Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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descobrir qual o menor segmento de reta de
P ate´ uma reta de equac¸a˜o y = ax + 1 (com algum a 6= 0 fixado) que na˜o passe por
P .

Vamos fazeˆ-o de dois modos distintos, que esperamos que deˆem os mesmos resul-
tados.

Primeiro vamos usar nossa intuic¸a˜o, que diz que deve se tratar do segmento saindo
de P que e´ ortogonal a` reta y = ax+1. Ou seja, pelo que aprendemos na Sec¸a˜o 2 do
Cap´ıtulo 8, deve ser um ponto (x, ax+ 1) tal que:

(ax+ 1)− 1
x− 2 =

−1
a
,

pois o lado esquerdo e´ o ceoeficiente angular da reta contendo o segmento que sai de
(2, 1). Enta˜o disso obtemos:

x =
2

a2 + 1

e da´ı facilmente descobrimos o tamanho do segmento.
Por outro lado podemos, via as te´cnicas de Ca´lculo, tentar descobrir o mı´nimo da

func¸a˜o que mede a distaˆncia de P aos pontos da reta dada.
Para na˜o cairmos numa derivada mais complicada, vamos modificar um pouco o

problema, tentando minimizar a func¸a˜o que e´ o quadrado da distaˆncia de P a` reta,
dara´ tambe´m o ponto que minimiza a pro´pria distaˆncia4

Essa func¸a˜o quadrado da distaˆncia e´ dada por:

(x− 2)2 + (y − 1)2 = (x− 2)2 + (ax+ 1− 1)2 =
= (a2 + 1)x2 − 4x+ 5.

Enta˜o essa f(x) = (a2+1)x2−4x+5 tem derivada f ′(x) = 2(a2+1)x−4 e f ′(x) = 0
exatamente em x = 2

a2+1
, o mesmo ponto encontrado acima.

E´ claro que f ′(x) < 0 para x < x = 2
a2+1

e f ′(x) > 0 para x > x = 2
a2+1

. Portanto
pelo item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 f tem mı´nimo local, que de fato e´ o global nesse ponto
x.

Agora vejamos um Exemplo mais interessante. Quero minimizar a distaˆncia entre
P = (0, 7) e os pontos da para´bola y = x

2

2
.

Usando a intuic¸a˜o geome´trica vou buscar esse ponto Q de mı´nima distaˆncia entre
aqueles em que o segmento desde P e´ ortogonal a` tangente da para´bola em Q.

Enta˜o, ja´ que conhec¸o as inclinac¸o˜es das tangentes a` parabola em (x, ax2) como
sendo 2(x

2
) = x, a ortogonalidade que busco e´ dada por:

x2

2
− 7

x− 0 =
−1
x
,

4A Afirmac¸a˜o 2.1 do Cap´ıtulo 16 justificara´ rigorosamente o uso do quadrado da distaˆncia, ao
inve´s da pro´pria distaˆncia, nos problemas de ma´ximos/mı´nimos.

CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 143

ou seja,

x · (x
2

2
− 6) = 0.

A soluc¸a˜o x = 0, onde claramente ha´ ortogonalidade, e´ nitidamente um ponto de
ma´ximo local da distaˆncia entre P = (0, 7) e a para´bola.

Mas as soluc¸o˜es x =
√
12 e x = −√12 correspondera˜o, como veremos a seguir, a

dois pontos de mı´nimos. A Figura a seguir mostra esses pontos de ortogonalidade.

5

-5

0

-10

-20

x

2 4-4 -2

-15

0

Figura: No gra´fico aparecem dois pontos onde ha´ ortogonalidade.

Visto de outro modo, via a te´cnica do Ca´lculo, considero a func¸a˜o que e´ o quadrado
da distaˆncia entre P = (0, 7) e a para´bola:

(x− 0)2 + (y − 7)2 = x2 + (x
2

2
− 7)2 =

=
x4

4
− 6x2 + 49.

A derivada de f(x) = x
4

4
− 6x2 + 49 e´
f ′(x) = x3 − 12x = x(x2 − 12).

O zero da derivada em x = 0 corresponde a um ma´ximo local.
Verificamos agora que os pontos x =

√
12 e x = −√12 sa˜o mı´nimos locais (e

globais).
Observe que se 0 < x <

√
12 temos x(x2 − 12) < 0, enquanto que se x > √12

temos x(x2− 12) > 0. Logo o item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que x = √12 e´ mı´nimo de
f .

Agora se x < −√12 temos x(x2− 12) > 0, enquanto que se −√12 < x < 0 temos
x(x2 − 12) > 0. Logo o item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que x = −√12 e´ mı´nimo de f .

A Afirmac¸a˜o 4.1 a seguir justifica o uso da noc¸a˜o de ortogonalidade nos problemas
de ma´ximos/mı´nimos:

4. MI´NIMOS DE DISTAˆNCIAS E ORTOGONALIDADE 144

Afirmac¸a˜o 4.1.
i) Se a distaˆncia entre um ponto P e o gra´fico de y = f(x) tem valor mı´nimo

ou ma´ximo local PF > 0, onde F = (x, f(x)), enta˜o a reta tangente ao gra´fico de
y = f(x) em F e´ ortogonal a` reta PF .

ii) Sejam um gra´fico y = f(x) de uma f deriva´vel e uma reta r que na˜o intersecta
esse gra´fico.

Seja F ponto do gra´fico de y = f(x) tal que PF > 0 realiza um valor mı´nimo ou
ma´ximo local da distaˆncia entre pontos do gra´fico e a reta r. Enta˜o a reta tangente
ao gra´fico de y = f(x) em F e´ paralela a` reta r.

Demonstrac¸a˜o.

De i):

Considere F = (x, f(x)) ponto que realiza valor minimo local ou valor ma´ximo
local da distaˆncia ate´ um certo P = (x0, y0) que foi dado.

Considere o c´ırculo C de raio PF centrado em P (lembro que PF > 0):
C = { (x, y); (x− x0)2 + (y − y0)2 = PF 2 }.

Vou fazer aqui a suposic¸a˜o5 de que, perto de F , tambe´m C seja gra´fico de uma func¸a˜o
y = g(x); que de fato e´:

y = g(x) = y0 +

√
PF

2 − (x− x0)2, ∀x ∈ (−δ + x, x+ δ).
Veja a Figura:

P

F

x

y

Considere a func¸a˜o

φ(x) := f(x)− g(x), ∀x ∈ (−δ + x, x+ δ).
Suponha por absurdo que a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F na˜o seja

igual a` reta tangente a C em F (esta sim sabemos que e´ ortogonal a` reta PF ).
Por exemplo, suponha por absurdo que f ′(x) > g′(x) (o caso < e´ completamente

ana´logo).
Enta˜o φ′(x) = f ′(x)− g′(x) > 0.
5que exigiria mais justificac¸a˜o

CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 145

Como φ(x) = 0, a Afirmac¸a˜o 4.1 do Cap´ıtulo 10 da´ que, para um certo � > 0:

φ(x) > 0, ∀x ∈ (x, x+ �) e φ(x) < 0, ∀x ∈ (x− �, x).

Ora, mas enta˜o

f(x) > g(x) ∀x ∈ (x, x+ �) e f(x) < g(x), ∀x ∈ (x− �, x).

Enta˜o

f(x)− y0 > g(x)− y0, ∀x ∈ (x, x+ �),

e portanto ∀x ∈ (x, x+ �):
√
(f(x)− y0)2 + (x− x0)2 >

√
(g(x)− y0)2 + (x− x0)2 = PF 2,

o que diz que F na˜o e´ ponto de ma´ximo local da distaˆncia de P = (x0, y0) ate´ o
gra´fico de y = f(x).

E do mesmo modo, obteremos ∀x ∈ (x− �, x):
√
(f(x)− y0)2 + (x− x0)2 <

√
(g(x)− y0)2 + (x− x0)2 = PF 2,

o que diz que F na˜o e´ ponto de mı´nimo local da distaˆncia ate´ P = (xo, y0).
Essa contradic¸a˜o com a escolha de F termina a prova do item i).

Item ii):
Sejam R ∈ r e F = (x, f(x)) tais que RF realizam valor mı´nimo local ou valor

ma´ximo local da distaˆncia ate´ o gra´fico de y = f(x) e r.
O racioc´ınio da prova do item i) aplicado a um c´ırculo centrado em R de raio

RF > 0 dira´ que a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F e´ ortogonal a` reta RF .
Veja a Figura:

R

F

Mas, por outro lado, o mesmo racioc´ınio agora aplicado a um c´ırculo agora cen-
trado em F de raio RF > 0 dira´ que a reta r (que e´ sua pro´pria reta tangente) e´
ortogonal a` reta RF . Veja a Ffigura:

5. CONCAVIDADES DOS GRA´FICOS 146

R

F

Um fato ba´sico da geometria euclidiana diz que, se uma reta r1 e´ ortogonal a uma
reta r2 e r2 e´ ortogonal a uma reta r3, enta˜o r1 e r3 sa˜o paralelas.

Portanto a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F e´ paralela a r. �

Para concluir esta Sec¸a˜o, pensemos no caso da reta horizontal y = 0 e no gra´fico
de y = 1

x
, ∀x > 0.

Como poder´ıamos definir a distaˆncia entre essas duas curvas ?
Note que se dermos qualquer tamanho � > 0 existem pontos x� ∈ (y = 0) e

z� ∈ (y = 1x) tais que
x�z� = �.

Basta tomarmos por exemplo x� := (
1
�
, 0) e z� := (

1
�
, �).

Enta˜o seria natural dizer que a distaˆncia entre a reta horizontal y = 0 e o gra´fico
de y = 1

x
e´ zero !

Mas note que essa distaˆncia zero entre curvas nunca e´ realizada por pontos de
y = 0 e de y = 1

x
, ja´ que distaˆncia zero entre dois pontos significa que sa˜o o mesmo

ponto e no entanto

(y = 0) ∩ (y = 1
x
) = ∅.

Outra maneira de ver que a distaˆncia zero entre essas curvas nunca e´ realizada por
pontos de y = 0 e de y = 1

x
e´ o item ii) da Afirmac¸a˜o 4.1, pois y′ = −1

x2
6= 0, ∀x > 0.

5. Concavidades dos gra´ficos

Na Definic¸a˜o 5.1 a seguir so´ me interesso no comportamento da func¸a˜o pro´xima
a cada um dos pontos de seu gra´fico.

Definic¸a˜o 5.1. Diremos que uma func¸a˜o e´ localmente coˆncava para cima num ponto
(x, f(x)) de seu gra´fico se existe um intervalo Ix centrado em x em que

f(x) > ax+ b, ∀x