Apostila Prof Julieta UFJF - Cap 1

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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
Capítulo 1: Números Reais
1.1- Conjuntos Numéricos
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos 
então o conjunto
{ },...4,3,2,1 =N .
Os números –1, –2, –3, –4, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais 
com os inteiros negativos e o zero define o conjunto dos números inteiros que denotamos por 
{ },...4 ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±±=Ζ .
 
Os números da forma q
p
, onde p e q são inteiros e q ≠ 0 são chamados de frações e formam o conjunto dos 
números racionais. Denotamos por




≠Ζ∈Ζ∈= 0q , ;Q eqp
q
p
.
Cada número racional q
p
 possui, também, uma representação decimal. Para obtê-la, basta efetuar a divisão 
de p por q. Por exemplo:
 ,641,0
12
5 e 142857,0
7
1 ,25,0
4
1
===
onde a barra acima dos algarismos indica que aquele grupo de algarismos repete-se indefinidamente. Dizemos, 
nesse caso, que se trata de uma dízima periódica.
Observe que, dado o número racional q
p
, ao dividirmos p por q, temos, em cada passo da divisão, apenas 
um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2, ... , q – 1. Portanto, após no máximo q passos, 
chegaremos ao resto zero, que é o que ocorre com 
4
1
, e a representação decimal será finita, ou repetiremos algum 
resto, que é o que ocorre com 
12
5 e 
7
1
, quando teremos uma representação decimal na forma de dízima periódica.
Reciprocamente, se x possuir uma representação decimal finita ou for uma dízima periódica, então x será 
um número racional. Os exemplos a seguir podem ser generalizados para dízimas quaisquer e permitem entender 
como obter uma fração a partir de uma representação decimal.
Exemplo 1: 
4
1
100
2525,0 == .
Exemplo 2: Como 142857,0=x possui um período de 6 dígitos, multiplicamos por 106 para obter 
.142857,142857106 =x Assim, ( ) resulta e 142857110 que modo de ,14285710 66 =−=− xxx
7
1
777
111
10101
1443
111111
15873
999999
142857
110
142857
6 =====
−
=x .
Regra Geral: 
9...999
......,0 321321 tt
aaaaaaaax == , onde o denominador tem tantos dígitos iguais a 9 quantos 
forem os algarismos do período (t, nesse caso).
1
Exemplo 3: Como os dois primeiros dígitos da parte decimal de 641,0=x não fazem parte do período, 
multiplicamos x por 102 para obter 
3
125
3
23.41
3
241
9
6416,0416,41102 =+=+=+=+==x ; portanto, 
12
5
300
125
==x . 
 
Existem números que não podem ser representados na forma q
p
, onde p e q são inteiros e q ≠ 0, ou seja, 
números cuja expansão decimal não é finita e nem periódica, tais como 2,101001000100001..., 
. ...7182818,2 ...,1415927,3 ...,41421,12 === epi Estes números formam o conjunto dos números 
irracionais que denotaremos por QC.
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto 
dos números reais, que denotaremos por
CQQR ∪= .
Temos também os números da forma bia + , onde ba e são números reais e 12 −=i , que constituem o 
conjunto dos números complexos denotado por{ } 1 , ; −=∈∈+= ieRbRabiaC .
Observação: As letras N, Q, R e C são as iniciais das palavras número (ou natural), quociente, real e complexo, 
respectivamente. A letra Z é a inicial da palavra zahl, que significa número em alemão. 
1.2- O Corpo dos Números Reais
No conjunto dos números reais introduziremos duas operações, chamadas adição e multiplicação, as quais 
satisfazem os axiomas a seguir.
 
A adição faz corresponder a cada par de elementos a, b ∈ R sua soma a + b ∈ R, enquanto a multiplicação 
associa a esses elementos o seu produto a . b ∈ R. 
- Axiomas da adição
A1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a + b) + c = a + (b + c).
A2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a + b = b + a.
A3. Elemento neutro: Existe 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, qualquer que seja a ∈ R.
A4. Simétrico: Todo elemento a ∈ R possui um simétrico em R, denotado por –a, tal que a + (–a) = (–a) + a = 0.
- Axiomas da multiplicação
M1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a . b) . c = a . (b . c).
M2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a . b = b . a.
M3. Elemento neutro: Existe 1 ∈ R tal que 1 ≠ 0 e a . 1 = 1 . a = a, qualquer que seja a ∈ R.
M4. Inverso multiplicativo: Todo elemento a ≠ 0 em R possui um inverso multiplicativo em R, denotado por a-1 ou 
1/a, tal que a . a-1 = a-1. a = 1.
D1. - Axioma da distributividade:
Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se a . (b + c) = a . b + a . c e (a + b) . c = a . c + b . c.
2
Observações:
1. Outros conjuntos numéricos apresentam-se munidos das operações de adição e multiplicação, satisfazendo as 
nove propriedades anteriormente referidas. Por exemplo, o conjunto Q dos números racionais e o conjunto C dos 
números complexos.
2. Um conjunto K munido de duas operações satisfazendo aos nove axiomas anteriores é denominado corpo. 
Portanto, relativamente às operações de adição e multiplicação, R é um corpo. Também Q e C são corpos.
3. Usando os axiomas A.4 e M.4 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
- Subtração: Se a e b são números reais, a diferença entre a e b, denotada por a – b, é definida por 
a – b = a + (– b). A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R sua diferença a – b ∈ R chama-se 
subtração.
- Divisão: Se a e b são números reais e b ≠ 0, o quociente de a por b, denotado por 
b
a
, é definido por 
b
aba
b
a 1 . . 1 == − . A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R, com b ≠ 0, o quociente R
b
a
∈ 
chama-se divisão.
1.3- Algumas propriedades que se deduzem dos axiomas de corpo
P.1. O elemento neutro da adição em R é único.
Vamos supor que 0 e 0’ são elementos neutros para a adição em R.
Temos:
0 é neutro e 0’∈ R ⇒ 0 + 0’= 0’; 
0 ∈ R e 0’é neutro ⇒ 0 + 0’ = 0.
Logo, 0’= 0. Portanto o elemento neutro da adição em R é único.
 
P.2. O elemento simétrico em R é único.
Vamos supor que –a e a’são simétricos de a ∈ R.
Então: 
a' = a’+ 0 = a’+ [a + (–a)] = (a’+ a) + (–a) = 0 + (–a) = –a.
Portanto o elemento simétrico de a ∈ R é único.
P.3. O elemento neutro da multiplicação em R é único.
Vamos supor que 1 e 1’ são elementos neutros para a multiplicação em R.
Temos:
1 é neutro e 1’∈ R ⇒ 1 . 1’= 1’; 
1 ∈ R e 1’é neutro ⇒ 1 . 1’ = 1.
Logo, 1’= 1. Portanto o elemento neutro da multiplicação em R é único. 
P.4. O elemento inverso em R é único.
Vamos supor que a-1 e a’ são inversos de a ∈ R, a ≠ 0.
Então: 
a' = a’. 1 = a’. (a . a-1) = (a’. a) . a-1 = 1 . a-1 = a-1.
Portanto o elemento inverso de a ∈ R, a ≠ 0, é único.
P.5. Se a ∈ R então a . 0 = 0.
Temos:
a.0 = a. (0 + 0) = a.0 + a.0 ⇒ a.0 + [– (a.0)] = a.0 + a.0 + [– (a.0)] ⇒ 0 = a.0.
Logo, a.0 = 0. 
3
P.6. Se a, b ∈ R tais que a . b = 0 então a = 0 ou b = 0.
Se a = 0, não temos nada a mostrar.
Vamos supor, então, a ≠ 0. Assim existe a-1 ∈ R e obtemos:
a.b = 0 ⇒ a-1 (a.b) = a-1.0 ⇒ (a-1.a).b = 0 ⇒ 1.b = 0 ⇒ b = 0. 
P.7. Se a, b, c ∈ R então, a – b = c ⇔ a = b + c.
Temos:
a – b = c ⇒ a + (–b) = c ⇒ [a + (–b)] + b = c + b ⇒ a + [(–b) + b] = b + c ⇒ a + 0 = b + c ⇒ a = b + c.
a = b + c ⇒ (–b) + a = (–b) + (b + c) ⇒ a + (–b) = [(–b) + b] + c ⇒ a – b = 0 + c ⇒ a – b = c. 
P.8. Se a, b, c ∈ R, com b ≠ 0, então, cbac
b
a .=⇔= .
Temos:
( ) ( )
( ) ( ) ..1........
...1.......
11111
111
c
b
acbacbbbacbbabcba
cbacbacbbbabcbbacbac
b
a
=⇒=⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
−−−−−−−−
P.9. Se a, b, c ∈ R então, a + c = b + c ⇒ a = b.
Temos:
a + c = b + c ⇒ (a + c) + (–c) = (b + c) + (–c) ⇒ a + [c + (–c)] = b + [c + (–c)] ⇒ a + 0 = b + 0 ⇒ a = b. 
P.10. Se a, b, c ∈ R, com c ≠ 0, então, a . c = b . c ⇒ a = b.
Temos: 
a.c = b.c ⇒ (a.c).c-1 = (b.c).c-1 ⇒ a.(c.c-1) = b.(c.c-1) ⇒ a.1 = b.1 ⇒ a = b.
P.11. Se a, b ∈ R então, – a = (– 1) . a; 
 – ( – a) = a;
 (– a) b = a (– b) = – (a b);
 (– a) (– b) = a b.
1) (–1).a + a = (–1).a + 1.a = [(–1) + 1].a = 0.a = 0; logo o simétrico de a é (–1).a, ou seja, –a = (–1).a.
2) a + (–a) = 0; logo o simétrico de (–a) é a, isto é, –(–a) = a.
3) (–a).b + a.b = [(–a) + a].b = 0.b = 0; logo (–a).b é o simétrico de a.b, isto é, (–a).b = –(a.b).
a.(–b) + a.b = a.[(–b) + b] = a.0 = 0; logo a.(–b) é o simétrico de a.b, ou seja, a.(–b) = –(a.b).
4) (–a).(–b) = –[a(–b)] = –[ –(a.b)] = a.b. 
P.12. Se a, b ∈ R então, a2 = b2 se, e somente se, a = ± b.
Temos:
( ) ( ) 00.02222 =−⇔=+−⇔=−⇔= bababababa ou baba =⇔=+ 0 ou ba −= . 
1.4- Desigualdades e suas propriedades
- Axioma de Ordem
No conjunto dos números reais, existe um subconjunto denominado de conjunto dos números positivos tal 
que as seguintes condições são satisfeitas:
(i) dado a ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou a = 0, ou a é positivo ou 
– a é positivo;
(ii) a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é positivo.
4
- Definições
1. O número real a é negativo se, e somente se, – a é positivo.
2. Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos como segue:
(i) a < b ⇔ b – a é positivo;
(ii) a > b ⇔ a – b é positivo.
3. Os símbolos ≤ (menor que ou igual a) e ≥ (maior que ou igual a) são definidos como segue:
(i) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b;
(ii) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b.
4. Expressões envolvendo os símbolos <, >, ≤ ou ≥ são chamadas desigualdades. Expressões do tipo a < b e 
a > b são desigualdades estritas, enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas.
- Propriedades
Sejam a, b, c e d números reais. Temos:
P.1. a > 0 ⇔ a é positivo
a > 0 ⇔ a – 0 é positivo ⇔ a é positivo 
P.2. a < 0 ⇔ a é negativo 
a < 0 ⇔ 0 – a é positivo ⇔ – a é positivo ⇔ a é negativo 
 
P.3. a > 0 ⇔ – a < 0
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ – a é negativo ⇔ – a < 0 
 
P.4. a < 0 ⇔ – a > 0
a < 0 ⇔ a é negativo ⇔ – a é positivo ⇔ – a > 0 
P.5. Se a ∈ R e a ≠ 0 então a2 > 0. Em particular, 1 > 0.
Como a ∈ R e a ≠ 0 temos, pelo axioma de ordem, que a > 0 ou – a > 0.
Também pelo axioma de ordem obtemos que se a > 0 então a2 = a.a > 0 e se – a > 0 então a2 = a.a = (– a).( – a) > 0. 
Em particular, 1 ≠ 0 e 1 = 12; logo 1 > 0. 
P.6. Dados a, b ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: ou a = b, ou a < b ou a > b.
Sendo a, b ∈ R então b – a ∈ R e, pelo axioma de ordem, temos: ou b – a = 0, ou b – a > 0 ou – (b – a) > 0. Assim, 
ou a = b, ou a < b ou a > b.
P.7. Se a < b e b < c então a < c.
Temos:
a < b e b < c ⇒ b – a > 0 e c – b > 0 ⇒ (b – a) + (c – b) > 0 ⇒ c – a > 0 ⇒ a < c. 
P.8. Se a < b então a + c < b + c.
Temos:
a < b ⇒ b – a > 0 ⇒ b + c – c – a > 0 ⇒ (b + c) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + c. 
5
P.9 Se a < b e c > 0 então a c < b c.
Temos:
a < b e c > 0 ⇒ b – a > 0 e c > 0 ⇒ c. (b – a) > 0 ⇒ b.c – a.c > 0 ⇒ a.c < b.c 
P.10. Se a < b e c < 0 então a c > b c. Em particular, a < b é equivalente a – a > – b.
Temos:
a < b e c < 0 ⇒ b – a > 0 e – c > 0 ⇒ (b – a).( – c) > 0 ⇒ a c – b c > 0 ⇒ a c > b c. 
P.11. Se a < b e c < d então a + c < b + d.
Temos:
a < b e c < d ⇒ b – a > 0 e d – c > 0 ⇒ (b – a) + (d – c) > 0 ⇒ (b + d) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + d. 
P.12. Se 0 < a < b e 0 < c < d então a c < b d.
Temos:
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc
c < d e b > 0 ⇒ bc < bd
Logo, ac < bd. 
P.13. Se a > 0 e b < 0 então a b < 0.
Temos:
a > 0 e b < 0 ⇒ a > 0 e – b > 0 ⇒ a.( – b) > 0 ⇒ – (ab) > 0 ⇒ ab < 0.
 
P.14. Se a > 0 então a-1 > 0. Segue-se que a > 0 e b > 0 implica 0>
b
a
.
Como a > 0 e a.a-1 = 1 > 0 então a-1 > 0, pois se a-1 = 0 então a.a-1 = a.0 = 0 e se a-1 < 0 então a.a-1 < 0.
Se a > 0 e b > 0 então a > 0 e b-1 > 0; logo 01 >= −ab
b
a
.
P. 15. Se 0 < a < b então b-1 < a-1.
Temos:
( ) ( ) ( ) 0111111 111 >−=−=


−=


−=−=−
−
−− ababab
abb
ab
a
ab
abbaab
ab
ba
ba .
Logo, b-1 < a-1.
- Observações:
1. As propriedades P.7 a P.15 válidas para a relação < também são válidas para as relações >, ≤ e ≥. É evidente 
que se a ∈ R então a ≤ a, e dados a, b ∈ R, tem-se a = b se, e somente se, a ≤ b e b ≤ a. 
2. Um corpo ordenado é um corpo K no qual se destaca um subconjunto P ⊂ K, chamado o conjunto dos 
elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas:
P.1. Dado x ∈ K, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ P ou – x ∈ P.
P.2. A soma e o produto de elementos positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ P então x + y ∈ P e x.y ∈ P.
Os elementos – x de K tais que x ∈ P chamam-se negativos. 
Portanto, R e Q são corpos ordenados. 
 
3. Num corpo ordenado K, se a ≠ 0 então a2 ∈ P. De fato, sendo a ≠ 0, ou a ∈ P ou – a ∈ P. No primeiro caso, a2 
= a.a ∈ P. No segundo caso, a2 = (– a).( – a) ∈ P, pois valem as mesmas regras de sinais vistas para o conjunto R.
Em particular, num corpo ordenado 1 = 1. 1 é sempre positivo e, segue que, – 1 é negativo. Portanto, num corpo 
ordenado, – 1 não é quadrado de elemento algum. Assim, concluímos que C não é ordenado.
6
4. Geometricamente, o conjunto dos números reais pode ser visto como uma reta, através de uma correspondência 
entre os números reais e os pontos da reta. Para tanto, escolhemos um ponto arbitrário da reta, que denominamos 
origem, e uma unidade de medida. A origem fica em correspondência com o número 0 (zero). Na semi-reta da 
direita representamos os números reais positivos e, na semi-reta da esquerda, os números reais negativos. Essa reta, 
provida da origem e da correspondência com os números reais, costuma ser denominada reta real e denotada, 
também, por R. Na correspondência com a reta real, ba < significa que a fica à esquerda de b.
 
1.5- Valor absoluto de um número real
Se quisermos obter, para cada número real x, a distância entre x e a origem, devemos considerar os 
seguintes casos:
 
Nos dois primeiros casos, dizemos que a distância entre x e 0 é o próprio x. No terceiro caso, a distância é –x.
- Definição
O valor absoluto (ou módulo) de um número real x, denotado por x , é definido por:
 

<−
≥
=
.0 ,
0 ,
xsex
xsex
x 
 
De acordo com a definição temos que se x ∈ R então 0≥x , e 0=x se, e somente se, x = 0.
Além disso, se x ∈ R, ou x e – x são ambos zero, ou um é positivo e o outro é negativo. Aquele, dentre 
x e – x, que não for negativo, é x . Logo, x é o maior dos elementos x e – x, ou seja, x = máx { x, – x}.
Temos, portanto, xx ≥ e xx −≥ . Esta última desigualdade pode ser escrita xx ≤− e obtemos 
xxx ≤≤− .
Pelo que vimos, geometricamente, o valor absoluto de um número real x é a distância entre x e 0 (zero).
Para encontrarmos a distância entre dois números reais a e b quaisquer, devemos analisar três situações 
possíveis para pontos a e b arbitrários da reta real:
 
No primeirocaso, como 0>− ab , temos abab −=− ; no segundo caso, como 0=− ab , temos 
abab −==− 0 ; no terceiro caso, como 0<− ab , temos ( ) baabab −=−−=− . Assim, em qualquer 
caso, temos baab e entre distância =− .
7
- Propriedades
P.1. Para todo a ∈ R temos 2
2 aa = . 
Como a é um dos elementos a ou -a então 2
2 aa = ou ( ) 222 aaa =−= .
Logo, 2
2 aa = .
P.2. Se a ∈ R então aa =− .
 
Se a = 0 então –a = 0 e aa ==− 0 .
Se a > 0 então –a < 0; assim ( ) aaa =−−=− e aa = .
Se a < 0 então –a > 0; segue que aa −=− e aa −= .
Portanto, aa =− .
P.3. Se ax = então x = a ou x = – a, onde 0 e , ≥∈ aRax .
Como ax = e x é um dos elementos x ou –x então x = a ou – x = a. Logo, x = a ou x = – a. 
P.4. Se a, b ∈ R e ba = então a = b ou a = – b.
Como a = a ou – a, b = b ou – b e ba = então a = b ou a = – b. 
P.5. ax < se, e somente se, axa <<− , onde 0 e , >∈ aRax .
Temos:
{ } axaaxaxaxaxaxxx <<−⇔−><⇔<−<⇔<−= e e ,max .
P.6. ax ≤ se, e somente se, axa ≤≤− , onde 0 e , >∈ aRax .
Demonstração análoga a P.5.
P.7. ax > se, e somente se, axax −<> ou , onde 0 e , >∈ aRax .
( )
( ) a. obtemos como e então Se . temos como e Se 
.ou logo ;ou então ou e Como 
>−≥>−−<>≥>⇐
−<>>−>−=>⇒
xxxaxaxaxxxax
axaxaxaxxxxax
P.8. ax ≥ se, e somente se, axax −≤≥ ou , onde 0 e , >∈ aRax .
Demonstração análoga a P.7.
P.9. Se a, b ∈ R então baba . . = .
Temos:
( ) ( ) bababababababa ....... 2222222 ±=⇒==== .
Como baba . e . são reais não negativos obtemos baba . . = .
8
P.10. Se a, b ∈ R e b ≠ 0 então b
a
b
a
= .
Inicialmente vamos mostrar que 
bb
11
= . De fato, 11 . .1 −− == bbbb ; assim 1 −b é o inverso multiplicativo 
de b , ou seja, 11 −− = bb . Logo, 
bb
11
= .
Portanto, 
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
====
1.1.1. .
P.11. Se a, b ∈ R então baba +≤+ . (Desigualdade triangular)
Se a = b = 0, é claro que baba +≤+ . 
Se a ≠ 0 ou b ≠ 0, temos: ( ) babababababbbaaa +≤+⇒+≤+≤+−⇒≤≤−≤≤− e .
P.12. Se a, b ∈ R então baba +≤− . 
Temos:
( ) babababa +=−+≤−+=− .
P.13. Se a, b ∈ R então bababa −≤−≤− .
Se a = b, é claro que bababa −≤−≤− .
Se a ≠ b, temos:
( ) bababbabbaa −≤−⇒+−≤+−= 
( ) bababaababaabaabb −−≥−⇒−=−≤−⇒+−≤+−= 
Assim obtemos: bababa −≤−≤−−
Logo, baba −≤− e, portanto, bababa −≤−≤− .
P.14. Se a, b, c ∈ R então cbbaca −+−≤− .
Temos:
cbbacbbaca −+−≤−+−=− .
P.15. Se a ∈ R então aa =2 . 
Explicação:
Dados um número real a ≥ 0 e um número natural n, demonstra-se que sempre existe um único real positivo 
ou nulo b tal que bn = a.
Ao número b chamamos raiz n-ésima de a e indicamos por n ab = , onde a é chamado radicando, o 
símbolo é o radical e n é o índice.
9
Por exemplo:
 2325 = , pois 25 = 32 007 = , pois 07 = 0
39 = , pois 32 = 9 116 = , pois 16 = 1
Conseqüências:
1. Da definição decorre que ( ) aa nn = .
2. Pela definição temos que 636 = e não 636 ±= . Mas, 39 ,24 ,283 ±=±−=−−=− são 
sentenças verdadeiras, onde o radical não é o causador do sinal que o antecede.
3. Note que no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito temos: aa =2 . 
De fato, 2a é, por definição, o único número real positivo ou nulo que elevado ao quadrado resulta 2a . Como 
22 aa = e 0≥a , segue que aa =2 . 
Por exemplo, ( ) ( ) 55 não e 555 22 −=−=−=− .
1.6- Intervalos
 
- Definições
Sejam a e b números reais, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R definidos a seguir são chamados 
intervalos:
[ ] { } ( ] { }
( ) { } ( ) { }
[ ) { } [ ) { }
( ] { } ( ) { }
( ) ., 
,;, ,;,
,;, ,;,
,;, ,;,
,;, ,;,
R
xaRxabxaRxba
xaRxabxaRxba
bxRxbbxaRxba
bxRxbbxaRxba
=+ ∞∞−
<∈=+ ∞≤<∈=
≤∈=+ ∞<≤∈=
<∈=∞−<<∈=
≤∈=∞−≤≤∈=
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [ ]ba, é um intervalo fechado, ( )ba, é aberto, 
[ )ba, é fechado à esquerda, ( ]ba, é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: ( ]b,∞− é a 
semi-reta esquerda, fechada, de origem b; ( )b,∞− é a semi-reta esquerda, aberta, de origem b; [ )+ ∞,a é a semi-
reta direita, fechada, de origem a; ( )+ ∞,a é a semi-reta direita, aberta, de origem a; ( )+ ∞∞− , pode ser 
considerado aberto ou fechado. Quando a = b, o intervalo fechado [ ]ba, reduz-se a um único elemento 
[ ] { }aaa =, , chama-se um intervalo degenerado, e os outros três intervalos da esquerda, neste caso, são vazios.
- Observações:
1. Os símbolos – ∞ (leia-se menos infinito) e +∞ (leia-se mais infinito) não representam números reais.
2. Todo intervalo não-degenerado é um conjunto infinito e contém números racionais e números irracionais.
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1.7- Exemplos
1. Encontre um número racional c e um número irracional d tais que bdca <<< , para os números reais a e b 
dados, com a < b.
a) 
3
1 e 
4
1
== ba
b) 328994,0 e 327994,0 == ba
c) ...8714799,0 e 479871,0 == ba
d) 10010002,0 e ...10010001,0 == ba
2. “O resultado da soma de dois números irracionais é um número irracional.” Verifique se é verdadeira ou falsa 
essa afirmação, justificando sua resposta. 
3. Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica na reta real.
a) 2 + 3x < 5x + 8
b) 4 < 3x – 2 ≤ 10
c) 0 , 2
7
≠> x
x
d) 3 , 4
3
≠<
−
x
x
x
e) (x + 3) (x + 4) > 0
4. Resolva as seguintes equações:
a) 523 =+x
b) 3412 +=− xx
c) 345 −=+x
d) xxx 4122 +=−+
5. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
a) 45 <−x
b) 2 ,4
2
23
−≠≤
+
− x
x
x
c) 523 >+x 
1.8- Exercícios
Páginas 10 e 11 do livro texto. 
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