GEOMETRIA_ANALITICA_-_CONICAS

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ANALÍTICA - CÔNICAS 
Prof. Wellington Nishio 
Geometria Analítica - Cônicas 
 
Parábolas 
Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é 
denominada Parábola de foco F e diretriz d o lugar 
geométrico dos pontos P tais que a distância de P a d 
é igual à distância de P à F. 
Dizemos que o ponto da parábola mais próximo da 
diretriz d é chamado de vértice da parábola. 
A distância do foco da parábola à diretriz da mesma é 
chamada de parâmetro da parábola e denotaremos por 
p. 
 
Elementos da parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação canônica 
A equação reduzida da parábola cujo vértice é o 
ponto(x0, y0) e a diretriz é uma reta paralela ao eixo das 
ordenadas é dada pela expressão: 
(𝒚 − 𝒚𝟎)
𝟐 = 𝟐𝒑(𝒙 − 𝒙𝟎) 
 
A equação reduzida da parábola cujo vértice é o ponto 
(x0, y0) e a diretriz é uma reta paralela ao eixo das 
abscissas é dada pela expressão: 
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟐 = 𝟐𝒑(𝒚 − 𝒚𝟎) 
 
Elipse 
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que 
a distância entre estes pontos seja igual a 2c > 0, 
denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das 
distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos 
fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a, onde a > 
c. 
Assim é que temos por definição: PF1 + PF2 = 2a. 
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distância 
F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse. 
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da 
elipse. Como, por definição, a > c, podemos afirmar 
que a excentricidade de uma elipse é um número 
positivo menor que a unidade. 
 
Elementos da Elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação reduzida da elipse 
(𝒙 − 𝒙𝒄)
𝟐
𝒂𝟐
+
(𝒚 − 𝒚𝒄)
𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
(𝒙 − 𝒙𝒄)
𝟐
(𝒔𝒆𝒎𝒊 − 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍)𝟐
+
(𝒚 − 𝒚𝒄)
𝟐
(𝒔𝒆𝒎𝒊 − 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍)𝟐
= 𝟏 
 
Observação: 
Se a > b, então a elipse está mais “esticada” no sentido 
horizontal. 
Se a < b, então a elipse está mais “esticada” no sentido 
vertical. 
 
Hipérbole 
Dados os pontos no plano, F e F´ com FF´ = 2c e um 
comprimento 2a < 2c, é denominada Hipérbole de 
focos F e F´ com eixo transverso (ou eixo real) 2a o 
Lugar Geométrico dos pontos P tais que |PF-PF´| = 2a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
F: foco 
d: diretriz 
V: vértice 
e: eixo de simetria 
AA’: corda focal mínima(latus rectum) 
p: parâmetro(distância entre o foco e a reta diretriz) 
A distância entre o foco e o vértice e entre o vértice e 
a reta diretriz são iguais e valem 
𝑝
2
. 
A excentricidade da parábola é sempre 1. 
1) o eixo A
1
A
2
 é denominado eixo maior da elipse. 
2) o eixo B
1
B
2
 é denominado eixo menor da elipse. 
3) é válido que: a2 – b2 = c2, onde c é a abcissa de um 
dos focos da elipse. 
4) como a excentricidade e da elipse é dada por 𝐞 =
𝒄
𝒂
, 
no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma 
elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula. 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
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Elementos da Hipérbole 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação canônica 
A equação na forma canônica de uma hipérbole 
centrada no ponto (x0, y0), e focos no eixo x é: 
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟐
𝒂𝟐
 − 
(𝒚 − 𝒚𝟎)
𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 Podemos representar hipérboles com focos no eixo y. 
A equação na forma canônica da hipérbole nessa 
situação é: 
(𝒚 − 𝒚𝟎)
𝟐
𝒂𝟐
 − 
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
Assíntotas da Hipérbole 
Assíntotas são retas que jamais tocarão o gráfico da 
função. 
As equações das assíntotas da hipérbole são definidas 
pelas retas que passam pelos pontos (a, b) e centro da 
hipérbole e (-a, b) e centro da hipérbole 
 
Observação: Hipérbole Equilátera 
Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a toda 
hipérbole cujos semi-eixos de medidas a e b são iguais. 
Assim, fazendo a = b na equação canônica, obteremos: 
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟐
𝒂𝟐
 − 
(𝒚 − 𝒚𝟎)
𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏 
(𝒚 − 𝒚𝟎)
𝟐
𝒂𝟐
 − 
(𝒙 − 𝒙𝟎)
𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (AFA) Se A(10,0) e B(-5,y) são pontos de uma 
elipse cujos focos são F1(-8,0) e F2 (8,0), então o 
perímetro do triângulo BF1F2 mede: 
a) 24 b) 26 c) 36 d) 38 
 
2. (AFA) O valor da excentricidade da cônica 
( ) ( )
2 2
x 5 y 2
1
4 9
− −
− = é: 
a) 2 b) 
13
2
 c) 
5
2
 d) 3 
 
3. (AFA) A equação reduzida da cônica, representada 
no gráfico abaixo, é: 
a) 
( ) ( )
2 2
x 4 y 3
1
9 16
− −
+ = 
b) 
( ) ( )
2 2
x 5 y 1
1
9 16
− +
+ = 
c) 
( ) ( )
2 2
x 1 y 5
1
16 9
+ −
+ = 
d) 
( ) ( )
2 2
x 1 y 5
1
9 16
+ −
+ = 
 
4. (AFA) A área do polígono que tem como vértices os 
extremos dos eixos maior e menor da elipse 
4x2 + y2 – 24x – 6y + 41 = 0 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
5. (AFA) Se P(1, y) pertencente ao primeiro quadrante, 
é o único ponto de intersecção da curva α: 
x2 + y2 + 2x – 2y – 6 = 0 com a reta r, então a equação 
reduzida de r é: 
a) y = – x b) y = – x + 4 
c) y = – 2x + 7 d) y = – 2x + 1 
 
6. (AFA) A equação reduzida da hipérbole, cujos focos 
são os extremos do eixo menor da elipse de equação 
16x2 +25y2 = 625, e cuja excentricidade é igual ao 
inverso da excentricidade da elipse dada, é 
a) 16y2 – 9x2 = 144 b) 9y2 – 16x2 = 144 
c) 9x2 – 16y2 = 144 d) 16x2 – 9y2 = 144 
 
7. (EN) Determine a excentricidade da elipse de 
equação 4x2+ 9y2 = 2 
a) 
5
3
 b) 
5
4
 c) 
5
6
 d) 
5
9
 e) 
5
18
 
 
8. (AFA) Sobre o triângulo PF1F2 onde P(2, 2) e F1 e F2 
são focos da elipse 
2 2
x y
1
9 25
+ = , é correto afirmar que 
a) é isósceles. 
b) é obtusângulo. 
c) tem área igual a 16 
d) tem perímetro igual a 2 8 
 
 
 
 
A excentricidade é definida pela razão 𝒆 = 
𝒄
𝒂
. 
a é o semi-eixo transverso (ou real) da hipérbole. 
b é o semi-eixo não-transverso (ou imaginário) 
da hipérbole. 
c é a semi-distância focal. 
Do triângulo retângulo da figura, temos a relação 
fundamental: c2 = a2 – b2 
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9. (AFA) Suponha um terreno retangular com medidas 
de 18m de largura por 30m de comprimento, como na 
figura abaixo: 
 
Um jardineiro deseja construir nesse terreno um jardim 
elíptico que tenha os dois eixos com o maior 
comprimento possível. Ele escolhe dois pontos fixos P 
e Q, onde fixará a corda que vai auxiliar o traçado. 
Nesse jardim, o jardineiro pretende deixar para o plantio 
de rosas uma região limitada por uma hipérbole que 
possui: 
• eixo real com extremidades em P e Q; 
• excentricidade 
4
5
e = 
Considerando o ponto A coincidente com a origem do 
plano cartesiano e a elipse tangente aos eixos 
coordenados, no primeiro quadrante, julgue as 
afirmativas abaixo. 
(01) O centro da elipse estará a uma distância de 
m343 do ponto A 
(02) Para fazer o traçado da elipse o jardineiro precisará 
de menos de 24 m de corda. 
(04) O número que representa a medida do eixo real da 
hipérbole, em metros, é múltiplo de 5. 
(08) Um dos focos dessa hipérbole estará sobre um dos 
eixos coordenados. 
A soma dos itens verdadeiros pertence ao intervalo 
a) [7, 11[ b) [5, 7[ c) [1, 5[ d)[11, 15] 
 
10. (AFA) Considere as curvas, dadas pelas equações 
(I) 16x2 + 4y2 + 128x - 24y + 228 = 0 
(II) y = 7 - | x | 
(III) y2 - 6y - x + 5 = 0 
Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em 
VERDADEIRA ou FALSA 
 
(01) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de 
(II) por duas retas e de (III) por uma parábola. 
(02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o 
vértice de (III). 
(04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um 
número menor que -1 
(08) A excentricidade de (I) é igual a cos
6

 
A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo 
a) [1, 3] b) [4, 7] c) [8, 11] d)[12, 15] 
 
11. (AFA) Sobre a circunferência de menor raio 
possível que circunscreve a elipse de equação 
x2 + 9y2 - 8x - 54y + 88 = 0 é correto afirmar que 
a)tem raio igual a 1. 
b) é secante ao eixo das ordenadas 
c) tangencia o eixo das abscissas 
d) intercepta a reta de equação 4x - y = 0 
 
12. (AFA) O lugar geométrico dos pontos do plano 
cartesiano que, juntamente com os pontos A(-3,5) e 
B(3,5), determina triângulos com perímetro 2p = 16 cm 
é uma 
a) elipse. b) parábola. c) hipérbole. d) circunferência. 
13. (AFA) O parâmetro da parábola que passa pelo 
ponto P(6,2) e cujo vértice V(3,0) é o seu ponto de 
tangência com o eixo das abcissas, é 
a) 9/5 b) 9/4 c) 3 d) 9/2 
 
14. (AFA) A área do polígono que tem como vértices os 
extremos dos eixos maior e menor da elipse 
4x
2 
+ y
2 
– 24x – 6y + 41 = 0, é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
15. (AFA) A excentricidade da elipse que tem centro na 
origem, focos em um dos eixos coordenados e que 
passa pelos pontos A(3,2) e B(1,4) é 
a) 
2
3
 b) 
3
3
 c) 
2
2
 d) 
3
2
 
 
16. (AFA) Na figura abaixo, F1 e F2 são focos da elipse 
2 2
 x y
1
25 9
+ = . O ponto C, de coordenadas 
3
0, 
2
 
 
 
, 
pertence ao segmento MN . Os segmentos
AC, CB e MN são, respectivamente, paralelos aos 
segmentos 21 1 2F P, PF e F F . A área da figura sombreada, 
em unidades de área, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 
 
17. (AFA) A equação 2
y 3 4 (x 1)= + − − representa: 
a) elipse de eixo maior igual a 2 
b) parábola de vértice V (1, 3) e parâmetro p = 1/2 
c) hipérbole de eixo real vertical e centro C (1, 3) 
d) semicircunferência de centro C (1, 3) e raio r = 2 
 
18. (AFA) Dada a equação ax2 + by2 = c, onde a, b e c 
são reais NÃO nulos, é correto afirmar que, 
necessariamente, sua representação gráfica é uma 
a) circunferência, se a = b 
b) hipérbole, se a = –b e c = b 
c) elipse de centro na origem, se a ≠ b e c = 1 
d) circunferência, se a = b e c > 0 
 
19. (AFA) Classifique os itens abaixo em F (falso) ou V 
(verdadeiro) e marque a alternativa correta. 
( ) O ponto simétrico da origem em relação ao centro da 
circunferência λ : x2 + y2 – 2x – 2y = 1 tem a soma de 
suas coordenadas igual a -4 
( ) A excentricidade de uma hipérbole equilátera é igual 
a 2 
( ) A equação -4x2 – y2 – 4 = 0 representa uma elipse 
a) V, V, F 
b) V, F, V 
c) F, V, F 
d) V, F, F 
 
P 
N M 
 F1 A B F2 
C 
x 
y 
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20. (AFA) As equações paramétricas 
2
x t 2
y t
= +

=
, t  R, 
representam uma 
a) parábola de vértice V(2, 0) e concavidade para cima. 
b) elipse de eixo maior igual a 1/2. 
c) elipse de eixo menor igual a 1/2. 
d) parábola de vértice V(0, 2) e concavidade para a 
direita. 
 
21. (AFA) Considere as afirmativas abaixo: 
I) as retas
x y
r : 1
2 3
+ =
−
 e 
x 2t 1
s :
y 3t
= +

=
 são 
perpendiculares. 
II) a equação 4x = y2 representa uma parábola com eixo 
de simetria horizontal. 
III) 
2 2
x y
1
3 9
− − = representa uma hipérbole. 
É(são) correta(s) a(s) afirmativa(s) 
a) I, II e III. c) III somente. 
b) I somente. d) II somente. 
 
22. (AFA) A equação (x + y).(x - y) = 1 representa 
a) uma hipérbole com excentricidade e = 2 
b) duas retas perpendiculares entre si. 
c) uma elipse com centro na origem. 
d) uma hipérbole cuja distância focal é igual a 2. 
 
23. (AFA) Analise as proposições abaixo, classificando-
as em verdadeiras (V) ou falsas (F). 
( ) Considere a circunferência λ e a hipérbole 
2y2 – x2 = 8 tendo mesmo centro. Se λ passa pelos 
focos da hipérbole, uma das equações é x2 + y2 = 12 
( ) Numa hipérbole equilátera, uma das assíntotas tem 
coeficiente angular igual a 
2
2
 
( ) A excentricidade da elipse x2 + 4y2 = 4 é igual a 
3
2
 
Tem-se a sequência 
a) F, F, V b) V, F, V c) F, V, F d) V, V, F 
 
24. (AFA) Considere o sistema cartesiano ortogonal e 
as opções abaixo. 
Marque a FALSA. 
a) A medida de um dos eixos da elipse de equação 
x2 + 4y2 = 1 é a quarta parte do outro. 
b) As retas da equação y = mx representam as 
assíntotas da curva 
2 2
x y
1
16 25
− = se, e somente se, 
5
m
4
= 
c) As circunferências x2 + y2 - 2x = 0 e x2 + y2 + 4x = 0 
são tangentes exteriormente. 
d) A equação x - y2 = 0 representa uma parábola cuja 
reta diretriz não tem coeficiente definido. 
 
25. (AFA) Classifique em VERDADEIRO ou FALSO 
cada item a seguir. 
(2) A parábola cuja equação é x2 – 4y = 0 tem diretriz 
representada pela reta y + 1 = 0 e foco coincidente com 
o baricentro do triângulo ABC, onde A é a origem do 
sistema cartesiano, B(2,3) e C(-2,0). 
(3) O conjunto de pontos representados pela equação 
x2 – y2 + x + y = 0 é uma hipérbole equilátera que NÃO 
tem centro na origem do sistema cartesiano. 
(8) Na elipse 16x2 + 64y2 = 1 a medida do eixo vertical 
é 50% da medida do eixo horizontal. 
(16) Existem apenas 4 números inteiros entre os 
valores de k, para os quais o vértice da parábola 
y2 = 4 + 1 é ponto exterior à circunferência 
x2 + y2 – 2x + 4y + k = 0 
 
A soma dos itens VERDADEIROS é um número do 
intervalo 
a) [22, 30[ b) [10, 16[ c) [16, 22[ d) [2, 10[ 
 
26. (AFA) Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa 
cada afirmativa abaixo sobre o ponto P(x, y) no plano 
cartesiano. 
( ) Se o ponto P pertence simultaneamente às 
bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos quadrantes 
pares, então o ponto simétrico de P em relação à reta y 
= k (k  R*) tem a soma das coordenadas igual a 2k. 
( ) Sendo {x, y}  Z, então existem apenas dois pontos 
P(x, y) que atendem às condições 
2
x 0
y 3y x


− 
 
( ) Os pontos P(x, y) tais que a sua distância ao eixo 
das abscissas é igual à metade da distância de P ao 
ponto Q(0, 6) formam uma hipérbole de excentricidade 
igual a 2. 
Sobre as afirmativas tem-se 
a) apenas uma falsa. 
b) apenas duas falsas. 
c) todas falsas. 
d) todas verdadeiras. 
 
27. (AFA) Analise as proposições abaixo e escreva V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I) ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola 
y2 + 4x - 4 = 0 é igual a 1 unidade de comprimento. 
II) ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são 
perpendiculares entre si. 
III) ( ) A equação 2x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 representa 
uma elipse que tem um dos focos no ponto P(1,4). A 
sequência correta é 
a) F – F – V b) V – F – V 
c) F – V – F d) V – V – F 
 
28. (AFA) No plano cartesiano, os pontos P(x, y) 
satisfazem a equação 
( ) ( )
2 2
x 1 y 2
1
25 9
− +
+ = 
da curva λ. Se F1 e F2 são os focos de λ, tais que a 
abscissa de F1 é menor que a 
abscissa de F2, é incorreto afirmar que: 
a) a soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual 
a 10. 
b) F1 coincide com o centro da curva 
x2 + y2 + 6x - 4y = 0. 
c) F2 é exterior a x2 + y2 = 25. 
d) o ponto de abscissa máxima de λ pertence à reta 
y = x - 8. 
 
29. (EsPCEx) A representação no sistema cartesiano 
ortogonal da equação 9x2 - y2 = 36x + 8y -11 é dada por 
a) duas retas concorrentes. 
b) uma circunferência. 
c) uma elipse. 
d) uma parábola. 
e) uma hipérbole. 
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30. (EsPCEx) Num estádio de futebol em forma de 
elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na 
cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o 
sistema de coordenadas cartesianas indicado e 
tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela 
equação 1
60
y
36
x
2
2
2
2
=+ . Sabe-se também que os focos 
da elipse estão situados em lados do retângulo MNPQ. 
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é 
 
a) 48 m b) 68 m c) 84 m d) 92 m e) 96 m 
 
31. (EsPCEx) Uma reta t passa pelo ponto A(-3,0) e é 
tangente à parábola de equação x = 3y2 no ponto P . 
Assinale a alternativa que apresenta uma solução 
correta de acordo com essas informações. 
a) t: x - 10y + 3 = 0 e P(27,3) 
b) t: 2x - 15y + 6 = 0 e P(12,2) 
c) t: 2x +15y + 6 = 0 e P(12,-2)d) t: y = 0 e P(0,0) 
e) t: x + 6y + 3 = 0 e P(3,-1) 
 
32. (EsPCEx) Considere as afirmações: 
I – Uma elipse tem como focos os pontos F1 (-3,0) e F2 
(3,0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação é
1
7
y
16
x 22
=+ . 
II – Os focos de uma hipérbole são F1 (-10,0) e F2 (10,0) 
e sua excentricidade é 
3
5
. Sua equação é 
16x2 - 9y2 = 576. 
III – A parábola 8x = -y2 + 6y - 9 tem como vértice o 
ponto V(3,0) . 
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa 
correta. 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Apenas as afirmações (I) e (III) são falsas. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
 
33. (EsPCEx) Os valores reais de n para os quais a reta 
(t) y = x + n seja tangente à elipse de equação 
2x2 + 3y2 = 6 são iguais a 
a) 5 e 5− 
b) 3 e 3− 
c) – 3 e 3 
d) – 2 e 2 
e) – 5 e 5 
 
34. (EsPCEx) Uma elipse tem centro na origem e 
vértices em (2a, 0) e (0, a), com a > 0. A área do 
quadrado inscrito nessa elipse é 
a) 
2
16a
5
 b) 
2
4a
5
 c) 
2
12a
5
 d) 
2
8a
5
 e) 
2
20a
5
 
 
35. (EN) Sejam y = m1x + b1 e y = m2x + b2 as equações 
das retas tangentes à elipse x2 + 4y2 – 16y + 12 = 0 que 
passam pelo ponto P(0, 0). O valor de ( )2 2
1 2m m+ é 
a) 1 b) 
3
4
 c) 
3
2
 d) 2 e) 
5
2
 
 
36) (EN) A equação 4x2 – y2 – 32x + 8y + 52 = 0, no 
plano xy, representa 
a) duas retas 
b) uma circunferência 
c) uma elipse 
d) uma hipérbole 
e) uma parábola 
 
37) (EN) Considere a sequência (a, b, 2) uma 
progressão aritmética e a sequência (b, a, 2) uma 
progressão geométrica não constante, a, b  R. A 
equação da reta que passa pelo ponto (a, b) e pelo 
vértice da curva y2 – 2y + x + 3 = 0 é 
a) 6y – x – 4 = 0 
b) 2x – 4y – 1 = 0 
c) 2x – 4y + 1 = 0 
d) x + 2y = 0 
e) x – 2y = 0 
 
38) (EN) A curva de equação x2 – 14 = y2 + 2x intercepta 
a reta 4y + 1 = x nos pontos A e B. Seja C a 
circunferência com centro no ponto médio do segmento 
AB e cujo raio é a medida do maior eixo da curva de 
equação 2 2x y 2 3 8y 2+ = − − . A circunferência C tem 
por equação 
a) 
2 2
35 x y
x
2
− −
= 
b) 
2 2
20 x y
x
2
− −
= 
c) 
2 2
x y 25
x
2
+ −
= 
d) 
2 2
x y 35
x
2
+ −
= 
e) 
2 2
25 x y
x
2
− −
= 
 
39. (EN) A equação da parábola cujo vértice é o ponto 
P(2,3) e que passa pelo centro da curva definida por 
x2 + y2 – 2x – 8y + 16 = 0. 
a) y – x2 + 4x – 7 = 0 
b) – y – x2 + 4x – 1 = 0 
c) y2 + x – 6y + 7 = 0 
d) -y2 + x + 6y – 11 = 0 
e) y + x2 + 4x – 15 = 0 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ANALÍTICA - CÔNICAS 
Prof. Wellington Nishio 
40. (IME) Seja ume elipse com focos no OX e centrada 
na origem. Seus eixos medem 10 e 
20
3
. 
Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são 
os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os 
vértices da elipse. As parábolas que pelas interseções 
entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo 
OY, na origem têm as seguintes equações: 
a) 2 35
y 2 x
7
=  
b) 2 5
y 4 x
7
=  
c) 2 5
y 6 x
7
=  
d) 2 35
y 6 x
7
=  
e) 2 35
y 8 x
63
=  
 
41. (IME) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem 
e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos 
cartesianos possui comprimento da semi-distância 
focal igual a 3 e excentricidade igual a 
3
2
. 
Considere que os pontos A, B, C e D representam as 
interseções da elipse com as retas de equações y = x e 
y = -x. A área do quadrilátero ABCD é 
a) 8 
b) 16 
c) 
16
3
 
d) 
16
5
 
e) 
16
7
 
 
42. (IME) Considere uma haste AB de comprimento 10 
m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da 
extremidade A. A posição inicial desta haste é 
horizontal sobre o semieixo x positivo, com a 
extremidade A localizada na origem do plano 
cartesiano. A haste se desloca de forma que a 
extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e 
a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, 
até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano 
cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro 
quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o 
deslocamento descrito é 
a) 49x2 + 9y2 – 280x + 120y – 441 = 0 
b) 49x2 – 406x – 49y2 + 441 = 0 
c) 9x2 + 49y2 – 441 = 0 
d) 9x2 + 9y2 + 120y – 441 = 0 
e) 9x2 – 49y2 – 441 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
43. (IME) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com 
lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à 
metade da área da figura ABHFG. Determine a 
equação da elipse de centro na origem e eixos 
formados pelos segmentos FC e GH. 
 
a) 2 2 248x 36y 2m 0+ − = 
b) 2 2 28x 16y 3m 0+ − = 
c) 2 2 216x 48y 3m 0+ − = 
d) 2 2 216x 24y m 0− − = 
e) 2 2 28x 24y m 0+ − = 
44. (IME) Uma reta, com coeficiente angular a1, passa 
pelo ponto (0, -1). Uma outra reta, com coeficiente 
angular a2, passa pelo ponto (0, 1). Sabe-se que 
2 2
1 2a a 2+ = . O lugar geométrico percorrido pelo ponto de 
interseção das duas retas é uma: 
a) hipérbole de centro (0, 0) e retas diretrizes 
2
y
2
=  
b) circunferência de centro (a1, a2) e raio 2 2
1 2a a+ 
c) hipérbole de centro (0, 0) e retas diretrizes 
2
x
2
=  
d) elipse de centro (0, 0) e retas diretrizes 
2
x
2
=  
e) elipse de centro (a1, a2) e retas diretrizes 
2
y
2
=  
 
 
GABARITO 
 
A) 6, 7, 9, 12, 20, 22, 24, 26, 33, 34, 39 
B) 2, 5, 8, 13, 15, 16, 18, 23, 25, 28 
C) 1, 10, 11, 19, 32, 35, 42, 44 
D) 3, 4, 14, 17, 21, 27, 36, 37, 38, 41 
E) 29, 30, 31, 40, 43