Geometria Analítica Espacial - Lista 6

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Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 6
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto Multidisciplinar
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professor: Marcelo Farias
Produto Vetorial
Produto Misto
Aplicac¸o˜es
1. Calcule ~u× ~v, onde:
(a) ~u = (0,−1, 3), ~v = (−2, 2, 4)
(b) ~u = (1,−1, 2), ~v = (3,−3, 6)
(c) ~u = (4,−2, 0), ~v = (0, 1,−2)
(d) ~u = (3, 0,−1), ~v = (−1,−1,−1)
(e) ~u = (pi, 2pi,−pi), ~v = (3, 1, 4)
(f) ~u = (
√
3,
√
2, pi), ~v = (2, 3,−pi)
2. Considere os pontos A = (1, 1, 1), B = (−1, 2, 3) e C = (1, 0,−1).
(a) Determine a a´rea do triaˆngulo ABC.
(b) Se ~u =
−−→
AB e ~v =
−→
AC, determine um vetor unita´rio ~w que seja simultaneamente ortogonal a ~u
e a ~v.
3. Determine a a´rea do paralelogramo ABCD, onde:
(a) A = (1, 1, 2), B = (2, 0, 1), C = (2, 2,−1)
(b) A = (0,−1, 0), B = (3, 3, 3), C = (0, 0, 0)
(c) A = (4, 2, 0), B = (3,−1, 2), C = (1, 3,−2)
(d) A = (1, 0,−1), B = (1,−1, 1), C = (2, 0, 0)
e
−−→
AD =
−−→
AB +
−→
AC (na˜o e´ necessa´rio determinar o ponto D).
4. Determine equac¸o˜es parame´tricas para a reta l que resulta da intersec¸a˜o dos planos Π1 e Π2, onde:
(a) Π1 : 3x− y + z = 1,Π2 : x = 3
(b) Π1 : x+ y + z = 3,Π2 : x− y − z = −1
(c) Π1 : −y + z = 0,Π2 : x− z = 1
(d) Π1 : 3x− y − z,Π2 : x− y = 2
(e) Π1 : x+ 2y + 3z = 4,Π2 : 4x− 3y − 4 = 0
(f) Π1 : 1− x− y = 0,Π2 : x− y − z = 0
5. O produto vetorial e´ associativo? Isto e´, para quaisquer vetores ~u,~v e ~w , vale a propriedade
(~u× ~v)× ~w = ~u× (~v × ~w) ? Justifique a sua resposta.
O Produto Misto
Veremos agora o conceito de produto misto de treˆs vetores no espac¸o. A se´rie de exerc´ıcios abaixo o
guiara´ atrave´s da definic¸a˜o e construc¸a˜o deste conceito.
Consideremos quatro pontos na˜o-coplanares O,A,B e C no espac¸o, onde O e´ a origem. Enta˜o, os
segmentos OA,OB e OC sa˜o treˆs arestas adjacentes de um paralelep´ıpedo P, conforme a figura abaixo.
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Sabemos que volume do paralelep´ıpedo P se obte´m multiplicando a a´rea de uma das suas faces
(tomada como base de P) pela altura de P em relac¸a˜o a essa face tomada.
Se D e´ o ve´rtice oposto a O na face que conte´m O,A e B e tomando como base de P o paralelogramo
OADB, temos:
Volume(P) = A´rea(OADB) · h,
onde h e´ a altura de P em relac¸a˜o a` face OADB.
Sabemos que A´rea(OADB) =
∥∥∥−→OA×−−→OB∥∥∥. Basta determinarmos h. Procederemos da seguinte
maneira:
Seja l a reta perpendicular a ΠOAB que passa por O, e seja E a projec¸a˜o ortogonal de C sobre l.
Enta˜o h e´ a distaˆncia de O a E.
6. Mostre que ~n =
−→
OA×−−→OB e´ o vetor diretor da reta l.
7. Mostre que h e´ a norma da projec¸a˜o ortogonal do vetor
−−→
OC sobre o vetor ~n normal a ΠOAB .
8. A partir do exerc´ıcio anterior, conclua que
h = ‖−−→OC‖ · | cos θ|,
onde θ e´ o aˆngulo entre os vetores
−−→
OC e ~n =
−→
OA×−−→OB.
9. Conclua que
Volume(P) = | < −→OA×−−→OB,−−→OC > |.
Com base nessa expressa˜o do volume do paralelep´ıpedo, temos a definic¸a˜o:
Definic¸a˜o(Produto misto de treˆs vetores no espac¸o)
O produto misto dos vetores ~u,~v e ~w no espac¸o e´ o nu´mero real:
[~u,~v, ~w] =< ~u× ~v, ~w > .
A partir da definic¸a˜o, conclu´ımos que o produto misto de treˆs vetores no espac¸o e´, salvo sinal, igual
ao volume de um paralelep´ıpedo cujas arestas adjacentes representam esses vetores.
6. Mostre que o produto misto de treˆs vetores, sendo pelo menos dois deles iguais, e´ igual a zero.
7. Propriedades do produto misto: Sejam ~u,~v e ~w vetores no espac¸o. Mostre que:
(a) [~u,~v, ~w] = 0 se, e somente se, ~u,~v, ~w sa˜o LD.
(b) [~u,~v, ~w] > 0 se, e somente se, o referencial E = {~u,~v, ~w} e´ positivo.
(c) [~u,~v, ~w] < 0 se, e somente se, o referencial E = {~u,~v, ~w} e´ negativo.
(d) [λ~u,~v, ~w] = [~u, λ~v, ~w] = [~u,~v, λ~w] = λ · [~u,~v, ~w] = 0, para todo λ ∈ R.
(e) [~u,~v1 + ~v2, ~w] = [~u,~v1, ~w] + [~u,~v2, ~w].
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8. Demonstre a propriedade distributiva do produto vetorial, isto e´, dados ~u,~v e ~w vetores no espac¸o,
vale a igualdade
~u× (~v + ~w) = (~u× ~v) + (~u× ~w).
DICA: Mostre que o vetor ~x = ~u× (~v+ ~w)− (~u×~v)− (~u× ~w) e´ o vetor nulo, usando o fato de que
< ~x, ~x >= 0.
Vejamos como exprimir o produto misto em termos de coordenadas usando determinantes de matrizes
de ordem 3.
Sejam ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) treˆs vetores no espac¸o, expressos em termos
de coordenadas em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas cartesianas OXY Z.
Sabemos que
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣∣~i−
∣∣∣∣∣ u1 u3v1 v3
∣∣∣∣∣~j +
∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣∣~k.
Como ~w = w1~i+ w2~j + w3~k,
< ~u× ~v, ~w >=
∣∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣∣w1 −
∣∣∣∣∣ u1 u3v1 v3
∣∣∣∣∣w2 +
∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣∣w3 =
∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ .
Concluindo, temos a:
Proposic¸a˜o: Sejam ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) treˆs vetores no espac¸o. Enta˜o o
produto misto de ~u,~v e ~w e´
[~u,~v, ~w] =
∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ .
9. Usando a proposic¸a˜o acima, calcule o volume do paralelep´ıpedo P de lados adjacentes AB,AC e
AD, onde:
(a) A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 0), C = (0, 1, 1), D = (1, 0, 1).
(b) A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 0), C = (0, 2, 3), D = (0, 0, 0).
(c) A = (0, 1, 0), B = (−1, 0, 2), C = (1, 2, 1), D = (2, 2, 4).
10. Refac¸a os exerc´ıcios 2 e 3 da lista 5, a partir da proposic¸a˜o anterior e das propriedades (b) e (c) de
produto misto.
Por exemplo: Qual e´ a orientac¸a˜o do referencial E = {O,~v1 = (1, 0, 0), ~v2 = (0, 1, 0), ~v3 =
(0, 0,−1)}? Calculando
[~u,~v, ~w] =
∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣ = −1.
Pela propriedade (c), como [~u,~v, ~w] e´ negativo, o referencial tem orientac¸a˜o negativa.
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