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<p>Mecânica dos Sólidos II</p><p>Deflexão em Vigas</p><p>Prof.: Kelvin Barbosa</p><p>E-mail: kelvincristien@ucl.br</p><p>Faculdade do Centro Leste Graduação – www.ucl.br</p><p>Projeto de Vigas</p><p>1. Reações de apoio</p><p>•Equilíbrio</p><p>2. Esforços internos</p><p>•Força cortante V(x)</p><p>•Momento fletor M(x)</p><p>•Diagramas</p><p>3. Tensões</p><p>•Tensão normal (s)</p><p>•Tensão cisalhante (t)</p><p>•Verificação: smax < sadm</p><p>tmax < tadm</p><p>4. Deflexão</p><p>•Deslocamento v(x)</p><p>•Rotação q(x)</p><p>•Verificação: vmax < vadm</p><p>V(x) M(x)</p><p>Inclinação e deslocamentos de vigas</p><p>1. Esforços solicitantes</p><p>• Escolha da seção em que se deseja</p><p>calcular a linha elástica</p><p>• Cálculo do diagrama de momento fletor</p><p>V(x)</p><p>M(x)</p><p>Inclinação e deslocamentos de vigas</p><p>1. Esforços solicitantes</p><p>• Escolha da seção em que se deseja calcular a</p><p>linha elástica</p><p>• Cálculo do diagrama de momento fletor 𝑀</p><p>2. Propriedades</p><p>• Calcular a rigidez 𝐸 𝐼 da seção transversal</p><p>de cada trecho.</p><p>𝐼 =</p><p>𝑏ℎ3</p><p>12</p><p>Inclinação e deslocamentos de vigas</p><p>1. Esforços solicitantes</p><p>• Escolha da seção em que se deseja</p><p>calcular a linha elástica</p><p>• Cálculo do diagrama de momento</p><p>fletor 𝑀</p><p>2. Propriedades</p><p>• Calcular a rigidez 𝐸 𝐼 da seção</p><p>transversal de cada trecho.</p><p>3. Linha Elástica</p><p>• Cálculo da linha elástica por</p><p>integração sucessiva da equação</p><p>diferencial, para cada trecho.</p><p>Deflexões nas Vigas</p><p>As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações,</p><p>curvando seu eixo longitudinal. Quando se projeta uma viga é</p><p>frequentemente necessário calcular as deformações que ocorrerão em</p><p>vários pontos ao longo do eixo. Por exemplo, nas vigas estaticamente</p><p>indeterminadas, o cálculo das deformações é essencial para sua</p><p>resolução.</p><p>Denomina-se flecha, ou deslocamento vertical da viga 𝑣 , o</p><p>deslocamento perpendicular a seu eixo, provocado pela aplicação de uma</p><p>carga. A curva na qual se transforma o eixo da viga, inicialmente reto,</p><p>recebe o nome de linha elástica.</p><p>Deflexões nas Vigas</p><p>As especificações para o cálculo ou dimensionamento das</p><p>vigas, impõem, frequentemente, limites para as flechas, tal</p><p>como ocorre com as tensões.</p><p>Para dedução da equação da linha elástica, considera-se um</p><p>trecho da viga, como ilustrado, com o eixo 𝑦 no sentido</p><p>indicado.</p><p>A Linha Elástica</p><p>Para curva elástica, o momento positivo interno tende a curvar a viga</p><p>com a concavidade para cima, e vice versa.</p><p>Deve haver um ponto de inflexão em 𝐶, onde a curva passa de côncava</p><p>para cima a côncava para baixo, visto que o momento neste ponto é nulo.</p><p>Linha Elástica</p><p>Relação Momento-Curvatura</p><p>Devido a carga, a deformação na viga é provocada pela força cortante</p><p>interna, bem como pelo momento fletor.</p><p>Se o material for homogêneo e comporta-se de uma maneira linear</p><p>elástica, a lei de Hooke é aplicável.</p><p>Linha Elástica</p><p>Diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo</p><p>centróide da seção transversal.</p><p>Convenção de Sinais</p><p>Linha Elástica</p><p>A linha elástica pode ser esboçada a partir do diagrama de</p><p>momento fletor e dos apoios da viga.</p><p>A Curva Elástica</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>=</p><p>𝑀</p><p>𝐸𝐼</p><p>𝜌 – raio de curvatura em um ponto específico</p><p>𝑀 – momento fletor interno na viga no ponto onde 𝜌 deve ser</p><p>determinado</p><p>𝐸 – módulo de elasticidade do material</p><p>𝐼 – momento de inércia calculada em torno do eixo neutro</p><p>𝐸𝐼 – rigidez à flexão</p><p>Relação momento-curvatura</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>= −</p><p>𝜀</p><p>𝑦</p><p>Lei de Hooke</p><p>𝜎 = 𝐸𝜀</p><p>Fórmula da Flexão</p><p>𝜎 = −</p><p>𝑀 𝑦</p><p>𝐼</p><p>Inclinação e deslocamento por integração</p><p>Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao</p><p>longo do comprimento da viga.</p><p>A inclinação e alteração da relação da viga é</p><p>𝐸𝐼</p><p>𝑑4𝑣</p><p>𝑑𝑥4</p><p>= −𝑤 𝑥 𝐸𝐼</p><p>𝑑3𝑣</p><p>𝑑𝑥3</p><p>= 𝑉 𝑥 𝐸𝐼</p><p>𝑑2𝑣</p><p>𝑑𝑥2</p><p>= 𝑀 𝑥 𝐸𝐼</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 𝜃 𝑥</p><p>Cada integração é usada para resolver todas as constante de</p><p>modo a obter uma solução única para o problema particular.</p><p>Fórmula da Linha Elástica</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>=</p><p>𝑀</p><p>𝐸𝐼</p><p>Hipóteses:</p><p>• A maior parte da deformação é provocada pela flexão</p><p>• Os pontos na viga se deslocam apenas verticalmente</p><p>• A inclinação da curva elástica 𝜃 =</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>é muito pequena</p><p>1</p><p>𝜌</p><p>=</p><p>𝑑2𝑣</p><p>𝑑𝑥2</p><p>1 +</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>2 3/2</p><p>=</p><p>𝑑2𝑣</p><p>𝑑𝑥2</p><p>Expressão do cálculo</p><p>elementar que fornece a</p><p>curvatura de uma curva plana</p><p>Fórmula da Linha Elástica</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −𝑤 𝑥</p><p>𝑑𝑀</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 𝑉(𝑥)</p><p>Inclinação e deslocamento por integração</p><p>Condições de Contorno e Continuidade</p><p>• As constantes de integração são determinadas pela avaliação</p><p>das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou</p><p>deslocamento.</p><p>• Esses valores são chamados de condição de contorno.</p><p>Onde ∆ = 𝑣</p><p>Inclinação e deslocamento de vigas</p><p>1. Esforços solicitantes</p><p>• Escolha da seção em que se deseja</p><p>calcular a linha elástica;</p><p>• Cálculo do diagrama de momento fletor</p><p>𝑀 .</p><p>2. Propriedades</p><p>• Calcular a rigidez 𝐸𝐼 da seção</p><p>transversal de cada trecho</p><p>3. Linha elástica</p><p>• Cálculo da linha elástica por integração</p><p>sucessiva da equação diferencial, para</p><p>cada trecho.</p><p>• Resolução das constantes de integração</p><p>por condições de contorno e</p><p>continuidade.</p><p>Onde ∆ = 𝑣</p><p>Condições de Contorno</p><p>Condições de Continuidade</p><p>𝑣𝑒𝑠𝑞 = 𝑣𝑑𝑖𝑟</p><p>𝜃𝑒𝑠𝑞 = 𝜃𝑑𝑖𝑟</p><p>Vigas simplesmente apoiadas</p><p>Seja uma viga bi apoiada com comprimento 𝐿, seção com momento de</p><p>inércia 𝐼 e material com módulo de elasticidade 𝐸, submetido a um</p><p>carregamento uniformemente distribuído 𝑞.</p><p>O momento fletor na seção distante 𝑥 do apoio 𝐴 é: 𝑀 =</p><p>𝑞𝐿𝑥</p><p>2</p><p>−</p><p>𝑞𝑥2</p><p>2</p><p>(1)</p><p>A equação da linhas elástica é: 𝐸𝐼</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑥2</p><p>= −</p><p>𝑞𝐿𝑥</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑞𝑥2</p><p>2</p><p>(2)</p><p>Integrando, obtém-se: 𝐸𝐼</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −</p><p>𝑞𝐿𝑥2</p><p>4</p><p>+</p><p>𝑞𝑥3</p><p>6</p><p>+ 𝐶1 (3)</p><p>Onde 𝐶1 é uma condição de integração.</p><p>Pela simetria, a inclinação da curva elástica no meio do vão é nula.</p><p>Tem-se, então, a condição:</p><p>𝜃 =</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 0, quando 𝑥 =</p><p>𝐿</p><p>2</p><p>(4)</p><p>Aplicando essa condição de contorno na equação (3), tem-se que:</p><p>𝐶1 =</p><p>𝑞𝐿3</p><p>24</p><p>Vigas simplesmente apoiadas</p><p>Substituindo 𝐶1 na equação (3), obtém-se:</p><p>𝐸𝐼</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −</p><p>𝑞𝐿𝑥2</p><p>4</p><p>+</p><p>𝑞𝑥3</p><p>6</p><p>+</p><p>𝑞𝐿3</p><p>24</p><p>Integrando novamente, chega-se a:</p><p>𝐸𝐼 𝑦 = −</p><p>𝑞𝐿𝑥3</p><p>12</p><p>+</p><p>𝑞𝑥4</p><p>24</p><p>+</p><p>𝑞𝐿3𝑥</p><p>24</p><p>+ 𝐶2</p><p>Sabendo que 𝑦 = 0 quando 𝑥 = 0, tem-se que 𝐶2 = 0</p><p>Logo, a expressão da flexão em qualquer seção da viga é:</p><p>𝑦 =</p><p>𝑞 𝑥</p><p>24 𝐸 𝐼</p><p>𝐿3 − 2𝐿𝑥2 + 𝑥3</p><p>A flecha máxima ocorre no meio do vão e é igual a:</p><p>𝑦𝑚á𝑥 =</p><p>5 𝑞 𝐿4</p><p>384 𝐸 𝐼</p><p>A rotação máxima ocorre nas extremidades da viga e é igual a:</p><p>𝜃𝐴 =</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑞 𝐿3</p><p>24 𝐸 𝐼</p><p>Vigas simplesmente apoiadas</p><p>Considerando a viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada 𝑃,</p><p>cuja posição é definida pelas distâncias 𝑎 e 𝑏 das extremidades.</p><p>Existem duas expressões para o momento fletor: uma para a parte à</p><p>esquerda e outra para a parte à direita. Assim, pode-se escrever a equação</p><p>diferencial de 2ª ordem da linhas elástica para cada parte da viga, tal que:</p><p>Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 → 𝐸𝐼</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑥2</p><p>= −</p><p>𝑃𝑏𝑥</p><p>𝐿</p><p>Para 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝐿 → 𝐸𝐼</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑥2</p><p>= −</p><p>𝑃𝑏𝑥</p><p>𝐿</p><p>+ 𝑃 𝑥 − 𝑎</p><p>Integrando duas vezes as expressões, os resultados incluirão quatro</p><p>constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de</p><p>contorno:</p><p>a) Em 𝑥 = 𝑎, as inclinações das duas partes da viga são iguais</p><p>b) Em 𝑥 = 𝑎, as flechas das duas partes são iguais</p><p>c) Em 𝑥 = 0, a flecha é nula</p><p>d) Em 𝑥 = 𝐿, a flecha é nula</p><p>Vigas simplesmente apoiadas</p><p>As expressões da linha elástica para as partes da viga à esquerda e à direita da carga 𝑃 são:</p><p>Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 Para 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝐿</p><p>As rotações nas extremidades da viga são: 𝜃𝐴 =</p><p>𝑃 𝑏</p><p>6 𝐿 𝐸 𝐼</p><p>𝐿2 − 𝑏2 =</p><p>𝑃 𝑎 𝑏 (𝐿+𝑏)</p><p>6 𝐿 𝐸 𝐼</p><p>e 𝜃𝐵 =</p><p>𝑃 𝑎 𝑏 (𝐿+𝑎)</p><p>6 𝐿 𝐸 𝐼</p><p>A flecha máxima é: 𝑦𝑚á𝑥 =</p><p>𝑃 𝑏 𝐿2−𝑏2</p><p>3/2</p><p>9 3 𝐿 𝐸 𝐼</p><p>𝐸𝐼 𝑦 =</p><p>𝑃 𝑏 𝑥</p><p>6 𝐿</p><p>𝐿2 − 𝑏2 − 𝑥2 𝐸𝐼 𝑦 =</p><p>𝑃 𝑏</p><p>6 𝐿</p><p>𝐿2 − 𝑏2 − 3𝑥3 +</p><p>𝑃 𝑥 − 𝑎 2</p><p>2</p><p>Vigas simplesmente apoiadas</p><p>A simetria de uma viga bi apoiada com carga concentrada no meio do vão permite evitar que se</p><p>enfrente a dificuldade de se ter duas equações para 𝑀(𝑥). Assim, pode-se escrever a equação</p><p>diferencial de 2ª ordem da linha elástica para cada parte da viga, tal que: 𝐸𝐼</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑥2</p><p>= −</p><p>𝑃𝑥</p><p>2</p><p>Integrando, obtém-se: 𝐸𝐼</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −</p><p>𝑃𝑥2</p><p>4</p><p>+ 𝐶1</p><p>Levando-se em conta que em 𝑥 =</p><p>𝐿</p><p>2</p><p>a rotação é nula: 𝐶1 =</p><p>𝑃𝐿2</p><p>16</p><p>Integrando novamente a expressão, obtém-se: 𝐸𝐼 𝑦 = −</p><p>𝑃𝑥3</p><p>12</p><p>+</p><p>𝑃𝐿2𝑥</p><p>16</p><p>+ 𝐶2</p><p>Como a flecha é nula em 𝑥 = 0, a constante 𝐶2 é nula. As equações que definem a rotação e a</p><p>flecha numa seção distante 𝑥 da extremidade da viga são:</p><p>𝜃 = −</p><p>𝑃 𝑥2</p><p>4 𝐸 𝐼</p><p>+</p><p>𝑃 𝐿2</p><p>16 𝐸 𝐼</p><p>e 𝑦 = −</p><p>𝑃 𝑥3</p><p>12 𝐸 𝐼</p><p>+</p><p>𝑃 𝐿2 𝑥</p><p>16 𝐸 𝐼</p><p>A rotação no apoio e a flecha máxima no meio do vão são:</p><p>𝜃 =</p><p>𝑃 𝐿2</p><p>16 𝐸 𝐼</p><p>e 𝑦𝑚á𝑥 =</p><p>𝑃 𝐿3</p><p>48 𝐸 𝐼</p><p>Vigas em balanço</p><p>A figura mostra uma viga em balanço com carregamento uniforme de intensidade 𝑞</p><p>A equação diferencial de 2ª ordem da linha elástica, ou seja, do momento, é: 𝐸𝐼</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑥2</p><p>=</p><p>𝑞 𝐿−𝑥 2</p><p>2</p><p>A primeira integração desta equação fornece: 𝐸𝐼</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −</p><p>𝑞 𝐿−𝑥 3</p><p>6</p><p>+ 𝐶1</p><p>No apoio 𝐴 (engaste), a rotação da viga é nula, então: 𝐶1 =</p><p>𝑞𝐿3</p><p>6</p><p>A expressão da rotação em uma seção distante 𝑥 do apoio é:</p><p>𝜃 =</p><p>𝑞 𝑥</p><p>6 𝐸 𝐼</p><p>3 𝐿2 − 3 𝐿 𝑥 + 𝑥2</p><p>Integrando novamente a expressão anterior, obtém-se:</p><p>𝑦 =</p><p>𝑞 𝑥2</p><p>24 𝐸 𝐼</p><p>6 𝐿2 − 4 𝐿 𝑥 + 𝑥2 + 𝐶2</p><p>Como a flecha no apoio é nula, então 𝐶2 = 0, logo: 𝑦 =</p><p>𝑞 𝑥2</p><p>24 𝐸 𝐼</p><p>6 𝐿2 − 4 𝐿 𝑥 + 𝑥2</p><p>O ângulo de rotação e a flecha na extremidade livre da viga são:</p><p>𝜃 =</p><p>𝑞 𝐿3</p><p>6 𝐸 𝐼</p><p>e 𝑦 =</p><p>𝑞 𝐿4</p><p>8 𝐸 𝐼</p><p>Função de descontinuidades</p><p>Quando expressada a carga ou momento interno da viga,</p><p>precisamos utilizar funções de descontinuidades.</p><p>𝑥 − 𝑎 𝑛 = ቊ</p><p>0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑎</p><p>𝑥 − 𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 𝑎</p><p>1) Função de Macaulay</p><p>• 𝑥 é o ponto ao longo da viga e 𝑎 é o local na viga onde ocorre a</p><p>“descontinuidade”.</p><p>• Equação geral pode ser utilizada para carga distribuídas.</p><p>Condição de Existência</p><p>𝑥 > 𝑎</p><p>𝑛 ≥ 0</p><p>Função de descontinuidades</p><p>As funções de Macaulay abaixo descrevem ambas a carga</p><p>uniforme e a carga triangular.</p><p>Exemplos</p><p>Ex.1: Obter a inclinação em 𝐴 e a deflexão em 𝐶</p><p>Exemplos</p><p>Ex.2: Determine as equações da inclinação e da deflexão</p><p>Exemplos</p><p>Ex.3: Determine a equação da linha elástica para a viga em</p><p>balanço mostrada na figura. Considere 𝐸𝐼 constante.</p>