Hipérbole ENIAC

Prévia do material em texto

Hipérbole
APRESENTAÇÃO
Uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano cuja 
diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. Para 
além da definição, cabe destacar que essa é uma cônica com ampla aplicação na Engenharia, na 
Arquitetura, na Navegação e, em algumas muito curiosas, como na ocorrência de modelagem de 
um sistema físico, no qual as hipérboles ocorrem de maneira natural: a propagação das ondas de 
choque de aviões supersônicos, ou, ainda, no entretenimento, no jogo de bilhar hiperbólico, que 
tem uma tabela na forma de um ramo de hipérbole.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário que você retome os 
conceitos de seções cônicas, além dos conceitos básico de Álgebra e Trigonometria. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer conceitos específicos de hipérbole, bem 
como suas equações e representações gráficas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir hipérbole e associá-la à sua equação.•
Descrever uma hipérbole pelo seu foco e pelo seu vértice.•
Determinar as assíntotas de uma hipérbole.•
DESAFIO
A cônica hipérbole tem algumas aplicações importantes, como, por exemplo, em alguns 
telescópios denominados refletores, que utilizam um espelho hiperbólico secundário, além do 
refletor parabólico principal, para redirecionar a luz do foco central para um ponto mais 
conveniente. Podemos citar, ainda, a presença de suas propriedades nas construções civis, em 
problemas de navegação e de comunicação. 
Imagine que, após uma aula de Geometria Analítica, o professor tenha lançado um Desafio que 
consiste em aplicar seus conhecimentos a respeito da cônica hipérbole a partir de uma situação 
prática para encontrar a solução.
Considere uma quadra de futsal representada pelo retângulo ABCD, onde A (−20,−10) e 
C (20,10).
Cada uma das áreas dos goleiros é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um 
dos dois ramos de uma hipérbole de focos com coordenadas F1 (6√5,0) e F2 (−6√5,0).
O círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3 metros e uma das 
assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C.
Nesse contexto, o professor solicita que você determine:
a) Se a distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12 metros. 
b) A equação reduzida da hipérbole em que os focos estão alinhados com o eixo x. 
c) A excentricidade da hipérbole. 
d) Quanto mede o eixo imaginário da hipérbole.
INFOGRÁFICO
A hipérbole é definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um 
plano que passa pelas duas metades do cone. Assim como as demais cônicas, ela possui 
características específicas tanto no que se refere aos seus elementos quanto às suas equações.
O Infográfico a seguir evidencia graficamente sua definição, os elementos que a compõe e suas 
equações características, conforme o eixo em que os focos da hipérbole se encontram. Além 
disso, o Teorema de Pitágoras, relação importante para alguns cálculos envolvendo a 
hipérbole, recebe destaque.
CONTEÚDO DO LIVRO
As cônicas são figuras geométricas originadas de secções transversais realizadas em um cone. A 
hipérbole é uma seção cônica, podendo ser definida da seguinte maneira: considere dois pontos 
distintos do plano (F1 e F2), com distância entre eles de 2c. A hipérbole é o conjunto dos pontos 
do plano, sendo a constante 2a (0 < 2a < 2c) a diferença, em valor absoluto, das distâncias a F1 e 
F2 . A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y, fazendo com que sua 
equação varie conforme cada um dos casos. 
No capítulo Hipérbole, da obra Geometria Analítica, você aprofundará o estudo das seções 
cônicas através de uma análise direcionada às hipérboles. Ainda, você conhecerá as 
representações gráficas das hipérboles e aprenderá a encontrar seus elementos.
Boa leitura.
GEOMETRIA 
ANALÍTICA
Cristiane da Silva
Hipérbole
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar a hipérbole, suas características e sua equação.
 � Descrever uma hipérbole por seu foco e seu vértice.
 � Determinar as assíntotas de uma hipérbole.
Introdução
Neste capítulo, você aprofundará o estudo das seções cônicas, especifica-
mente da hipérbole. Estudaremos sua definição, representação gráfica e 
elementos que a compõem. Busca-se adquirir mais conhecimentos sobre 
as seções cônicas para que você compreenda as hipérboles fazendo 
associações com suas equações.
Definição
Podemos definir hipérbole como o conjunto de todos os pontos de um plano 
cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse 
plano é constante (WINTERLE, 2014). A Figura 1 ilustra uma hipérbole em 
sua definição.
Figura 1. Hipérbole.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
2a
2c
F1 F2
P
Considerando no plano dois pontos distintos, F1 e F2, tal que a distância 
d(F1,F2) = 2c, e um número real positivo a com 2a < 2c. Chamando de 2a a 
constante da definição, um ponto P pertence à hipérbole se, e somente se,
|d(P,F1) – d(P,F2)| = 2a
Dos elementos
Vamos conhecer agora os elementos e as medidas de uma hipérbole, apre-
sentados na Figura 2.
Hipérbole2
Figura 2. Elementos e medidas de uma hipérbole.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
Eixo
conjugado
Eixo
principal
Assíntota Assíntota
F1 F2V1 V2 F1 F2V1 V2
a a
c c
 � Focos: pontos F1 e F2.
 � Eixo principal (ou eixo real): reta que passa pelos focos.
 � Vértices: pontos V1 e V2. Os vértices são as interseções do eixo principal 
com a hipérbole.
 � Centro: ponto C. O centro é o ponto médio dos focos e também dos 
vértices.
 � Eixo conjugado: reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo 
principal.
 � Assíntotas: par de retas concorrentes (concorrem no centro da hipérbole).
Como vemos na segunda parte da Figura 2, no estudo da hipérbole ado-
tamos as seguintes convenções para suas medidas (a, b e c são números reais 
positivos, e c > a):
 � Distância entre os vértices: 2a.
 � Distância entre os focos (distância focal): 2c.
Leite e Castanheira (2017) definem excentricidade como a relação entre 
o eixo focal e o eixo transverso. Ela pode ser representada por: e = . Como 
c > a, temos que e > 1. Além disso, da relação , vem 
que e = . Note que, para a hipérbole equilátera, quando a = b, temos 
e = .
3Hipérbole
Equação da hipérbole
Vamos estudar a equação da hipérbole analisando um gráfico, como mostra a 
Figura 3. Nessa ilustração, a hipérbole tem seu centro O na origem, ou seja, tem 
coordenadas (0,0); os vértices têm coordenadas: A1(–a,0) e A2(a,0); e os focos da 
hipérbole têm coordenadas F1(–c,0) e F2(c,0) (LEITE; CASTANHEIRA, 2017). 
Figura 3. Determinação da equação de uma hipérbole.
Fonte: Adaptada de Leite e Castanheira (2017).
2a
2b
2c
y
xO
B2
B1
F2F1 A2A1
P(x,y)
Temos, sobre a curva direita da hipérbole, um ponto P de coordenadas 
(x,y). Pela definição de hipérbole, temos . Mas, se o ponto P 
estivesse sobre a curva esquerda da mesma hipérbole, teríamos, do mesmo 
modo, . De maneira geral, (LEITE; CAS-
TANHEIRA, 2017). 
Hipérbole4
Leite e Castanheira (2017) deduzem as fórmulas da hipérbole detalhada-
mente. Vejamos a seguir.
Sabe-se que a distância entre dois pontos P1(x1,y1) e P2(x2,y2) é dada pela 
seguinte fórmula:
Então, a distância entre os pontos P e F1 é:
E a distância entre os pontos P e F2 é:
Como , temos:
Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:
5Hipérbole
Dividindo os dois lados da igualdade por 4:
Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:
Sabemos que a² + b² = c², ou seja, b² = c² – a². Assim,
b²x² – a²y² = a²b²
Ou ainda, se dividirmos toda a equação por a²b², temos:
Essa é a forma padrão da equação de uma hipérbole cujo centro está na 
origem dos eixos cartesianos e cujo eixo focal é o eixo horizontal. Lembre-se 
de que o ponto P(x,y) pertence à hipérbole,e que c > a > 0. Caso o eixo focal 
da hipérbole esteja sobre o eixo vertical, a equação da hipérbole será:
Hipérbole6
Eixos das hipérboles
Nesta seção, vamos estudar a hipérbole sob duas perspectivas: 
1. com centro na origem e eixo principal horizontal; 
2. com centro na origem e eixo principal na vertical. 
Na primeira seção, quando vimos a equação da hipérbole, detalhamos 
essa primeira perspectiva, portanto, vamos detalhar aqui a segunda também.
Centro na origem e eixo principal horizontal
Vimos que, quando a hipérbole tem centro na origem e eixo maior horizontal, 
como mostra a Figura 4, sua equação reduzida será:
Figura 4. Hipérbole de eixo principal horizontal e centro na origem.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
y
P(x, y)
F1(–c, 0) V1(–a, 0) V2(a, 0) F2(c, 0)
x
y
c
b
a V(a, 0) F(c, 0) x
Vejamos um exemplo em que a hipérbole tem centro na origem e eixo 
principal horizontal.
7Hipérbole
Determine a equação da hipérbole de vértices (±4,0) e focos (±5,0).
Como os vértices são (–4,0) e (4,0), concluímos que se trata de uma hipérbole com 
eixo principal horizontal, o próprio eixo x, e centro na origem, uma vez que o centro 
da hipérbole é o ponto médio de seus vértices e também de seus focos.
A distância entre os vértices é de 8 unidades, logo 2a = 8 e a = 4; a distância focal é 
de 10 unidades, logo 2c = 10 e c = 5. Pela relação c² = a² + b², temos que b² = 25 – 16; 
portanto, b = 3.
Assim, substituindo os valores das constantes a e b em , a equação 
dessa hipérbole é:
Fonte: Santos e Ferreira (2009).
Centro na origem e eixo principal vertical
Agora vamos estudar uma hipérbole de eixo principal vertical de comprimento 
e centro na origem (0, 0) como mostra a Figura 5.
Figura 5. Hipérbole de eixo principal vertical e centro na origem.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
y
x
F2(0, c)
F1(0, –c)
V2(0, a)
V1(0, –a)
P(x, y)
Hipérbole8
Analisando a Figura 5, temos que:
 � os vértices são os pontos V1(0,–a) e V2(0,a);
 � os focos são os pontos F1(0,–c) e F2(0,c).
Procedendo de modo análogo ao caso de hipérbole com eixo principal 
horizontal, usando a definição de hipérbole como lugar geométrico, a equação 
reduzida da hipérbole da Figura 5 é dada por:
Vejamos um exemplo em que a hipérbole tem centro na origem e eixo 
principal vertical.
Consideremos a hipérbole de equação 36y² – 9x² = 324.
Sua equação reduzida é obtida dividindo todos os seus termos por 324, de modo 
que o membro direito seja 1. Logo:
Comparando-se a equação obtida com a equação , concluímos que se 
trata de uma hipérbole com eixo principal vertical, centro na origem, a = 3 e b = 6.
Como c² = a² + b², temos que c² = 9 + 36 = 45 ∴ . Logo, a distância 
focal vale .
Finalmente observamos que os seus vértices são (0,±3) e os focos são .
Fonte: Santos e Ferreira (2009).
Santos e Ferreira (2009) retomam as equações reduzidas das hipérboles 
com eixo principal horizontal e com eixo principal vertical para fins de com-
paração, como se pode ver a seguir.
 � Hipérbole com eixo principal horizontal: 
9Hipérbole
 � Hipérbole com eixo principal vertical: 
Note que a variável que ocorre no termo positivo indica a direção do eixo 
principal da hipérbole e a raiz quadrada do denominador desse termo positivo 
dá a distância do centro ao vértice. Convém ainda destacar que, nas equações 
de hipérboles, podemos ter a > b, a = b ou a < b. Se a = b, a hipérbole é dita 
equilátera.
Das assíntotas
Vamos estudar as assíntotas de hipérboles pela definição de Santos e Ferreira 
(2009). Uma reta é dita assíntota de uma curva se a distância de um ponto 
que se move sobre a parte extrema da curva à reta se aproxima de zero. As 
assíntotas ocorrem com certa frequência nos gráficos de algumas funções 
racionais, algébricas e transcendentes. No caso das seções cônicas, as únicas 
que apresentam comportamento assintótico são as hipérboles, como mostra 
a Figura 6.
Figura 6. Assíntotas de hipérboles horizontais e verticais.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
Assíntota Assíntota
Assíntota Assíntota
y y
b
bx xa
a
F1
F1
F2
F2
Santos e Ferreira (2009) reforçam que, como sugere a Figura 6(a), as as-
síntotas de uma hipérbole com eixo principal horizontal possuem coeficiente 
angular , e, como tais retas concorrem na origem, suas equações são as 
seguintes.
Hipérbole10
 � Assíntota ascendente: y = x
 � Assíntota descendente: y = – x
De modo análogo, Santos e Ferreira (2009) destacam que, como pode ser 
visto na Figura 6, as assíntotas de uma hipérbole com eixo principal vertical 
possuem coeficiente angular , e, como tais retas concorrem na origem, 
suas equações são:
 � Assíntota ascendente: y = x
 � Assíntota descendente: y = – x
A argumentação anterior é bastante intuitiva e geométrica e não se trata de uma 
demonstração rigorosa do comportamento assintótico de uma hipérbole. Para os 
interessados nesses detalhes, faremos aqui um breve comentário adicional de tal 
comportamento assintótico para a hipérbole mostrada na Figura 6(a), cuja equação 
é .
Iniciamos isolando y nesta equação:
Considerando agora apenas o primeiro quadrante, a distância vertical da hipérbole 
à reta de equação y = x é dada por:
E simplificando:
Finalmente, tomando-se o limite dessa distância quando x → +∞, temos:
Fonte: Santos e Ferreira (2009).
11Hipérbole
Acompanhe, a seguir, alguns exemplos resolvidos de problemas envolvendo 
hipérboles.
Determine, para a hipérbole x² – 4y² = –16: a medida dos semieixos; um esboço gráfico; 
os vértices; os focos; a excentricidade; as equações das assíntotas.
Solução:
Passando essa equação para forma reduzida, obtém-se:
Que representa uma hipérbole com eixo real sobre 0y. Então,
a² = 4 ∴ a = 2
b² = 16 ∴ b = 4
O gráfico com assíntotas:
2
4 4
2
O
y
x
F2
A2
F1
A1
Vértices: A1(0,–2) e A2(0,2) ou A(0,±2).
Para determinar os focos, precisamos do valor de c:
Hipérbole12
 � Focos: e 
 � Excentricidade: e = 
 � Assíntotas: y = 
Fonte: Adaptado de Winterle (2014).
Determine, para a hipérbole x² – y² = 4: a medida dos semieixos; um esboço gráfico; 
os vértices; os focos; a excentricidade; as equações das assíntotas.
Solução:
Passando essa equação para a forma reduzida, obtém-se:
Que representa uma hipérbole com eixo real sobre 0x. Então,
a² = b² = 4 ∴ a = b = 2 (hipérbole equilátera)
O gráfico com assíntotas:
2
2 O
y
xF2A2F1 A1
2
2
13Hipérbole
Uma hipérbole tem focos em F1(–5,0) e F2(5,0) e a medida do eixo real é 6. Determine 
sua equação reduzida.
Tendo em vista que os focos são pontos do eixo dos x, a equação dessa hipérbole 
é da forma:
Na qual precisamos determinar a e b. De F(±5,0), vem c = 5 (distância de cada foco 
ao centro).
O eixo real mede 6, ou seja, 2a = 6. Logo, a = 3. De c² = a² + b² ou 25 = 9 + b², vem 
b² = 16. Portanto, a equação procurada é:
Fonte: Winterle (2014).
Vértices: A1(– 2,0) e A2(2,0).
Para determinar os focos, precisamos do valor de c:
 � Focos: e .
 � Excentricidade: e = 
 � Assíntotas: y = 
Observe que, em toda hipérbole equilátera, a excentricidade é sempre igual a √2 e 
as equações das assíntotas são sempre iguais a y = ±x.
Fonte: Winterle (2014).
Hipérbole14
FERNANDES, L. F. D. Geometria analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016. 
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria analítica em espaços de duas e três dimensões. 
Curitiba: InterSaberes, 2017.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
15Hipérbole
DICA DO PROFESSOR
Sabe-se que a hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das 
distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. No entanto, é 
importante aprofundar alguns pontos fundamentais dessa cônica no que diz respeito ao 
método para determiná-la.
Nesta Dica do Professor, você verá um problema resolvido de forma detalhada envolvendo 
alguns elementos de uma hipérbole. 
Conteúdo interativodisponível na plataforma de ensino!
 
EXERCÍCIOS
1) Determine a equação reduzida da equação da hipérbole 2x2 – 3y2 = 12.
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
2) Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6 e foco
F1 (-5,0) e F2 (5,0).
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
3) Determine a equação da hipérbole de focos F1 (-3,0) e F2 (3,0), cujo eixo real mede 4.
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
E) 
 
4) Determine a distância focal da hipérbole com a equação: 
 
A) A distância focal é 5.
B) A distância focal é 9.
C) A distância focal é 16.
D) A distância focal é 4.
E) A distância focal é 10.
5) Determine o foco da hipérbole de equação 9x2 - 25y2 - 225 = 0.
A) F1 (-34,0) e F2 (34,0)
B) F1 (-√34,0) e F2 (√34,0)
C) F1 (-√25,0) e F2 (√25,0)
D) F1 (-√25,9) e F2 (√25,9)
E) F1 (-5,0) e F2 (5,0)
NA PRÁTICA
A hipérbole é uma cônica com aplicação em diversas áreas, sendo inúmeros os setores nos quais 
essa cônica pode ser utilizada para solucionar problemas reais.
Ana é estudante de Física e aprendeu, em uma aula de Geometria Analítica, o conceito de 
hipérbole equilátera, com o qual deveria trabalhar para resolver um problema proposto pelo 
professor. Confira como ela resolveu a questão Na Prática.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Cônicas: equação da hipérbole
Neste vídeo, você vai estudar a cônica denominada hipérbole. O professor aborda o assunto 
explicando a definição de hipérbole e, em seguida, trabalha suas equações reduzidas.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Assíntotas da hipérbole
Este vídeo aborda as seções cônicas, trazendo detalhes das assíntotas de uma hipérbole. As 
assíntotas são retas que limitam a hipérbole. O professor faz a ilustração dessa cônica 
explicando seus elementos e diferenciando hipérbole horizontal e de hipérbole vertical.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Hipérbole
Neste vídeo, você acompanhará a resolução de exercícios envolvendo hipérboles. São diversos 
problemas que visam a aprofundar os conhecimentos sobre hipérbole retomando seus elementos 
e a forma de cálculo. A explicação utiliza a representação gráfica de forma a detalhar cada 
elemento dessa cônica.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Lista de exercícios
Para aprender sobre hipérbole, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para 
tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!