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442 RESISTÊI�CI.A DOS MATERIAIS 
12.50. Determine a equação da linha elástica. Especifique a 
inclinação em A . EI é constante. 
12.51. Determine a equação da linha elástica. Especifique a 
deflexão em C. EI é constante. 
'12.52. Determine a equação da linha elástica. Especifique 
a inclinação em B. EI é constante. 
IV 
Problemas 12.50/51/52 
12.53. O eixo é feito de aço e tem diâmetro de 15 mm. De­
termine sua deflexão máxima. Os mancais em A e B exercem 
somente reações verticais sobre o eixo. E aço = 200 GPa. 
Problema 12.53 
*1 2 e deslocamento 
área 
O método dos momentos de área proporciona uma 
técnica parcialmente gráfica para determinar a incli­
nação e o deslocamento em pontos específicos sobre 
a linha elástica de uma viga ou eixo. A aplicação do 
método exige o cálculo de áreas associadas ao diagra­
ma de momento da viga; portanto, se esse diagrama 
consistir em formas simples, o método é muito conve­
niente de usar. Normalmente é esse o caso quando a 
viga é carregada com forças concentradas e momentos 
conjugados. 
Para desenvolver o método dos momentos de área, 
adotaremos as mesmas premissas que usamos para o 
método da integração: a viga é inicialmente reta, é de­
formada elasticamente por ação das cargas de modo 
tal que a inclinação e a deflexão da linha elástica são 
muito pequenas e as deformações são causadas por 
flexão. O método dos momentos de área baseia-se em 
dois teoremas usados para determinar a inclinação e o 
deslocamento em um ponto sobre a linha elástica. 
tg B Linha elástica tgA 
(a) 
M 
(b) 
M 
EI 
I M 
( El 
I 
� �- dx X 
A B 
M D. - 1agrama EI 
(c) 
Figura 12.21 
Teorema 1 . Considere a viga simplesmente apoia­
da com sua linha elástica associada Figura 12.21a. Um 
segmento diferencial dx da viga é isolado na Figura 
12.21b. Vemos que o momento interno M da viga de­
forma o elemento de modo tal que as tangentes à linha 
elástica em cada lado do elemento interceptam-se em 
um ângulo d(). Esse ângulo pode ser determinado pela 
Equação 12.10, escrita como 
d2v d (dv ) 
EI - = EI- - = M dx2 dx dx 
Visto que a inclinação é pequena, () = dv!dx e, por­
tanto, 
(12.18) 
Se construirmos o diagrama de momento fletor 
para a viga e o dividirmos pelo momento de inércia I e 
pelo módulo de elasticidade E da viga (Figura 12.21c), 
então a Equação 12.18 indica que de é igual à área sob 
o 'diagrama MIEI' para o segmento de viga dx. Inte­
grando entre um ponto A e outro ponto B seleciona­
dos sobre a linha elástica, temos 
(12.19) 
Essa equação configura a base para o primeiro teo­
rema de momentos de área. 
O ângulo entre as tangentes em dois pon­
tos quaisquer sobre a linha elástica é igual à área sob o 
diagrama MIEI entre esses dois pontos. 
A notação eEIA é denominada ângulo da tangente 
em B medido em relação à tangente em A. Pela prova, 
deve ficar evidente que esse ângulo será medido em 
sentido anti-horário, da tangente A até a tangente B, se 
a área sob o diagrama MIE/ for positiva. Ao contrário, 
se a área for negativa, ou encontrar-se abaixo do eixo x, 
o ângulo e ElA será medido em sentido horário, da tan­
gente A até a tangente B. Além disso, pelas dimensões 
da Equação 12.19, e ElA será medido em radianos. 
Teorema 2. O segundo teorema dos momentos de 
área baseia-se no desvio das tangentes em relação à 
linha elástica. A Figura 12.22a mostra uma vista mui­
tíssimo ampliada do desvio vertical dt das tangentes 
de cada lado do elemento diferencial dx. Esse desvio 
é provocado pela curvatura do elemento e foi medido 
ao longo de uma reta vertical que passa pelo ponto A 
localizado sobre a linha elástica. Visto que considera­
mos que a inclinação da linha elástica e sua deflexão 
são muito pequenas, é razoável aproximar o compri­
mento de cada reta tangente por x e o arco ds' por dt. 
Utilizando a fórmula do arco de círculo s = er, onde r 
é o comprimento x e s é dt, podemos escrever dt = xde. 
Substituindo a Equação 12.18 nessa equação e integran­
do de A a B, o desvio vertical da tangente em A em rela­
ção à tangente em B pode ser determinado; isto é, 
(12.20) 
Visto que o centroide de uma área é determinado 
por xf dA = Ix dA e f(MIEI)dx representa a área sob 
o diagrama MI E!, também podemos escrever 
(12.21) 
Nessa expressão, x é a distância de A até o centroide da 
área sob o diagrama MI E! entre A e B (Figura 12.22b ) . 
Agora, o segundo teorema dos momentos de área 
pode ser enunciado da seguinte maneira: 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 443 
O desvio vertical da tangente em um 
ponto (A) sobre a linha elástica em relação à tangente 
traçada desde outro ponto (B) é igual ao momento da 
área sob o diagrama MIEI entre esses dois pontos (A e 
B). Esse momento é calculado em torno do ponto (A) 
onde o desvio vertical deve ser determinado. 
A distância tAlE usada no teorema também pode 
ser interpretada como o deslocamento vertical desde 
o ponto localizado na tangente traçada do ponto B ao 
ponto A sobre a linha elástica. Observe que tAlE não é 
igual a tElA' o que é mostrado na Figura 12.22c. Espe­
cificamente, o momento da área sob o diagrama MIEI 
entre A e B é calculado em torno do ponto A para 
determinar tAlE (Figura 12.22b ), e em torno do ponto B 
para determinar tEIA (Figura 12.22c). 
Se determinarmos o momento de uma área MI E! 
positiva de A a B para tEIA' ele indica que o ponto B 
está acima da tangente traçada desde o ponto A (Figura 
12.22a.) De maneira semelhante, áreas MI E! negativas 
indicam que o ponto B está abaixo da tangente traçada 
desde o ponto A. Essa mesma regra aplica-se para tAlE" 
_o_tg� fA-x� �dx B 
tA;E� tg B� 
M 
EI 
(a) 
r� k'"--------A i�� ___._E � x 
(b) 
A tg B , B ,, -- � � � �� 
M 
EI 
tg A 
I . 
1 .. 
�:------->---A ----l-L x' �----�------E x 
(c) 
Figura 12.22 
444 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
O seguinte procedimento fornece um método que pode ser usado para aplicar os dois teoremas de momentos de área. 
Diagrama MIEI 
"' Determine as reações no apoio e trace o diagrama MIEI da viga. Se a viga estiver carregada com forças concen­
tradas, o diagrama MIEI consistirá em uma série de segmentos de reta e as áreas e seus momentos exigidos pelos 
teorema dos momentos de área serão relativamente fáceis de calcular. Se a carga consistir em uma série de cargas 
distribuídas, o diagrama MIEI consistirá em curvas parabólicas ou, talvez, de ordens mais altas, e sugerimos que a 
tabela apresentada no final do livro seja usada para localizar a área e o centroide sob cada curva. 
Linha elástica 
" Trace uma vista ampliada da curva da linha elástica da viga. Lembre-se de que os pontos de inclinação e deslocamento 
nulos sempre ocorrem em um apoio fixo e que em todos os suportes de pinos e roletes ocorre deslocamento nulo. 
" Se for difícil obter a forma geral da curva da linha elástica, use o diagrama de momento (ou MIEI). Entenda que, 
quando a viga for submetida a um momento positivo, a flexão resultante será côncava para cima, ao passo que, com 
momento negativo, a flexão resultante na viga será côncava para baixo .Além disso, um ponto de inflexão ou mudan­
ça na curvatura ocorre onde o momento na viga (ou MIEI) é nulo . 
.. O deslocamento e a inclinação desconhecidos a serem determinados devem ser indicados sobre a curva . 
.. Visto que o teorema dos momentos de área aplica-se somente entre duas tangentes, é preciso dar atenção ao modo 
como as tangentes devem ser construídas de modo que os ângulos ou desvios entre elas levem à solução do pro­
blema. A propósito, as tangentes nos apoios devem ser consideradas, visto que o deslocamento e/ou a inclinação nos 
apoios da viga normalmente é nulo. 
Teoremas dos momentos de área 
" Aplique o Teorema 1 para determinar o ângulo entre duas tangentes quaisquer sobre a linha elástica e o Teorema 
2 para determinar o desvio tangencial. 
" O sinal algébrico da resposta pode ser verificado pelo ângulo ou desvio indicado na linha elástica. 
• Um() BIA positivo representa uma rotação em sentido anti-horário da tangente em B em relação à tangenteem A, e um 
t BIA positivo indica que o ponto B sobre a linha elástica encontra-se acima da tangente traçada desde o ponto A. 
Determine a inclinação da viga mostrada na Figura 
12.23a nos pontos B e C. EI é constante. 
p 
A B f c 
L L 
2 2 
(a) 
M 
E! 
L I s ;-lc 2 A 
PL 
2 EI 
PL 
E! (b) 
I A 
tg B_ �%:�:: 
es c ec 
(c) tg C 
Figma 12.23 
X 
SOLUÇÃO 
Diagrama MIEI. Veja Figura 12.23b. 
Curva elástica. A força P provoca deflexão na viga como 
mostra a Figura 12.23c. (A linha elástica é côncava para bai­
xo, visto que MIEI é negativo.) As tangentes em B e C são 
indicadas, já que serão necessárias para determinar 88 e O c. 
A tangente no apoio (A) também é mostrada. Ela tem uma 
inclinação conhecida, zero. Pelo desenho, o ângulo entre tg A 
e tg B, isto é, 8 81A, é equivalente a 8 8, ou 
Além disso 
Teorema dos mom,emtos de área. Aplicando o Teorema 
1 , 881A é igual à área sob o diagrama MIEI entre os pontos A 
e B; isto é, 
Os = 8s;A = (-::J(�) + � (-::J(�) 
3PL2 
8EI Resposta 
O sinal negativo indica que a orientação do ângulo medido 
da tangente em A até a tangente em B é em sentido horário. 
Isso está de acordo, uma vez que a viga inclina-se para baixo 
emB. 
De forma semelhante, a área sob o diagrama MIEI entre os 
pontos A e C é igual a 80A. Temos 
1 ( PL) 8c = 8c;A = l - EI L PL2 
2EI Resposta 
Determine o deslocamento dos pontos B e C da viga 
mostrada na Figura 12.24a. EI é constante. 
M 
EI 
SOLUÇÃO 
(a) 
(b) 
(c) 
Figura 12.24 
Diagrama MIEI. Veja Figura 12.24b. 
tgA 
c tg c 
linha elástica. O momento conjugado em C provoca a de­
flexão da viga como mostra a Figura 12.24c. As tangentes em 
B e C são indicadas já que são necessárias para determinar 
/:18 e !::.c. A tangente no apoio (A) também é mostrada, uma 
vez que ela é horizontal. Os deslocamentos exigidos agora 
podem ser relacionados diretamente com os desvios entre as 
tangentes em B e A e C e A. Especificamente, 1:18 é igual ao 
desvio da tg A em relação à tg B; isto é, 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 445 
Teorema dos momentos de área. Aplicando o Teorema 
2, t81A é igual ao momento da área sombreada sob o diagrama 
MIEI entre A e B calculado em torno do ponto B (o ponto 
sobre a linha elástica), visto que esse é o ponto no qual o 
desvio tangencial deve ser determinado. Por consequência, 
pela Figura 12.24b, 
l::.s = ts;A = (�)[ (-;; )(�) J = -���2 Resposta 
Da mesma forma, para tc1A temos de determinar o momento 
da área sob todo o diagrama MIEI de A a C em torno do 
ponto C (o ponto sobre a linha elástica) . Temos 
(L)[( Mo) J M0L2 !::.c = tc;A = Z \- EI 
(L) = - 2EI Resposta 
OBSERVAÇÃO: Como ambas as respostas são negativas, 
elas indicam que os pontos B e C encontram-se abaixo da 
tangente em A, o que está de acordo com a "Figura 12.24c. 
Determine a inclinação no ponto C da viga na Figura 
12.25a. EI é constante. 
M 
EI 
PL 
4 EI 
p 
(a) 
PL I S EI 
11------------:::--t---t �-::--c -
x 
(b) 
e c 
D C_____,--J _jL 
______:::=--=..-�=::._---"',----- tg D (horizontal) 
tg C Oc;v 
(c) 
Figura 12.25 
446 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
SOLUÇÃO 
Diagrama MIEI. Veja a Figura 12.25b. 
Linha elástica. Como a carga é aplicada simetricamente 
à viga, a linha elástica apresenta-se simétrica e a tangente 
em D , horizontal (Figura 12.25c ). A tangente em C também 
é desenhada, visto que temos de determinar a inclinação ()c· 
Pela figura, o ângulo O CID entre as tangentes D e C é igual a 
O c, isto é, 
Teorema dos momentos de área. Utilizando o Teorema 
1, ()cm é igual à área sombreada sob o diagrama MIEI entre 
os pontos D e C. Temos 
( PL )(L) 1 ( PL PL )(L ) 3PL2 
Oc = Oc;v = SEI 4 + 2 4EI - SEI 4 = 64EI 
Resposta 
O que o resultado positivo indica? 
Determine a inclinação no ponto C para a viga de aço na 
Figura 12.26a. Considere E aço = 200 GPa, I = 17(106)mm4• 
M 
El 
16 kN 
---+-- 4 m ---4-­
8 
EI 
(a) 
(b) 
24 
EI 
�. e� . · ·· · · · · · · �T tg B 
- tg c Oc;A ec 1A 
(c) tg A 
Figura 12.26 
SOLUÇÃO 
Diagrama MIEI. Veja a Figura 12.26b. 
Linha elástica. A linha elástica é mostrada na Figura 
12.26c. Mostra-se a tangente em C porque temos de determi­
nar O c As tangentes nos apoios, A e B, também são traçadas 
como mostra a figura. O ângulo O elA é aquele entre as tangen­
tes em A e C. A inclinação em A, O A, na Figura 12.26c, pode 
ser determinada utilizando-se lO) = ltn1)1L As' Essa equação 
é válida visto que t BIA é, na realidade, muito pequena, de 
modo que tEIA medida em metros pode ser aproximada pelo 
comprimento de um arco de círculo definido por um raio 
L AB = S m e uma abertura O A em radianos. (Lembre-se de 
que s = Or.) Pela geometria da Figura 12.26c, temos 
(1) 
Observe que o Exemplo 12.9 também poderia ser resolvido 
por meio desse método. 
Teorema dos momentos de área. Utilizando o Teorema 
1, ()erA equivale à área sob o diagrama MIEI entre os pontos 
A e C; isto é, 
1 ( S kN • m) S kN · m2 
Oc;A = 2(2 m) EI = EI 
Aplicando o Teorema 2, t BIA equivale ao momento da área 
sob o diagrama MIEI entre B e A em torno do ponto B (o 
ponto sobre a linha elástica), visto que esse é o ponto onde o 
desvio tangencial deve ser determinado. Temos 
ts;A =
(2 m + � (6 m)) [� (6 m)C4� · m) ] 
+ G (2 m)) [� (2 m)C4�� · m) ] 
320 kN ·m3 
EI 
Substituindo esses resultados na Equação 1, obtemos 
320 kN · m2 
Oc = 
(S m)EI 
S kN · m2 
EI 
32 kN · m2 
EI J 
Calculamos esse resultado nas unidades kN e m; portanto, 
convertendo EI para essas unidades, temos 
Resposta 
• 
Determine o deslocamento em C para a viga mostrada 
na Figura 12.27a. EI é constante. 
Mo 
A t lc--1-ló�� 
2 2 
M 
EI 
(a) 
�: lt-00�-:+.�-��-� �B 
(b) 
tg B 
Figura 12.27 
SOLUÇÃO 
Diagrama MIEI. Veja a Figura 12.27b. 
X 
Linha elástica. A tangente em C é desenhada sobre a linha 
elástica, porque temos que determinar 11c (Figura 12.27c). 
(Observe que C não é a localização da deflexão máxima da 
viga, pois a carga e, por consequência, a linha elástica não 
são simétricas). As tangentes nos apoios A e B também são 
indicadas na Figura 12.27c. Vemos que 11c = 11' - tC/8• Se 
tN8 for determinada, 11' pode ser encontrado por triângulos 
proporcionais, isto é, 11 '/(L/2) = tN81L ou 11' = tNj2. Por 
consequência, 
(1) 
Teorema dos momentos de área. Aplicando o Teorema 
2 para determinar tN8 e tc!B' temos 
tc;n = (�(�) )[�(�)(:e�)] = :�; 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 447 
Substituindo esses resultados na Equação 1 obtemos 
Resposta 
Determine o deslocamento no ponto C para a viga de 
aço em balanço com projeção mostrada na Figura 12.28a. 
Considere E aço = 200 GP a, I = 50 x 106 mm4• 
25 kN 
M 
EI 
50 kN 
(a) 
25 kN 
c 
4 m 
4 m ------+�-- 4 m � 
A �------------rB------------�c--x 
SOLUÇÃO 
-100 
EI 
(b) 
(c) 
Figura 12.28 
Diagrama MIEI. Veja a Figura 12.28b. 
c tg c 
linha elástica. A carga provoca deflexão na viga como 
mostra a Figura 12.28c. Temos de determinar 11c. Traçando 
as tangentes em C e nos apoios A e B, verificamos que 11c = l tC!) - 11' . Todavia, 11' pode ser relacionado com t81A por 
semelhança de triângulos ; isto é, 11' /8 = lt 81)14 ou 11' = 211 81AI . 
Por consequência, 
448 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Teorema dos momentos de área. Aplicando o Teorema 
2 para determinar t0A e tsw temos 
te; A = (4 m)( � (8 m) ( _ 100 :·m )) 
1.600 kN· m3 
E! 
tE/A = u (4 m))[� (4 m)( lOO;·m )] = 266,67 kN.m3 
E! 
Por que esses termos são negativos? Substituindo os resulta­
dos na Equação 1 temos 
Ll = 1 .600 kN·m3 - 2 ( 266,67 kN·nt ) = 1.066,66 kN·m3 "' c E! E! E! 
Como os cálculos foram efetuados em unidades métricas 
(kN e m), temos 
1 .066,66 kN ·m\103 mm/m)3 = 106,7 mm t 
(200 kN/mm2 )f50(106 ) mm4 l 
Resposta 
12.54. Determine a inclinação e a deflexão em C. El é cons­
tante. 
75 kN 
A 
Problema 12.54 
12.55. Determine a inclinação e a deflexão em B. E! é cons­
tante. 
A 
p 
· ·���--�--��--�------�' B 
��--------------- L ---------------4J I 
Problema 12.55 
''12,56. Se os mancais exercerem somente reações verticais 
sobre o eixo,determine a inclinação nos mancais e a deflexão 
máxima do eixo. E! é constante. 
A 
B 
L L 1--------- 2 ------�+------- 2 --------1 
Problema 12.56 
12.57. Determine a inclinação em B e a deflexão em C. E! 
é constante. 
A 
p 
M0 = Pa I 
l=;:::::;:::;::::;::;;:::=:;==::::;,==::::;::::::;:=::::::::::::;!l B 
1--------- a -------4--------- a� 
Problema 12.57 
12.58. Determine a inclinação em C e a deflexão em B. EI 
é constante. 
A 
p 
Mo = Pa i 
�------����--------�J s 
1-------- a -------1------- a � 
Pmblema 12.58 
12.59. Uma ginasta de 60 kg está em pé no centro da trave 
(viga) de equilíbrio simplesmente apoiada. Se a trave for fei­
ta de madeira e tiver a seção transversal mostrada na figura, 
determine a deflexão máxima. Consideramos que os apoios 
em A e B são rígidos. Em = 12 GPa. 
--�+---- 2,7 m � 
Pmblema 12.59 
'"12.60. O eixo é suportado por um mancai de apoio em A, 
que exerce somente reações verticais sobre o eixo, e por um 
mancai de encosto em B, que exerce reações horizontais, 
bem como reações verticais sobre o eixo. Determine a incli­
nação do eixo nos mancais. El é constante. 
400 N 
A B �2ia lOO mm 
� 300 m:0
--
N
-r--
__L
-- 300 mm --1 
Problema 12.60 
12.61. A viga está sujeita à carga mostrada na figura. De­
termine a inclinação em A e o deslocamento em C. Consi­
dere que o apoio em A é um pino e em B, um rolete. EI é 
constante. 
p p p 
Problema 12.61 
12.62. A haste é composta por dois eixos para os quais o 
momento de inércia de AB é I e de BC, 21. Determine a in­
clinação e a deflexão máximas da haste devido à carga. O 
módulo de elasticidade é E. 
p 
Problema 12.62 
12.63. Determine a deflexão e a inclinação em C. EI é cons­
tante. 
�-L 
B c 
:TI: I Mo L� 
Problema 12.63 
'12.64. Se os mancais em A e B exercerem somente rea­
ções verticais sobre o eixo, determine a inclinação em A. El 
é constante. 
A 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 449 
a �l� 2a ---+---- a � 
Problema 12.64 
12.65. Se os mancais em A e B exercerem somente reações 
verticais sobre o eixo, determine a inclinação em C. EI é 
constante. 
Mo 
A 
Problema 12.65 
12.66. Determine a deflexão em C e a inclinação da viga em 
A, B e C. EI é constante. 
A B 8 kN·m li----------�--�' 
1------� 6 m ----;;;JL;--r-- 3 m� 
Problema 12.66 
12.67. A barra é suportada pelo rolete em C, que permite 
deslocamento vertical, mas resiste a carga axial e momento. 
Se ela for submetida à carga mostrada na figura, determine a 
inclinação e o deslocamento em A. EI é constante. 
p 
c 
Problema 12.67 
'''12.68. O acrobata pesa 750 N ( = 75 kg) e está suspenso pe­
los braços uniformemente no centro da barra alta. Determi­
ne a tensão de flexão máxima no tubo (barra) e sua deflexão 
máxima. O tubo é feito de aço L2 e tem diâmetro externo de 
25 mm e espessura da parede de 3 mm. 
450 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A 
10,45 mi ------1 0,9 m -��-+--- 0,9 m 
I 
Problema 12.68 
B 
12.69. Determine o valor de a de modo que o deslocamen­
to em C seja nulo. EI é constante. 
p p 
-+--- L -�-----+��- L 
2 2 ----1 
Problema 12.69 
12.70. A viga é feita de um material cerâmico. Para obter 
seu módulo de elasticidade, ela é submetida às cargas elásticas 
mostradas na figura. Se o momento de inércia for I e a deflexão 
máxima medida na viga for �. determine E. Os suportes em A e 
D exercem somente reações verticais sobre a viga. 
� T u 1 . • • •• � f------r a -----4� L ��-
a=1 
Problema 12.70 
12.71. Determine a deflexão máxima do eixo. EI é constante. 
Os mancais exercem somente reações verticais sobre o eixo. 
p p 
Problema 12.71 
"'12,72. A viga está sujeita à carga P como mostra a figur 
Determine o valor da força F que deve ser aplicada na e:� 
tremida de da extensão C de modo que a deflexão em c sej 
nula. EI é constante. · a 
F 
A,----1 _. -'-----_1-'-----------=--
;:p;;�
B
-_-_____ ---J..L 
1--- a ��+--- a -�-+-�- a� 
Problema 12.72 
12.73. A que distância a os mancais de apoio A e B devem 
ser colocados de modo que a deflexão no centro do eixo seja 
igual à deflexão em suas extremidades? Os mancais exercem 
somente reações verticais sobre o eixo. EI é constante. 
p p 
!b_ 
.
. a·-=r·�-
L
--=E-�; �t ------i 1- a --1 
I 
Problema 12.73 
12.74. Determine a inclinação do eixo de aço A-36 de 50 
mm de diâmetro nos mancais em A e B. Os mancais exercem 
somente reações verticais sobre o eixo. 
600 N 
Problema 12.74 
12.75. Determine a deflexão máxima do eixo de aço A-36 
de 50 mm de diâmetro. As extremidades A e B do eixo estão 
apoiadas em mancais que exercem somente reações verticais 
sobre o eixo. 
600 N 
Problema 12.75 
'12.76. Determine a inclinação do eixo de aço A-36 de 20 
mm de diâmetro nos mancais em A e B. Os mancais exercem 
somente forças verticais sobre o eixo. 
200 mm �-�t- 300 mm -r--- SOO mm --1 
D A I c I B 
3SO N 
800 N 
Problema 12.76 
12.77. Determine o deslocamento do eixo de aço A-36 de 
20 mm de diâmetro em D. Os mancais em A e B exercem 
somente reações verticais sobre o eixo. 
1200 mm [-- 300 mm -r--- SOO mm 
D A I c 
3SO N 
800 N 
Problema 12.77 
12.78. A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Deter­
mine a inclinação em B e a deflexão em C. EI é constante. 
Mo 
Problema 12.78 
12.79. Determine a inclinação em B e o deslocamento em 
C. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais 
sobre o eixo. EI é constante. 
p p p 
Problema 12.79 
" 12.80. Determine o deslocamento em D e a inclinação em 
C. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais 
sobre o eixo. EI é constante. 
p 
A 
p 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 451 
p 
D B 
Problema 12.80 
12.81. As duas componentes da força agem sobre o pneu 
do automóvel como mostra a figura. O pneu está fixo ao eixo, 
que é suportado pelos mancais em A e B. Determine a de­
flexão máxima do eixo. Considere que os mancais resistem 
somente a cargas verticais. A resistência ao em puxo no eixo 
ocorre em C. O eixo tem diâmetro de 32 mm e é feito de aço 
A-36. Despreze o efeito da carga axial sobre a deflexão. 
SO mm 
Problema 12.81 
12.82. Determine o deslocamento em D e a inclinação em 
C. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais 
sobre o eixo. EI é constante. 
Problema 12.82 
12.83. É possível que um dia as vigas feitas de plástico re­
forçado com fibras substituam as de aço A-36, visto que seu 
peso é 1/4 das de aço e são resistentes à corrosão. Utilizando 
a Tabela no Apêndice B, com cradm = 160 MPa e Tadm � 84 
MPa, selecione a viga de aço de abas largas mais leve que 
suportará com segurança os 25 kN de carga e então calcule 
sua deflexão máxima. Qual seria a deflexão máxima dessa 
viga, se ela fosse feita de plástico reforçado com fibras com 
E = 126 GPa e tivesse o mesmo momento de inércia que o 
p da viga de aço?