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www.profafguimaraes.net 1 600 v0 v Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 10 Questão 1 Uma bola de bilhar de massa igual a 200g colide contra o anteparo lateral de uma mesa de bilhar. O módulo da velocidade da bola vale 2mڄs ‐1 e o ângulo com a normal ao anteparo vale 600; o tempo de contato da bola com o anteparo é igual a 0,008 s. Determine o módulo da força média exercida pelo anteparo sobre a bola de bilhar supondo que o choque seja perfeitamente elástico. Resolução: ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 ; , 2 ; 60 2 0,2 2 0,5 50 . 0,008 m x y x y x x y y m y y m m J P F t m v i v j v i v j v i v i v j v j F t mv j v vcos F j F N j =∆ ⋅∆ = + − + = =− ⋅∆ = = ⋅ ⋅ ⋅= ∴ = ? ? ? ? ? ? Questão 2 Uma bola de massa igual a 0,4 kg é atingida por um taco, recebendo o impulso indica na figura ao lado. Determine o módulo da velocidade da bola no momento em que ela abandona o taco. Resolução: A função representada no gráfico ao lado é uma função do tipo: 2F at bt c=− + + . Do gráfico observa‐se que para t = 1 ms, F = 1100,0 N. Assim, podemos escrever: 6 31100 10 10a b c− −=− ⋅ + ⋅ + . (2.1) Também do gráfico observa‐se que para t = 2 ms, F =2200,0 N. Desta forma podemos escrever: 6 32200 4 10 2 10a b c− −=− ⋅ + ⋅ + . (2.2) Sendo 2200 N o valor máximo da força. Nesse instante, temos: 0,0 500,0 1000,0 1500,0 2000,0 2500,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 t (ms) F( N ) www.profafguimaraes.net 2 32 ; 0 2 4 10dF dFat b b at b a dt dt −=− + = ⇒ = ⇒ = ⋅ . (2.3) Utilizando as relações (2.1) e (2.2), temos: 6 6 3 3 6 3 2200 1100 4 10 10 2 10 10 1100 3 10 10 . a a b b c c a b − − − − − − − =− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + − =− ⋅ + ⋅ Agora utilizando a relação (2.3), temos: 6 6 61100 3 10 4 10 1100 10 .a a a− −=− ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ De (2.3), temos: 34400 10b= ⋅ . E da relação (2.1), por exemplo, temos: ( ) ( )26 3 3 31100 1100 10 10 4400 10 10 2200. c c − −=− ⋅ + ⋅ + =− Assim, a função assume a forma dada por: 6 2 31100 10 4400 10 2200F t t=− ⋅ + ⋅ − . O instante que o taco atinge a bola e o instante que a bola abandona o taco são dados por: 6 2 30 1100 10 4400 10 2200t t=− ⋅ + ⋅ − . Assim, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 3 23 6 6 3 6 3 3 1 26 10 4 10 2 0 4 10 4 10 2 8 10 4 10 8 10 0,6 10 3,4 10 . 2 10 t t t t s e t s− −− − + ⋅ − = ∆= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ ± ⋅= ⇒ ≅ ⋅ ≅ ⋅− Desta forma, podemos calcular a variação do momento linear e conseqüentemente a velocidade final (admitindo que a velocidade inicial seja nula): ( ) 3 3 3 3 3,410 2 6 3 0,610 3,4103 6 2 3 0 0,610 1 0 1100 10 4400 10 2200 1100 10 2200 10 2200 3 5,25,2 13 . 0,4 J P t t dt tP P t t P P v m s − − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − =∆ = − ⋅ + ⋅ − ⎡ ⎤− ⋅⎢ ⎥− = + ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦ /− ≅ ⇒ = = ⋅ ∫ www.profafguimaraes.net 3 Questão 3 A força sobre um objeto de 8 kg aumenta linearmente com o tempo. A força é nula no instante inicial e igual a 100 N quando t = 10 s. Determine: (a) a expressão do impulso em função do tempo, (b) a força média neste intervalo de tempo, (c) o impulso total, (d) a variação do momento, (e) a velocidade do objeto para t = 10 s. Resolução: a) Observando o gráfico ao lado, podemos concluir que a expressão da força é dada por: 10F t= . Assim, podemos determinar a expressão do impulso para um dado instante: 2 0 10 5 t J t dt t′ ′= =∫ . b) 210 5 10 50 .m mF F N⋅ = ⋅ ⇒ = c) 25 10 500 .J N s= ⋅ = ⋅ d) 500 .J P N s=∆ = ⋅ e) 0 1 500 8 500 62,5 . P P v v m s− /− = = ∴ = ⋅ Questão 4 Um bloco de massa m = 10 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Sobre o bloco atua uma força horizontal cujo módulo é dado em função do tempo pela expressão: 2F bt ct= − onde 24b N s−= ⋅ e 11c N s−= ⋅ , t é dado em s e F em N. Obtenha: (a) a expressão do impulso em função do tempo, (b) o impulso total nos 4 segundos iniciais, (c) a variação do momento linear nos 4 segundos iniciais, (d) a velocidade do bloco no instante t = 4 s. Resolução: a) ( )2 0 0 3 2 4 4 . 3 2 t t J F dt t t dt t tJ ′ ′ ′ ′= = − ∴ = − ∫ ∫ b) 3 2 4 4 4 4 77,3 . 3 2 J N s⋅= − = ⋅ 0 20 40 60 80 100 120 0 5 10 15 t(s) F( N ) www.profafguimaraes.net 4 c) 77,3 .P N s∆ = ⋅ d) 10 77,3 10 77,3 7,73 .P P v v m s −/− = ⇒ = ∴ = ⋅ Questão 5 Um pêndulo balístico é constituído por uma caixa de areia suspensa por um fio. Um projétil de massa m1 = 30 g penetra na caixa e fica nela encravado. O centro de massa da caixa se eleva até uma altura h = 30 cm. A massa da caixa vale m2 = 3,0 kg. (a) Deduza uma expressão para a velocidade do projétil em função destes dados. (b) Calcule o valor numérico da velocidade do projétil quando ele atinge a caixa. Resolução: a) Imediatamente após a colisão teremos: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 . i f ix fxP P P P m v m m v m m v v m = ⇒ = = + += ? ? (5.1) Após a colisão, com o projétil alojado dentro da caixa, utilizaremos a conservação da energia mecânica da posição imediatamente após a introdução do projétil (A), até posição “h” (B). Assim, teremos: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 . A BE E m m v m m gh v gh = + = + = (5.2) Dos resultados obtidos em (5.1) e (5.2) teremos: ( ) ( )121 2 1 1 2 . m m gh v m + ⋅= b) ( ) ( )12 1 1 1 0,03 3 2 10 0,3 247,5 . 0,03 v v m s− + ⋅ ⋅ ⋅= ∴ ≅ ⋅ h v1 www.profafguimaraes.net 5 Questão 6 Um corpo de massa igual a 5,0 kg colide elasticamente com outro que se encontra inicialmente em repouso e continua sua trajetória no mesmo sentido, porém o módulo da velocidade se reduz a um quinto do módulo inicial. Calcule a massa do corpo atingido. Resolução: Utilizando a conservação do momento linear, teremos: 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 5 5 5 4 . i f i f i f f i i f i f P P P P m v m v m v vv m v v m v = ⇒ = = + = ⋅ + = ? ? (6.1) Como a colisão é elástica, as velocidades relativas de aproximação e afastamento serão iguais: 1 2 2 1 1 1 2 1 2 5 6 . 5 i i f f f i f i f v v v v v v v vv − = − = − = (6.2) Dos resultados (6.1) e (6.2), teremos: 1 1 2 2 64 5 20 . 6 i i vv m m kg = ⋅ ∴ = Questão 7 Em uma arma de fogo automática de carregamento pela culatra, de modelo antigo, o mecanismo de carga situado atrás da culatra entra em ação quando o bloco da culatra, que recua depois de a bala ser disparada, comprime uma mola de comprimento predeterminado d. (a) Mostre que a velocidade v da bala de massa m, ao ser atirada, deve ser no mínimo, d kM m , sendo k a constante elástica da mola e M a massa do bloco da culatra. (b) Em que sentido pode este processo ser considerado como um choque? Resolução: a) Fazendo uma análise dimensional teremos, para a expressão: ( ) ( )1 12 1 1 22 2 11 2 . kMv d v L M L T L M M v L M T m v L T M − − − − − = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ (7.1) www.profafguimaraes.net 6 A análise dimensional mostra que aexpressão dada no enunciado da questão, não está correta. Porém, utilizaremos a conservação do momento linear para encontrar a expressão. Imediatamente antes e imediatamente depois do disparo, temos: 0 . i f ix fxP P P P mv MV mvV M = ⇒ = = − = ? ? (7.2) Onde v é a velocidade da bala e V é a velocidade de recuo do bloco da culatra. Após o disparo, o bloco da culatra recua com a velocidade dada pela expressão (7.2). A culatra recua até comprimir a mola de um comprimento d. Utilizando a conservação da energia mecânica teremos: 2 2 2 2 . i f MV kdE E kV d M = ⇒ =/ / = (7.3) Utilizando os resultados de (7.2) e (7.3), teremos: 2 2 2 mv k d M k M kd v v d M M m M m M Mkv d m /⋅= ⇒ = ⇒ = / ∴ = (7.4) Fazendo uma análise dimensional, teremos: ( )12 2 1 22 1. Mkv d v L M M M L T L m v L T − − − − / / / / /= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Segundo a análise dimensional, a expressão obtida em (7.4) está correta. Questão 8 Dois pêndulos, cada um de comprimento l estão, inicialmente, posicionados como mostra a figura ao lado. O primeiro pêndulo é solto e atinge o segundo, Suponha que a colisão seja completamente inelástica e despreze a massa dos fios e quaisquer efeitos resultantes do atrito. Até que altura o centro de massa sobe após a colisão? Resolução: Utilizaremos a conservação da energia mecânica para determinar a velocidade de 1 imediatamente antes da colisão: l l m1 m2 d www.profafguimaraes.net 7 ( )2 11 1 21 1 1 1 2 .2i f m vE E m gd v gd= ⇒ = ⇒ = Podemos agora, utilizar a conservação do momento linear para determinar a velocidade do conjunto imediatamente após a colisão: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 12 11 1 1 2 12 12 1 2 1 2 2 . i f i fP P P P m v m m v m v mv v gd m m m m = ⇒ = = + = ⇒ = ⋅+ + ? ? Utilizamos aqui, a conservação da energia mecânica para o conjunto. Desta forma determinamos a altura que o centro de massa atinge após a colisão: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 12 12 12 1 2 2 2 12 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 . i f m m v E E m m gh v mh h gd g g m m mh d m m += ⇒ = + /= ⇒ = ⋅ ⋅ /// + ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟∴ = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠ Questão 9 Duas partículas, uma tendo o dobro da massa da outra, com uma mola comprimida entre elas são mantidas juntas. A energia armazenada na mola é 60 J. Que energia cinética tem cada partícula após elas terem sido soltas? Resolução: Utilizando a conservação do momento linear, teremos: 1 1 2 2 1 2 2 1 0 ; 2 . 2 i f ix fxP P P P m v m v m m vv = ⇒ = = + = = ? ? (9.1) Utilizando agora a conservação da energia mecânica, teremos: 1 2 2 2 1 1 2 160 . 2 2 i f elE E U K K m v m v = ⇒ = + = + (9.2) Como o resultado de (9.1) em (9.2), teremos: 2 2 2 2 2 2260 2 4 2 m v m v= ⋅ + www.profafguimaraes.net 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 60 4 2 3 360 4 2 40 . m v m v m v K K J = + = = ∴ = Conclui‐se então que 1 20 .K J= Questão 10 Um vagão de carga com massa igual a 40 toneladas se desloca a 2,5 mڄs ‐1 e colide com outro que viaja no mesmo sentido com velocidade igual a 1,5 mڄs ‐1; a massa do segundo vagão é igual a 25 toneladas. (a) Ache as velocidades dos dois vagões após a colisão e a perda de energia cinética durante a colisão, supondo que os dois vagões passam a se mover juntos. (b) Se a colisão fosse elástica, os dois vagões não se uniriam e continuariam a se locomover separados; qual seria neste caso a velocidade de cada vagão? Resolução: a) Utilizando a conservação do momento linear, teremos: ( )1 1 2 2 1 2 12 12 1 12 40 2,5 25 1,5 65 2,1 . i f ix fxP P P P M v M v M M v v v m s− = ⇒ = + = + ⋅ + ⋅ = ⋅ ≅ ⋅ ? ? A perda de energia cinética: ( ) 2 2 2 2 3 31 1 2 2 2 1 2 12 3 4 40 2,5 25 1,5 10 153 10 2 2 2 2 143 10 2 10 . i f M v M vK J M M v K J K J ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎜ ⎟= + = + ⋅ ≅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ += ≅ ⋅ ∴∆ =− b) Novamente, utilizando a conservação do momento linear, teremos: 1 2 1 2 40 2,5 25 1,5 40 25 40 25 137,5. i f ix fx f f f f P P P P v v v v = ⇒ = ⋅ + ⋅ = + + = ? ? (10.1) Como a colisão é elástica, as velocidades relativas de aproximação e de afastamento devem ser iguais. Assim, teremos: 1 2 2 1 2 1 1. i i f f f f v v v v v v − = − − = (10.2) www.profafguimaraes.net 9 Utilizando os resultados de (10.1) e (10.2), teremos: ( )1 1 1 1 1 40 25 1 137,5 65 112,5 1,731 . f f f f v v v v m s− + + = = ∴ ≅ ⋅ Utilizando novamente a relação de (10.2), concluímos que 12 2,731 .fv m s −≅ ⋅ Questão 11 Um elétron colide elasticamente com um átomo de hidrogênio inicialmente em repouso. Os deslocamentos inicial e final se fazem ao longo do mesmo curso. Que fração da energia cinética inicial do elétron é transferida ao átomo de hidrogênio? A massa do átomo de hidrogênio é 1840 vezes a massa do elétron. Resolução: Utilizando a conservação do momento linear, teremos: . 1840 1840 i f ix fx e ie e fe H fH e ie e fe e fH ie fe fH P P P P m v m v m v m v m v m v v v v = ⇒ = = + = +/ / / = + ? ? (11.1) Como a colisão é elástica, as velocidades relativas de aproximação e afastamento devem ser iguais. Assim, teremos: . ie iH fH fe ie fH fe v v v v v v v − = − = − (11.2) Dos resultados de (11.1) e (11.2), teremos: 2 1841ie fHv v= Para as energias cinéticas, teremos: 22 2 6 1840 4; 2 2 2 3,4 10 H fHe ie e ie fH ie m vm v mK K v= = = ⋅ ⋅ . A fração de energia cinética é dada por: 2 6 3 2 6 920 4 73603,4 10 2,2 10 0,22%. 3,4 10 2 e ie fH fH e ieie ie m v K K m vK K − ⋅ ⋅ ⋅= = ≅ ⋅ ∴ ≅⋅ www.profafguimaraes.net 10 Questão 12 Uma bola de massa m e velocidade vi é projetada no cano de uma espingarda de mola, de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito (veja figura ao lado). A massa m adere ao cano no ponto da compressão máxima da mola. Nenhuma energia é perdida em atrito. Que fração da energia cinética inicial da bola fica armazenada na mola? Resolução: Utilizando a conservação do momento linear, teremos: ( ) i f i f i i P P P P mv M m v mvv M m = ⇒ = = + = + ? ? Como não há perdas de energia por atrito, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 i f el i el i i el i el K K U M m vmv U M mmv m vU M m mMvU M m = + += + += − ⋅ + = + Assim, a fração da energia cinética inicial que fica armazenada na mola é dada por: ( ) 2 2 2 . 2 i el ii mMv M mU M mvK M m / / / += = +// / Questão 13 Um bloco de massa m1 = 3,0 kg desliza ao longo de uma mesa sem atrito com velocidade v1 = 15 mڄs ‐1. Na frente dele, e movendo‐se na mesma direção e sentido, existe um bloco de massa m2 = 6,0 kg que se move com velocidade de 5 mڄs ‐1. A mola indicada na figura ao lado, possui massa desprezível e uma constante elástica k = 1500Nڄm‐1. A massa reduzida Mr de um sistema de duas partículas é definida pela expressão: M vi m v1i v2i m2 m1 www.profafguimaraes.net 11 1 2 1 2 r m mM m m= + . (a) Obtenha uma expressão para a energia cinética de um sistema de duas massas em relação ao referencial do centro de massa em função da massa reduzida Mr e em função da velocidade relativa vr. (b) Quando os dois blocos colidem qual deve ser a energia potencial do sistema constituído pelas duas massas que comprimem a mola? (c) Ache o valor numérico da deformação máxima da mola depois do impacto. Resolução: (a) Com relação ao centro de massa, as velocidades dos dois blocos são dadas por: 1 1 2 2; .cm cmv v v v v v′ ′= − = − A velocidade do centro de massa é dada pela média ponderada: 1 1 2 2 1 2 cm m v m vv m m += + . (13.1) A energia cinética, com relação ao centro de massa do sistema antes da colisão é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 22 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2 2 2 . 2 2 cm cm i cm i cm m v v m v v K m m vm v m vK v m v m v − −= + ++= − + + Utilizando a equação (13.1), teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ; , 2 2 i i r r i r r m v m v m m m v m vm v m vK m v m v m m m m m v m v m m m v m m v v m v K m m m m M v mmK M v v v m m + + ++= − + ⋅ + ⋅+ + + + + += −+ + ∴ = = = −+ (b) 2 2el kxU = . (c) 22 2 2 2 2 18750 10 2 9 0,365 . r r el M vkxU x x m = = = ⋅⋅ ≅ www.profafguimaraes.net 12 Questão 14 Um dêuteron é uma partícula nuclear constituída por um próton e um nêutron. Sua massa é cerca de 3,4ڄ10‐24 g. Um dêuteron, acelerado por um cíclotron a uma velocidade de 109 cmڄs ‐1, colide com um outro dêuteron em repouso. (a) Se as duas partículas permanecem juntas formando um núcleo de hélio, ache a velocidade do núcleo resultante. (b) O núcleo do hélio em seguida desintegra‐se em um nêutron com massa aproximada de 1,7ڄ10‐24 g e um isótopo de hélio de massa igual a 5,1ڄ10‐24 g. Se o nêutron é emitido em uma direção perpendicular à direção da velocidade original, com velocidade de 5,0ڄ108 cmڄs ‐1, ache o módulo e a direção da velocidade do isótopo do hélio. Resolução: (a) Utilizando a conservação do momento linear, teremos: 9 1 2 10 . 2 i f ix fx D iD D fD fD P P P P m v m v v cm s− = ⇒ = = ∴ = ⋅ ? ? (b) Utilizaremos também, neste caso, a conservação do momento linear. Assim, teremos: 9 24 24 8 1 24 8 24 8 1 102 6,8 10 5,1 10 2 6,67 10 . 0 0 1,7 10 5 10 5,1 10 1,67 10 . i f ix fx D D He x x x iy fy n n He y y y P P P P m v m v v v cm s P P m v m v v v cm s − − − − − − = = ′= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ∴ ≅ ⋅ ⋅ = ′= + ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∴ ≅− ⋅ ⋅ ? ? A direção é dada por: 01,67 14 . 6,67 arctanα= ≅ Questão 15 Uma bola com velocidade inicial de 10 mڄs ‐1 colide elasticamente com duas outras idênticas, cujos centros de massa estão em uma direção perpendicular à velocidade inicial e que estão inicialmente em contato (figura ao lado). A primeira bola está na linha de direção do ponto de contato e não há atrito entre as bolas. Determine a velocidade das três bolas após a colisão. (Sugestão: As direções das duas bolas α n He’ He v0 1 2 3 www.profafguimaraes.net 13 originalmente estacionárias podem ser obtidas considerando‐se a direção do impulso que elas recebem durante a colisão.) Resolução: Nos instantes imediatamente antes e imediatamente depois do impacto, temos as seguintes configurações: Como as bolas possuem a mesma massa, podemos concluir que a bola 1 não terá velocidade na direção y. Assim, utilizando a conservação do momento linear, teremos: 2 2 3 3 2 3 2 3 0 . i f iy fy y y y y P P P P m v m v v v v v v = = = + =− ⇒ = = ? ? E 0 1 0 2 2 3 3 1 1 2 3 0 1 1 ; 30 10 2 30 10 3. ix fx x x x x x x x P P m v m v m v m v v v vcos v vcos v v = = + + = = = + = + (15.1) Como a colisão é elástica, temos segundo a direção de v2, temos: 0 0 1 1 1 10 30 30 35 3 2 315 3 . 2 x x x cos v v cos vv vv = − = − = − (15.2) Utilizando agora os resultados de (15.1) e (15.2) teremos: 1 1 1 1 1 310 15 2 55 2 2 . x x x x vv v v m s− = + + − = ∴ =− ⋅ 1 2 3 r r r r r r 1 2 3 300 300 v3 v2 www.profafguimaraes.net 14 Utilizando (15.2) teremos: 1 15 3 3 4 3 6,9 . v v m s− = + ∴ = ≅ ⋅ Questão 16 Um feixe de nêutrons rápidos incide sobre uma amostra de Cu65, um isótopo estável de cobre, de massa igual a 5,0 mg. Existe uma possibilidade de que o núcleo de cobre possa capturar um nêutron para formar o Cu66, que é radioativo e se desintegra em Zn66, que é novamente estável. Se um estudo da emissão do elétron da amostra de cobre implica na ocorrência, a cada segundo, de 4,6ڄ1011 capturas de nêutrons, qual é, em barns, a seção eficaz de choque para a captura de nêutrons neste processo? A intensidade do feixe de nêutrons é 1,1ڄ1018 nêutrons m‐2s ‐1. Resolução: A massa total é dada por: 65t Cum n m= ⋅ , onde nt representa o número total de Cu65 na amostra por m2. Assim, teremos: 65 3 24 19 2 5 10 65 1,66 10 4,6 10 . t tCu t m n m n n n m − − − = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Mas nt é dado por: tn n x= ⋅ , onde n é a densidade de partículas de Cu65 por m3 e x é a espessura da amostra. Assim, teremos: 0 11 19 18 27 2 4,6 104,6 10 1,1 10 9,09 10 91 . Rn x R m barns σ σ σ σ − ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ ∴ ≅
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