Distâncias e Ângulos

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10- DISTÂNCIAS 
 
 Em cada caso abaixo, o que devemos ter em mente é que a distância a ser calculada é a 
menor distância possível entre os pontos dos respectivos conjuntos. 
 
10.1- DISTÂNCIAS NO PLANO 
 
10.1.1- DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
 
Def.: É a distância entre P e sua projeção ortogonal P’sobre r, ou seja, d(P, r) = 
PP'
. 
 
Dados P(x0, y0) e r: ax + by + c = 0, pode-se calcular d(P, r) da seguinte forma: 
Tomando A(x1, y1)  r, tal que ax1 + by1 + c = 0, note que PP' é a projeção ortogonal de 
AP
 na direção de �⃗� = (a, b), portanto sendo  o ângulo entre 
AP
 e n temos: 
 
d(P, r) = 
n
nAP
PP'


. 
Como 
AP
 
= P – A = (x0 – x1, y0 – y1) e �⃗� = (a, b), decorre que 
d(P, r) = 
n
nAP  =    
22
1100
22
1010
ba
byaxbyax
ba
byyaxx




 . 
 
De ax1 + by1 + c = 0, temos c = – ax1 – by1, logo 
d(P, r) = 
22
00
ba
cbyax


 
 
Ex.: Calcular a distância entre P(7, -3) e r: 8x + 6y + 17 = 0. 
 
 
 
 
 
 10.1.2- DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 
 
Def.: A distância entre duas retas r e s, denotada por d(r, s) é o mínimo das distâncias (P, Q), 
onde P é um ponto na reta r e Q é um ponto na reta s. 
 
1- Se as retas r e s são concorrentes ou coincidentes, então a distância entre as retas é nula. 
 
2- Se as retas r e s são paralelas, então a distância entre as retas é igual à distância entre 
qualquer ponto P  r e a reta s, caso já considerado (distância de ponto a reta). Observe que 
a escolha do ponto P é totalmente irrelevante. 
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10.2- DISTÂNCIAS NO ESPAÇO 
 
 
 10.2.1- DISTÂNCIA DE PONTO AO PLANO 
 
 Dados um plano : ax + by + cz = d (com a, b, c não todos nulos) e um ponto P0(x0, y0, z0), a 
distância d(P0, ) é o comprimento do vetor 𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, onde A é o pé da perpendicular baixada de P0 
a . 
 O vetor �⃗� = (a, b, c) é normal ao plano, por conseguinte, o vetor 𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ tem mesma direção de 
�⃗� , então 
 
d(P0, ) = | 𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 
 
 Pode-se verificar que o vetor 𝐴𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ é a projeção do vetor 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ na direção de �⃗� , logo 
 
d(P0, ) = 
n
nPP
AP 0

0
. 
 
Como 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
 
= P0 – P = (x0 – x, y0 – y, z0 – z), decorre que 
 
d(P0, ) = 
n
nPP0  =      
222
000
222
000
cba
czbyaxczbyax
cba
czzbyyaxx




 . 
 
Em virtude de P pertencer ao plano , temos d = – ax – by – cz, logo 
 
 d(P0, ) = 
222
000
cba
dczbyax


 
 
Ex.: Calcular a distância entre P0(-4, 2, 5) e : 2x + y + 2z + 8 = 0. 
 
 
 
 
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10.2.2- DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
 
Seja uma reta r  IR3 com um vetor diretor 𝑣 e um ponto P r e P0  r. Para determinar a 
distância entre P0 e a reta r, note que os vetores 𝑣 e �⃗� = PP0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ determinam um paralelogramo. 
 P0 
 �⃗� 
 h 
 r 
 P 𝑣 
 A área de um paralelogramo é dada pelo produto da medida da base pela medida da altura, 
sendo A = |�⃗�  𝑣 |, mas pela relação acima temos que A = |𝑣 |. h, sendo h = d(P0, r). 
 Logo, podemos escrever A = |𝑣 |. d(P0, r). Portanto, 
 
|𝑣 |. d(P0, r) = |�⃗�  𝑣 | 
 
d(P0, r) = 
v
vu  
 
Exemplo: Calcule a distância do ponto P0 = (2, 0, 7) à reta 
1
3
2
2
2




zyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2.3- DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 
 
O caso em que as retas são concorrentes, coincidentes, ou paralelas no espaço, é similar ao 
que já foi visto no IR2, se as retas são concorrentes ou coincidentes, a distância entre as retas é 
nula e se as retas são paralelas, então a distância entre as retas é igual à distância entre qualquer 
ponto da de uma das retas a outra. 
Falta somente o caso em que as retas são reversas, ou seja, estam em planos paralelos. 
 
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Sejam duas retas r e s reversas, sendo a reta r definida por um ponto P1(x1, y1, z1) e pelo 
vetor �⃗� = (a1, b1, c1) e a reta s por um ponto P2(x2, y2, z2) e pelo vetor 𝑣 = (a2, b2, c2). Os vetores 
�⃗� , 𝑣 e 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ determinam um paralelepípedo. 
 
 
 
 
 
 
 
 O volume de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base pela altura, 
 
V = |�⃗�  𝑣 |.d ou V = |(�⃗� , 𝑣 , 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )| 
 Logo, temos que: 
|�⃗�  𝑣 |.d = |(�⃗� , 𝑣 , 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )| 
 
d =  
vu
PPvu

21,,
 
 
Exemplos: 
 
1- Calcule a distância entre as retas r: 





xz
xy
2
32
 e s:
 








tz
ty
tx
43
41
21
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Calcule a distância entre as retas r: 








tz
ty
tx
 e s:
 








tz
ty
tx
1
2
1
. 
 
 
 
 
 
 
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10.2.4- DISTÂNCIA DE PLANO A PLANO 
 
A distância entre dois planos é definida somente quando os planos são paralelos (se não são 
paralelos, então se interceptam e sua distância por definição será igual a zero). 
Dados dois planos  e ’, paralelos, a distância d entre eles é a distância de um ponto 
qualquer de um dos planos ao outro: 
 
 d(, ’) = d(P0, ’) com P0   
ou 
 d(, ’) = d(P0, ) com P0  ’ 
 
Portanto, o cálculo da distância entre dois planos paralelos se reduz ao cálculo da distância 
de um ponto a um plano. 
 
Exemplo: Dados os planos : 2x – 3y + z = 1 e ’: ax + 6y + (1 – b)z = 2, obtenha, se possível 
os valores de a e b para os quais os planos são paralelos e calcule a distância entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2.5- DISTÂNCIA DE RETA A PLANO 
 
 Para calcular a distância entre reta e plano, o único caso de interesse é quando a reta é 
paralela ao plano. Nesse caso, basta tomar novamente um ponto arbitrário da reta e calcular a 
distância desse ponto ao plano. 
 
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11- ÂNGULOS NO ESPAÇO 
 
 
11.1- ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 
 
Sejam r e s duas retas. O ângulo entre r e s é o ângulo agudo (entre 0 e /2) entre as retas. 
Assim, o ângulo entre asretas r e s será o ângulo entre os vetores diretores �⃗� e 𝑣 , ou seja, 
 
vu
vu
cos
.

 
 
Obs: Nos casos extremos, quando o ângulo entre as retas for igual a 0 ou /2, temos denominações 
específicas para a posição relativa entre duas retas. 
Se o ângulo entre as retas r e s for igual a zero e r  s = , então as retas são ditas 
paralelas, caso contrário, se r  s ≠ , as retas são coincidentes. 
Se o ângulo entre as retas r e s for igual a /2 e r  s = , então as retas (reversas) são ditas 
ortogonais, caso contrário, se r  s ≠ , as retas são ditas perpendiculares (concorrentes). 
 
Exemplo: Calcule o ângulo entre as retas r: 








tz
ty
tx
21
3
 e s:
 
11
3
2
2 zyx





. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.2- ÂNGULO ENTRE UMA RETA E UM PLANO 
 
Sejam r uma reta e  um plano. Seja  o ângulo entre a reta r e uma reta normal ao plano . 
O ângulo  entre r e  é igual a /2 – , ou seja,  +  = /2, portanto cos  = sen . De acordo, 
com a fórmula do cálculo do cos , temos 
 
 
nv
nv
sen
.

 
 
 
 
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Obs: Nos casos extremos, quando o ângulo entre uma reta e um plano for igual a 0 ou /2, temos 
denominações específicas para a posição relativa entre eles. 
Se o ângulo entre a reta r e o plano  for igual a zero e r  s = , então a reta é paralela ao 
plano , caso contrário, se r  s ≠ , a reta está contida no plano. 
Se o ângulo entre a reta r e o plano  for igual a /2, então r é perpendicular ao plano , 
também chamada reta normal ao plano. 
 
11.3- ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS 
 
Sejam 1 e 2 dois planos. O ângulo entre 1 e 2 é o ângulo entre as retas normais a 1 e 2. 
 
'
'.
nn
nn
cos 
 
 
Obs: Nos casos extremos, quando o ângulo entre planos for igual a 0 ou /2, temos denominações 
específicas para a posição relativa entre dois planos. 
Se o ângulo entre os planos 1 e 2 for igual a zero e 1  2 = , então os planos são ditos 
paralelos, caso contrário, se 1  2 ≠ , os planos são coincidentes. 
Se o ângulo entre os planos 1 e 2 for igual a /2, então os planos são ditos 
perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule o ângulo entre os planos : x + y + z = 1 e ’: x – 2y + 3z = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Calcule a distância entre P e r nos casos: 
 
a) P = (2, 4) e r: 8x – 6y + 13 = 0 
b) P = (-3, 0) e r: 3x + 2y = 1 
 
2- Calcule a distância entre as retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: x + 2y + 13 = 0. 
 
3- Calcule a distância entre as retas r: 





xz
xy
2
32
 e s: X = (-1,1 -3) + t(-2, 4, -4). 
 
4- Calcule a distância do ponto P(2, -1, 2) a cada um dos planos: 
 
a) : 2x – 2y – z +3 = 0 
b) : x + y + z = 0 
 
5- Ache a distância da origem ao plano : 3x – 4y + 20 = 0. 
 
6- Calcule a distância entre os planos paralelos: 
 
a) : 2x + 2y + 2z – 5 = 0 e : x + y + z – 3 = 0 
b) : x – 2z + 1 = 0 e : 3x – 6z – 8 = 0 
 
7- Calcule a distância do Ponto P = (5, -3, 10) a reta r : (0, 4, 2) + t (4, 2, 1). 
 
8- Determine a distância da reta r: 





3
4
y
x
 ao plano : x + y – 12 = 0. 
 
9- Calcule a medida do ângulo entre as retas r: 








tz
ty
x
9
1
1
 e s:





4
1
z
yx
. 
 
10- Calcule a medida do ângulo  em radianos entre r: 





ty
tx
1
 e : y + z – 10 = 0. 
 
11- Ache a medida do ângulo entre os planos : x – y + z = 20 e : x + y + z = 0. 
 
12- Ache a medida do ângulo entre os planos : 2x + y – z – 1 = 0 e : x – y + 3z – 10 = 0. 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 1/2; b) (10√13)/13. 2- 2√5. 3- √13 u.c. 4- a) 7/3; b) √3. 5- a) 4. 6- a) √3/6; b) 11/3√5. 7- √2702 21⁄ . 8- 5/√2. 
9- /3. 10- /6. 11- arc cos 1/3. 12- arc cos 2/√66.