1 Deflexoes De Vigas rev00

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2/11/2014
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MECÂNICA DOS MATERIAIS
(Resistência dos Materiais II – 10577)
1 – DEFLEXÕES DE VIGAS
Orientador: Tiago Toitio (tiago.toitio@uniube.br)
NOTA: slides são apenas um material de apoio para direcionar o estudo. Nunca substitui os livros, que devem ser consultados sempre, para estudo e pesquisa.
CONTEÚDO
1.1 – Introdução
1.2 – Equação diferencial da curva de deflexão
1.3 – Deflexões pela integração da equação do momento fletor
1.4 – Método da superposição
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Cálculo de deflexões – algumas aplicações:
• Verificar se membros estruturais estão dentro dos limites aceitáveis de tolerância
de deslocamentos.
• Análise de estruturas estaticamente indeterminadas.
• Análises dinâmicas (verificação de vibrações de aeronaves, respostas de
edifícios aos terremotos, etc.)
Há vários métodos para cálculo de deflexões em vigas, tais como:
• Método da Integração da Equação da Curva de Deflexão
• Método da Superposição
• Método da Área do Momento
• Métodos Energéticos
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Curva de deflexão curva que representa o eixo longitudinal deformado de
uma viga sob carregamento. Também denominada linha elástica.
Deflexão (v) deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga.
Ângulo de rotação ou inclinação (q ≈ tanq = dv/dx) ângulo entre o eixo x e a
reta tangente à curva de deflexão, em determinado ponto.
Figura 1 – Curva de deflexão de viga engastada sob carga concentrada. v = f(x).
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M(x) – momento fletor na abcissa x
E – módulo de elasticidade do material
– momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo z
E. – rigidez de flexão
IE
xM
dx
vd

=
)(
2
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Figura 2 – Convenção de sinal para o momento fletor M.
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Procedimento:
i. Substituir a função do momento fletor M(x) na equação diferencial da curva de
deflexão.
ii. Realizar a 1ª integração obtenção da inclinação q, isto é, dv/dx.
iii. Realizar a 2ª integração obtenção da deflexão v.
iv. Integrações geram constantes de integração, que são determinadas a
partir de condições conhecidas relativas às inclinações e deflexões. Essas
constantes são, então, substituidas nas equações de q e v.
As condições classificam-se em 3 categorias:
• Condições de contorno (relativas às deflexões e inclinações nos suportes de
uma viga) – figura 3.
• Condições de continuidade
• Condições de simetria
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Figura 3 – Condições de contorno nos suportes (engaste, articulação e rolete).
EXEMPLO 1. Determinar a equação da curva de deflexão para uma viga simples
AB suportando um carregamento uniforme q em toda extensão da viga.
Determinar a deflexão máxima dmáx. e os ângulos de rotação qA e qB nos suportes.
O momento fletor em função de x, para sistema de coordenadas com origem em A
e x > 0 para direita e y > 0 para cima, é: M(x) = 0,5.q.L.x – 0,5.q.x².
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EXEMPLO 2. Resolver o exemplo 1 para um carregamento w = 10 kN/m e
comprimento da viga L = 4 m.
EXEMPLO 3. Determinar a equação da curva de deflexão para uma viga
engastada AB suportando uma carga concentrada P. Determinar também a
deflexão máxima dmáx. e o ângulo de rotação máximo qmáx..
O momento fletor em função de x, para sistema de coordenadas com origem em A
e x > 0 para direita e y > 0 para cima, é: M(x) = - P.x.
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EXEMPLO 4. Determinar a equação da curva de deflexão para uma viga de aço
(E=200 GPa e = 1685 cm4) engastada AB de comprimento L = 2 m suportando
uma carga concentrada P = 10 kN. Determinar também a deflexão máxima dmáx. e
o ângulo de rotação máximo qmáx..
O momento fletor em função de x, para sistema de coordenadas com origem em A
e x > 0 para direita e y > 0 para cima, é: M(x) = - P.(L - x).
Método da Superposição técnica utilizada para obter deflexões e ângulos
de rotação de vigas baseada no Princípio da Superposição, e pode ser
estabelecido como:
“ A deflexão / rotação de uma viga produzida por diversos carregamentos
diferentes atuando simultaneamente pode ser calculada superpondo-se as
deflexões / rotações produzidas pelos mesmos carregamentos atuando
separadamente ”.
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Tabelas de deflexão de vigas o Método da Superposição é útil quando
fórmulas para as deflexões e as inclinações estão prontamente disponíveis. Livros
e manuais de Engenharia trazem estas fórmulas e/ou tabelas.
Usando as tabelas e o Método da Superposição, pode-se calcular as deflexões e
inclinações para muitas condições de carregamentos diferentes.
EXEMPLO 5. A viga biapoiada AB de vão L = 5 metros, suporta um carregamento
distribuído q = 5 kN/m e um carregamento concentrad P = 20 kN. Determinar a
deflexão no meio do vão e as inclinações da curva elástica em A e B.
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EXEMPLO 6. Uma viga engastada AB de vão L = 4 metros, suporta três
carregamentos concentrados de magnitude P = 10 kN cada. Calcular a deflexão e
a inclinação da curva elástica na extremidade da viga.
EXEMPLO 7. Uma viga engastada AB de vão L = 2,5 metros, suporta um
carregamento concentrado P = 15 kN e um momento concentrado M = 4 kN.m.
Calcular as deflexão e as inclinações da curva elástica no ponto B e no ponto C.
Módulo de rigidez à flexão: E. = 6,1 x 106 N.m².
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FIM