Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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H ∈ h2.
Esse ponto de encontro das treˆs alturas e´ o Ortocentro.
Quando H = B ?
Quando

A =
A+ 1

3
e

B

3
= −A(A− 1)

B
.

Que e´ exatamente quando:

A =
1

2
e B2 =

3

4
,

que diz que se trata de triaˆngulo equila´tero, como ja´ vimos.

CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 97

Falta vermos tambe´m quando o Ortocentro coincide com o circuncentro. Isso se
da´ quando

A =
1

2
e − A(A− 1)

B
=

A · (A− 1)
2B

+
B

2
,

que tambe´m da˜o

A =
1

2
e B2 =

3

4
,

formando triaˆngulos equila´teros.
Agora, supondo que nosso triaˆngulo na˜o seja equila´tero, so´ nos resta encontrar a

equac¸a˜o da reta ligando B a C e conferir que ela passa pelo H.
A reta por B e C e´ ou bem a reta vertical

x =
1

2
, se A =

1

2
,

quando o triaˆngulo e´ iso´sceles, ou bem se A 6= 1
2
:

y = −B
2 + 3A2 − 3A
B(2A− 1) · x+

A(B2 + A2 − 1)
B(2A− 1) .

Esta e´ a reta de Euler !
So´ falta agora verificarmos as distaˆncias.
Os quadrados das distaˆncias sa˜o:

HB2 := (2
3
A− 1

3
)2 + (

A(A− 1)
B

+
1

3
B)2 =

=
10A2B2 − 10AB2 +B2 + 9A4 − 18A3 + 9A2 +B4

9B2
.

Enquanto que

BC2 := (1
3
A− 1

6
)2 + (

A(A− 1)
2B

+
1

6
B)2 =

=
10A2B2 − 10AB2 +B2 + 9A4 − 18A3 + 9A2 +B4

36B2
.

ou seja

HB2 = 4 · BC2,
como quer´ıamos.

�

Observac¸a˜o 1:
Observe que temos a equac¸a˜o expl´ıcita e portanto podemos determinar casos onde

a reta de Euler e´ horizontal. Que ocorrem para pontos da forma

P = (A,±
√
3A(1− A) ).

4. A EQUAC¸A˜O DA RETA DE EULER 98

10,80,60,40,20

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Figura: A reta de Euler e´ horizontal para pontos da forma P = (2
3
,
√
6
3
).

Observac¸a˜o 2:
E´ natural termos curiosidade por qual seria o gra´fico da func¸a˜o z = z(A,B), B 6= 0

dada por

z = 10A2B2 − 10AB2 +B2 + 9A4 − 18A3 + 9A2 +B4,
pois vimos z = 0 esta´ associado a um ponto muito especial no plano formado pelos
paraˆmetros (A,B): o ponto

(
1

2
,

√
3

2
) ∼ (0.5, 0.8).

A Figura a seguir mostra uma parte dessa superf´ıcie, com A ∈ [0, 1] e B ∈ [0.1, 1.3]
(na figura o eixo x e´ o dos A e o eixo y e´ o dos B).

10
1,2 0,8

1

1 0,6

2

0,8
0,4 x

3

0,6y
0,4 0,2

4

0,2 0

CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 99

Mas na˜o se veˆ muita coisa. Ja´ as pro´ximas duas Figuras sa˜o perfis da superf´ıcie,
e elas sim ilustram bem que um ponto pro´ximo de (0.5, 0.8) e´ o mı´nimo dessa func¸a˜o
z = z(A,B) (na figura o eixo x e´ o dos A e o eixo y e´ o dos B).

0,20,40,6

y

0,811,20

4

0,2

3

0,4

2

x

0,6

1

0,81
0

10,80,6 x0,40,20
0,20,4

y

0,60,811,2
0

1

2

3

4

5. A inversa como reflexa˜o de gra´fico na diagonal

Imagine uma func¸a˜o f : I → J , y = f(x) que admita uma func¸a˜o inversa f−1 :
J → I, x = f−1(y).

Vamos supor agora que temos ambos os gra´ficos, de f e de f−1, no mesmo sistema
de coordenadas (x, y), ou seja, por um momento pensemos em g = f−1 tomada com as

6. O ME´TODO DE DESCARTES PARA AS TANGENTES A UM GRA´FICO 100

mesmas abcissas e oordenadas que a f , ou seja, vamos ver ao mesmo tempo y = f(x)
e y = g(x).

Agora ligamos com uma reta r o ponto (A,B) := (x, f(x)) do gra´fico de y = f(x)
com o ponto (B,A) do gra´fico de y = g(x). Enta˜o o coeficiente angular dessa reta e´:

a :=
A−B
B −A = −1.

Ou seja que a reta r que os liga tem a mesma inclinac¸a˜o da anti-diagonal, a = −1,
ou seja, r e´ ortogonal a` diagonal y = x. A equac¸a˜o dessa r e´ pelo que vimos na
Afirmac¸a˜o 1.3:

r : y = −x+ (A+B).
E r corta a diagonal y = x no ponto cuja abcissa satisfaz:

x = −x+ (A+B),
ou seja x = A+B

2
, ou seja, no ponto com coordenadas (A+B

2
, A+B

2
). E (A,B) e (B,A)

sa˜o equidistantes de (A+B
2
, A+B

2
).

Conclu´ımos que a diagonal y = x funciona como um espelho para os gra´ficos de
y = f(x) e y = g(x):

O gra´fico da f−1 referido ao mesmo sistema (x, y) e´ um reflexa˜o na diagonal do
gra´fico da y = f(x)

(A,B)

(B,A)
r

y=x

y= f^{−1}(x)

y= f(x)

Figura: Os gra´ficos de f e f−1 no mesmo sistema cartesiano

6. O me´todo de Descartes para as tangentes a um gra´fico

Como a Geometria anal´ıtica foi um criac¸a˜o de Rene´ Descartes, nada mais justo
que indicarmos um bonito me´todo criado por ele1

Pelo menos no meu caso, durante meu tempo de ensino Me´dio, so´ me lembro da
palavra reta tangente ser usada para referir a reta tangente de um c´ırculo.

Nesse caso, para um c´ırculo C de raio r e centro O, pode ser definida como a reta
t pelo ponto P que e´ ortogonal ao raio do C´ırculo.

Em geral uma reta por um ponto P de C o intersecta noutro ponto, mas a reta
tangente t a P na˜o pode intersectar C noutro ponto P ′: se por absurdo t∩C = {P, P ′}

1Me baseei mais no livro de Edwards, mas o leitor pode comparar com o que esta´ nas pa´ginas
95-113 de The geometry of Rene´ Descartes, Dover.

CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 101

enta˜o no triaˆngulo ∆OPP ′ a hipotenusa OP ′ mediria o mesmo que o cateto OP ,
absurdo.

Descartes se perguntou pelo significado da reta ortogonal a um gra´fico qualquer,
pois isso esta´ ligado a questo˜es de O´ptica, de reflexa˜o da luz em lentes, que lhe
interessavam.

Responder a essa questa˜o da´ a chave tambe´m para o significado da reta tangente
a um gra´fico qualquer (pois uma e´ ortogonal a` outra).

De fato na˜o vamos lidar coma questa˜o assim ta˜o geral: suponhamos gra´ficos de
polinoˆmios y = f(x).

Ele pensou em usar o que sabia de c´ırculos para atacar o caso geral de gra´ficos.
Para isso, considerou um ponto P = (x, f(x)) do gra´fico e considerou C´ırculo com
centro (c, 0) no eixo dos x, de raios r que passem por P = (x, f(x)).

Ou seja, escolhidos c, r teremos que x e´ ra´ız de:

(f(x)− 0)2 + (x− c)2 − r2 = 0.
Em geral, se c e´ escolhido de qualquer jeito, pode haver outra ra´ız x′ dessa equac¸a˜o,
pois o c´ırculo

y2 + (x− c)2 − r2 = 0
pode cortar o gra´fico de y = f(x) em mais de um ponto.

problema: Como escolher c para que x seja ra´ız dupla de:

(f(x)− 0)2 + (x− c)2 − r2 = 0,
ou seja, para que uma segunda ra´ız x′ colida com x ?

Se consegu´ıssemos resolver esse Problema estar´ıamos colocando o C´ırculo de modo
a tocar, tangenciar o gra´fico em P .

Ora, como sabemos qual a tangente ao C´ırculo usar´ıamos essa reta como tangente
ao gra´fico !

Melhor do que explicar o me´todo em abstrato sera´ fazermos dois Exemplos.

Exemplo 6.1. Consider y = Cx2 uma para´bola e tome P = (x, Cx2), com x > 0.
Comos os C´ırculos com centro (c, 0) tem equac¸a˜o:

y2 + (x− c)2 = r2,
queremos encontrar uma ra´ız dupla x de:

(Cx2)2 + (x− c)2 − r2 = 0,
ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o:

(Cx2)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2q(x)
onde q(x) e´ um polinoˆmio de grau 2.

Ou seja queremos encontrar uma fatorac¸a˜o do tipo:

(Cx2)2 + (x− c)2 − r2 = (x− x)2 · (a2x2 + a1x+ a0).

6. O ME´TODO DE DESCARTES PARA AS TANGENTES A UM GRA´FICO 102

Expandindo ambos os lados, formam-se dois polinoˆmios de grau 4 em x, a` esquerda e
a` direita. Igualando os coeficientes do monoˆmios x4 a` esquerda e a` direita faz aparecer

C2 − a2 = 0 ⇔ a2 = C2.
Igualando os coeficientes de x3 a` esquerda e a` direita faz aparecer:

−a1 + 2xa2 = 0
ou seja

−a1 + 2x(C2) = 0 ⇔ a1 = 2xC2.
Igualando os coeficientes de x2 a` esquerda e a` direita faz aparecer:

1 + 2xa1 − a0 − x2a2 = 0,
ou seja

1 + 2x(2xC2)− a0 − x2C2 = 0 ⇔ a0 = 1 + 3x2C2.
Por u´ltimo, igualando os coeficientes de x a` esquerda e a` direita faz aparecer:

−2c+ 2xa0 − x2a1 = 0
ou seja,

−2c+ 2x(1 + 3x2C2)− x2(2xC2) = 0 ⇔ c = x+ 2x3C2.
Logo o C´ırculo cujo centro e´ o ponto

O = (c, 0) = (x+ 2x3C2, 0)
e que passa por P = (x, Cx2) tangencia o gra´fico de y = Cx2 nesse ponto P .

y

3

-1

4

2

-2

x

5431 20
0

1

Figura: O gra´fico de y = x2 e o c´ırculo tangente em P = (1,