Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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Um Curso de Ca´lculo e Equac¸o˜es

Diferenciais com Aplicac¸o˜es1

Lu´ıs Gustavo Doninelli Mendes
23

1Continuarei acrescentando material, ale´m de corrigir poss´ıveis erros ou imperfeic¸o˜es. Por isso
sugiro que o improva´vel leitor na˜o imprima o texto. Quando for estuda´-lo deˆ uma olhada no
meu site se ja´ ha´ uma versa˜o mais atualizada. Sugesto˜es ou correc¸o˜es, por favor as envie para
mendes.lg@gmail.com

2Professor Adjunto do Departamento de Matema´tica da UFRGS
3U´ltima atualizac¸a˜o: 09/05/2012

I´ndice

Parte 1. Ca´lculo Diferencial e Integral e primeiras Aplicac¸o˜es 13

Cap´ıtulo 1. Introduc¸a˜o 15
1. O que e´ o Ca´lculo 15
2. Sobre o Curso 16
3. Sobre os Gra´ficos e Figuras 16
4. Alerta aos estudantes 16
5. Livros-texto e Refereˆncias 17
6. Programas u´teis 18

Cap´ıtulo 2. Alguns dos objetivos do Ca´lculo 21
1. Func¸o˜es e seus domı´nios 21
2. Func¸a˜o 23
3. Func¸o˜es definidas a partir de outras func¸o˜es 23
4. Diferentes domı´nios de func¸o˜es 24
5. Gra´fico descont´ınuo, mas que mesmo assim e´ gra´fico 25
6. Func¸a˜o positiva, negativa e zeros ou ra´ızes 25
7. Func¸a˜o crescente ou decrescente 26
8. Ma´ximos e mı´nimos 28
9. Exerc´ıcios 29

Cap´ıtulo 3. Propriedade ba´sicas dos nu´meros Reais 31
1. Os Reais como sistema de nu´meros: na˜o dividira´s por zero ! 31
2. Ordem nos Reais: na˜o tirara´s a ra´ız quadrada de nu´meros negativos ! 32
3. Propriedades gerais das desigualdades 33
4. Intervalos e suas utilidades 36
5. Metamorfoses de cu´bicas 39
6. Exerc´ıcios 46

Cap´ıtulo 4. Sequeˆncias e seus limites 47
1. Sequeˆncias 47
2. Limites de sequeˆncias 48
3. Definic¸a˜o e Propriedades fundamentais 49
4. Exerc´ıcios 53

Cap´ıtulo 5. Limites de func¸o˜es definidas em intervalos 57
1. Operac¸o˜es elementares com limites de func¸o˜es 58
2. A definic¸a˜o usual com � e δ 59
3. Limites quando x tende ao infinito 61

3

4 I´NDICE

4. Quando a parte e´ do mesmo tamanho do todo 66
5. Exerc´ıcios 68

Cap´ıtulo 6. A noc¸a˜o de Continuidade 71
1. Operac¸o˜es com func¸o˜es cont´ınuas 72
2. Polinoˆmios, func¸o˜es racionais e trigonome´tricas 74
3. Continuidade da func¸a˜o inversa 78
4. Dois teoremas fundamentais sobre func¸o˜es cont´ınuas 79
5. Primeiras aplicac¸o˜es do T.V.I 79
6. Ra´ızes de polinoˆmios cujo grau e´ ı´mpar 79
7. Ra´ızes simples e fatorac¸a˜o de polinoˆmios 81
8. Poss´ıveis ra´ızes Racionais de polinoˆmios a coeficientes inteiros 83
9. Exerc´ıcios 84

Cap´ıtulo 7. Geometria Anal´ıtica Plana 87
1. Equac¸o˜es de retas, coeficientes angular e linear 87
2. Ortogonalidade 89
3. Teorema de Tales no c´ırculo 90
4. A equac¸a˜o da reta de Euler 91
5. A inversa como reflexa˜o de gra´fico na diagonal 99
6. O me´todo de Descartes para as tangentes a um gra´fico 100
7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 104
8. Exerc´ıcios 104

Cap´ıtulo 8. A Tangente ao gra´fico, segundo o Ca´lculo 107
1. Retas secantes a um gra´fico 107
2. A reta tangente a um gra´fico 107
3. A reta tangente ao seno em (0, 0) e´ a diagonal 109
4. Interpretac¸a˜o F´ısica da reta tangente 113
5. Exerc´ıcios 113

Cap´ıtulo 9. A derivada 115
1. Definic¸a˜o, primeiras propriedades e exemplos simples 115
2. Um A´rbitro que so´ avalia as inclinac¸o˜es 117
3. Derivadas da soma e da diferenc¸a 119
4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993 120
5. A segunda derivada 123
6. Exerc´ıcios 124

Cap´ıtulo 10. Sinal da derivada e crescimento 127
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 127
2. O Teorema 0 das Equac¸o˜es Diferenciais 131
3. Crite´rios de crescimento e de decrescimento 133
4. Uma confusa˜o frequente sobre o significado do sinal da derivada 134
5. Descontinuidade da func¸a˜o derivada 135
6. Exerc´ıcios 136

I´NDICE 5

Cap´ıtulo 11. Aplicac¸o˜es da primeira e segunda derivadas 139
1. Primeiro crite´rio de ma´ximos e mı´nimos 139
2. Crite´rio da segunda derivada 139
3. Um problema t´ıpico para os engenheiros 140
4. Mı´nimos de distaˆncias e ortogonalidade 142
5. Concavidades dos gra´ficos 146
6. Mı´nimos quadrados e a me´dia aritme´tica 149
7. Pontos de inflexo˜es dos gra´ficos 151
8. Crite´rio da derivada de ordem n 152
9. Confecc¸a˜o de gra´ficos de polinoˆmios 154
10. Exerc´ıcios 155

Cap´ıtulo 12. Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke 161
1. O cosseno como derivada do seno 161
2. Leis de Hooke com e sem atrito 163
3. Exerc´ıcios 166

Cap´ıtulo 13. Derivada do produto, induc¸a˜o e a derivada de xn, n ∈ Z. 167
1. Princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica 167
2. Derivada do Produto 169
3. Derivadas de x−n, ∀n ∈ N 170
4. Ra´ızes mu´ltiplas e fatorac¸a˜o de polinoˆmios 171
5. A Regra de Sinais de Descartes para as ra´ızes de um polinoˆmio 173
6. Exerc´ıcios 177

Cap´ıtulo 14. Derivada da composic¸a˜o de func¸o˜es 179
1. Regra da composta ou da cadeia 179
2. A derivada do quociente 183
3. Uma func¸a˜o que tende a zero oscilando 185
4. Confecc¸a˜o de gra´ficos de func¸o˜es racionais 186
5. Involuc¸o˜es fracionais lineares 189
6. Um problema da Putnam Competition, n. 1, 1938 190
7. Uma func¸a˜o com derivada, mas sem a segunda derivada 192
8. Ma´ximos e mı´nimos: o problema do freteiro 193
9. Exerc´ıcios 205

Cap´ıtulo 15. Derivadas de func¸o˜es Impl´ıcitas 207
1. Curvas versus gra´ficos 207
2. Teorema da func¸a˜o impl´ıcita 209
3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie 212
4. Tangentes, pontos racionais de cu´bicas e co´digos secretos 213
5. Derivac¸a˜o impl´ıcita de segunda ordem 218
6. Exerc´ıcios 220

Cap´ıtulo 16. Func¸o˜es inversas e suas derivadas 221
1. Derivada de y =

√
x 222

2. Distaˆncia versus quadrado da distaˆncia 223

6 I´NDICE

3. Derivada da “func¸a˜o”x
1
n , de x

m
n e de x

−m
n 223

4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno 225
5. Derivada do arcotangente 228
6. Exerc´ıcios 231

Cap´ıtulo 17. Taxas relacionadas 235
1. Como varia um aˆngulo 235
2. Como varia uma distaˆncia 236
3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores 238
4. Exerc´ıcios 241

Cap´ıtulo 18. O Me´todo de aproximac¸a˜o de Newton 243

Cap´ıtulo 19. O Princ´ıpio de Fermat e a refrac¸a˜o da luz 247
1. Princ´ıpio de Fermat 247
2. Refrac¸a˜o, distaˆncias ponderadas e Lei de Snell 249
3. Exerc´ıcios 253

Cap´ıtulo 20. As Coˆnicas e suas propriedades refletivas 255
1. Distaˆncia ate´ uma para´bola 255
2. Definic¸a˜o unificada das coˆnicas 257
3. A Para´bola e sua propriedade refletiva 265
4. Prova anal´ıtica da propriedade do foco 269
5. A Elipse e sua propriedade refletiva 271
6. A Hipe´rbole e o ana´logo da propriedade refletiva 275
7. Famı´lia de coˆnicas co-focais ortogonais 281
8. Exerc´ıcios 284

Cap´ıtulo 21. Integrac¸a˜o e o Primeiro Teorema Fundamental 285
1. A´rea sob um gra´fico positivo 285
2. Qual func¸a˜o descreve as A´reas sob gra´ficos? 286
3. Primeira Versa˜o do Primeiro Teorema fundamental do Ca´lculo 289
4. A Integral e suas propriedades 291
5. Teorema do valor me´dio de integrais 294
6. A integral indefinida e o Primeiro Teorema fundamental 295
7. Existem func¸o˜es com primeira derivada, mas sem segunda derivada 297
8. Exerc´ıcios 298

Cap´ıtulo 22. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial 301
1. Existe uma func¸a˜o f 6≡ 0 que seja imune a` derivac¸a˜o ? 301
2. Propriedades fundamentais do logaritmo e da exponencial 304
3. loga x , ∀a > 0 e ln | x | 306
4. As func¸o˜es ex e ax, para a > 0 308
5. xa e sua derivada, a ∈ R. 309
6. Crescimento lento do logaritmo e ra´pido da exponencial 310
7. Uma observac¸a˜o sobre o termo geral de uma se´rie infinita 313
8. Um problema da Putnam Competiton, n. 11, 1951 314

I´NDICE 7

9. A regra de L’Hoˆpital 315
10. A func¸a˜o xx 319
11. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 321
12. Um modo de aproximar e por nu´meros Racionais 322
13. Func¸o˜es f(x)g(x) em geral e suas indeterminac¸o˜es 323
14. Derivada logar´ıtmica 324
15. Uma func¸a˜o extremamente achatada 326
16. Exerc´ıcios 329

Cap´ıtulo 23.