Hipérboles - resumo e resolução de exercícios - Alfredo Steinbruch

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Geometria Analítica
Lista de Exercícios – Cônicas (Hipérboles)
27 de Agosto de 2016
1 Cônicas(Hipérboles)
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja a diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois
pontos fixos desse plano é constante.
F1 F2
P
1.1 Hibérbole – Definição
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
ou ∣∣∣|−−ÏPF1| − |−−ÏPF2|∣∣∣ = 2a
Um ponto P só está na hipérbole, se e somente se:d(P, F1)− d(P, F2) = ±2a
d(F1, F2) = 2c
2a < 2c
1.2 Hibérbole – Simetria
A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C.
P1
F1 F2A1 A2
P4
P3
P2
C
2c
2a
Se P1 é um ponto da hipérbole, existem os P2, P3 e P4 tais que: P2 é o
simétrico de P1 em relação à reta horizontal, P3 é o simétrico de P1 em
relação à reta vertical, P4 é o simétrico de P1 em relação ao ponto C.d(A1, F1) = d(A2, F2)d(A1, A2) = 2a
1.3 Elementos
Focos: são os pontos F1 e F2. Distância focal: é a distância 2c entre os focosF1F2 Vértices: são os pontos A1 e A2. Eixo real ou transitivo: é o segmentoA1A2 de comprimento 2a. Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2
de comprimento 2b.
A1 A2F1 F2C
2c
B1
b
a
c
B2
O valor de b é definido através da relação:c2 = a2 + b2
onde a, b e c são as medidas dos lados doo triângulo retângulo B2CA2
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1.4 Assíntotas Geometria Analítica
1.4 Assíntotas
As retas r e s, que contém as diagonais de referido retângulo, chamam-se assíntotas da hipérbole. O ângulo θ é
chamado abertura da hipérbole. chama-se excentricidade da hipérbole ao número e dado por:e = ca
mas c>a:.e>1.
1.5 Equação da Hipérbole de Centro na Origem do sistema
1ºcaso: O eixo real está sobre o eixo dos x
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole de focos F1(−c,O) e F2(c,O). por definição, tem-se:|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
ou, em coordenadas:|√(x + c)2 + (y − 0)2 −√(x − c)2 + (y − 0)2| = 2a
x
y
F1 F2A1 A2
P(x, y)
ca
√(x − c)2 + y2 −√(x + c)2 + y2= 2a√(x − c)2 + y2= 2a +√(x + c)2 + y2x2 + 2cx + c2 + y2= 4a2 + 4a√(x + c)2 + y2 + x2 + 2cx + c2 + y24a√(x + c)2 + y2= 4a2 + 4cx√(x + c)2 + y2= a + caxx2 − 2cx + c2 + y2= a2 + 2cx + c2a2x2x2 ( c2a2 − 1)− y2= c2 − a2(c2 − a2)x2 − a2y2= a2(c2 − a2)x2a2 − y2c2−a2 = 1
por causa da relação estabelecida entre a,b e c a expressão b2 = c2 − a2 é válida nos permitindo escrever desta
forma:x2a2 − y2b2 = 1
a equação destacada é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x. Pode-se
perceber que ela é semelhante a equação da elipse porém, enquanto ela é fruto da soma das distâncias, a equação da
hipérbole parte da diferença.
2ºcaso: o eixo real está sobre o eixo dos y
a equação reduzida desse caso se difere apenas pela troca de posição de variáveis:x2a2 − y2b2 = 1
1.6 Equação da hipérbole de Centro fora da Origem do Sistema
Se o centro de uma hipérbole estiver em (h,k) e seu eixo principal for paralelo ao eixo x, então se os eixos forem
transladados de forma que o ponto (h,k) seja a nova origem, a equação da hipérbole em relação ao novo sistema de
coordenadas será x′2a2 − y ′2b2 = 1. Substituindo x′ por x − h e y ′ por y − k essa equação torna-se:(x−h)2a2 − (y−k)2b2 = 1
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x
y
F1
B
A1
D ca
Da mesma forma, a equação da hipérbole com centro em (h,k) e o eixo real paralelo ao eixo dos y é:(y−k)2a2 − (x−h)2b2 = 1
x
y
A BC D
x
y
A
B
C
D
2 Exercícios
Em cada um dos problemas de 1 a 10, determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas.
esboçar o gráfico
1 x2100 − y264 = 1c2 = a2 + b2c2 = 100 + 64c2 = 164c = √164c = 2√41
V (±10, 0) F (±2√41, 0, ) e = √415 −10. 10.
x
−10.
y
0
e
AB CD E
2 y2100 − x264 = 1c2 = a2 + b2c2 = 100 + 64c2 = 164c = √164c = √41
V (0,±10) F (0,±2√41) e = √415 −10. x
−10.
10. y
0A
B
C
D
E
3 9x2 − 16y2 = 144
9x2144 − 16y2144 = 1x216 − y29 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 16 + 9c2 = 25c = √25c = 5
V (±4, 0) F (±5, 0) e = 54 −10. −5. 5. x
−10.
−5.
5.
10. y
0AB CD E
4 4x2 − 5y2 + 20 = 0
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4x220 − 5y220 = −1 (−1)y24 − x25 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 5 + 4c2 = 9c = √9c = 3
V (0,±2) F (0,±3) e = 32 −10. −5. 5. x
−10.
−5.
5.
10. y
0
5 x2 − 2y2 − 8 = 0
x28 − 2y28 = 1x28 − y24 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 8 + 4c2 = 12c = √12c = 2√3
V (±2√2, 0) F (±2√3, 0) e = 2√32√2 =
√62 −10. −5. 5. x
−10.
−5.
5.
10. y
0
6 3x2 − y2 + 3 = 0
3x23 − y23 = −1 (−1)y23 − x21 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 3 + 1c2 = 4c = √4c = 2
V (0,±√3) F (0,±2) e = 2√33 −10. −5. 5.x
−10.
−5.
5.
10. y
0
7 x2 − y2 = 1
x21 − y21 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 1 + 1c2 = 2c = √2
V (1, 0) F (±√2, 0) e = √2 −3. −2. −1. 1. 2. x
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4. y
0
8 x2 − y2 = 2
x22 − y22 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 2 + 2c2 = 4c = √4c = 2
V (√2, 0) F (±2, 0) e = √2 −3. −2. −1. 1. 2. x
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4. y
0
9 y2 − 4x2 = 1
y21 − x214 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 1 + 14c2 = 54c =√ 54c = √52
V (0, 1) F (0,±√52 , ) e = √52 −1.5−1.−0.5 0.5 1. x
−1.5
−0.75
0.75
1.5 y
0
10 2y2 − 4x2 = 1
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y212 − x214 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 12 + 14c =√ 34c = √32
V (0,±√22 ) F (0,±√32 ) e = √32√22 =
√62 −1.5−1.−0.5 0.5 1. x
−1.5
−0.75
0.75
1.5
y
0
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação de hipérbole que satisfaz as condições dadas.
11 focos F(±5,0), vértices A(± 3,0)c2 = a2 + b252 = 32 + b225− 9 = b216 = b2
x29 − y216 = 1
16x2 − 9y2 = 144
12 focos (0,±3), vértices A(0,±2)c2 = a2 + b232 = 22 + b29− 4 = b25 = b2
y24 − x25 = 15y2 − 4x2 = 20 (−1) 4x2 − 5y2 + 20 = 0
13 vértices A(±4, 0), passando por P(8, 2)a = 4x2a2 − y2b2 = 1 (∗)8242 − 22b2 = 16416 − 4b2
4− 4b2 = 14b2 = 3b2 = 43
x216 − 3y24 = 1x2−12y216 = 1
x2 − 12y2 − 16 = 0
14 centro C(0,0),eixo sobre Oy, e b=8 e excentricidade 53b = 8 e e = ca = 53 (∗)c2 = a2 + b2 (∗∗)53 = 106 = ca = e
y2a2 − x2b2 = 1y262 − x282 = 1y236 − x264 = 1
y2
1636 − x2964 = 1 (−1)
9x2 + 16y2 + 576 = 0
15 focos F(0,± 5), comprimento do eixo imaginário 4c2 = a2 + b2 (∗)52 = a2 + 2225− 4 = a2a2 = 21
y2a2 − x2b2 = 1y221 − x24 = 1 21x2 − 4y2 + 84 = 0
16 vértices A(±3, 0), equações das assíntotas y=±2xba = 2 a = 3b3 = 2b = 3 · 2b = 6
x29 − y236 = 1
17 vértices em (5,-2) e (3,-2), e um foco em (7,-2)C = ( 5+32 , −2+(−2)2 )= (4,−2)d(CF ) = (7− 4,−2− (−2)) = (3, 0)= |√32 + 02| = 3 = cd(CA1) = (5− 4,−2− (−2)) = (1, 0)= |√12 + 02| = 1 = a
c2 = a2 + b2 (∗)9 = 1 + b28 = b2
(x−4)21 − (y+2)28 = 18(x − 4)2 − (y + 2)2 = 88(x2 − 8x + 16)− (y2 + 4y + 4)− 8 = 08x2 − y2 − 8x − 4y + 128 − 4− 8 = 0
8x2 − y2 − 64x − 4y + 116
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18 vértices em (5,5) e (5,-1), excentricidade e=2C = ( 5+52 , 5+(−1)2 ) = (5, 2)d(CA) = (5− 5, 5− 2) = | �.√3�2| = 3ca = e = 2 = 6362 = 32 + b236− 9 = b227 = b2
(y−2)29 − (x−5)227 = 13(y2−4y+4)−(x2−10x+25)27 = 03y2 − 12y + 12− x2 + 10x − 25− 27 = 0 (−1)
x2 − 3y2 − 10x + 12y + 40 = 0
19 centro C(5,1), um foco em (9,1), eixo imaginário mede 4
√2d(CF ) = | �.√4�2| = 42b = 4√2b = 4√22b = 2√2
c2 = a2 + b216 = 8 + a216− 8 = a28 = a2
(x−5)28 − (y−1)28 = 1(x2 − 10x + 25)− (y2 − 2y + 1)− 8 = 0
x2 − y2 − 10x + 2y + 16 = 0
20 focos F1(-1,-5) e F2(5,-5), hipérbole equiláteraC = ( 5+(−1)2 , −5+(−5)2 ) = (2,−5)d(CF2) = F2 −C = (3, 0) = | �.√3�2| = 3 = cc2 = a2 + b2 (a = b→ a2 = b2)9 = 2a292 = a2
(x−2)292 − (y+5)292 = 12(x−2)29 − 2(y+5)29 = 12(x2 − 4x + 4)− 2(y2 + 10y + 25) = 9
2x2 − 2y2 − 8x − 20y + 51 = 0
21 vértices A1(-3, -4) e A2(-3, 4), hipérbole equilátera
C = (−3+(−3)2 , −4+42 ) = (−3, 0)(a = b→ a2 = b2)
y2a2 − (x+3)2b2 = 1y2−x2−6x−942 = 1y2 − x2 − 6x − 9 = 16y2 − x2 − 6x − 9− 16 = 0
x2 − y2 + 6x + 25 = 0
22 centro C(2, -3), eixo real paralelo a Oy, passando por (3, -1) e (-1, 0)(y+3)2a2 − (x−2)2b2= 1(−1+3)2a2 − (3−2)2b2 = 14a2 − 1b2 = 14b2a2b2 − a2a2b2 = 14b2 − a2= a2b2 (I)
(y+3)2a2 − (x−2)2b2 = 1(0+3)2a2 − (−1−2)2b2 = 19a2 − 9b2 = 19b2a2b2 − 9a2a2b2 = 19b2 − 9a2= a2b2 (II)
(I)= (II)4b2 − a2= 9b2 − 9a25b2= 8a2b2= 8a25 (III)
retomando(I)32a25 − a2= 8a45 (5)32a2 − 5a2= 8a427a2= 8a4a2= 278
retomando(III)b2= �85 · 27�8b2= 275
8(y+3)2−5(x−2)227 = 18(y + 3)2 − 5(x − 2)2= 278(y2 + 6y + 9)− 5(x2 − 4x + 4)= 278y2 + 48y + 72− 5x2 + 20x − 20− 27= 0
5x2 − 8y2 − 20x − 48y − 25 = 0
23 centro C(-2,1), eixo real paralelo a Ox, passando por (0, 2) e (-5, 6)
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(x+2)2a2 − (y−1)2b2 = 1(0+2)2a2 − (y−1)2b2 = 14a2 − 1b2 = 1(4b2−a2)a2b2 = 14b2 − a2= a2b2 (I)
(−5+2)2a2 − (6−1)2b2 = 19a2 − 25b2 = 19b2−25a2a2b2 = 19b2 − 25a2= a2b2 (II)
4b2 − a2= 9b2 − 25a29b2 − 4b2= 25a2 − a2b2= 24a25
4 · 24a25 − a2= 24a45
��a2 ( 965 − 1)=��a2 24a2524a2
�5 = 91�5a2= 9124
4b2 − 9124= 91b224b2 (4− 91�24)= 91�24b2= 915
24(x+2)2−25(y−1)291 = 124(x2+4x+4)2−5(y2−2y+1)291 = 124x2 − 5y2 + 96x + 10y + (96− 5− 91)= 0
24x2 − 5y2 + 96x + 10y = 0
24 focos em(3, 4) e (3, -2), excentricidade e = 2C= ( 3+32 , (4+(−2))2 )= ( 62 , 22 ) = (3, 1)d(CF )= F −C = (3− 3, 4− 1)= (0, 3) = | �.√3�2| = 3e= 2 = ca2= 3aa= 32
(y−1)2a2 − (x−3)2b2 = 1
4(y2−2y+1)9 − 4(x2−6x+9)27 = 112y2−24y+12−4x2+24x−3627 = 112y2 − 24y + 12− 4x2 + 24x − 36= 27
12y2 − 4x2 − 24y + 24x − 51 = 0
Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles
dadas. esboçar o gráfico.
25 9x2 − 4y2 − 18x − 16y − 43 = 0
9x2 − 18x − 4y2 − 16y= 439(x2 − 2x + 1)− 4(y2 + 4y + 4)= 43 + 9− 169(x−1)236 − 4(y+2)236 = 3636(x−1)24 − (y+2)29 = 1
C= (1,−1)V= (−1,−2) , (3,−2)F= (1±√13,−2)e= √132
−3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.
x
−4.
−3.
−2.
−1. y0
26 x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0x2 + 6x − 4y2 + 24y= 31(x2 + 6x + 9)− 4(y2 − 6y + 9)= 31 + 9− 36(x+3)24 − 4(y−3)24 = 44(x+3)24 − (y−3)21 = 1
C= (−3, 3)V= (−5, 3) , (−1, 3)F= (−3±√5, 3)e= √52 2
3
y
27 9x2 − 4y2 − 54x + 8y + 113 = 0
9x2 − 54x − 4y2 + 8y= −1139(x2 − 6x + 9)− 4(y2 − 2y + 1)= −113 + 81− 44(y−1)236 − 9(x−3)236 = 3636(y−1)29 − (x−3)24 = 1
C= (3, 1)V= (3,−2) , (−1, 3) , (3, 4)F= (3, 1±√13)e= √132 1. 2. 3. 4. 5.
x
28 4x2 − y2 − 32x + 4y + 24 = 0
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4x2 − 32x − y2 + 4y= −244(x2 − 8x + 16)− (y2 − 4y + 4)= −24 + 64− 4(x−4)29 − (y−2)236 = 1
C= (4, 2)V= (1, 2) , (−1, 2)F= (4± 3√5, 2)e= √5 −2. 2. 4. 6. 8. 10. x
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
5. y
0
29 9x2 − y2 + 36x + 6y + 63 = 0
9(x2 + 6x + 4)− (y2 − 6y + 9)= −63 + 36− 9(y−3)236 − (x+2)24 = 1
C= (−2, 3)V= (−2,−3) , (−2, 9)F= (−2, 3± 2√10)e= √103 −4.−3.−2.−1. x
−3.
3.
6.
9. y
0
30 16x2 − 9y2 − 64x − 18y + 199 = 0
16(x2 − 4x + 4)− 9(y2 + 2y + 1)= −199 + 64− 9(y+1)216 − (x−2)29 = 1
C= (2,−1)V= (2,−5) , (2, 3)F= (2,−6) , (2, 4)e= 54
−2.−1. 1. 2. 3. 4. 5.
x
−7.−6.
−5.−4.
−3.−2.
−1.
1.2.
3.4.
y
0
31 Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar
graficamente as equações
a) x2 + 4y2 − 4x − 24y + 36 = 0
R.
(x2 − 4x) + (4y2 − 24y) = −36(x2 − 4x + 4) + 4(y2 − 6y + 9) =���−36 + 4 +��4(9)(x−2)24 + 4(y−3)24 = 44(x−2)24 + (y−3)21 = 1
a2 = c2 + b24 = 1 + c23 = c2c = ±√3
a forma que a expressão apresenta caracteriza elipse
cujo os elementos são:
Centro: (2,3) Foco: F1(2−√3, 3) e F2(2 +√3, 3), eixo maior 4 e eixo menor 2. 2. 4.
2.
4.
0
cX = 2
cY = 3
Centro
a = 2
b = 1 F1 F2
b) x2 − y2 − 8x − 4y + 11 = 0
R.
(x2 − 8x)− (y2 + 4y) = −11(x2 − 8x + 16)− (y2 + 4y + 4) = −11 + 16− 4(x−4)21 − (y+2)21 = 1x′2 − y ′2 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 1 + 1c = ±√2
a forma que a expressão apresenta caracteriza hipérbole
cujo os elementos são:
Centro: (4,-2) Foco: F1(4−√2,−2) e F2(4+√2,−2), eixo real 2 e eixo imaginário
2.
2. 4. 6. x
−6.
−4.
−2.
2. y
0 CentroF1 F2
c) y2 − 8x + 6y + 17 = 0
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R.
(y2 + 6) = 8x − 17(y2 + 6 + 9) = 8x − 17 + 9(y + 3)2 = 8x�����:−8−17 + 9
���
��:y ′2(y − h)2 = 2p����:x′(x − h)y ′2 = 8x′
(y − k)2 = 2p(x − h) = 0 (∗)(y2 + 6) = 8x − 17(y + 3)2 = 8(x − 1);p = 4;k = −3;h = 1;
a forma que a expressão apresenta caracteriza parábola
cujo os elementos são:
p=4, diretriz: x=-1, F(3,-3),V(1,-3)
1. 2. 3. 4. 5. 6. x
−6.
−4.
−2.
y0
cX = 3
cY = −3
FV
d) 3x2 + 2y2 − 12x + 8y + 19 = 0
R.
(x2 − 12x) + (y2 + 8y) = −193(x2 − 4x + 4) + 2(y2 + 4y + 4) = −19 + 3(4) + 2(4)3(x − 2)2 + 2(y + 2)2 = 13x′2 + 2y ′2 = 1
a2 = c2 + b212 = 13 + c212 − 13 = c23−26 = c2c = ±√16 = ±
√66
a forma que a expressão apresenta caracteriza elipse
cujo os elementos são:
Centro: (2,-2) Foco: F (2,−2± √66 ), eixo maior √2 e eixo menor 2√33 .
2.
x
−2.
y
0
CF1
F2
e) x2 + 2x + 8y − 15 = 0
R.
(x2 + 2x) + 8y = 15(x2 + 2x + 1) = −8y + 15 + 1(x2 + 2x + 1) = −8y + 16
���
��:x′2(x + 1)2 = −8����:y ′(y − 2)
(x − h)2 = 2p(y − k) = 0 (∗)(x2 + 2x) = −8y + 16(x + 1)2 = −8(y − 2);p = −4;k = 2;h = −1;
a forma que a expressão apresenta caracteriza parábola
cujo os elementos são:
p=-4, diretriz: y=4, F(-1,0),V(-1,2)
−4.−2. 2. x−2.
2.4.
6. y
0
EF
f) 9x2 − 4y2 − 54x + 45 = 0
R. mudar a equação para forma:(x−h)2a2 − (y−k)2b2 = 1
Assim:
(9x2 − 54x)− (4y2 − 0y) = −459(x2 − 6x)− 4(y2 − 0y) = −459(x2 − 6x + 9)− 4(y2) = −45 + 9(9)9(x − 3)2 − 4y2 = 36
pelas formulas de translaçãox′ = x − 3y ′ = y9x′236 − 4y ′236 = 3636x′24 − y ′29 = 1
a forma que a expressão apresenta caracteriza hipérbole
cujo os elementos são:
Centro: (3,0) Foco: F1(3−√13, 0) e F2(3 +√13, 0), eixo real 2 e eixo imaginário
3.
−1 1 2 3 4 5 6 x
−3.−2.
−1.
1.2.
3.4.
5. y
0
A BF
g) 9y2 − 25x2 − 90y − 50x = 25
Lista № 4 Página 9 / 10
Geometria Analítica
R.
9(y2 − 10y)− 25(x2 + 2x) = 259(y2 − 10y + 25)− 25(x2 + 2x) =��25 + 9(25)����−25(1)9(y − 5)2 − 25(x + 1) = 225
9(y−5)2225 − 25(x+1)2225 =���1225225(y−5)225 − (x+1)29 = 1x′2 − y ′2 = 1
c2 = a2 + b2c2 = 1 + 1c = ±√2
a forma que a expressão apresenta caracteriza hipérbole
cujo os elementos são:
Centro: (-1,5) Foco: F (−1, 5 ± √34), V (−1, 5 ± 5), eixo real 10 e eixo imaginário
18.
−4. x−4.
4.
8.
12. y
0A
B
V1
V2
Lista № 4 Página 10 / 10
	Cônicas(Hipérboles)
	Hibérbole – Definição
	Hibérbole – Simetria
	Elementos
	Assíntotas
	Equação da Hipérbole de Centro na Origem do sistema
	Equação da hipérbole de Centro fora da Origem do Sistema
	Exercícios