· Frontal, lateral direita e superior; 
· Frontal, lateral esquerda e superior; 
· Frontal, lateral direita e inferior, e; 
· Frontal, lateral esquerda e inferior. 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
37 
 
Dada a peça da figura 3.14, desenhada em Desenho Isométrico, que mostra as vistas: frontal, 
superior e lateral direita do ortoedro de referência, podemos representá-la de forma a mostrar as 
outras faces da peça, conforme mostram as peças da figura 3.15. Nesse caso, tem-se que 
rotacionar a peça em torno de algum dos eixos coordenados ou variar a posição do eixo y, como foi 
visto para a Perspectiva Cavaleira. 
 
 
 
3.4.2. Rotação da Peça 
 
Fig. 3.16 
 
No Desenho Isométrico a rotação de uma peça 
pode ocorrer da mesma maneira como vimos na 
Perspectiva Cavaleira. Porém, deve ser observada a 
posição dos eixos coordenados. Observe a figura 3.16 
ao lado e veja como fica a rotação para cada um dos 
eixos coordenados. 
Dessa forma, a rotação depende: 
1. Do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 
2. Do sentido da rotação, se horário ou anti-horário; 
3. Da extensão, em graus, da rotação. 
 
 
3.5. Cilindros e Cones 
As propriedades geométricas dos cilindros e cones não se alteram em funcão do tipo de 
representação escolhida. Assim, a conceituação para leis de geração e geratrizes de limite de 
visibilidade se aplicam para o Desenho Isométrico da mesma forma como foi visto para o desenho da 
Perspectiva Cavaleira. 
 Na representação do cilindro e do cone 
em Desenho Isométrico as faces que têm forma 
de circunferência, quando são representadas em 
duas dimensões sempre irão tomar forma de 
elipse, porque no caso do Desenho Isométrico 
nenhuma das faces do ortoedro de referência 
está paralela ao plano de projeção. 
 
 
 Fig. 3.17 
 
Fig. 3.18 
 
 
Fig. 3.14 
 
Fig. 3.15 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
38 
 
O cilindro pode assumir três posições básicas no desenho isométrico, com relação aos eixos 
coordenados. 
 
Fig. 3.19 
 
Fig. 3.20 
 
Fig. 3.21 
 
Na figura 3.19, a face plana do cilíndro, que possui forma de circunferência quando está no 
espaço, está representada paralela aos eixos y e x, tomando forma de uma elipse. Atenção ao 
ortoedro envolvente para facilitar a visualização. Na figura 3.20 quando a face plana do cilíndro fica, 
na representação, paralela aos eixos x e z toma a forma de uma elipse. Nesse caso, diferentemente 
da cavaleira, na qual a face em forma de circunferência do cilindro fica na forma de circunferência. 
Por último, na figura 3.21 a face plana do cilíndro, está representada paralela aos eixos y e z e, 
também, toma forma de elipse.Pode-se aplicar para o caso do cone o mesmo que foi visto para o cilindro, uma vez que as 
situações são semelhantes. 
Na primeira figura, 3.22, a face plana do cone está paralela aos eixos x e y. Vai acontecer o 
mesmo que aconteceu com o cilindro, ou seja, a face em forma de circunferência vai aparecer na 
perspectiva como uma elipse. 
 
Fig. 3.22 
 
Fig. 3.23 
 
Fig. 3.24 
 
Em Isometria e também em Desenho Isométrico a circunferência sempre toma forma de 
elipse, não importa a que eixos a face em forma de circunferência ou arco de circunferência 
esteja paralela. Isso ocorre porque em Isometria todos ou eixos estão oblíquos com relação ao 
plano de projeção. 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
39 
 
No segundo caso, figura 3.23, a face plana do cone está paralela aos eixos y e z e, a exemplo 
do cilindro, também se torna uma elipse. No último caso, figura 3.24, a face curva do cone agora está 
paralela aos eixos x e z, nesse caso a circunferência também tomará a forma de elipse. 
3.5.1. Desenho da Elipse e da Oval 
A exemplo da Perspectiva Cavaleira existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da 
elipse. Veremos três deles para o Desenho Isométrico. Os dois primeiros tipos são semelhantes aos 
procedimentos já vistos para a Perspectiva Cavaleira: o traçado da elipse com 8 pontos, usando as 
diagonais e o traçado da elipse com “n” pontos, usando a divisão do quadrilátero em quadrantes. O 
terceiro procedimento não é utilizado na Perspectiva Cavaleira, ele é utilizado apenas na Isometria e 
no Desenho Isométrico, que é o desenho da oval regular de quatro centros. 
Procedimento dos 8 pontos 
Para desenhar a elipse em Desenho Isométrico, a exemplo do que aprendemos para a 
Perspectiva Cavaleira, serão utilizados parâmetros que valem para uma circunferência inscrita em um 
quadrilátero, ou seja: 
 
Na figura 3.25: 
 1) a circunferência tangencia o quadrado na 
qual está inscrita em 4 pontos: 1, 2, 3 e 4. 
Esses 4 pontos são os pontos médios dos lados 
do quadrado, e; 
2) as diagonais do quadrado cruzam com a 
circunferência inscrita em mais 4 pontos: 5, 6, 
7 e 8. 
 
 
Fig.3.25 
Esse mesmos parâmetros são transpostos para realizar o desenho da elipse em Desenho 
Isométrico. O primeiro procedimento é o do desenho do quadrilátero em desenho isométrico, que 
será um paralelogramo paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo são desenhados os mesmos 
parâmetros do quadrado. Assim encontram-se os primeiros 4 pontos, que são os pontos de tangência 
da elipse no quadrilátero, pontos M1, M2, M3 e M4, como na figura 3.26. Esses pontos estão 
localizados nos pontos médios de cada lado do quadrilátero e equivalem aos pontos 1, 2, 3 e 4. 
O segundo procedimento, figura 3.27, é encontrar os equivalente dos pontos 5, 6, 7 e 8 para a 
elipse, através do traçado das diagonais. Observe que no desenho isométrico as diagonais ficam na 
vertical e na horizontal. 
 
Fig.3.26 
 
Fig.3.27 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
40 
 
 
Para determinar os pontos 5, 6, 7 e 8, não é necessário desenhar a circunferência. Basta 
utilizar o parâmetro: AB = r x 0.3, da mesma forma como vimos na Perspectiva Cavaleira, ou seja, 
mede-se o raio, multiplica-o por 0,3 e descobre-se o tamanho do segmento AB. Em seguida, 
posiciona-se o segmento AB em uma das arestas do ortoedro e, assim, determinam-se os pontos 5, 6, 
7 e 8, conforme a figura 3.28. 
 
 
Fig.3.28 
 
Fig.3.29 
 
Para determinar a elipse traça-se uma 
curva à mão livre prestando bastante atenção 
para que essa passe por todos os pontos 
determinados, ver figura 3.29. 
Um exercício muito interessante e que 
ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é 
desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro, 
como mostra a figura 3.30. 
 
 
Fig. 3.30 
 
Procedimento dos “n” pontos 
O outro procedimento, demonstrado para a Perspectiva Cavaleira, também pode ser utilizado 
na Isometria. Ele permite determinar não apenas 8, mas sim inúmeros pontos da elipse. Essa é a 
vantagem da utilização desse procedimento, pois quanto mais pontos forem utilizados para dar 
suporte ao traçado da curva à mão livre, mais preciso fica o desenho da curva. 
Parte-se de alguns princípios semelhantes 
ao procedimento anterior, ver figura 3.31: 
1. A elipse será desenhada inscrita em um 
quadrilátero; 
2. Determinam-se 4 pontos de tangência nesse 
quadrilátero, sendo as tangentes e seus pontos 
médios; 
3. O quadrilátero é dividido em 4 quadrantes. Fig.3.31 
AB 
AB 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
41 
 
 
Os quadrantes são trabalhados um a um, como mostram as figuras 3.32 e 3.33. No primeiro 
quadrante dividem-se suas laterais em um número de partes iguais. Nesse exemplo dividiu-se ambos 
os segmentos em 3 partes iguais. É muito importante que os dois segmentos que formam cada 
quadrante sejam divididos no mesmo número de partes, ou seja, se dividirmos um em duas partes, 
devemos dividir o outro também em duas partes. 
Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante e 
depois repetí-lo nos demais quadrantes. Ligue o ponto A ao ponto 1 do segmento mais próximo e o 
ponto B ao ponto 1 do outro segmento, o cruzamento dos segmentos A1 e B1 será um ponto da 
elipse, o ponto C. Observe na figura 3.32. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, ligue 
o ponto A ao ponto 2 do segmento mais próximo e o ponto B ao ponto 2 do outro segmento, o 
cruzamento dos segmentos A2 e B2 será outro ponto da elipse, o ponto D. Observe na figura 3.32. Já 
é possível traçar, à mão livre, a elipse nesse quadrante. 
Para fazer isso inicie o traçado no ponto B (que é um ponto de tangência da elipse no 
quadrilátero envolvente), siga traçando o arco de elipse até o ponto D e depois ao ponto C e finalize o 
arco de elipse no ponto 0 (que também é um ponto de tangência da elipse no quadrilátero 
envolvente). 
Quando esse procedimento é repetido nos outros três quadrantes o resultado é como o da 
figura 3.33. 
 
Fig.3.32 
Fig.3.33 
Desenho da Oval 
No caso da Isometria e do Desenho Isométrico, o desenho da elipse pode ser realizado 
utilizando uma curva chamada de oval regular de quatro centros. Como a oval é muito semelhante a 
elipse, ela também é conhecida como falsa elipse. 
Muitas pessoas preferem desenhar a oval a desenhar elipse, porque a oval pode ser 
desenhada totalmente com instrumentos (esquadros e compasso), eliminando assim a parte do 
traçado à mão livre que precisa ser feita quando se desenha uma elipse. 
 Para desenhar a oval parte-se da mesma ideia 
inicial dos procedimentos anteriores, ou seja, da divisão 
do quadrilátero em 4 quadrantes. Sendo os pontos M1, 
M2, M3 e M4 os pontos médios de cada lado, como 
mostra a figura 3.34. Ao final do procedimento serão 
desenhados com o compasso quatro arcos de 
circunferências com quatro centros diferentes, um em 
cada quadrante. 
 
Fig. 3.34 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
42 
 
 
O primeiro centro de arco, o ponto C1, é definido 
no vértice de maior ângulo do quadrilátero, desse 
primeiro centro C1 são traçados dois segmentos de reta 
ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M1 e M2, 
ver figura 3.35. 
 
 
 
Fig.3.35 
O procedimento descrito acima é repetido no vértice oposto nomeando-o de C2. De C2 são 
traçados mais dois segmentos de reta ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M3 e M4, 
como mostra a figura 3.36. 
O cruzamento de C1M1 com C2M4 gera o ponto C3, que será o centro de um dos arcos que 
compõe a oval. Da mesma forma, o cruzamento de C1M2 com C2M3 gera o ponto C4, que será o 
centro de um dos arcos que compõe a oval, ver figura 3.36. Agora já é possível a traçar a oval. 
Resumindo: 
1. C1 e C2 são centros de dois arcos maiores de mesmo raio; 
2. C3 e C4 são centros de dois arcos menoresde mesmo raio; 
3. Todos os arcos começam e terminam nos pontos médios do quadrilátero. 
Para traçar a oval regular de quatro centros basta colocar a ponta seca do compasso em C1 e 
fazer uma abertura (raio) até M1, em seguida, traçar um arco até M2. De forma semelhante, 
mantendo a mesma abertura (raio), centrar a ponta seca do compasso em C2 e traçar um arco de M3 
até M4, conforme a figura 3.37. 
 
Fig.3.36 Fig.3.37 
 
Para concluir a oval, centra-se a ponta 
seca do compasso em C3, faz-se uma abertura 
(raio) até M1 e traça-se um arco até M4. De 
forma semelhante, mantendo a mesma abertura 
(raio) centra-se a ponta seca do compasso em C4 
e traça-se um arco de M3 até M2 conforme a 
figura 3.38. 
 
 
Fig.3.38 
 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
43 
 
Um exercício muito interessante e que ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é desenhar 
a oval regular de quatro centros em todas as faces do ortoedro, como na figura 3.39. 
 
Fig.3.39 
 
 
 
 
 
44 
 
EXERCÍCIOS 
1 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 45°, K=1, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 90° 
no sentido horário, em torno do eixo “z”. 
2 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 30°, K=0,8, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Esquerda) após rotacioná-la 90° 
no sentido anti-horário, em torno do eixo “y”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 30°, K=1, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 90° 
no sentido anti-horário, em torno do eixo “z”. 
4 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 45°, K=0,7, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 90° no 
sentido horário, em torno do eixo “y”. 
 
 
 
 
5 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 45°, K=1, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Esquerda) após rotacioná-la 
90° no sentido horário, em torno do eixo “x”. 
 
 
6 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Desenho 
Isométrico, após rotacioná-la 90° no sentido anti-
horário, em torno do eixo “z”. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
45 
 
7 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Desenho 
Isométrico após rotacioná-la 90° no sentido 
anti-horário, em torno do eixo “z”. 
8 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada; 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira (α = 
30°, K=0,5, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 90° 
no sentido horário, em torno do eixo “z”. 
 
 
 
 
9 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 45°, K=1, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 
90° no sentido horário, em torno do eixo 
“z”. 
10 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 45°, K=0,5, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 
90° no sentido anti-horário, em torno do eixo 
“x”. 
 
 
11 
 
a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 60°, K=0,5, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 90° 
no sentido horário, em torno do eixo “z”. 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
46 
 
12 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Desenho Isométrico 
(lembrando: mostrar vistas Frontal, Lateral Direita e 
Superior). 
13 a) Desenhe o ortoedro envolvente 
na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em 
Cavaleira 
(α = 30°, K=1, mostrando as 
vistas: Frontal, Superior e 
Lateral Direita) após rotacioná-
la 180°, em torno do eixo “z”. 
 
 
 
 
14 a) Desenhe o ortoedro de referência na peça dada; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho isométrico 
(lembrando: mostrar vistas Frontal, Lateral Direita e 
superior). 
15 a) Desenhe o ortoedro envolvente 
na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em 
Desenho Isométrico (lembrando: 
mostrar vistas Frontal, Lateral 
Direita e Superior). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Desenho Isométrico 
(lembrando: mostrar vistas Frontal, Lateral Direita e 
Superior). 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
47 
 
17 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 30°, K=1, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita). 
18 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Desenho 
Isométrico (lembrando: mostrar vistas Frontal, 
Lateral Direita e Superior), após rotacioná-la 90° 
no sentido anti-horário, em torno do eixo “z”. 
 
 
 
 
19 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 30°, K=1, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Direita) após rotacioná-la 
90 no sentido anti-horário, em torno do eixo 
“z”. 
20 a) Desenhe o ortoedro de referência na peça dada; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico (lembrando: mostrar vistas Frontal, 
Lateral Direita e superior). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Primeira Unidade 
48 
 
21 a) Desenhe o ortoedro de referência na peça 
dada; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico (lembrando: mostrar vistas 
Frontal, Lateral Direita e superior). 
22 a) Desenhe o ortoedro envolvente na peça 
dada. 
b) Redesenhe a figura abaixo em Cavaleira 
(α = 45°, K=1, mostrando as vistas: Frontal, 
Superior e Lateral Esquerda) após rotacioná-
la 90 no sentido horário, em torno do eixo 
“z”. 
 
 
23 a) Desenhe o ortoedro de referência na peça 
dada; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico (lembrando: mostrar vistas 
Frontal, Lateral Direita e superior). 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
49 
 
Capítulo 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
4.1. Introdução 
A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é resultado da projeção de objetos tridimensionais 
segundo as regras do chamado Sistema Mongeano. Tal sistema tem como arcabouço teórico a 
Geometria Descritiva, que é considerada a parte da matemática que tem como finalidade 
“representar no plano as figuras do espaço, de modo a podermos, com o auxílio da Geometria Plana, 
estudar suas propriedades e resolver os problemas relativos às mesmas” (MACHADO, 1976, p. 11). 
 
 
http://www.sciencephoto.com/ 
Fig. 4.1 
Dessa maneira foi possível expressar, comunicar, 
antecipar e resolver problemas relativos aos objetos reais, 
de diversas áreas do saber que trabalham e estudam a 
forma através do desenho antes mesmo que esses 
objetos fossem construídos. Tal fato trouxe um 
significativo aumento na eficiência dos processos 
produtivos na Europa estimulando tanto a Engenharia 
Militar quanto a Revolução Industrial. 
Gaspard Monge, cuja foto aparece na figura 4.1, é 
considerado o criador da Geometria Descritiva e grande 
teórico da Geometria Analítica. Ele viveu na França entre 
os anos de 1746 e 1818, era uma pessoa que gostava das 
ciências exatas (física, matemática e geometria) e que 
possuía o que chamamos atualmente de inteligência 
espacial, ou seja, ele facilmente visualizava relações 
espaciaiscomplexas. Foi um dos fundadores da Escola 
Politécnica Francesa e também lecionou na Escola Militar 
Meziéres, tornando-se um acadêmico de renome. 
Como também era um cidadão engajado politicamente, seu conhecimento também 
contribuiu para a Engenharia Militar. Como militar criou um método baseado na aritmética e em 
operações espaciais que tornou a artilharia francesa muito mais eficiente. A mudança foi tão 
significativa que seu método foi considerado segredo de Estado durante anos. Em seus estudos, 
Monge acabou por elaborar o arcabouço teórico que possibilitou o avanço bélico francês. Outro 
exemplo de sua contribuição foi durante a Revolução Francesa quando houve a necessidade de se 
produzir uma grande quantidade de canhões e de pólvora num curto espaço de tempo. Monge 
liderou a produção e acabou elaborando um boletim, chamado "A Arte da Fabricação do Canhão", o 
qual se tornou o manual das fábricas. Nesse boletim e ele traduziu seu raciocínio espacial do 
ambiente militar e estratégico para o ambiente da produção de produtos em larga escala. Hoje, 
podemos dizer que ele criou uma linguagem gráfica universal, a linguagem do desenho técnico. Essa 
linguagem possibilitou a transmissão de informação sobre objetos tridimensionais com a precisão 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
50 
 
necessária para a execução dos mesmos. De fato, a linguagem Mongeana permitiu que fábricas 
fossem estruturadas não só na França, mas ao redor do mundo e que os produtos deixassem de ser 
fabricados nos quintais dos artesãos e passassem a ser produzidos em larga escala. 
4.2. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
Nos capítulos anteriores vimos que as representações de objetos em perspectiva se 
diferenciam em função de dois aspectos: 
1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 
2. Tipo de projeção. 
No caso da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica, o objeto é projetado em pelo menos dois planos 
de projeção, diferentemente da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e do Desenho Isométrico, onde a 
projeção é realizada somente em um plano de projeção. Por essa razão o Método Mongeano 
também é chamado de “Método da Dupla Projeção Ortogonal”. 
É possível afirmar ainda que: 
§ a posição do ortoedro de referência em relação a cada um dos planos de projeção é a 
seguinte: pelo menos uma das faces do ortoedro de referência tem que estar paralela 
ao plano de projeção, e; 
§ o tipo de projeção da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é a CILÍNDRICA ORTOGONAL, 
o que significa que o observador está localizado a uma distância que tende ao infinito, 
o que, por sua vez, tem como consequência o fato das retas projetantes serem 
paralelas entre si. 
O método desenvolvido por Monge consiste, primeiramente, na divisão do espaço por meio 
de dois planos de projeção, um vertical e outro horizontal. Fazendo uma analogia às linhas 
imaginárias do Planeta Terra é como se o plano horizontal passasse exatamente na Linha do Equador 
dividindo o espaço em dois semiespaços, um meridional ou sul e outro setentrional ou norte, como 
aparece na figura 4.2. E da mesma maneira, o plano vertical passasse no meridiano de Greenwich. A 
figura 4.3 mostra este plano dividindo e o espaço em dois semiespaços, um oriental ou leste e outro 
ociental ou oeste. 
 
Fonte:http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/meridiano
s-e-paralelos/meridianos-e-paralelos.php 
Fig. 4.2 
 
Fonte:http://meioambiente.culturamix.com/noticias/his
toria-do-meridiano-de-greenwich 
Fig. 4.3 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
51 
 
Os dois planos juntos dividem o espaço em quatro semiespaços, chamados de diedros (“di” de 
dois e “edros” de planos) os quais são enumerados e organizados como mostra a figura 4.4. Cada 
diedro consiste no espaço existente entre dois semiplanos, cuja nomenclatura também está na figura 
4.4. A linha de encontro ou interseção do Plano Horizontal com o Plano Vertical chama-se Linha de 
Terra ou, simplesmente, LT. 
 
Fonte: 
Fig. 4.4 
Em seguida, Monge posicionou o objeto a ser representado num dos diedros – geralmente 
sem tocar em nenhum dos planos de projeção – e, assim, realizou a projeção ortogonal de todos os 
pontos desse objeto nos planos de Projeção Vertical e Horizontal, ver figura 4.5. 
 
Fig. 4.5 
 A figura 4.5 traz uma nova nomenclatura 
para os planos de projeção e para as distâncias 
entre o objeto e os planos de projeção, as quais 
também serão adotadas ao longo dessa apostila: 
(1) o plano de projeção horizontal será chamado 
de plano π1 e o plano de projeção vertical será 
chamado de plano π2, (2) já a distância entre 
qualquer ponto do objeto e o plano π1, é 
chamada de cota, e a distância entre o objeto e o 
plano π2, é chamada de afastamento. A figura 
também mostra que a cota fica registrada no 
plano de projeção vertical e que o afastamento 
fica registrado no plano de projeção horizontal. 
Tomando como exemplo a face frontal do objeto contido na figura 4.5, que é perpendicular 
ao plano de projeção horizontal é possível perceber (1) que as arestas AB e DC têm projeções em 
forma de segmento de reta no plano π1, (2) que a aresta AD foi reduzida a um ponto também no 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
52 
 
plano π1, (3) que o mesmo ocorreu para a aresta BC. Resumindo, todos os pontos contidos nessa face 
foram projetados no plano π1 sobre o mesmo segmento de reta, ou seja, por ter arestas paralelas ou 
perpendiculares à π1, tal face aparece reduzida a um segmento de reta quando projetada. 
Analisando a mesma face, agora em relação ao plano π2, é possível afirmar (1) que ela é 
paralela a tal plano de projeção, (2) que todas as arestas foram projetadas de forma que foram 
mantidas suas medidas lineares, (3) que os ângulos entre as arestas ao serem projetados também 
mantiveram suas grandezas e que, portanto, tal face foi projetada em VG. 
As outras faces do objeto também são projetadas de modo que todo o objeto seja 
representado nos planos de projeção. No exemplo acima o objeto tem forma de caixa, porém a 
Perspectiva Cilíndrica Ortográfica pode representar qualquer objeto, desde um parafuso até um 
arranha-céu. 
Dando continuidade ao raciocínio gráfico de Monge, cujo objetivo era obter a representação 
do objeto, que é tridimensional, em duas dimensões, foi necessário fazer o plano horizontal girar de 
modo que ele coincidisse com o plano vertical. Com essa operação, Monge criou o que ele chamou 
de Épura, definindo-a como sendo a representação de um objeto por suas projeções. Na épura é 
possível visualizar as três dimensões do objeto, utilizando-se apenas duas dimensões como mostra a 
figura 4.6. 
 
Fig. 4.6 
4.3. Observador, Objeto e Planos de Projeção 
Como já foi dito, um objeto terá suas projeções horizontais e verticais, independente do 
diedro no qual está localizado. No primeiro capítulo dessa apostila, foram estudados os elementos 
que compõem um sistema de projeção. Abaixo estão relacionados os principais elementos de um 
sistema de projeção: 
1) Observador: como se trata de um sistema cilíndrico o observador está no infinito; 
2) Objeto: pode ser um objeto com quaisquer dimensões. É possível representar um objeto 
existente ou mesmo um objeto que está no plano das ideias; 
3) Planos de projeção: os principais planos de projeção são o Vertical e o Horizontal, no entanto, 
mais adiante veremos que podemos utilizar outros planos para obter mais vistas do objeto. 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
53 
 
Tais elementos adquirem diferentes posições um em relação ao outro, considerando cada 
diedro, mas existe um princípio básico que é respeitado em todas as projeções: o objeto sempre deve 
estar entre o observador e o plano de projeção. 
4.3.1. Primeiro e Terceiro Diedros 
No primeirodiedro, a face frontal do objeto, projeta-se no plano vertical superior e a face 
superior projeta-se no plano horizontal anterior, como mostra a figura 4.7. Dessa maneira, a ordem 
dos elementos da projeção é a seguinte: OBSERVADOR à OBJETO à PLANO DE PROJEÇÃO. 
Outra consequência do posicionamento do objeto no primeiro diedro é que cotas e 
afastamentos são positivos. É por essa razão que a maioria das representações se faz localizando-se o 
objeto no primeiro diedro. Em épura tem-se a face frontal representada acima da linha de terra e a 
face superior representada abaixo da mesma linha, resultando no que mostra a figura 4.8. 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.7 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.8 
 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.9 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.10 
 
Quando o objeto é localizado no terceiro diedro, como mostrado pela figura 4.9, ele passa a não 
mais estar entre o observador e o plano de projeção. A ordem dos elementos da projeção passa a ser 
a seguinte: OBSERVADOR à PLANO DE PROJEÇÃO à OBJETO. 
Essa mudança faz com que a face frontal do objeto, seja projetada no plano vertical inferior e 
a face superior é projetada no plano horizontal posterior. Quando se faz o rebatimento do plano 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
54 
 
horizontal sobre o vertical para obter a épura teremos – agora diferente do que ocorre no primeiro 
diedro – a face frontal abaixo e a face superior acima da Linha de Terra. 
4.3.2. Segundo e Quarto Diedros 
No Desenho Técnico, o segundo e o quarto diedros não são utilizados para posicionar objetos 
porque quando ocorre a rotação do plano horizontal sobre o plano vertical para obter a épura, as 
projeções ficam sobrepostas, o que dificulta o entendimento da representação do objeto. Observe as 
figuras abaixo. 
 
 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.11 
 
 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.12 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.13 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.14 
 
4.3.3. Sistemas Alemão e Americano 
A organização da apresentação das vistas apresentada estudada no item anterior é resultado 
do diedro escolhido para posicionar o objeto. No caso da organização trazida na figura 4.22, o objeto 
está posicionado no primeiro diedro, ou seja, a ordem dos elementos da projeção é a seguinte: 
OBSERVADOR à OBJETO à PLANO DE PROJEÇÃO (ver itens 4.3.1 e 4.3.2). Quando isso acontece diz-
se que o sistema de apresentação das vistas adotado foi o Sistema Alemão ou Europeu. 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
55 
 
 
 Esse sistema difere do Sistema Americano 
exatamente no que diz respeito ao diedro 
escolhido para posicionar o objeto. No Sistema 
Americano o objeto fica no terceiro diedro. 
Dessa forma, a ordem dos elementos da 
projeção é: OBSERVADOR à PLANO DE 
PROJEÇÃO à OBJETO. Tal fato resulta numa 
apresentação diferente para as vistas 
mongeanas, a qual está ilustrada na figura 4.24. 
É possível perceber que a vista (LD) está à direita 
da vista (F), a (LE) está à esquerda, a vista (S) está 
acima da (F) e a vista (I) está abaixo da vista (F). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.24 
No Brasil, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), que regula todo tipo de 
padronização não só para a área da Geometria e do Desenho Técnico, como também para outras as 
áreas do conhecimento, adota o Sistema Alemão, também chamado de Sistema Europeu. No 
entanto, ela admite a utilização do Sistema Americano em determinadas áreas do conhecimento. O 
Sistema Alemão tem maior abrangência se comparado ao Sistema Americano de apresentação das 
vistas. A representação do objeto no terceiro diedro é mais rara, sendo utilizada, sobretudo, na 
Inglaterra e nos Estados Unidos. 
4.4. As Seis Vistas 
Uma única projeção ortogonal de um objeto não é suficiente para entender o objeto por 
completo. Comparando as figuras 4.15 e 4.16, se percebe que os objetos são diferentes, a primeira 
figura mostra um cubo, já a segunda um prisma. No entanto, as projeções das faces frontais das 
peças, ou seja, as projeções verticais são iguais. 
 
 
 
 
 Fig. 4.15 
 
 
 
 
Fig. 4.16 
 
 
 
 
Caso somente a projeção vertical desses objetos estivesse disponível se teria somente as 
dimensões de altura e largura. Dessa maneira, não seria possível identificar a dimensão do 
comprimento. Consequentemente, não se teria o entendimento correto das peças. Na medida em 
que outras faces da peça são projetadas é possível visualizar outras dimensões do objeto. As figuras 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
56 
 
4.17 e 4.18 trazem a projeção da face superior das peças, o que por consequência fazem as 
dimensões de largura e de comprimento serem mostradas. 
 
Fig. 4.17 
 
Fig. 4.18 
Com as projeções das faces frontal e superior dos objetos se teriam visualizadas as três 
dimensões da peça (largura, altura na face frontal e largura e comprimento na face superior). Dessa 
maneira, muitas peças já podem ser definidas, como é o caso das peças das figuras 4.17 e 4.18. Por 
essa razão essas duas projeções, a frontal e a superior, são chamadas de projeções básicas do 
Sistema Mongeano. 
Entretanto, muitas vezes as duas projeções básicas não são suficientes para o entendimento 
de alguns objetos. Sendo necessárias outras projeções. A figura 4.19, mostra épuras de um mesmo 
objeto e os desenhos isométricos das possíveis interpretações dessas épuras. 
Na primeira linha da figura abaixo se percebe que apenas uma das vistas é conhecida. Nesse 
caso, são possíveis pelo menos três interpretações do objeto, como mostram as figuras da linha 1, 
colunas A, B e C. Todas essas figuras podem ser a figura dada na épura 1. 
Quando são fornecidas duas vistas, épura 2, a figura da coluna C é descartada, pois se vê que 
a vista superior não é compatível com a vista superior de um cilindro. Mesmo assim, ainda se tem 
duas possibilidades, os objetos das colunas A e da coluna B. 
Para que se possa ter certeza de que objeto se trata, mais uma vista tem que ser dada. Tem-
se, então, a épura 3, que traz as vistas (F), (S) e (LD). Com tais informações é possível afirmar que o 
objeto tratado é o que está representado na coluna B. 
 Épuras A B C 
1 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
57 
 
2 
 
 
 
3 
Fig. 4.19 
Para realizar a projeção de todas as seis possíveis faces do ortoedro de referência que envolve 
um objeto no espaço, se faz uso de outra técnica que é a da caixa imaginária de projeção. Diferente 
do já conhecido ortoedro de referência, a caixa imaginária de projeção não fica totalmente ajustada 
ou “colada” ao objeto, de forma que seja o menor ortoedro que envolva todas as faces do objeto. 
Pelo contrário, o objeto é posicionado no interior da caixa imaginária de projeção de maneira que 
haja certo afastamento entre suas faces e as faces da caixa como aparece na figura 4.20. 
Após o posicionamento do objeto dentro da caixa imaginária de projeção se procede com a 
representação de cada uma das faces do objeto em cada uma das faces da caixa, ou seja, as faces da 
caixa imaginária de projeção funcionam como planos de projeção, e duas a duas funcionam como 
diedros, observar a figura 4.20. 
 
 
 
Fonte: DUARTE, 2008. 
Fig. 4.20 
 
Fonte: DUARTE, 2008. 
Fig. 4.21 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
58 
 
Após as projeções, a caixa imagináriade projeção é aberta, como mostra a figura 4.21. Esse 
movimento é o mesmo que Gaspard Monge fez ao fazer o plano horizontal coincidir com o plano 
vertical, para assim criar a épura mongeana. No caso da figura analisada, após a abertura da caixa, 
todos os planos envolvidos coincidiram com o plano vertical e, assim, tem-se as vistas mongeana de 
todas as faces do objeto, ver figura 4.22. É possível perceber que as vistas ficam organizadas segundo 
certa ordem, como mostra a figura 4.22. Esta ordem não é aleatória, ela é o resultado do processo de 
obtenção das vistas como foi visto nas figuras 4.20, 4.21 e 4.22. 
Essa organização também deixa clara uma característica das vistas mongeanas, a relação 
projetiva entre as faces, a qual se dá por meio das linhas de chamada, como mostra a figura 4.23. A 
relação projetiva possibilita que as informações dimensionais de uma face auxiliem a construção de 
outras. É exatamente essa relação que possibilita que operações gráficas sejam realizadas na épura, 
isso porque elas registram as medidas lineares e angulares do objeto, bem como das distâncias entre 
as arestas e os planos de projeção. 
 
Fonte: DUARTE, 2008. 
Fig. 4.22 
 
Fig. 4.23 
A vista FRONTAL (F) é considerada a principal vista da peça. É nela que, geralmente, ficam as 
informações mais importantes. Tal vista representa a projeção obtida no plano vertical de projeção. A 
figura 4.22 mostra que a esta face fica localizada aproximadamente no centro da épura. Esses dois 
fatores, juntamente com a relação projetiva existente entre as faces, fazem com que ela seja 
referência para a construção ou localização das outras. A vista SUPERIOR (S) se localiza abaixo da 
vista frontal e a vista INFERIOR (I), se localiza acima. Seguindo o mesmo raciocínio a vista LATERAL 
DIREITA (LD) fica à esquerda da vista frontal e a vista LATERAL ESQUERDA (LE) fica à direita da vista 
frontal. A vista POSTERIOR (P) pode ficar ao lado das vistas laterais ou acima da vista inferior ou ainda 
abaixo da vista superior. No exemplo dado na figura 4.22, a vista posterior está localizada ao lado da 
vista lateral esquerda. 
4.5. Os Eixos Coordenados 
É interessante perceber que a interpretação ou leitura das informações trazidas pelo Sistema 
Mongeano exige um pouco mais de abstração e de conhecimento gráfico, uma vez que 
diferentemente do Desenho Isométrico ou da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, as informações sobre 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
59 
 
as dimensões do objeto vêm separadas. Cada vista traz duas das três dimensões do objeto. A vista 
FRONTAL, por exemplo, traz as medidas de largura (x) e de altura (z), já a vista SUPERIOR traz as 
medidas de largura (x) e profundidade (y). 
Da mesma maneira acontece com as outras vistas, ou seja, cada uma dela mostra apenas uma 
combinação de duas dimensões: 
· As vistas laterais mostram profundidades (y) e alturas (z); 
· As vistas superior e inferior mostram profundidade (y) e largura (x); 
· As vistas frontal e posterior mostram largura (x) e altura (z). 
Fig. 4.25 
 A figura 4.25 traz ilustrados os eixos 
coordenados com todas as combinações de 
dimensões por face. 
Para visualizar uma peça 
representada no Sistema Mongeano é 
preciso estabelecer um diálogo entre todas 
as vistas mostradas. Somente assim, é 
possível ter uma ideia da totalidade da peça. 
 
4.6. Visualização das Vistas Mongeanas e da Peça 
 
 
 MUDANÇA DE PLANO 
Fig. 4.26 
 
A figura 4.26 mostra a representação de duas 
superfícies distintas, identificadas pelos números 1 e 
2. Nela é possível concluir que são duas superfícies 
devido à presença da reta destacada. Tal reta 
representa uma mudança de plano, a qual pode ser: 
1. uma reta de interseção entre as superfícies 1 e 
2, ou; 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
60 
 
 
 Fig. 4.27 
2. uma terceira superfície perpendicular à 
superfície 1 e à 2. 
Essas duas possibilidades geram uma série de 
possíveis interpretações para a peça, como mostra 
figura 4.27. O fato é que a existência da linha na vista 
significa que há uma mudança de plano na peça. 
Para saber se a peça traz uma interseção entre 
superfícies ou uma terceira superfície é necessário 
que mais vistas sejam fornecidas, como foi discutido 
no item 4.4 dessa Apostila. Dessa forma, é possível 
fazer uma associação entre as vistas, bem como 
utilizar a relação projetiva existente entre elas, para 
definir a volumetria da peça. 
A figura 4.28 traz a segunda vista a ser fornecida, nela estão indicadas por setas as superfícies 
1 e 2, que estão reduzidas a uma reta. Com essa vista já se tem mais informações sobre a peça. Sabe-
se, por exemplo, que não há superfícies curvas, o que descartaria algumas das possíveis 
interpretações da peça presentes na figura 4.27. 
Já a figura 4.29 traz as duas vistas associadas, tal fato facilita a interpretação das informações, 
inclusive porque pelo próprio posicionamento das vistas já é possível afirmar que a vista da figura 
4.26 é a vista (F), enquanto que a vista da figura 4.28 é a vista (S) ou ainda que a primeira é a vista (I) 
e a segunda é a vista (F). O mais comum é que sejam fornecidas as vistas (F), (S), visto que essas são 
as vistas que mostram as faces com mais detalhes da peça. 
 
Fig. 4.28 
 
 
 
Fig. 4.29 
 
Fig. 4.30 
A análise feita a seguir parte da interpretação de que a figura 4.29 traz as vistas (F) e (S). Tal 
figura mostra a superfície número 1 em vista (F) e reduzida a uma reta na vista (S). Isso ocorre porque 
essa superfície está posicionada de modo paralelo ao plano vertical e de modo perpendicular ao 
3 
3 
 1 
 2 
 3 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
61 
 
plano horizontal (ver figura 4.30). O resultado desse posicionamento é que a superfície aparece em 
VG na vista (F) e como uma reta paralela à linha de terra (LT) na vista (S). A superfície número 2 
aparece do mesmo modo que a primeira superfície analisada, ou seja, em vista na vista (F) e como 
uma reta na vista (S). No entanto, seu posicionamento em relação aos planos de projeção é 
diferente. Ela está perpendicular ao plano horizontal, mas é oblíqua ao plano vertical (ver fig. 4.30). É 
por essa razão que ela aparece inclinada em relação à LT na vista (S). No caso da superfície número 3, 
é possível afirmar que ela está posicionada de maneira semelhante à superfície 1, porém nas vistas 
contrárias, ou seja, ela é paralela ao plano horizontal e perpendicular ao plano vertical (ver fig. 4.30). 
A interpretação de vistas mongeanas ocorre dessa maneira, ou seja, por meio da análise das 
superfícies da peça em relação aos planos de projeção e da relação que elas estabelecem entre si. 
Parece mais complicado do que é na realidade. O treino da visualização das vistas mongeanas e da 
interpretação das peças ocorre através da resolução dos exercícios. Após a resolução de um bom 
número deles, a análise acima se torna automática. 
4.7. A Escolha das Vistas 
Quando utilizamos o Sistema Mongeano para representar um objeto, muitas vezes não 
precisamos desenhar as seis vistas. O desenho de três vistas, usualmente as vistas (F), (S) e uma das 
laterais, é suficiente para o entendimento de um objeto. Isso porque nessas três vistas podemos ver 
a combinação dos três eixos coordenados, dois a dois. No entanto, a escolha dessas três vistas é 
muito importante, pois elas devem mostrar o máximo de detalhes existentes no objeto. Se a escolha 
das faces a serem mostradas não for eficiente, pode haver tanto a dúvida quanto à volumetria da 
peça ou mesmo a interpretação incorreta da mesma. 
Vejamos o exemplo abaixo: dadas as duas vistas mongeanas da figura 4.31 há várias 
possibilidades de interpretação do objeto, como mostram as figuras 4.32 e 4.33. Se forem fornecidas 
somente tais vistas, nãoserá possível definir qual a volumetria do objeto. Dessa maneira, deve-se 
sempre procurar representar as vistas do objeto que mais claramente caracterizem-no. De forma que 
não deixe margens para dúvidas na interpretação. 
 
Fig. 4.31 
 
Fig. 4.32 
 
Fig. 4.33 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
62 
 
Como já foi mencionado nessa Apostila, geralmente são desenhadas três vistas de uma peça, 
porém, há situações em que a interpretação continua indefinida, como mostram as figuras 4.34 e 
4.35. 
 
Fig. 4.34 
Fig. 4.35 
No caso das figuras acima, ter representado as vistas LD e LE não ajudou a interpretação da 
volumetria da peça porque ambas são equivalentes, ou seja, não mostram nada diferente uma da 
outra. Para resolver tal situação seria necessário representar outro conjunto de vistas. 
 
 
4.8. Desenhando as Primeiras Peças em Mongeano 
O primeiro passo para desenhar é conhecer a convenção utilizada no Sistema Mongeano. Leia 
atentamente o quadro abaixo com os tipos mais usados de linhas, suas representações e suas 
funções no desenho técnico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.36 
Em seguida, é necessário identificar as medidas dos segmentos da peça nas direções das 
arestas do ortoedro de referência utilizando os conhecimentos já adquiridos sobre perspectiva 
cilíndrica cavaleira e desenho isométrico, como sugere a figura 4.37. Dando continuidade à 
representação da peça, são desenhadas as Linhas de Terra (LT), as quais são representadas por duas 
linhas ortogonais entre si. As LTs criam quadrantes dentro dos quais as vistas serão organizadas, 
como aparece na figura 4.38. 
TIPO DE LINHA REPRESENTAÇÃO FUNÇÃO 
Contínua Grossa contornos visíveis e arestas visíveis 
Contínua Fina 
 linhas de interseção imaginárias, linhas 
de cotas, linhas de construção, linhas 
de chamada, hachuras e linhas de 
centro 
Tracejada Grossa 
 contornos não visíveis e arestas não 
visíveis 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
63 
 
 
Fig. 4.37 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.38 
O próximo procedimento consiste na escolha das vistas que serão projetadas. Em geral, são 
desenhadas no Sistema Mongeano as mesmas faces que aparecem na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
ou no Desenho Isométrico, uma vez que se tem informações sobre elas, ou seja, não é preciso 
presumir informações. No entanto, essa prática não é regra. É possível ter que projetar faces que não 
estão sendo vistas. No exemplo mostrado as vistas escolhidas foram: (F), (S) e (LD), justamente as 
que aparecem no desenho isométrico dado, ver figura 4.39. Na sequência, as vistas são organizadas 
nos quadrantes formados pelas LTs, de acordo com a ordem mostrada na figura 4.22, ver resultado 
da organização das vistas na figura 4.40. 
 
 
 
Fig. 4.39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.40 
Procede-se então para o desenho das vistas mongeanas da peça, deixando um espaço entre 
as vistas e as LTs. Esse espaço deve ter, de preferência, entre 0,5 e 1 cm. Uma vez escolhida, essa 
distância terá que se respeitada no desenho das outras vistas, tal fato mantém a relação projetiva 
entre as vistas. 
É possível começar o desenho por qualquer uma das vistas, no exemplo da figura 4.41, o 
desenho começa pela vista (F). De acordo com que já foi estudado, a vista (F) como qualquer outra 
vista, mostra duas das três coordenadas: a coordenada x (largura) e coordenada z (altura). O ponto A 
da figura possui, então, as seguintes coordenadas [x; z] = [ 1; 1]. Em todas as outras vistas o ponto A 
deve aparecer com as mesmas coordenadas. 
z 
y 
x 
FRONTAL LATERAL 
DIREITA 
SUPERIOR 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
64 
 
 
Fig. 4.41 
Fig. 4.42 
Na figura 4.42, que traz também a vista (S), é possível observar mais uma coordenada do 
ponto A, a coordenadas de y, que é [5]. Dessa forma, as três coordenadas são disponibilizadas, são 
elas [ x; y; z] = [ 1; 5; 1]. Com essa informação e a relação projetiva entre as faces, dada pelas linhas 
de chamada, é possível construir qualquer uma das outras vistas. 
A figura 4.43 mostra o ponto A sendo “transportado” pelas linhas de chamada para o 
quadrante onde será construída a vista (LD). 
 
Fig. 4.43 
As linhas de chamada são linhas de 
apoio, desenhadas com traço contínuo fino, 
que quando traçadas: 
§ verticalmente, transportam medidas 
de largura (x); 
§ horizontalmente transportam 
medidas de altura (z); 
§ com o compasso ou o esquadro de 
45° transportam medidas de 
profundidade (y). 
É importante observar que: 
§ as medidas de profundidade são transportadas primeiro até o eixo y e só então são 
levadas com o compasso ou com o esquadro de 45° para o eixo x (que representa o 
rebatimento do eixo y na épura). Se as medidas de profundidades forem transportadas 
com o compasso, a ponta seca deve ser centrada na origem, dos eixos coordenados; 
§ as linhas tracejadas são utilizadas para representar existentes, porém não visíveis; 
§ as linhas de chamada são traços contínuos finos; 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
65 
 
§ que as linhas de terra e as arestas de peça devem ser traços contínuos grossos. 
4.9. Os Sólidos Básicos: prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas 
Nessa disciplina, o aluno terá que redesenhar figuras que são fornecidas ora em perspectiva 
cilíndrica cavaleira, ora em desenho isométrico, no Sistema Mongeano. Ou, ainda, realizar o caminho 
inverso, ou seja, redesenhar figuras que são dadas em vistas mongeanas, em perspectiva cilíndrica 
cavaleira ou desenho isométrico. 
Para iniciar o desenho de um sólido seja qual for o sistema escolhido é preciso reconhecer 
suas propriedades geométricas. Além disso, é necessário que a figura dada seja compreendida, para 
isso é crucial reconhecer o tipo de representação em que a figura foi elaborada, ou seja, se a peça 
dada está representada em perspectiva cavaleira ou em desenho isométrico. Como cada um desses 
sistemas possui regras próprias de representação, já estudadas nos capítulos anteriores dessa 
Apostila, é possível extrair do desenho, com precisão, as grandezas lineares e angulares necessárias 
para a construção da peça no sistema pedido. 
 
4.9.1. Prisma 
Para desenhar prismas, é preciso saber que eles são sólidos geométricos delimitados por faces 
planas, que suas bases pertencem a planos paralelos entre si e que suas faces laterais serão 
quadriláteros. 
 Dado o objeto da figura 4.44, o primeiro procedimento é reconhecer em que sistema 
de representação ele foi desenhado. Dessa forma é possível extrair as informações, especialmente 
com relação às medidas de largura, comprimento e altura. No caso da figura, o objeto está 
desenhado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e possui k = 0,5, isso significa que quando a peça for 
desenhada em Desenho Isométrico ou em Mongeano, as medidas relativas ao eixo y serão 
aumentadas, uma vez que nesses sistemas de representação o K sempre é igual a 1. Feito isso é 
necessário identificar as faces que estão sendo mostradas, no caso do exemplo são as (F), (S) e (LD), 
como mostra a figura 4.44. 
k = 0,5 
 
 
Fig. 4.44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.45 
 
z 
y 
x 
FRONTAL LATERAL 
DIREITA 
SUPERIOR 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
66 
 
Em seguida, as vistas já identificadas, são 
organizadas nos quadrantes resultantes do 
encontro das Linhas de Terra, ver figura 4.45. 
É importante lembrar que é preciso 
definir a distância do objeto até os planos de 
projeção, bem como que essa distância deve ser 
respeitada em todos os quadrantes. 
A épura do objeto é iniciada com a 
representação da vista (F), a qual guarda as 
medidas de largura e altura,extraídas a figura 
dada em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, ver 
figura 4.46. 
 
Fig. 4.46 
O próximo procedimento consiste na representação da vista (S) através do traçado das linhas 
de chamada (no sentido vertical), o que mais parece o prolongamento das arestas que representam 
as alturas, como pode ser visto na figura 4.47. Em seguida, as medidas de comprimento, extraídas da 
Cavaleira são introduzidas na épura no quadrante da vista (S), como aparece na figura 4.48. Após o 
desenho dessa vista, procede-se com o traçado das linhas de chamada horizontais. Estas vão partir da 
vista (F) levando as medidas de altura para a construção da vista (LD), bem como vão partir da vista 
(S) levando as medidas de comprimento para a construção da mesma vista. No caso da vista (S), as 
linhas de chamada vão até o eixo y, como está mostrado na figura 4.48. 
 
Fig. 4.47 
 
Fig. 4.48 
 
Fig. 4.49 
 Com o compasso, ou com o esquadro de 45°, transportam-se as medidas de comprimento da 
vista (S) até o quadrante da vista (LD). O compasso deve ser centrado na origem dos eixos 
coordenados e devem partir de um eixo e chegar até o outro eixo como mostra a figura 4.49. 
 Em seguida, as linhas de chamada são levantadas a partir do eixo para cruzarem-se com as 
linhas que partiram da vista (F). Dessa forma, a vista (LD) é definida, ver resultado final da épura na 
figura 4.49. 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
67 
 
4.9.2. Pirâmides 
 
Fig. 4.50 
Pirâmide é um sólido geométrico delimitado por 
faces planas, sendo sua base um polígono qualquer e suas 
faces laterais triângulos que possuem um ponto em comum 
chamado de vértice. 
Dada a pirâmide da figura 4.50, os primeiros 
procedimentos para sua representação em Mongeano é, 
como foi dito para Prismas, a identificação do sistema em 
que a figura dada foi desenhada, e depois sua compreensão. 
No caso do exemplo, a figura foi desenhada em Perspectiva 
Cavaleira. 
Um recurso que auxilia o entendimento de uma peça é, como foi discutido no primeiro 
capítulo da apostila, o uso da técnica do ortoedro de referência, ver figura 4.50. Em razão do desenho 
do ortoedro é possível afirmar que trata-se de uma pirâmide de base quadrangular reta, ou seja, 
todas as faces são iguais e o vértice se projeta no centro da base. 
O traçado em épura da pirâmide em estudo teve início com vista (S), que guarda as medidas 
de largura e de profundidade. O próximo procedimento é o desenho da vista (F). Para isso 
estendemos as linhas de chamada no sentido vertical, incluindo a linha de chamada que contém as 
informações sobre o vértice. Em seguida, são traçadas linhas de construção, com as medidas de 
altura, trazidas da Perspectiva Cavaleira, ver figura 4.51. Na figura 4.52 é possível verificar que 
conhecendo a localização do vértice, facilmente são traçadas as duas arestas que representam as 
duas faces laterais da pirâmide, e por consequência, a face frontal é definida. 
As linhas de construção e de chamada podem ser deixadas no desenho, porém devem ser 
diferenciadas das arestas definitivas por meio da espessura do traço. 
 
Fig. 4.51 
 
 
Fig. 4.52 
Para desenhar a vista (LD), procede-se como foi explicado para os prismas, ou seja, as 
medidas de altura e de comprimento são transportadas para o quadrante em que a vista será 
desenhada por meio das linhas de chamada. 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
68 
 
 
Fig. 4.53 
 Ao se cruzarem, elas criam uma malha com 
linhas e pontos, que definem tanto as arestas 
definitivas quanto as não visíveis da peça. 
 É importante perceber que os pontos sempre 
estarão sobre a mesma linha de chamada. Isso ocorre 
devido à existência da relação projetiva entre as faces, 
estabelecida pelas linhas de chamada. 
 O ponto que define o vértice da pirâmide, por 
exemplo, “percorre” todos os quadrantes, ou seja, está 
em todas as vistas, sempre sobre a mesma linha de 
chamada, ver figura 4.53. 
 
 4.9.3. Cilindros 
Como já foi discutido no item 2.6 dessa Apostila, o cilindro é um sólido que, de acordo com 
uma de suas leis de geração, possui um eixo, uma diretriz e várias geratrizes. As geratrizes são retas 
paralelas entre si e todas são paralelas a um eixo, cuja visualização e entendimento são 
imprescindíveis para a representação desses sólidos em épura. 
A representação de cilindros em vistas mongeanas ocorre como a representação de qualquer 
sólido geométrico estudado até o momento. Primeiramente, há a identificação das propriedades 
geométricas do objeto na figura dada. Essa etapa acontece com a identificação do sistema de 
representação utilizado na figura dada. Depois, se dá a compreensão da volumetria da peça, essa 
etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do ortoedro de referência na peça dada. Em seguida, 
são identificadas as faces que irão ser mostradas no desenho, assim, é feita a organização da 
localização dessas faces na épura. No caso da figura 4.54 estão sendo mostradas as faces (F), (S) e 
(LD). Por uma escolha didática as vistas a serem representadas em Mongeano serão as mesmas. 
 
Fig. 4.54 
A figura 4.54 mostra uma Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira do cilindro que será desenhado em 
Mongeano. Nessa figura, o cilindro está envolvido 
pelo ortoedro de referência e quatro das suas 
geratrizes foram destacadas. As geratrizes em 
destaque são as chamadas Geratrizes de Limite de 
Visibilidade (GLVs). As GLVs são retas que estão 
presentes em qualquer representação de sólidos que 
possuem superfícies curvas. Isso porque superfícies 
dessa natureza não possuem arestas. Portanto, as 
GLVs servem para marcar os limites de visibilidade do 
observador. Tais limites variam de acordo com a vista 
mongeana elaborada. 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
69 
 
 Quando um cilindro é representado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, como é o caso da 
figura 4.54, sua superfície curva aparece na forma de dois traços verticais, indicados na figura como 
g5 e g6. Esses dois traços são as GLVs da Perspectiva Cavaleira. Tais geratrizes sempre tangenciam as 
circunferências das faces planas do cilindro. Quando esse mesmo cilindro é representado em 
Desenho Isométrico, o desenho mostra outro par de GLVs. O mesmo ocorre na representação do 
cilindro em vistas mongeanas. Quando se trata da vista (F) um par de GLVs aparece, o par g1 e g2, 
comparar as figuras 4.55 e 4.54. Já na vista (LD), o par mostrado é o g3 e g4. 
 
Fig. 4.55 
 Como também já foi colocado, a representação no 
Sistema Mongeano pode começar a ser elaborada por 
qualquer uma das vistas. Na figura 4.55, a vista (S), que 
possui a forma de uma circunferência, foi a primeira a 
ser elaborada. Para isso foi definida uma medida de 
afastamento do sólido para os planos de projeção e 
desenhado um quadrilátero que representa a vista (S) do 
ortoedro de referência. Em seu interior desenha-se uma 
circunferência circunscrita que já é a vista (S) do cilindro. 
A vista (F) é composta por duas faces planas e por uma 
face curva. As faces planas aparecem reduzidas a retas 
no topo e na base da vista. A construção dessa face exige 
uma análise sobre como construir faces com essa 
natureza, pois elas não possuem arestas de onde 
partiriam linhas de chamada. 
 
Para desenhar as duas faces planas do cilindro, deve-se marcar a medida da altura desse 
objeto, a qual é trazida da Perspectiva Cavaleira e marcadas na vista (F) por meio de linhas de 
chamada paralelas ao eixo x, respeitando-se a medida de afastamento para os planos de projeção, 
como mostra a figura 4.55. Já para desenhar a face curva, o que deve ser observado é a extensão de 
visibilidade do observador, a qual compreende o arco 142, da figura 4.55, ou seja, a face curva do 
cilindro é vistapelo observador somente do ponto 1 até o ponto 2, o arco 132 fica não visível para o 
observador. Portanto, as linhas de chamada que partem dos pontos 1 e 2, e sobem na direção do 
quadrante da vista (F), marcam os limites laterais do sólido, sendo portanto, quando escurecidas, as 
GLVs. Essas retas representam os limites da extensão da face curva quando visualizada pelo 
observador na vista (F). 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
70 
 
 A figura 4.56 traz a vista (LD), cuja 
construção obedece a mesma lógica utilizada 
para na construção da vista (F), ou seja, a 
utilização das GLVs como limites da extensão da 
visualização do sólido, só que nesse caso, as 
linhas de chamada partem dos pontos 3 e 4, 
porque é o arco 423 que está sendo visto pelo 
observador. 
 
Fig. 4.56 
 
4.9.4. Cones 
 
 
Fig. 4.57 
 Cones, assim como cilindros, possuem 
superfícies de diferentes naturezas, uma é plana 
e outra que é curva. Consequentemente, os 
procedimentos para a representação de cones 
no Sistema Mongeano se assemelham aos 
procedimentos da representação do cilindro 
nesse sistema, estudados no item acima. No 
entanto, os cones possuem um elemento que os 
cilindros não possuem, o vértice. 
Tal ente geométrico é o ponto de convergência de todas as geratrizes do cone, inclusive das 
GLVs, como pode ser observado na figura 4.57. Sua localização é muito importante na determinação 
das vistas mongeanas desse sólido. 
No caso da figura 4.57 estão sendo mostradas as faces (F), (S) e (LD). Por uma escolha 
didática, as vistas a serem representadas em Mongeano serão as mesmas. Em seguida, é feita a 
organização da localização dessas faces na épura. 
A representação de um cone segue a mesma lógica da representação de qualquer sólido 
geométrico. Primeiramente, há a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura 
dada. Essa etapa acontece com a identificação do sistema de representação utilizado. Depois, se dá a 
compreensão da volumetria da peça, essa etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do 
ortoedro de referência na peça dada, ver figura 4.57. 
No caso do exemplo tratado nesse item, a representação em Mongeano vai ter início com a 
vista (S), pois a representação dessa vista consiste somente na construção de uma circunferência 
(circunscrita por um quadrado que é a vista superior do ortoedro de referência) e na localização do 
vértice do cone no centro dela, como mostra a figura 4.58. As GLVs não aparecem na vista (S), pois 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
71 
 
quando o observador está acima do objeto, ele não enxerga mudanças de plano. Em seguida, são 
localizados, na mesma vista, os limites laterais do cone, os pontos 1 e 2, ver figura 4.59. 
 
Fig. 4.58 
 
Fig. 4.59 
Desses pontos partem as linhas de chamada que “sobem” na direção do quadrante da vista 
(F). Quando, nesse quadrante, há o cruzamento entre as linhas de chamada e a linha horizontal que 
marca o afastamento do plano até o sólido, são encontrados os pontos 1 e 2. Desses dois pontos 
partem as duas GLVs, que no caso do cone concorrem no vértice. As duas GLVs marcam a extensão 
da visibilidade do observador que no caso da figura 4.59 vai compreender tudo que é visto no arco 1 
2. 
 
Fig. 4.60 
 A altura onde o vértice fica na vista (F) é 
trazida da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e 
posta na vista (F) sobre a linha de chamada que 
parte da projeção do vértice na vista (S). A 
figura 4.60 traz a construção da vista (LD). A 
representação dessa vista é o resultado do 
cruzamento das linhas de chamada que partem 
da vista (S), com as linhas de chamada que 
partem da vista (F). É possível observar que na 
vista (LD) aparecem as GLVs que partem dos 
pontos 3 e 4 presentes na vista (S). 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
72 
 
4.9.5. Esferas 
 
 A esfera é um sólido geométrico que possui 
uma característica marcante em relação aos 
outros sólidos, uma única superfície curva. 
Consequentemente, a esfera só possui geratrizes 
curvas e são de dois tipos: meridianos ou 
paralelos, como aparece na figura 4.61. Tendo a 
esfera uma superfície curva não há arestas ou 
vértices. 
http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php 
Fig. 4.61 
A representação da esfera é feita usualmente em Vistas Mongeanas e em Isometria, ou ainda 
em Desenho Isométrico. Não é usual representar a esfera em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira porque 
a esfera fica tão deformada que deixa de parecer uma esfera. Conforme vimos no capítulo 3, na 
Isometria (exata) as medidas paralelas aos eixos coordenados sofrem uma deformação natural de 
0,816, tanto na altura, como na largura e na profundidade, ou seja, em todas as suas medidas. No 
entanto, o desenho do contorno aparente da esfera não sofre deformação, como mostra a figura 
4.62, isso ocorre porque todas as medidas já foram deformadas. Para representar a esfera em 
Desenho Isométrico vai ocorrer o contrário, ou seja, como as medidas que estão paralelas aos eixos 
coordenados sofrem deformação, a qual é desconsiderada, o desenho do contorno aparente da 
esfera – que na Isometria Exata não sofre deformação – será deformado em 0,816, como mostra a 
figura 4.63. 
 
 Fig. 4.62 Fig. 4.63 
 
Na prática, para desenhar a esfera em Desenho Isométrico utilizamos o Ortoedro de 
Referência desenhado em medidas reais. Em sequência, para desenhar o contorno aparente da 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
73 
 
esfera centramos o compasso no vértice central que pertence simultaneamente as vistas frontal, 
superior e lateral direita. A abertura do compasso será igual ao raio da esfera, mas atenção! O raio 
real deve ser dividido pelo fator de deformação 0,816 para que o contorno aparente da esfera fique 
proporcional ao Desenho Isométrico. Observe atentamente o exemplo da figura 4.64, para desenhar 
uma esfera de raio 2cm. Desenha-se um ortoedro de referência, em medidas reais, ou seja, com 4cm 
em todos os lados. Em seguida, se desenha o contorno aparente da esfera, centrando o compasso no 
centro e com raio, dessa vez deformado, isto é, 2cm (raio real) dividido por 0,816 (fator de 
deformação). 
Para dividir a esfera ao meio, desenhamos um plano que divide o Ortoedro, também em 
medidas reais, procedemos então o desenho da elipse inscrita ao plano desenhado anteriormente, 
também em medidas reais. 
 
Fig. 4.64 
Uma curiosidade importante é que quando se está trabalhando com a meia esfera, é possível 
construir o ortoedro de referência, depois a elipse que dividirá a esfera ao meio e para desenhar o 
contorno aparente da esfera podemos simplesmente observar os raios ao invés de calcular. Os raios 
paralelos aos eixos coordenados estão em medida real, ou seja, 2cm, mas o raio no sentido 
horizontal (que não está paralelo a nenhum eixo) já está desenhado com a deformação desejada, 
como mostra a figura 4.64. 
Os procedimentos para a representação de esferas em épura são os mesmos procedimentos 
utilizados para representar qualquer outro sólido geométrico. Portanto, primeiramente, há a 
identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada. Essa etapa acontece com a 
4,0 
4,0 
4,0 
elipse que divide a 
esfera em meias 
esferas 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
74 
 
identificação do sistema de representação utilizado. Depois, se dá a compreensão da volumetria da 
peça, essa etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do ortoedro de referência na peça dada, 
ver figura 4.64. Quando o observador vê uma esfera, seja na vista (F), (S), (LD) ou qualquer outra, a 
linha que ele enxerga são meridianos, como mostra as figura 4.61. 
A representação da esfera no mongeanose assemelha de certa forma à representação do 
cone e do cilindro. Isso ocorre porque no caso da esfera também teremos geratrizes de limite de 
visibilidade. Ao iniciarmos o desenho pela vista (S), por exemplo, o observador vê apenas uma 
circunferência. A linha da circunferência é uma das GLVs da esfera, g2, um paralelo equivalente ao 
equador da terra. Dando continuidade ao desenho, parte-se para a vista (F), e traça-se duas 
tangentes à g2 da vista (S). No sentido da largura, é traçada então uma nova GLV, g1, que 
corresponde à vista (F) da esfera, composta por dois meridianos. Para finalizar, procede-se o desenho 
da vista (LD), por meio de linhas de chamadas tangentes à g2 da vista (S) no sentido da profundidade 
e linhas de chamada tangentes à g1 da vista (F) no sentido da altura. É traçada então uma nova GLV, 
g3, que corresponde a dois meridianos. Observe atentamente a figura 4.65. Observe que para efeitos 
didáticos foram indicadas as posições de todas as GLVs em todas as vistas. 
 
Fig. 4.65 
 
Fig. 4.66 
 
Conclui-se assim que as linhas de chamada são retas tangentes às GLVs de cada projeção da 
esfera, ou seja, a circunferência vista pelo observador em cada vista. É importante destacar também 
que em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e Desenho Isométrico, a linha que representa a esfera é 
chamada de Contorno Aparente da esfera. 
 
75 
 
EXERCÍCIOS - PERSPECTIVA CILÍNDRICA ORTOGRÁFICA 
1. Imagine duas peças que tenham como vista 
frontal a figura abaixo. Desenhe para cada 
uma das peças imaginadas as vistas lateral 
direita e superior e uma cavaleira, mostrando 
as mesmas vistas. 
2. Imagine que a peça abaixo é a projeção 
frontal de uma peça recortada de um prisma. 
Desenhe as vistas lateral direita e superior e 
uma cavaleira, mostrando as mesmas vistas. 
 
 
 
 
3. Imagine três peças com o desenho isométrico 
do objeto abaixo. Desenhe as vistas frontal e 
lateral direita de cada uma delas. 
4. Desenhe três vistas mongeanas do objeto 
abaixo mostrando as mesmas faces que 
aparecem na cavaleira. 
 
 
 
 
5. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo após rotacioná-la 90° AH no sentido do 
eixo “z”. Atenção para o K. 
6. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces que 
aparecem na cavaleira, atenção para o K. 
 K=0,5 
 
 
 
7. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces que 
aparecem na cavaleira, atenção para o K. 
8. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces do 
desenho isométrico. 
 
 
 
 
 
76 
 
 
9. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces que 
aparecem na cavaleira, atenção para o K. 
 
10. Desenhe três vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas faces que aparecem em 
cavaleira. Considere K = 0,5. 
 
 
 
 
11. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces que 
aparecem na cavaleira. 
12. Desenhe três vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas faces que aparecem no 
desenho isométrico. 
 
 
 
 
13. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces que 
aparecem no desenho isométrico. 
14. Desenhe três vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas faces da cavaleira. 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
15. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as faces frontal, lateral 
esquerda e superior. 
16. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas da 
cavaleira. 
 
 
 
 
17. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem em desenho isométrico (frontal, 
lateral direita e superior). 
18. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo (frontal, superior e lateral direita). 
 
 
 
 
19. Desenhe três vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem em desenho isométrico. 
20. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
21. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas da 
cavaleira. 
22. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas vistas que aparecem 
na cavaleira. 
 
 
 
 
23. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem na cavaleira. 
24. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem na cavaleira. 
 
 
 
 
25. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo. 
26. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as faces frontal, lateral esquerda e 
superior. 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
27. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem em desenho isométrico. 
28. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas vistas que aparecem na 
cavaleira. 
 
 
 
 
29. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem em desenho isométrico. 
 
30. a) Desenhe a face superior do objeto abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo cavaleira 
mostrando as faces frontal, lateral esquerda e 
superior. 
 
 
 
 
31. Desenhe a face lateral direita da peça 
abaixo. 
32. Insira, nas faces da peça abaixo, as projeções 
de um cilindro com diâmetro da base e altura 
medindo ambos 1,5 cm, sua base deve estar 
contida no plano inclinado da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
33. a) Desenhe a face lateral esquerda do objeto 
abaixo; b) Redesenhe a peça abaixo em 
cavaleira mostrando as faces frontal, lateral 
esquerda e superior. 
40. Imagine a face abaixo girando em torno 
da reta indicada 270°. Desenhe as vistas 
frontal e superior, e uma perspectiva da 
peça gerada por essa rotação. 
 
 
 
 
35. a) Desenhe a face lateral esquerda do objeto 
abaixo; b) Redesenhe a peça abaixo em 
cavaleira mostrando as faces frontal, lateral 
direita e superior. 
36. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico ou cavaleira após rotacionada 
90ᵒ (anti-horário) no sentido do eixo x. 
 
 
 
 
37. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces que 
estão em sistema mongeano. 
38. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
39. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
40. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces 
representadas no sistema mongeano. 
 
 
 
 
41. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces 
representadas no sistema mongeano. 
42. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces 
representadas no sistema mongeano. 
 
 
 
 
43. a) Desenhe a vista superior da peça abaixo; b) 
Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
 
 
82 
 
44. a) Desenhe a vista lateral direita da peça abaixo; 
b) Redesenhe a peça em desenho isométrico; c) 
Acrescente, nas 3 vistas e no desenho 
isométrico, um cubo com aresta medindo 1cm e 
com uma face contida na face a da peça. 
45. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
46. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
47. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
48. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
49. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
83 
 
 
 
50. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
51 Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
52. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
53 Redesenhe a peça em DesenhoIsométrico 
mantendo as mesmas vistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
54 Redesenhe a peça em desenho isométrico mantendo as mesmas vistas que estão representadas no 
sistema mongeano. 
 
 
55 a) Dadas as vistas frontal e superior, desenhe a 
vista direita; b) Redesenhe a peça em desenho 
isométrico, mostrando as mesmas vistas do 
sistema mongeano. 
56 Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
57 a) Desenhe a face lateral esquerda da 
peça abaixo; b) Redesenhe a peça 
abaixo em desenho isométrico. 
58 Redesenhe a peça abaixo em desenho isométrico. 
 
 
 
59 Redesenhe a peça abaixo em desenho isométrico. 
 
 
60 Redesenhe a peça abaixo em Desenho Isométrico, mostrando as mesmas vistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
61 Desenhe e vista lateral direita da peça 
abaixo e Redesenhe-a em desenho 
isométrico. 
62 Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas vistas que aparecem no 
desenho isométrico. 
 
 
 
 
63 a) Desenhe a lateral direita da peça abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico. 
64 a) Desenhe a vista lateral direita da peça abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico, mostrando as mesmas vistas que em 
aparecem em épura. 
 
 
 
65 Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico. 
66 Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico. 
 
 
 
 
 
87 
 
67. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
68. a) Desenhe uma vista lateral da peça abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
GABARITOS 
1 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
 
89 
 
8 
 
9 
 
10 
 
11 
 
12 
 
13 
 
 
90 
 
14 
 
15 
 
16 
 
17 
 
18 
 
19 
 
91 
 
20 
 
21 
 
22 
 
23 
 
24 
 
25 
 
92 
 
26 
 
27 
 
 
 
28 
 
29 
 
30 
 
31 
 
93 
 
32 
 
33 
 
34 
 
35 
 
36 
 
37 
 
38 
 
39 
 
 
 
94 
 
 
40 
 
41 
 
42 
 
43 
 
44 
 
45 
 
95 
 
46 
 
47 
 
48 
 
49 
 
50 
 
51 
 
 
96 
 
52 
 
53 
 
54 
 
 
55 
 
97 
 
56 
 
57 
 
58 
 
59 
 
98 
 
60 
 
61 
 
 
62 
 
63 
 
99 
 
64 
 
65 
 
66 
 
67 
 
68 
 
 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
100 
 
CAPÍTULO 5 - Verdadeira Grandeza 
 
5.1. Definições e Usos 
Verdadeira Grandeza (VG) são as medidas angulares e lineares reais de uma das arestas ou 
faces de um objeto - como altura, largura e profundidade. Na área de conhecimento das Engenharias 
é imprescindível o conhecimento das medidas reais, ou verdadeiras grandezas, de um objeto, seja ele 
um parafuso ou um telhado. Geralmente, o uso das verdadeiras grandezas de um objeto está 
atrelado ao cálculo de áreas, e realmente, sem o conhecimento da real medida do perímetro de uma 
superfície, por exemplo, é impossível realizar o cálculo de sua área com precisão. No entanto, saber 
“ler” ou, mais ainda, saber extrair as verdadeiras grandezas de um objeto que está representado no 
Sistema Mongeano é importante não somente no cálculo de áreas, mas também em diversas 
atividades da prática profissional da engenharia, como, por exemplo, análise de projetos e pareceres 
técnicos. 
Nem sempre as características geométricas do objeto representado possibilitam a extração 
direta de suas verdadeiras grandezas, ou seja, algumas vezes mesmo a representação de todas as 
vistas de um objeto não mostram todas as partes deste objeto em VG. Para lidar com situações dessa 
natureza, deve-se dominar o uso de operações gráficas para determinar a VG de superfícies ou de 
arestas. Existem, na Geometria Descritiva, algumas operações gráficas, as principais são: 
§ Mudança de Plano; 
§ Rotação; e 
§ Rebatimento. 
Todas as operações citadas possuem o mesmo objetivo, que é o de determinar a VG de 
objetos geométricos. No entanto, nessa disciplina optou-se por trabalhar com a operação da 
Mudança de Plano para determinar a VG de faces e arestas. Essa opção foi feita porque essa 
operação é a mais versátil, ou seja, com ela se resolve qualquer caso de obtenção de VG. 
 
5.1.1. Compreendendo as três posições básicas: paralela, perpendicular e oblíqua 
 Para compreender o conceito de Verdadeira Grandeza é imprescindível conhecer as três 
posições básicas de referência posicional entre os elementos geométricos que compõem um objeto 
(arestas ou faces) e, principalmente, de referência posicional entre os elementos desse objeto e os 
planos de projeção. São três as posições básicas que um ente geométrico pode assumir: paralela, 
perpendicular e oblíqua. Em outras palavras, arestas e faces podem estar paralelas, perpendiculares 
ou oblíquas entre si ou entre si e os planos de projeção. 
No capítulo 4, onde estudou-se o Sistema Mongeano, essas três posições foram trabalhadas, 
no entanto, o que será feito agora é compreender como cada uma dessas posições pode interferir na 
visualização da VG de arestas e superfícies. 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
101 
 
Tomando como exemplo a situação da casa da figura 5.1, observa-se a superfície ABCD que 
compõe a coberta. Atenção para a aresta AD e suas projeções nas vistas frontal, superior e nas 
laterais. Na vista superior, a aresta AD está sendo representada por um segmento de reta. Na vista 
frontal, AD está representada por um único ponto e, finalmente, nas vistas laterais, AD aparece 
novamente sendo representada por um segmento de reta. Analisando as quatro vistas 
conjuntamente percebe-se que a aresta AD está perpendicular ao plano de projeção da vista frontal 
e por isso aparece representada por um ponto nessa vista. Todas as vezes que um elemento está 
perpendicular ao plano de projeção, diz-se que ele está em vista básica (VB) nesse plano. Dessa 
maneira, a aresta AD está em VB. Já com relação aos outros três planos de projeção, a aresta AD está 
paralela a esses planos, aparecendo com as mesmas dimensões, que são exatamente as suas 
dimensões reais. Portanto, na vista superior e nas laterais a aresta AD está em verdadeira grandeza. 
É importante ressaltar que a única posição que um objeto pode tomar para que ele esteja em VG é 
quando ele está paralelo a um plano no qual se fará a projeção ortogonal. 
Na mesma figura, a 5.1, a aresta AB está representada por um segmento de reta em todas as 
vistas. No entanto, ela não está na mesma posição com relação a todos os planos de projeção. Na 
vista frontal a aresta AB está em VG, porque está paralela ao plano vertical. Já nas outras três vistas, 
a aresta AB aparece com dimensões reduzidas em relação à suas medidas reais. Isso ocorre porque 
ela está oblíqua aos planos de projeção horizontal e verticais. 
 
 
Casa esquemática representada em vistas ortográficas 
Figura 5.1 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
102 
 
 
Portanto, podemos concluir que dependendo da posição da aresta com relação aos planos de 
projeção, podemos ter essa aresta em verdadeira grandeza (VG), em vista básica (VB) ou com 
dimensões reduzidas. Veja o quadro síntese abaixo: 
 
objeto paralelo ao plano de projeção = objeto em verdadeira grandeza (VG) 
objeto perpendicular ao plano de projeção = objeto em vista básica (VB) 
objeto oblíquo ao plano de projeção = objeto com dimensões reduzidas 
 
O mesmo raciocínio utilizado para compreender as posiçõesrelativas de uma aresta com 
relação aos planos de projeção deve ser aplicado para as faces do objeto. Como será visto no 
próximo item. 
 
5.2. Sistema Mongeano e Plano Auxiliar 
 
 
 
 
Casa com épura 
Figura 5.2 
Tomando como exemplo uma situação na 
qual é solicitado o cálculo da área da superfície da 
coberta da casa representada em épura na figura 
5.2, para que se possa fazer o cálculo do 
quantitativo de telhas para cobrir o telhado, 
percebe-se que nem a vista superior da casa 
(projeção no plano horizontal), nem na vista frontal 
(projeção no plano vertical) as medidas da 
superfície da coberta são as medidas reais. 
 
 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
103 
 
 
Quatro vistas ortográficas 
Figura 5.3 
 
Na figura 5.3 é possível notar que a superfície ABCD (que corresponde à metade da superfície 
da coberta) aparece nas projeções, porém com medidas deformadas. Na vista superior, e nas duas 
laterais, a face aparece com suas medidas reduzidas, já na vista frontal, ela aparece em VB. Dessa 
forma, nenhuma das quatro vistas ortográficas fornece as medidas reais da face ABCD. Isso ocorre 
porque o plano em que a superfície da coberta se apoia é oblíquo tanto ao plano de projeção 
horizontal (π1), quanto aos planos verticais - principal (π2) e auxiliares (π3, π4). Para que o plano 
ABCD fosse mostrado em VG seria necessário que estivesse representado paralelo a um dos planos 
mongeanos. No entanto, embora o plano ABCD não apareça em VG em nenhuma das projeções 
mongeanas, algumas arestas do plano estão representadas em VG em algumas das vistas. E é 
exatamente a noção da união das partes que estão em VG que irá nos auxiliar na aplicação do 
método da Mudança de Plano para a extração da VG de ABCD. 
Observe que na vista frontal a coberta ABCD está representada em VB. Lembrando que a VB 
ocorre quando o objeto representado está perpendicular ao plano de projeção. Consequentemente, 
se o objeto for um segmento de reta, sua representação em VB será um ponto, e se o objeto for um 
plano, sua representação em VB será uma reta, como é o caso do plano ABCD. 
Observe também que os segmentos AB e CD estão paralelos ao plano vertical de projeção 
(π2), portanto estando em VG nessa vista. Os segmentos AD e BC estão paralelos tanto ao plano 
horizontal (π1), como aos planos verticais de projeção (π3 e π4), consequentemente estando em VG 
nessas vistas. Se pudéssemos unir essas partes que estão em VG do plano ABCD teríamos a VG desse 
plano. Contudo, esse raciocínio, embora útil, é difícil de ser aplicado para o caso de uma face com 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
104 
 
muitas arestas, ou aresta com medidas diferentes por exemplo. Para isso existe a operação da 
Mudança de Plano, com ela podemos reunir as partes da face, da qual se quer a VG, que estão com 
suas medidas reais representadas em planos mongeanos diferentes. 
Para que se conheçam as medidas reais da coberta é necessário se produzir mais uma 
projeção. Vale ressaltar que a condição essencial para se trabalhar no Sistema Mongeano é operar 
dentro de diedros. Portanto, o primeiro passo de uma operação de mudança de plano é criar um 
novo diedro. Um novo diedro terá que ser criado porque nenhum dos diedros já conhecidos (os que 
fornecem as seis vistas mongeanas) colocam o plano que apoia a face da qual se quer a VG na posião 
necessária para se obter suas VGs. Em outras palavras, é preciso criar um diedro, no qual o novo 
plano seja perpendicular a um dos planos mongeanos e ao mesmo tempo seja paralelo à face ABCD, 
como mostra a figura 5.4, visto que somente essa posição fornecerá a VG da face ABCD. No caso do 
exemplo da figura, o novo diedro é composto pelo plano π2 e por um novo plano, também chamado 
de Plano Auxiliar (PA). Por isso é que se dá o nome de “Mudança de Plano” para essa operação 
descritiva. Criado o novo diedro, projeta-se a face ABCD ortogonalmente no PA. 
 
Casa esquemática para mostrar a projeção do telhado no plano auxiliar 
Figura 5.4 
 
 No entanto, temos que realizar a projeção no PA trabalhando de forma bidimensional, ou 
seja, em épura. Para isso o PA deve ser inserido perpendicularmente (ortogonalmente ou em VB), 
com relação a um dos seis planos mongeanos para criar um novo diedro. Como mostra a figura 5.4, 
observe que o PA criou um novo diedro com o plano vertical π2. 
 
 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
105 
 
5.3. Mudança de Plano 
 
Em resumo, na operação da Mudança de Plano utilizamos um novo plano, um plano auxiliar 
(PA) que deve ser paralelo à face da qual se quer a VG. Sabemos também que esse PA deve criar um 
novo diedro com um dos planos mongeanos, portanto ele é inserido em VB em um dos seis planos 
mongeanos. 
Concluímos, portanto, que para se extrair a VG de uma aresta ou face utilizando a Mudança de 
Plano devemos ter duas premissas em mente: 
1. Para visualizar uma face ou aresta em VG, essa face ou aresta precisa ser projetada num PA 
paralelo a ela; 
2. O PA é sempre inserido perpendicularmente (em vista básica) a um dos seis planos 
mongeanos. Essa condição de perpendicularidade ocorre porque é necessário que criar um 
novo diedro. 
Se o PA deve, simultaneamente, ser inserido em VB em um dos seis planos mongeanos e 
estar paralelo à face da qual irá se extrair a VG, logo a face tem que estar em VB em pelo menos 
uma das vistas. 
Dentro da lógica da mudança de plano existem três situações possíveis de posicionamento 
entre os entes geométricos e os planos de projeção. Tais situações serão estudadas a seguir. Cada 
uma das três situações são chamadas de Casos, temos assim: caso 1; caso 2 e caso 3. Essa divisão não 
existe na literatura, ela é resultado de uma opção didática elaborada pelos professores dessa 
disciplina ao longo dos semestres. Elas reúnem todas as possibilidades de posicionamento de uma 
aresta ou face em relação aos planos de projeção. 
No caso 1, a face da qual se quer a VG aparece em VB em pelo menos uma das seis vistas 
mongeanas. No caso 2, a face da qual se quer a VG não está em VB em nenhuma das seis vistas 
mongeanas, mas pelo menos uma de suas arestas aparece em VG em pelo menos uma das seis vistas 
mongeanas. Finalmente, no Caso 3, a face da qual se quer a VG não está em VB em nenhuma das seis 
vistas mongeanas, e também nenhuma de suas arestas aparece representada em VG em nenhuma 
das seis vistas mongeanas. 
 
5.4. Caso 1 
 Identificamos que a situação está no Caso 1, quando a face da qual se quer a VG já aparece 
em vista básica, ou seja, ela aparece reduzida a um segmento de reta em pelo menos um dos seis 
planos mongeanos. Nas situações do caso 1 é necessário apenas um único procedimento para extrair 
a VG da face. 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
106 
 
 
Identificando a posição da face que se quer a VG 
Figura 5.5 
Qual é a VG da face 122’1’? 
 
1. Localizar se há algum plano no qual a face 
122’1 esteja representada em VB. 
2. No plano da vista superior (π1) a face 122’1 
está com as arestas 1’2’e 12 em medidas 
reduzidas. Mas as arestas 11’ e 22’ estão em 
VG. 
3. No plano da vista lateral (π3) direita a face 
122’1 também está com as arestas 1’2’e 12 
em medidas reduzidas. Mas as arestas 11’ e 
22’ estão em VG. 
4. Na vista frontal (π2) as arestas 12 e 1’2’ estão 
em VG. 
5. A face 122’1’ está em VB no plano da vista 
frontal, pois está reduzida a um segmento de 
reta. 
 
 
Determinando a VG da face 121’2’ com um procedimento 
Figura 5.6 
Procedimento 1: determinar a VG da 
face 122’1’ 
1. A face 122’1 está em vista básica no 
plano π2. Pois está reduzida a um 
segmento de reta. 
2. Inserimos o plano auxiliar, π4, em VB 
com relação ao plano π2 e paralelo a VB 
da face 122’1’, que também está em VB. 
3. Cria-se o diedro entre π2 e π4. 
4. As arestas 12 e 1’2’ que estavamem VG 
em π2 têm suas medidas projetadas em 
π4, isso é feito através das linhas de 
chamada. 
5. Rebatemos π4 para que ele apareça na 
representação. 
6. Transportamos as medidas com o 
compasso a partir da linha de terra π1 π2 
até os pontos 1’, 1, 2 e 2’ para o PA. 
Com o cuidado de, no momento do 
transporte, centrar na linha de terra 
π2π4 (ver quadro síntese na próxima 
página). 
7. Após o transporte das medidas 
fechamos a linha poligonal unindo os 
vértices. 
Se houver dúvidas no fechamento da linha poligonal, podemos observar a face da qual estamos 
extraindo a VG em alguma das projeções mongeanas. 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
107 
 
 
 
IMPORTANTE: 
Um aspecto relevante sobre as linhas de chamada é o fato de que estas estabelecem uma 
relação de ortogonalidade dentro do diedro. As linhas de chamada transportam medidas de um plano 
a outro dentro do diedro formado por ambos. Portanto, as linhas de chamada sempre estão 
perpendiculares à linha de terra do diedro ao qual pertence. 
Outro aspecto que merece atenção é o transporte das medidas para o PA. Há uma dúvida 
recorrente com relação ao transporte de medidas no momento de rebater o Plano Auxiliar. Existem 
duas maneiras de visualizar de que lugar devemos extrair as medidas para o transporte: 
1) Observar os eixos coordenados. Se por exemplo o PA foi inserido em π2, estamos 
trabalhando com larguras (x) e alturas (z), portanto quando rebatermos o PA as medidas 
que aparecerão serão as profundidades (y). 
2) Observar a relação do diedro. Se fecharmos os diedros do desenho, voltando a relação em 
3D, podemos, facilmente, observar de onde deveremos extrair as medidas que queremos. 
É importante lembrar que esse transporte deve ser feito com o compasso e utilizando as 
distâncias de plano a ponto, para evitar erros. 
 
 
5.5. Caso 2 
 Identificamos que a situação está no Caso 2, quando a face da qual se quer a VG não aparece 
em vista básica. No entanto, existe pelo menos uma aresta, pertencente à face, em VG. Esse será 
nosso ponto de partida. 
 Nas situações do Caso 2 são necessários dois procedimentos para extrair a VG da face. Isso 
ocorre porque para extrair a VG da face precisamos que ela esteja em VB, só assim podemos inserir o 
PA, também em VB, paralelo a face da qual se quer a VG. Como a face não está em VB, precisamos 
realizar um procedimento anterior ao que realizamos para o Caso 1. Esse procedimento anterior 
consiste em fazer uma vista auxiliar (utilizando um plano auxiliar) para reduzir a face para a VB. Após 
esse procedimento inicial teremos a face em VB, voltando assim para uma situação de Caso 1. 
Observe a figura. 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
108 
 
Qual é a VG da face 122’1’? 
1. Localizar se há algum plano no qual 122’1’ 
esteja representada em VB. Nesse caso 
não há. 
2. Precisamos fazer uma vista auxiliar, 
utilizando um plano auxiliar para reduzir a 
face 122’1’ à VB. 
3. Para que um PA visualize a face 122’1’ em 
VB esse plano precisa estar perpendicular 
à face. Para simplificar: se o PA estiver 
perpendicular a qualquer aresta 
pertencente a face 122’1’ irá reduzir essa 
aresta à VB (que é um ponto), 
consequentemente irá reduzir toda a face 
122’1’ à VB (que é um segmento de reta). 
4. Mas para fazer isso, precisamos trabalhar 
com a VG de uma aresta pertencente à 
face 122’1’ que está em VG. 
5. Em π2, identificamos que as arestas 1’2’ e 
12 estão paralelas à π1, portanto, em π1 
essas arestas estão em VG. 
6. Faremos o procedimento com base na VG 
do segmento. 
 
Identificando a posição da face que se quer a VG 
Figura 5.7 
 
Procedimento 1: determinar a VB da 
face 122’1’ 
1. Para o PA visualizar a face 122’1’ em VB 
ele precisa estar perpendicular a VG de 
uma aresta dessa face. 
2. Em π2, identificamos que as arestas 1’2’ 
e 12 estão paralelas à π1, portanto, em 
π1 essas arestas estão em VG. 
3. Inserimos o PA perpendicular à VG da 
aresta 1’2’ (nesse caso, também 
poderia ser a aresta 12). 
4. Projetamos a face no PA. 
5. Rebatemos o PA, transportando de 
compasso as medidas a partir da linha 
de terra π1PA até os pontos 1’, 1, 2 e 2’ 
para o PA. Com o cuidado de, no 
momento do transportar, centrar na 
linha de terra π1PA. (observar o texto 
relativo ao transporte de medidas). 
6. A face 122’1’ aparece projetada em VB 
no PA. 
7. Voltamos a ter a condição do Caso 1, na 
qual temos a face da qual queremos a 
VG em VB. 
 
Determinando a VB da face 121’2’ com o primeiro procedimento 
Figura 5.8 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
109 
 
 
Procedimento 2: determinar a VG da 
face 122’1’ 
1. A face 122’1’ está em VB no plano 
auxiliar π4, pois está reduzida a um 
segmento de reta. 
2. Inserimos um plano auxiliar, π5, em VB 
com relação a π4 e paralelo à VB da face 
122’1’. 
3. Cria-se o diedro entre π4 e π5. 
4. Projeta-se a face 122’1’ em π5. 
5. Rebatemos π5, transportando as 
medidas com o compasso a partir da 
linha de terra π1 π4 até os pontos 1’, 1, 2 
e 2’ para π5. Com o cuidado de, no 
momento do transporte, centrar na 
linha de terra π4π5 (para esse 
transporte, perdemos a referência dos 
eixos coordenados, devemos utilizar a 
relação do diedro). 
6. Após o transporte das medidas 
fechamos a linha poligonal unindo os 
vértices 1, 2, 1’ e 2’. 
 
 
Determinando a VG da face 121’2’ com o segundo procedimento 
Figura 5.9 
 
5.6. Caso 3 
 Identificamos que a situação está no Caso 3, quando a face da qual se quer a VG não aparece 
em vista básica e nenhuma aresta pertencente à face está em VG em nenhum dos seis planos 
mongeanos. 
 Nas situações do Caso 3, a exemplo do que ocorreu nas situações do Caso 2, também são 
necessários dois procedimentos para extrair a VG da face. Isso ocorre porque para extrair a VG da 
face precisamos que ela esteja em VB, só assim podemos inserir o PA, também em VB, paralelo à face 
da qual se quer a VG. Como a face não está em VB, precisamos realizar um procedimento anterior ao 
que realizamos para o Caso 1. Esse procedimento anterior consiste em fazer uma vista auxiliar 
(utilizando um plano auxiliar) para reduzir a face para a VB. Após esse procedimento inicial teremos a 
face em VB, voltando assim para uma situação de Caso 1. Observe a figura. 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
110 
 
 
 
Identificando a posição da face que se quer a VG 
Figura 5.10 
 PROCEDIMENTO INICIAL: destacar a VG 
de segmento da face 123 
1. Precisamos projetar a VB da face 123 para 
extrair sua VG. 
2. Para projetar a face 123 em VB precisamos 
de uma aresta em VG. Porém, nenhuma 
aresta pertencente a face 123 está em VG. 
3. A partir de um vértice da face, no caso da 
figura, o vértice 2, traçamos o segmento de 
reta 2P, paralelo à π1. Se P pertence a 
aresta 31, irá, consequentemente, 
pertencer a todas as projeções de 31. 
Sendo assim, descemos uma linha de 
chamada a partir de P até a sua projeção 
em π1. 
4. Em π1, o segmento de reta 2P está em VG. 
Dessa forma, voltamos a uma situação 
semelhante ao caso 2. 
 
 
Determinando a VB da face 123 com o primeiro procedimento 
Figura 5.11 
Procedimento 1: determinar a VB da 
face 123 
1. Posicionar π4 perpendicular ao 
segmento 2P. 
2. Projetamos a face 123 em π4 . 
3. Rebatemos π4, transportando de 
compasso as medidas a partir da 
linha de terra π1π2 até os pontos 1, 2 
e 3 para π4. Com o cuidado de, no 
momento de transportar, centrar na 
linha de terra π1 π4. 
4. A face 123 aparece projetada em VB 
em π4. 
5. Voltamos a ter uma condição do 
Caso 1, na qual temos a face da qual 
queremos a VG em VB. 
 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
111 
 
 
 
Determinando a VG da face 123 com o segundo procedimento 
Figura 5.12 
 
Procedimento2: determinar a VG da face 123 
1. A face 123 está em vista básica no Plano auxiliar π4. Pois está reduzida a um segmento de reta. 
2. Inserimos um plano auxiliar π5, em VB com relação a π4 e paralelo a VB da face 123. 
3. Cria-se o diedro entre π4 e π5. 
4. Projeta-se a face 123 em π5. 
5. Rebatemos π5, transportando as medidas com o compasso a partir da linha de terra π1 π4 até os 
pontos 1, 2 e 3 para π5. Com o cuidado de, no momento do transportar, centrar na linha de terra 
π4 π5. (para esse transporte, perdemos a referência dos eixos coordenados, devemos utilizar a 
relação do diedro). 
6. Após o transporte das medidas fechamos a linha poligonal unindo os vértices 1, 2 e 3. Se houver 
dúvidas no fechamento da linha poligonal, podemos observar a face da qual estamos extraindo a 
VG em alguma das projeções mongeanas. 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
112 
 
CAPÍTULO 6 – SEÇÃO PLANA 
6.1. Introdução ao Conceito de Seção Plana e Interseção 
 
6.1.1. Superfície e Sólido 
 
Superfície é uma região que possui dois comprimentos. Segundo Rangel (1979) a definição 
mais básica e abrangente para qualquer superfície é a definição de Gaspar Monge: “Superfície é o 
limite da extensão a três dimensões”. Porém, no intuito de ampliar o entendimento de superfícies 
Rangel apresenta mais três definições: “a) Superfície é a película sem espessura que separa duas 
regiões no espaço tridimensional; b) É o lugar geométrico dos pontos comuns a duas regiões 
tridimensionais e; c) É todo lugar bidimensional” (Rangel, 1979, p. 97). 
Portando, as superfícies podem possuir diferentes formas. As figuras abaixo mostram 
diferentes exemplos de superfícies. As figuras 6.1, 6.2 e 6.3 mostram uma superfície cilíndrica, uma 
superfície cônica e uma superfície esférica, respectivamente, as três possuem leis de geração, sendo 
assim consideradas superfícies geométricas: “Toda superfície geométrica pode ser gerada por uma 
linha que se move segundo uma lei dada” (Chaput, 1949, p. 193). 
As figuras 6.4 e 6.5 trazem exemplos de superfícies não geométricas, porque possuem uma 
forma irregular que não estão submetida a nenhuma lei de geração. A figura 6.6 é um caso particular 
de superfície, pois trata-se de uma superfície plana. A superfície plana também é um exemplo de 
superfície geométrica. 
 
 
Superfície Cilíndrica 
Figura 6.1 
http://www.mat.ufmg.br/ 
 
Superfície Cônica 
Figura 6.2 
http://www.professores.uff.br/ 
 
Superfície Esférica 
Figura 6.3 
http://www.professores.uff.br/ 
 
Superfície curva qualquer 
Figura 6.4 
http://knowledge.autodesk.com/support/autoc
ad/ 
 
Superfície de um bule 
Figura 6.5 
http://knowledge.autodesk.com/support/autoc
ad/ 
 
Superfície plana 
Figura 6.6 
http://7dasartes.blogspot.com.br/ 
 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
113 
 
As superfícies fechadas, a exemplo da superfície esférica, figura 6.3, admitem interior e 
exterior. O espaço interior à superfície é o seu volume e todo o restante é o espaço exterior. A soma 
da superfície com o espaço interior chama-se sólido (Rangel, 1982:3). Por exemplo, a esfera é um 
sólido composto pela superfície esférica somada a toda região compreendida por essa superfície. Os 
sólidos podem ser classificados em dois grandes grupos: os poliedros e os sólidos de revolução. A 
esfera é um exemplo de sólido de revolução (figura 6.7). Já os sólidos da figura 6.8, são exemplos de 
poliedros. 
 
 
Esfera 
Figura 6.7 
http://geometriaespacial-3g.blogspot.com.br/ 
 
Poliedros 
Figura 6.8 
http://www.reidaverdade.net/o-que-sao-poliedros.html 
 
Nessa apostila serão trabalhados sólidos geométricos básicos, são eles: prisma, cone, 
pirâmide e cilindro, como mostra a figura 6.9. 
 
 
 Prisma Cone Pirâmide Cilindro 
Figura 6.9 
 
6.1.2. Interseção e Seção 
 
 
O conceito de interseção na Geometria é 
o mesmo da Matemática, isto é, os elementos 
que fazem parte do conjunto interseção são os 
elementos comuns aos conjuntos relacionados. 
Na geometria uma interseção ocorre entre entes 
geométricos: retas, sólidos e superfícies. A figura 
6.10 mostra a interseção (I) entre a porção de 
uma superfície esférica (E) e um cone (C). 
 
Interseção entre superfícies 
Figura 6.10 
 http://www.mat.uel.br/geometrica/ 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
114 
 
 
 
A interseção mais simples e mais facilmente percebida é da figura 6.11, que ilustra a 
interseção entre duas retas, marcada por um ponto comum às duas retas. A interseção entre uma 
reta é uma superfície também é marcada por um ponto (figura 6.12) ou por mais pontos (figura 6.13). 
A interseção entre um plano e uma reta, não pertencente a este, é marcada por um ponto (A), 
como ilustra a figura 6.14. A interseção entre dois planos é marcada por um reta. No caso da figura 
6.15, onde os planos são perpendiculares entre si, a interseção entre é chamada de Linha de Terra, 
ou, simplesmente, LT, como vimos no estudo do sistema mongeano. 
 
 
Interseção entre duas retas 
Figura 6.11 
 
 
 
Interseção entre superfície e reta 
(um ponto) 
Figura 6.12 
 
 
 
Interseção entre superfície e reta 
(vários pontos) 
Figura 6.13 
 
 
Interseção entre reta e plano 
Figura 6.14 
 
 
Interseção entre planos perpendiculares entre si. 
Interseção = Linha de Terra 
 Figura 6.15 
 
 
 Foram vistos alguns exemplos de interseções, porém não foram esgotadas todas as 
possibilidades, podem existir interseções entre superfícies, entre superfícies e sólidos ou ainda entre 
sólidos. 
A definição de seção em geometria também pode ser encontrada nos dicionários: 
 “Seção: 1 Ato ou efeito de seccionar. 2 Lugar onde uma coisa está cortada. 3 Cada uma das 
partes em que um todo foi seccionado ou separado; segmento. (...) 6 Desenho da figura que 
resultaria do corte de qualquer coisa por um plano, geralmente vertical. (...) 8 Geom Figura 
proveniente da interseção de um sólido ou superfície por um plano. (...).” 
(http://michaelis.uol.com.br/) 
O conceito de seção está incluso no conceito de interseção porque para realizar o estudo da 
seção, por exemplo, entre um plano de seção, também chamado de plano setor, e um objeto, temos 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
115 
 
que determinar pontos e arestas em comum entre ambos, ou seja, temos que determinar as 
interseções entre o plano da seção e os elementos do objeto que está sendo seccionado. Dessa 
forma, podemos afirmar que toda seção é uma interseção. 
 
6.2. Seção plana de sólidos geométricos básicos 
A seção plana envolve um plano e um sólido ou superfície. O plano “corta” o sólido ou 
superfície. No caso da seção plana de uma superfície, a seção será a linha de interseção entre o plano 
e esta superfície. No caso da seção plana de um sólido, a seção resultante será uma figura plana, que 
compreende toda a região de interseção entre o plano e o sólido. 
As possibilidades de posição de plano setor são infinitas. Nessa apostila, por uma opção 
didática, o plano setor será sempre fornecido em vista básica em uma das vistas mongeanas. Além 
disso, serão exploradas algumas posições que melhor representam essa variedade de possibilidades e 
que, consequentemente, ilustram grande parte das situações encontradas na atividade profissional 
de um engenheiro. Dessa forma, serão exemplificadas várias posições de plano setor para cada sólido 
geométrico. Para facilitar o entendimento, o plano horizontal (também chamado de plano do chão, 
ou ainda π1) sempre será a referência para a posição do plano setor. 
6.2.1 Seção Plana de Prismas 
Para trabalhar com a seção de prismas, será usado como exemplo um prisma reto de base 
quadrangular. Estudaremos as seções de prismas em três situações, que são: 
1) Plano de SeçãoParalelo ao Plano Horizontal (PH): no caso do prisma de base quadrangular da 
figura 6.16, a seção produzida é um polígono igual ao polígono da base, como mostra a figura 6.17. 
 
Prisma seccionado por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.16 
 
Prisma truncado após a seção 
Figura 6.17 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
116 
 
 
 
A figura 6.18 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano paralelo ao PH em um 
prisma de base quadrangular (o Sistema 
Mongeano de representação foi estudado no 
capítulo 4). 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, e nela ele aparece em vista 
básica. A seção propriamente dita também 
aparece em vista básica nessa vista. O mesmo 
ocorre na vista lateral, onde a área seccionada 
está reduzida a um segmento de reta. Na vista 
superior a área seccionada, representada por 
uma hachura, é uma região igual a da base. 
 
Vistas mongeanas de um prisma seccionado 
 por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.18 
 
2) Plano de Seção Oblíquo ao Plano Horizontal (PH): no caso da figura 6.19, a seção produzida é um 
polígono diferente do polígono da base, conforme mostra a figura 6.20. 
 
Prisma seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.19 
 
Prisma truncado após a seção 
Figura 6.20 
 
A figura 6.21 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano oblíquo ao PH em um 
prisma de base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado 
na vista frontal, em vista básica. A área 
seccionada também aparece em vista 
básica nessa vista. Nas vistas superior e 
lateral, as áreas seccionadas estão 
representadas por hachuras, ambas são 
regiões quadrangulares com dimensões 
diferentes das dimensões da base e do 
topo. 
Vistas mongeanas de um prisma seccionado 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
117 
 
por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.21 
 
3) Plano de Seção Perpendicular ao Plano Horizontal (PH): nesse exemplo, o plano setor está 
perpendicular ao plano do chão e está paralelo à face frontal do prisma (ver figura 6.22). Nesse caso, 
a seção produzida é um polígono igual à face frontal, conforme mostra a figura 6.23. 
 
 
Prisma seccionado por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.22 
 
Prisma truncado após a seção 
Figura 6.23 
 
 
A figura 6.24 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH em 
um prisma de base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na vista 
superior, portanto nessa vista ele aparece em 
vista básica. A seção também está em vista 
básica nessa vista mongeana. O mesmo ocorre 
na vista lateral, onde a seção também está em 
vista básica. Já na vista frontal, a área 
seccionada, representada por uma hachura, é 
um polígono igual à face frontal, uma vez que 
o plano está paralelo a essa face. 
 
Vistas mongeanas de um prisma seccionado 
por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.24 
6.2.2 Seção Plana de Pirâmides 
Para trabalhar com a seção de pirâmides, será usada como exemplo uma pirâmide reta de 
base quadrangular. Serão estudadas quatro posições básicas para o plano de seção, são elas: 
1) Plano Paralelo ao PH: no caso da pirâmide de base quadrangular da figura 6.25, a seção produzida 
é um polígono semelhante ao polígono da base, como mostra a figura 6.26. Nas pirâmides, a seção 
resultante de um plano setor paralelo ao chão é diferente da do prisma porque nas pirâmides as 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
118 
 
faces laterais concorrem no vértice, ou seja, as arestas laterais não são paralelas entre si, como nos 
prismas, e por isso, não mantêm as distâncias entre si. 
 
Pirâmide seccionada por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.25 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.26 
 
Vistas mongeanas de uma pirâmide seccionada 
por um plano paralelo ao PH. Figura 6.27 
 A figura 6.27 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção de 
um plano paralelo ao PH em uma pirâmide de base 
quadrangular. Observe que plano setor α está 
dado na vista frontal, portanto em vista básica. A 
área seccionada, também está em vista básica 
nessa vista. O mesmo ocorre na vista lateral, onde 
a seção está reduzida a um segmento de reta, pois 
também está em vista básica. Já na vista superior, 
a área seccionada, representada por uma hachura, 
é uma região semelhante, porém menor que a da 
base da pirâmide. 
 
 
2) Plano de Seção Oblíquo ao PH: no caso da figura 6.28, a seção produzida é um polígono diferente 
do polígono da base, conforme mostra a figura 6.29. 
 
 
Pirâmide seccionada por um plano oblíquo 
Figura 6.28 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.29 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
119 
 
 
Vistas mongeanas de uma pirâmide seccionada 
 Por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.30 
A figura 6.30 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção de 
um plano oblíquo ao PH em uma pirâmide de 
base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal em vista básica, portanto a área 
seccionada nesta vista coincide com a 
representação do plano, ou seja, também está 
em vista básica. Nas vistas superior e lateral as 
áreas seccionadas estão representadas por 
hachuras, ambas são regiões quadrangulares de 
dimensões diferentes das da base, observe que a 
base é um quadrado e as seções das vistas 
superior e lateral são trapézios, isso ocorre por 
conta da obliquidade do plano setor α. 
 
3) Plano de Seção Perpendicular ao PH: no caso da pirâmide, como mostra a figura 6.31, a seção 
produzida é um polígono diferente do polígono da face frontal, conforme mostra a figura 6.32. 
 
 
Pirâmide seccionada por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.31 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.32 
 
 
Vistas mongeanas de pirâmide seccionada 
por um plano perpendicular ao PH 
A figura 6.33 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH em 
uma pirâmide de base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista superior, portanto, nessa vista, tanto o 
plano de seção quanto a área seccionada 
aparecem em vista básica. Na vista lateral, a 
área seccionada também está em vista 
básica, portanto, reduzida a um segmento de 
reta. Já na vista frontal, área seccionada 
representada por uma hachura, é um 
polígono diferente do polígono da face 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
120 
 
Figura 6.33 frontal. 
 
4) Plano de Seção Perpendicular ao PH Passando pelo Vértice: no caso da pirâmide como mostra 
a figura 6.34, a seção produzida é um triângulo semelhante à face frontal, conforme mostra a 
figura 6.35. 
 
 
Pirâmide seccionada por um plano perpendicular 
ao PH que passa pelo vértice 
Figura 6.34 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.35 
 
 
 
Vistas mongeanas de pirâmide seccionada 
Por um plano perpendicular ao PH que passa pelo vértice 
Figura 6.36 
A figura 6.36 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH, 
passando pelo vértice, em uma pirâmide de 
base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista superior, portanto, nessa vista, tanto p 
plano de seção quanto a seção propriamente 
dita aparecem em vista básica. Na vista 
lateral a área seccionada também está 
reduzida a um segmento de reta, portanto 
em vista básica. Já na vista frontal área 
seccionada, representada por uma hachura, é 
um triângulo semelhante ao da face frontal, 
observe que as medidas do triângulo da 
seção são um pouco menores do que as 
medidas das arestas da face. 
6.2.3 Seção Plana de Cilindros 
Para trabalhar com a seção de sólidos curvos, como o cone e o cilindro, é necessário utilizar os 
conceitosde lei de geração e de geratrizes de limite de visibilidade. Para realizar qualquer seção em 
um cilindro, ou um cone, serão utilizadas suas geratrizes retas e suas geratrizes curvas, conforme 
mostram as figuras 6.37 e 6.38. 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
121 
 
 
As geratrizes retas e curvas de um cilindro reto 
Figura 6.37 
 
As geratrizes retas e curvas de um cone reto 
Figura 6.38 
 
Para o estudo da seção plana de cilindros será utilizado como exemplo um cilindro reto. A 
exemplo da pirâmide, estudaremos quatro posições básicas: 
1) Plano de Seção Paralelo ao PH: no caso do cilindro reto da figura 6.39, a seção produzida é uma 
circunferência igual à circunferência da base, como mostra a figura 6.40. 
 
Cilindro seccionado por um plano paralelo 
Figura 6.39 
 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.40 
 
A figura 6.41 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano paralelo ao PH em um cilindro reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto em vista básica. Do 
mesmo modo, a área seccionada aparece 
reduzida a uma reta nessa vista. Na vista lateral, 
a área seccionada também aparece em vista 
básica. Na vista superior, a área seccionada, 
representada por uma hachura, é uma região 
igual a da base, ou seja, uma circunferência. 
Como o cilindro é um sólido redondo, para 
determinar os pontos da seção que “cortam” a 
face curva deve-se trabalhar com as geratrizes 
de limite de visibilidade. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano paralelo ao PH - Figura 6.41 
 
Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, como mostra a figura 6.41. A partir delas 
determinamos os pontos 1 e 2 em todas as vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção como à face 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
122 
 
curva do cilindro. Na vista lateral, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4. A partir delas 
foram determinados os pontos 3 e 4 em todas as vistas. 
2) Plano de Seção Oblíquo sem Cortar a Base: no caso da figura 6.42, o plano setor está oblíquo ao 
PH e “corta” as geratrizes retas e curvas da face curva do cilindro. A seção produzida é uma elipse, 
conforme mostra a figura 6.43. 
Cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.42 
 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.43 
A figura 6.44 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano 
oblíquo ao Ph em um cilindro reto. 
Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto tanto o próprio plano de seção 
quanto a seção aparecem em vista básica. Na vista superior a área seccionada, que está hachurada, 
tem sua representação igual a da circunferência da base, no entanto a curva da seção é uma elipse. 
Isso ocorre porque quando a elipse é projetada na vista superior ela fica aparentemente com as 
mesmas dimensões da base. 
Na vista lateral a área seccionada, 
que está representada por hachura, 
corresponde a uma elipse com dimensões 
reduzidas no sentido do eixo menor por 
conta do plano setor que está oblíquo à 
vista lateral. 
Para determinar os pontos da seção 
que “cortam” o cilindro deve-se trabalhar 
com as geratrizes de limite de visibilidade. 
Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, a 
partir delas determinamos os pontos 1 e 2, 
em todas as vistas. Tais pontos pertencem 
tanto à seção como à face curva do cilindro. 
Na vista lateral os limites de visibilidade são 
as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram 
determinados os pontos 3 e 4, em todas as 
vistas. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.44 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
123 
 
3) Plano de Seção Oblíquo ao PH Cortando uma das Superfícies Planas do Cilindro: no caso da figura 
6.45, o plano setor está oblíquo “cortando” a face curva do cilindro, mas também “corta” a face 
plana, que tem forma de circunferência. Nesse caso, a seção produzida é um arco de elipse somado a 
um segmento de reta, conforme mostra a figura 6.46. 
 
Cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.45 
 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.46 
 A figura 6.47 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano 
oblíquo ao PH, que passa por uma das suas superfícies planas, em um cilindro reto. 
 Observe que plano setor α está dado na vista frontal, em vista básica, portanto nessa vista a 
área seccionada coincide com a representação do plano. Na vista superior, a área seccionada, que 
está representada por hachura, é limitada por um arco de circunferência somado a um segmento de 
reta. O arco de circunferência corresponde ao arco de elipse projetado na vista superior, o 
segmento de reta corresponde à região na qual o plano setor “corta” a base. 
Na vista lateral a área seccionada, que está 
representada por hachura, corresponde a um 
arco de elipse somado a um segmento de reta. O 
arco de elipse apresenta um tamanho reduzido 
no sentido do eixo maior. 
Para determinar os pontos da seção que 
“cortam” o cilindro deve-se trabalhar com as 
geratrizes de limite de visibilidade. Na vista 
frontal, as geratrizes são g1 e g2, porém a seção 
não passa pela geratriz g1. A partir de g2 
determinamos o ponto 2, em todas as vistas. Tal 
ponto pertence tanto à seção como a face curva 
do cilindro. Ainda na vista frontal, determinamos 
os pontos 1 e 1’ que estão no topo do cilindro, 
que é a face plana do cilindro em forma de 
circunferência. Na vista lateral direita, os limites 
de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir 
delas foram determinados os pontos 3 e 4, em 
todas as vistas. 
 
Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano oblíquo ao PH que passa pela 
superfície plana superior 
Figura 6.47 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
124 
 
4) Plano de Seção Perpendicular ao PH: no caso da figura 6.48, o plano setor está perpendicular 
“cortando” as geratrizes curvas da face curva. A seção produzida é um quadrilátero (nesse caso um 
retângulo), sendo dois dos lados iguais às geratrizes retas e os outros dois lados secantes às 
circunferências da base e do topo do cilindro, conforme mostra a figura 6.49. 
 
Cilindro seccionado por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.48 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.49 
 
A figura 6.50 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH em 
um cilindro reto. 
 Observe que plano setor α está dado na 
vista superior, portanto a área seccionada 
nesta vista coincide com a representação do 
plano, ou seja, também está em vista básica. 
Na vista frontal, a área seccionada, que está 
representada por hachura, corresponde a um 
quadrilátero, sendo os segmentos 13 e 24 
iguais às geratrizes retas do cilindro. Os 
segmentos 12 e 34 são secantes à face plana 
do cilindro que tem forma de circunferência. 
Na vista lateral, a área seccionada, está 
representada por um segmento de reta, uma 
vez que o plano setor se encontra em vista 
básica. Observe que o plano setor não 
interceptou as geratrizes de limite de 
visibilidade. 
 
Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano oblíquo ao PH que passa 
pelo topo do cilindro 
Figura 6.50 
 
 
6.2.4 Seção Plana de Cones 
 O estudo de seções planas nos cones poderia ser um capítulo a parte. Isso porque elas geram 
as quatro curvas cônicas, conforme mostra a figura 6.51: circunferência (a), parábola (b), elipse 
(c) e hipérbole (d). Cada curva cônica possui propriedades geométricas específicas. O tipo de 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
125 
 
curva cônica depende da posição que o plano de seção toma em relação ao PH quando está 
cortando a superfície cônica. 
 
As quatro curvas cônicas: circunferência (a), parábola (b), elipse (c) e hipérbole(d) 
Figura 6.51 
 
Conforme foi dito anteriormente, para trabalhar com a seção de sólidos redondos, como o 
cone e o cilindro, é necessário utilizar os conceitos de lei de geração e de geratrizes de limite de 
visibilidade. Para realizar qualquer seção em cones serão utilizadas suas geratrizes curvas e suas 
geratrizes retas, as quais são mostradas nas figuras 6.52 e 6.53. Será tomado como referência o cone 
esquemático da figura 6.54. 
 
 
 
As geratrizes retas do cone 
Figura 6.52 
As geratrizes curvas do cone 
Figura 6.53 
Vista esquemática do cone com seus 
elementos formadores 
Figura 6.54 
 
Para o estudo da seção plana do cone será utilizado como exemplo um cilindro reto. 
Diferentemente dos outros sólidos estudados, estudaremos cinco posições básicas para o plano de 
seção, são elas: 
1) Plano de Seção Paralelo ao PH - circunferência: caso do cone reto da figura 6.55, a seção 
produzida é uma circunferência semelhante à circunferência da base, como mostra a figura 6.56. 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
126 
 
 
Cone seccionado por um plano paralelo 
Figura 6.55 
 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.56 
 
 A figura 6.57 mostra um cone 
esquemático sendo cortado pelo plano 
setor α. Quando o plano setor está 
paralelo ao PH – ou ainda, perpendicular 
ao eixo gerador “e” – irá produzir uma 
seção em forma de circunferência. 
 Importante: a circunferência é um 
caso particular que acontece apenas 
quando o plano setor está perpendicular 
ao eixo “e”. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano de seção paralelo ao PH 
Figura 6.57 
 
Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.58 
 
A figura 6.58 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano paralelo ao PH em um cone reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, 
ou seja, está em vista básica. Na vista lateral, a 
área seccionada está reduzida a um segmento 
de reta, porque também está em vista básica. 
Na vista superior, a área seccionada, 
representada por uma hachura, é uma região 
semelhante à da base, ou seja, uma 
circunferência com diâmetro menor do que a 
circunferência da base. 
 Como o cone é um sólido redondo, para 
determinar os pontos da seção que “cortam” a 
face curva deve-se trabalhar com as geratrizes 
de limite de visibilidade. 
 
Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, a partir delas determinamos os pontos 1 e 2 em 
todas as vistas, os quais pertencem tanto à seção como à face curva do cilindro. Na vista lateral, os 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
127 
 
limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, 
em todas as vistas. 
2) Plano de Seção Oblíquo ao PH - elipse: no caso da figura 6.59, o plano setor está oblíquo ao PH, ou 
seja, “cortando” as geratrizes retas e curvas da face curva do cone. A seção produzida é uma elipse, 
conforme mostra a figura 6.60. 
 
Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH. Figura 6.59 
 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.60 
 
 A figura 6.61 mostra um cone esquemático sendo 
cortado por um plano setor oblíquo ao PH. Quando o plano 
setor forma um ângulo Ɵ com o PH, irá produzir uma seção 
em forma de elipse. β é o ângulo que a geratriz do cone 
forma com o PH. Enquanto Ɵ for menor do que β teremos 
vários casos de elipse. 
 Resumindo: diferentemente da seção em forma de 
circunferência, que é um caso particular, ou seja, o caso em 
que o plano setor é paralelo ao PH, com o plano setor 
oblíquo podemos ter vários casos de elipse, desde que Ɵ < 
β. 
 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano oblíquo ao PH 
Figura 6.61 
 
Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.62 
A figura 6.62 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano oblíquo ao PH em um cilindro reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do próprio 
plano de seção, ou seja, também está em vista 
básica. Na vista superior, a área seccionada 
corresponde a uma elipse, que está 
representada por hachura. Na vista lateral, a 
área seccionada, também está representada 
por hachura, e também corresponde a uma 
elipse. Esta possui dimensões reduzidas no 
sentido do eixo menor por conta do plano setor 
que está oblíquo à vista lateral. Para determinar 
os pontos da seção que “cortam” o cone deve-
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
128 
 
 se trabalhar com as geratrizes de limite de 
visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são 
g1 e g2, a partir delas determinamos os pontos 
1 e 2, em todas as vistas. Tais pontos pertencem 
tanto à seção como à face curva do cone. Na 
vista lateral, os limites de visibilidade são as 
geratrizes g3 e g4, a partir delas foram 
determinados os pontos 3 e 4, em todas as 
vistas. 
 
 
 
 
 
3) Plano de Seção Oblíquo ao PH e Paralelo à Geratriz do Cone - parábola: no caso da figura 6.63, o 
plano setor está “cortando” as geratrizes retas e curvas da face curva do cone. A seção produzida é 
uma parábola, conforme mostra a figura 6.64. 
Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.63 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.64 
 
 A figura 6.65 mostra um cone 
esquemático sendo cortado pelo plano setor. 
Quando o plano setor está oblíquo ao PH e 
paralelo à geratriz do cone, ele forma um 
ângulo Ɵ com a base do cone. A seção 
resultante tem a forma de uma parábola. Se 
o plano setor é paralelo à geratriz do cone, os 
ângulos Ɵ e β, que é o ângulo que a geratriz 
do cone forma com o plano do chão, são 
iguais. 
 Importante: a parábola é um caso 
particular que acontece apenas quando o 
ângulo que o plano setor forma com o chão 
“Ɵ” for igual ao ângulo que a geratriz do cone 
forma como chão “β”. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano paralelo à geratriz 
Figura 6.65 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
129 
 
 
Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano oblíquo ao PH e paralelo a uma de suas 
geratrizes - Figura 6.66 
 
A figura 6.66 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano oblíquo ao PH e paralelo à geratriz 
de um cone reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, ou 
seja, está em vista básica. Na vista lateral, a 
área seccionada, que está hachurada, 
corresponde a uma parábola. Na vista superior, 
a área seccionada também corresponde a uma 
parábola. No entanto, esta possui dimensões 
reduzidas no sentido vertical devido ao plano 
setor estar oblíquo à vista lateral. Para 
determinar os pontos da seção que “cortam” o 
cone deve-se trabalhar com as geratrizes de 
limite de visibilidade. 
Na vista frontal é possível identificar as geratrizes são g1 e g2. A partir de g1 determinamos o 
vértice da parábola, o ponto 1. Ainda na mesma vista, a base do cone, está em vista básica, portanto, 
representada por um segmento de reta, neste determinamos os pontos 2 e 2’. Deve-se determinar os 
pontos 1, 2 e 2’ em todas as vistas. Na vista lateral os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, 
a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, em todas as vistas. 
4) Plano oblíquo ao PH – hipérbole qualquer: quando o plano setor está oblíquo ao plano do chão. 
No caso da figura 6.67, o plano setor está oblíquo “cortando” as geratrizes retas e curvas da face 
curva do cone. A seção produzida é uma hipérbole qualquer, conforme mostra a figura 6.68. 
Cone seccionado por um plano oblíquoao PH 
Figura 6.67 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.68 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
130 
 
 A figura 6.69 mostra um cone esquemático 
sendo cortado por um plano de seção. Quando 
este plano está oblíquo ao plano horizontal, 
formando um ângulo Ɵ com este, o resultado é 
uma seção em forma de hipérbole. β é o ângulo 
que a geratriz do cone forma com o plano do 
chão. Enquanto Ɵ for maior do que β teremos 
vários casos de hipérbole. 
 Resumindo: com o plano setor oblíquo ao 
PH podemos ter vários casos de hipérbole, desde 
que Ɵ > β. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano oblíquo ao PH 
Figura 6.69 
 
 
Vistas mongeanas cone seccionado 
por plano oblíquo 
Figura 6.70 
 
A figura 6.70 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano oblíquo em um cone reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, 
ou seja, também está em vista básica. Na vista 
superior, a área seccionada corresponde a uma 
hipérbole, representada por hachura, com 
dimensões reduzidas no sentido vertical por 
conta do plano setor que está oblíquo à vista 
lateral. Na vista lateral, a área seccionada, que 
também está representada por hachura, 
corresponde a uma hipérbole. Para determinar 
os pontos da seção que “cortam” o cone deve-
se trabalhar com as geratrizes de limite de 
visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são 
g1 e g2. A partir delas determinamos os pontos 
2 e 3, em todas as vistas. Tais pontos 
pertencem tanto à seção como à face curva do 
cone. Na vista lateral, os limites de visibilidade 
são as geratrizes g3 e g4. A partir delas foram 
determinados os pontos t e t’, em todas as 
vistas. Nas bases foram determinados dois 
pares de pontos, que são: 1, 1’ e 4, 4’. 
 
5) Plano de Seção Perpendicular ao PH – hipérbole equilátera: no caso da figura 6.71, o plano setor 
está perpendicular ao PH, “cortando” as geratrizes curvas e passando pelas geratrizes retas da face 
curva do cone. A seção produzida é uma hipérbole equilátera, conforme mostra a figura 6.72. Uma 
hipérbole dessa natureza possui seus dois ramos com iguais características geométricas. 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
131 
 
Cone seccionado por um plano oblíquo 
Figura 6.71 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.72 
 
 A figura 6.73 mostra um cone esquemático 
sendo cortado pelo plano setor. Quando o plano 
setor está perpendicular ao plano horizontal, ou 
seja, quando ele for paralelo ao eixo “e”, a 
seção resultante tem a forma de uma hipérbole 
equilátera. 
Resumindo: a hipérbole equilátera é um caso 
particular que acontece apenas quando o plano 
setor está perpendicular ao chão, ou ainda, 
quando o plano setor é paralelo ao eixo “e”. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do plano 
setor perpendicular ao PH 
Figura 6.73 
 
 
Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano perpendicular ao PH 
 Figura 6.74 
 
A figura 6.74 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano perpendicular ao PH em um cone 
reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, ou 
seja, também está em vista básica. Na vista 
superior, a área seccionada também está em 
vista básica, correspondendo a um segmento de 
reta. Na vista lateral, a área seccionada, que 
está representada por hachura, corresponde a 
uma hipérbole com dimensões em verdadeira 
grandeza porque o plano setor está paralelo à 
vista lateral. 
Para determinar os pontos da seção que 
“cortam” o cone deve-se trabalhar com as 
geratrizes de limite de visibilidade. Na vista 
frontal, as geratrizes são g1 e g2. A partir delas 
determinamos os pontos 2 e 3, em todas as 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
132 
 
vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção 
como à face curva do cone. Na vista lateral, os 
limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4. 
Observe que não há pontos que tangenciam 
essas geratrizes. Nas bases foram determinados 
dois pares de pontos, que são: 1, 1’ e 4, 4’, em 
todas as vistas. 
 
133 
 
EXERCÍCIOS – TERCEIRA UNIDADE 
1. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 2. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
 
3. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 4. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
5. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 6. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
134 
 
 
 
7. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
8. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
9. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 10. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 
 
 
11. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 12. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
135 
 
 
13. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 14. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
15. Desenhe a faces α em verdadeira grandeza. 16. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
17. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 18. Desenhe a face α em verdadeira grandeza.. 
 
 
 
136 
 
 
 
 
19. Desenhe as faces α, β e λ em verdadeira 
grandeza. 
 
 
20. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
21. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 22. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
23. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 24. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
137 
 
25. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 26. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
27. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 28. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 
 
 
29. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 30. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
 
138 
 
31. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 32. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 
 
33. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 34. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
35. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 36. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 
 
139 
 
 
 
37. Desenhe as faces α e β em verdadeira grandeza. 38. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
 
39. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 40. Desenhe a face α em verdadeira grandeza. 
 
41. Faça a seção do prisma de acordo com o corte do 
plano α. Determine a V.G. da seção. 
42. Faça a seção do prisma de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
140 
 
 
43. Faça a seção do prisma de acordo com o corte do 
plano α. Determine a V.G. da seção. 
44. Faça a seção do prisma de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
45. Faça a seção do prisma de acordo com o corte do 
plano α. Determine a V.G. da seção. 
46. Faça a seção do prisma de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
 
 
 
47. Faça a seção do prisma de acordo com o corte do 
plano α. Determine a V.G. da seção. 
48. Faça a seção do prisma de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
141 
 
 
49. Faça a seção do prisma de acordo com o corte do 
plano α. Determine a V.G. da seção. 
50. Faça a seção do prisma de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
51. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
52. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
53. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção.54. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
142 
 
 
 
 
55. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
56. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte do 
plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
57. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
58. Faça a seção da pirâmide de acordo com o corte do 
plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
 
59. Faça a seção do tronco de pirâmide abaixo de 
acordo com o corte do plano α. Determine a V.G. da 
seção. 
60. Faça a seção do tronco de pirâmide abaixo de 
acordo com o corte do plano α. Determine a V.G. da 
seção. 
 
 
143 
 
 
 
61. Faça a seção do tronco de pirâmide abaixo de 
acordo com o corte do plano α. Determine a V.G. da 
seção. 
62. Faça a seção do tronco de pirâmide abaixo de 
acordo com o corte do plano α. Determine a V.G. da 
seção. 
 
63. Faça a seção do tronco de pirâmide abaixo de 
acordo com o corte do plano α. Determine a V.G. da 
seção. 
64. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
65. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
66. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
144 
 
67. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
68. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
69. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
70. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
71. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
72. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
145 
 
73. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
74. Faça a seção do cone abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
75. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
76. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
 
 
77. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
78. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
146 
 
79. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
80. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
81. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
82. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
 
 
 
83. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
84. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
147 
 
85. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
86. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
87. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
88. Faça a seção do cilindro abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
 
89. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
90. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
148 
 
91. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
92. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
93. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
94. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
95. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
96. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
149 
 
97. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
98. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o corte 
do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
99. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
100. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
 
 
101. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
102. Faça a seção do objeto abaixo de acordo com o 
corte do plano α. Determine a V.G. da seção. 
 
150