Apostila Sistemas Estruturais I SAPATAS

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COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
9º semestre / Engª Civil
Prof. Sérgio Carneiro
Sorocaba/SP
Março / 2015
1
INTRODUÇÃO
Na Facens, chamamos de “Sistemas Estruturais I e II” às disciplinas ministradas no ultimo ano do curso de Engenharia Civil e que versam sobre as peças estruturais de concreto que não são abordadas em “Concreto Armado I e II” no ano anterior. Lá se estudam lajes, vigas e pilares que constituem basicamente a superestrutura de um edifício comum de concreto armado. Aqui trataremos de alguns dos elementos correntes das infraestruturas como sapatas, blocos de coroamento de estacas e vigas-alavanca, além de analisarmos escadas e muros de arrimo. A abordagem destes tópicos privilegiará o dimensionamento dos mesmos, englobando tomada de cargas, definições de modelos estruturais, determinação de esforços solicitantes além do cálculo e detalhamento de armaduras, comentando também, sempre que possível, a respeito das técnicas de execução desses elementos.
Fundações
Conceito
Denominamos fundações às peças estruturais destinadas a fazer a transição entre a superestrutura e o solo subjacente, tendo por função, portanto, promover uma perfeita interação solo-estrutura. Por interação solo-estrutura entende-se compatibilidade de deslocamentos e deformações entre estrutura e solo.
Escolha
A escolha do tipo de fundação a ser utilizada em uma edificação é função de dois fatores:
Carregamento oriundo da superestrutura
Características de resistência e deformabilidade do solo
Quanto aos carregamentos, podemos comentar que os esforços que solicitam a seção do pilar que corresponde à sua interface com a peça de fundação são praticamente os mesmos que serão levados em consideração no dimensionamento da mesma.
Já em relação às características do solo, estas serão determinadas através de ensaios geotécnicos, que serão tão mais importantes e necessários quanto maior for a importância relativa da obra. Evidentemente o projeto e a execução de um túnel sob os Alpes austríacos demanda um grau de conhecimento a respeito do solo muito maior que a construção de uma casa térrea! A citação à Áustria não é gratuita neste caso, visto que naquele país desenvolveu-se um método de projeto e escavação de túneis conhecido como N.A.T.M. (“New Austrian Tunneling Method”) baseado justamente em estudos do comportamento de solos (e rochas) quando da retirada de parte de seu maciço através de escavação.
Para muitas das situações intermediárias entre esses dois extremos, um ensaio de simples reconhecimento com cravação de amostrador “SPT” (“Standard Penetration Test”) é o que basta para um grau de conhecimento razoável a cerca do solo onde se pretenda construir algo.
Existem, inclusive, algumas fórmulas empíricas que correlacionam o índice “STP” de uma camada de solo com a sua capacidade de carga, ou seja, com a sua tensão admissível à compressão, sendo as mais frequentemente empregadas as seguintes:
 e 	(1.1)
onde é o nº de golpes desferidos pelo amostrador e é obtido em kgf/cm². Tais expressões revelam-se de enorme utilidade no dimensionamento de uma sapata, por exemplo, na falta de ensaios geotécnicos mais aprofundados.
De posse destes dois elementos (carregamentos e características do solo) estamos aptos a escolher de forma adequada o tipo de fundação a empregar sob determinado pilar. Assim sendo, quando o solo se apresentar a pouca profundidade com resistência à compressão média ou alta e for relativamente homogêneo (o que dificulta recalques diferenciais expressivos) pode-se optar por uma fundação direta ou rasa (sapata). Caso contrário, a opção poderá ser a fundação indireta ou profunda (estacas ou tubulões). Basicamente estes são os três tipos de fundação normalmente empregados, dois dos quais serão estudados na primeira parte do nosso curso (sapatas e estacas, ou mais propriamente sapatas e blocos de coroamento de estacas).
Cabe lembrar que a “resistência à compressão média-alta e relativa homogeneidade” é um conjunto de conceitos, função do tipo de edificação e da magnitude dos esforços advindos da superestrutura que solicitarão a peça de fundação a ser escolhida e dimensionada.
Após estas considerações de caráter geral, que são muito mais bem abordadas nas disciplinas “Fundações e Obras de Terra I e II”, passaremos de imediato ao estudo especifico dos tipos de fundação já mencionados.
Sapatas
Conceito
As sapatas são também chamadas de fundações rasas ou diretas e estes dois outros nomes dão uma boa noção de suas características. São rasas porque assentes a pouca profundidade e diretas porque a transmissão de esforços dá-se única e exclusivamente através de sua face inferior. Assim sendo não se considera qualquer tipo de interação solo-fundação através de sua superfície lateral.
Classificação
Podemos classificá-las segundo suas características geométrico-funcionais em 4 tipos, que são:
Sapata corrida ou continua – apóia paredes (estruturais ou de vedação), muros ou uma bateria de pilares alinhados e pouco espaçados, conforme indicado abaixo:
Sapata isolada centrada – apóia um único pilar em seu centro de gravidade, conforme esquematizado abaixo:
Sapata associada – apóia 2 ou mais pilares, como exemplificado:
Sapata excêntrica – apóia um pilar fora de seu CG (centro de gravidade) como mostramos:
É claro que as representações ora feitas não impedem que existam outras geometrias possíveis para cada uma das modalidades citadas. Assim, podemos projetar e executar, por exemplo, uma sapata isolada circular (em planta) que é normalmente a solução adotada para edificações cilíndricas tais como torres d’água com essa geometria. Da mesma forma, nada impede que uma sapata corrida não seja chanfrada, ou seja, tenha altura constante e assim por diante.
Dimensionamento
Apresentaremos, a partir de agora, as etapas de dimensionamento e detalhamento de cada tipo.
Sapata corrida
Definição geométrica
Da mesma forma que no dimensionamento de outras peças estruturais (lajes, vigas ou pilares) também o processo de dimensionamento de uma sapata, seja de que tipo for, na realidade é um processo de verificação, ou seja, adotam-se, “a priori”, medidas que, supõe-se, atenderão às necessidades de resistência e rigidez,e que poderão ser modificadas, caso isso não ocorra. No caso específico de sapatas corridas, este pré-dimensionamento resume-se à adoção de uma seção transversal típica, visto que sua extensão é função do comprimento da parede ou muro ou da distância entre as faces externas dos pilares extremos da bateria que nela se apóia. Na figura abaixo temos uma seção transversal típica:
Onde: 
a = largura da sapata
= largura do muro, parede ou pilares
l = distância entre a face lateral do pilar e a lateral da sapata
h = altura máxima ou total
= altura mínima ou “rodapé”
A respeito destes parâmetros geométricos, podemos fazer as seguintes considerações:
a largura da sapata será adotada (e verificada) em função dos carregamentos e do solo, conforme veremos;
, quando do dimensionamento da sapata, encontra-se já definido;
l é decorrência dos dois elementos anteriores ();
h será adotado de tal forma que a sapata seja rígida, ou seja, ela deve obedecer o critério de rigidez, além de ser maior que 30 cm e que 30 vezes o diâmetro das barras da armadura longitudinal (vertical) da parede, ou seja, , onde é a bitola referida ;
 deve ser maior que um terço de h e que 20 cm simultaneamente ()).
Podemos comentar que sob a sapata (de qualquer tipo) deve ser executado um lastro de concreto magro (normalmente de traço 1: 3: 6) de cerca de 5 cm de espessura, porque este não deixará “sujar” o concreto e não deixará a armadura em contato com o solo. O lastro de concreto magro (e não de brita) não permite que haja perda de água. Se a sapata for pré-moldada, tal cuidado torna-se desnecessário.
Critério de rigidez
Para que a sapata corrida (e genericamente qualquer peça de fundação) não sofra flexão tornamo-larígida a partir do critério de rigidez que, no caso de uma sapata corrida, pode ser expresso por:
	(2.1)
Onde () é a tangente do ângulo α indicado na figura abaixo:
A linha tracejada da figura corresponde aos limites superiores das “bielas” de compressão originadas a partir do pilar e que “rumam” para a base da sapata. Por “bielas” entendem-se as trajetórias das tensões de compressão. Uma vez obedecido o critério de rigidez, as bielas solicitarão a totalidade da base da sapata, não havendo necessidade de armaduras que “suspendam” as tensões de compressão tal como ocorre em uma viga de concreto armado, que é uma peça não-rígida (ou flexível) por excelência. Aliás, o motivo principal de impormos o critério de rigidez no dimensionamento de uma peça de fundação qualquer é justamente o de não haver necessidade deste tipo de armadura (que no caso de vigas corresponde aos estribos).
Para que a sapata não seja excessivamente rígida (ultra-rígida) Impomos também que:
tg α ≤ 2	(2.2)
Juntando-se estas duas condições, temos que:
26,3° ≤ α ≤ 63,4°	(2.3)
Estes dois ângulos delimitam superior e inferiormente as “bielas” de compressão eficientes.
O método ou teoria das bielas surgiu após ensaios laboratoriais e se aplica às sapatas rígidas. A carga é transferida do pilar para a base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na base da sapata, que devem ser resistidas por armadura.
Verificação das tensões do solo
Definida a geometria de uma sapata rígida, a etapa seguinte consiste em verificar a compatibilidade das tensões normais que surgirão em sua base com a capacidade de carga do solo. Para isso imaginemos uma sapata submetida a uma força vertical de compressão e a um momento fletor em torno de seu eixo longitudinal e as tensões normais decorrentes, conforme representado:
As tensões máximas e mínimas (σmáx e σmín, respectivamente) podem ser determinadas através das seguintes expressões:
; 
onde:
 
 é o peso-próprio da sapata
Admite-se que o solo tem comportamento elástico, com as reações do solo sobre a superfície de apoio da sapata seguindo uma linha reta.
Isto posto, comparamos a tensão normal média atuante na base da sapata com a capacidade de carga do solo, a esta altura já estimada por geotecnia, de modo que . Simultaneamente impomos que a tensão máxima não ultrapasse a tensão admissível em mais que 30%, ou seja, . Esta é uma das poucas situações de dimensionamento estrutural em que se admite que valores admissíveis sejam ultrapassados. Justifica-se tal critério tendo em vista dois fatores: em primeiro lugar, a capacidade de carga do solo é um valor empírico que já traz consigo uma elevada dose de prudência e, além disto, também os carregamentos considerados como atuantes na sapata já estão amplamente majorados, com frequência, pois trazem consigo cargas acidentais elevadas atuando simultaneamente nos diversos pavimentos de um edifício, por exemplo, o que é um evento pouco provável.
Verificação das “bielas” comprimidas
A etapa seguinte consiste na verificação do nível de compressão do concreto da sapata. Fazemos tal verificação de forma indireta, comparando-se tensões atuantes de cisalhamento com valores admissíveis. Tais valores são normalmente correlacionados a valores admissíveis do concreto à compressão.
A seção de concreto da sapata onde “medimos” a tensão de cisalhamento atuante (seção de referência) está representada logo a seguir, situando-se para fora da face da parede de uma distância igual à metade da altura útil da sapata (d/2).
Temos que:
	(2.4)
Onde:
 é a tensão de cisalhamento atuante na seção de referência (valor de cálculo, ou seja, majorado) 
 é a força cortante atuante na seção de referência, e que corresponde numericamente à área do diagrama de tensões reativas do solo à esquerda da mesma, neste corte transversal
 é o coeficiente de ponderação para solicitações (= 1,4)
 é a altura útil intermediária, na seção de referência, obtido através de semelhança de triângulos no diagrama de tensões e é considerada como 5 cm menor que a altura bruta intermediária ()
Impõe-se, como critério de aceitação, que:
	(2.5)
Para peças de fundação, de uma maneira geral, adotamos:
 = , onde 	(2.6)
Determinação das armaduras
Armadura principal
A armadura principal de uma peça de fundação direta situa-se próximo à face inferior da mesma (armadura positiva) e deve resistir ao momento fletor atuante em uma seção de referência que se localiza conforme mostrado na figura:
Rst e Rcc são respectivamente as forças resultantes de tração no aço e de compressão no concreto na seção de referência; assumimos que a distância que as separa seja onde “d” é a altura útil da sapata. Consideramos, “a priori”, d = (h-5) (em cm).
Consequentemente temos que:
	(2.7)
Onde:
Mk é o momento fletor que solicita nossa nova seção de referência, e pode ser obtido multiplicando-se a área à esquerda da mesma pela distância da seção até o centroide desta área.
A área de aço da armadura principal será calculada por: 
	(2.8)
Sendo que será disposta por metro de extensão longitudinal da sapata.
Na expressão anterior, é a tensão de escoamento do aço adotado, no seu valor de cálculo, obtida minorando-se o valor “cheio” (fyk) que seve ser dividido por 1,15.
A armadura principal será disposta transversalmente à maior dimensão da sapata corrida e também deverão obedecer aos seguintes critérios:
Onde:
 é a altura útil do “rodapé” da sapata corrida. Consideramos normalmente (em cm)
Armadura secundária 
Será disposta longitudinalmente na sapata e obedecerá aos valores mínimos de 0,9 cm²/m e As/5 (o valor máximo entre ambos).
Armadura secundária
Armadura principal
Exemplo de dimensionamento
Dimensionar e detalhar uma sapata corrida rígida de 8,00 m de extensão, dados: Vk = 10 tf/m; Mk = 6 tf·m/m; a = 2,5 m; = 30 cm; σadm = 2,5 kgf/cm²; fck = 20 MPa; aço CA 50A;=10. (Nota: o concreto classe 15 não é mais admitido para peças de fundação)
Obs.: A miscelânea de unidades é proposital.
Resolução:
1) Pré-dimensionamento (englobando geometria e critérios de rigidez)
Os valores de h e h0 da figura anterior foram obtidos da seguinte forma:
tgα = h/110 ≥ 0,5 
h ≥ 55cm;
Adotaremos a princípio:
h = 55cm 
h0 = 20cm
O peso-próprio desta sapata será: =2,48 tf/m
E a força normal atuante em sua base será = 12,48 tf/m
2) Verificação das tensões do solo
O sinal negativo da tensão mínima de contato sapata/solo significaria tensão de tração; porém tensões de tração entre superfícies desconectadas entre si não ocorrem!
Por conseguinte, a metodologia de cálculo das tensões máximas e mínimas terá de ser outra, neste caso. Por que?
Porque neste caso temos que a excentricidade virtual da força normal atuante sobre a sapata é maior que o limite do núcleo central de inércia. Por excentricidade virtual entendemos a relação entre momento fletor e a força normal atuantes e a chamamos, comumente, de e0.
Conferindo:
O limite do núcleo central de inércia pode ser obtido igualando-se a expressão de σmín a zero.
Assim temos:
No presente exemplo:
Fisicamente o fato de termos excentricidade maior que o limite do núcleo de inércia significa que a base da sapata estará só parcialmente comprimida, ou seja, a tensão mínima será igual à zero.
Já a tensão normal máxima poderá ser calculada pela seguinte expressão:
A dedução desta expressão pode ser facilmente entendida através da próxima figura.
Substituindo nossos valores, teremos:
Já .
Temos as seguintes condições a serem satisfeitas:
onde: 
Assim sendo, o solo não se romperá à compressão.
A figura a seguir ilustra o prisma de tensões (ou sua seção constante) que atua em nossa sapata:
 
(dimensões em m)
2,50
1,08
0
2,31
k
N
0,77
0,48
(tensões em kgf/cm²)
A respeito do diagrama de tensões apresentado, podemos comentar que, em qualquer caso, é interessante que no mínimo 50% da largura da sapata encontre-se comprimida, sob pena de perda desua estabilidade a tombamento.
3) Verificação das bielas comprimidas
Tomando-se a seção de referência, situada à distância de (d/2) da face da parede, para cálculo de tensão de cisalhamento, vem:
Assim:
Note-se que b = 1 porque consideramos sempre o que está ocorrendo em cada metro de extensão da sapata corrida.
O valor de V (6,12) é numericamente igual à área do trapézio cinza.
Já,
Como , o concreto não se romperá por compressão (ou por cisalhamento).
4) Determinação das armaduras
Nova seção, agora chamada de crítica, faz-se necessária, conforme mostramos:
Assim:
e 
(Este é o momento fletor que solicita nossa seção crítica por metro de extensão longitudinal da sapata).
Este momento é resistido por um binário constituído pelas resultantes de compressão no concreto (Rcc) e de tração na armadura (Rst). Essas resultantes podem ser calculadas por:
(sempre por metro de extensão da sapata).
Esta é a área de aço da armadura principal disposta transversalmente por metro de extensão de nossa sapata.
Esta área pode ser constituída, por exemplo, por barras de 10 mm de diâmetro espaçadas a cada 23 cm.
Já a armadura secundária que será disposta longitudinalmente à sapata pode ser determinada por:
No presente exemplo,
Assim adotaremos As2 = 0,9 cm²/m, que pode ser constituída por barras de 6,3 mm de diâmetro espaçadas a cada 30 cm.
5) Detalhamento
	N
	Ø (mm)
	Quantidade
	Comprimento
	Peso + 10% (kg)
	
	
	
	Unitário
	Total
	
	1
	10
	36
	2,72
	97,92
	67
	2
	6,3
	10
	8,22
	82,20
	23
	
	
	
	
	TOTAL
	90
Até agora, falamos sempre em sapatas rígidas. No caso de impossibilidade de atender o critério de rigidez (o que é pouco frequente), como proceder?
Para uma sapata não-rígida (ou flexível), fazemos o dimensionamento da mesma como uma viga em balanço apoiada sobre pilar central, conforme esquematizado a seguir:
Assim, temos a sapata analisada de “ponta-cabeça” e “convertida” em uma viga. As tensões normais reativas advindas do solo tornam-se carregamentos e os esforços do pilar tornam-se relações de apoio. Uma vez feita esta analogia traçam-se os diagramas de esforços solicitantes e com seus valores críticos (de momento fletor e força cortante) dimensionam-se as armaduras. Cabe notar que, neste caso, haverá armadura de cisalhamento (estribos ou barras inclinadas), que evitamos nas sapatas rígidas.
Exercícios propostos
Para a estrutura esquematizada abaixo, (A) determine o máximo valor da carga vertical distribuída Vk para que a totalidade da base da sapata corrida esteja comprimida. Não despreze os pesos próprios. (B) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. (C) Para o valor de Vk determinado, determine o mínimo valor de SPT da camada de solo onde está assente a sapata, para que o mesmo não se rompa à compressão. Dado: .
Para a estrutura esquematizada abaixo, (A) determine o máximo valor da carga horizontal distribuída Hk para que o solo subjacente à sapata corrida não se rompa à compressão. Não despreze os pesos próprios. (B) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez? Demonstre. Dados: Vk = 1 tf/m; ; dimensões em cm.
Para a estrutura esquematizada abaixo, (A) determine o máximo valor da carga horizontal distribuída Hk para que a totalidade da base da sapata corrida esteja comprimida. Não despreze pesos próprios. (B) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez? Demonstre. Dados: Vk = 0,5 tf/m; dimensões em cm.
Para a estrutura esquematizada abaixo, (A) determine o máximo valor da carga inclinada distribuída Fk para que a totalidade da base da sapata corrida esteja comprimida. Não despreze pesos próprios; e (B) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. Considere as dimensões em cm.
Sapata Isolada
Definição geométrica e critério de rigidez 
As dimensões em planta de uma sapata isolada normalmente (e inicialmente) são adotadas de forma a manter as projeções horizontais das bielas de compressão idênticas nas duas direções. Assim sendo, para um pilar de seção quadrada adota-se uma sapata quadrada em planta. Já a altura da sapata isolada, tal como fazemos para a sapata corrida, irá obedecer o critério de rigidez. Esta parametrização geométrica está esquematizada a partir da ilustração seguinte:
Temos pois:
 
Cabe notar que as dimensões a e b são função do nível de carregamento advindo do pilar e da capacidade de carga do solo e que para h e h0 são válidas as mesmas imposições já vistas para sapatas corridas.
As dimensões a0 e b0 já encontram-se equacionadas desde o dimensionamento do pilar, antes de iniciarmos o dimensionamento da sapata.
Verificação de tensões normais no solo
Definida a geometria da sapata isolada rígida, a etapa seguinte consiste em verificar a compatibilidade das tensões normais que surgirão em sua base com a capacidade de carga do solo. Para isso imaginemos uma sapata isolada submetida a uma força vertical de compressão e a dois momentos fletores perpendiculares entre si (solicitação esta denominada de flexão oblíqua composta), conforme representado:
Em planta temos representados os esforços de forma vetorial. Pela “regra da mão direita” concluímos que, para os momentos fletores atuando segundo os sentidos positivos dos eixos x e y como representado, o ponto 3 da base da sapata será o mais comprimido contra o solo e o ponto 1 será o menos comprimido. As tensões normais atuantes nestes dois pontos críticos serão calculadas pelas seguintes expressões, respectivamente:
	(2.9)
Da análise destas duas fórmulas, percebemos que a tensão normal máxima resultará sempre positiva, ao passo que a tensão mínima poderá resultar positiva, negativa ou nula. 
Tensão normal positiva significa que haverá efetivamente compressão no ponto 3. Tensão negativa significaria tração no ponto 1, se houvesse possibilidade de haver tração entre materiais distintos simplesmente justapostos (concreto e solo). Assim sendo, desprezamos qualquer valor negativo que porventura seja obtido na expressão de σmín e consideramos seu valor como simplesmente 0 (zero). Neste caso, como não haverá tensão de tração no ponto 1 (nem em qualquer outro sob a sapata), o valor de σmáx efetivo será menor que o calculado, aumentando a margem de segurança.
Os valores das tensões normais atuantes nos pontos 2 e 4 poderão ser calculados pelas seguintes expressões:
	(2.10)
As mesmas observações feitas para o ponto 1 são válidas para os pontos 2 e 4.
Notamos que, para as fórmulas de cálculo das tensões normais nos 4 “cantos” da sapata, aparece na 1ª parcela Nk, que será a força normal total de compressão atuante na base da sapata. Na última figura aparece tão somente a força vertical de compressão Vk, que é a força normal atuante no topo da sapata e que advém da superestrutura através do pilar de seção a0 x b0.
A relação entre ambas será Nk = Vk + Gk, onde Gk é o peso próprio da sapata.
Este peso próprio deve ser calculado multiplicando-se seu volume pelo peso específico do concreto armado. Tal volume, para uma sapata isolada efetivamente chanfrada, será obtido pela seguinte expressão:
	(2.11)
A partir daí, vem: onde 
Com as tensões críticas calculadas nos 4 cantos da sapata, fazemos as seguintes verificações, que constituirão o critério de aceitação para continuarmos adiante:
	(2.12)
As condições A e B dizem respeito à compatibilização entre tensões atuantes e capacidade de carga do solo e são idênticas às condições impostas para sapatas corridas. A condição C impõe que pelo menos 50% da base da sapata esteja comprimida contra o solo.
Aqui também valem as fórmulas empíricas que correlacionam tensão admissível do solo com número de golpes SPT, já revistas para sapatas corridas, como segue:
 e (em )	(idem a 2.1)
Verificação das bielas comprimidas
A etapa seguinte consiste na verificação do nível de compressão do concreto da sapata, a exemplo do que fazemos para sapatas corridas. Como já visto, fazemos tal verificaçãode forma indireta, comparando-se tensões atuantes de cisalhamento com valores admissíveis. Tais valores são normalmente correlacionados a valores admissíveis do concreto à compressão.
Para sapatas isoladas, “medimos” a tensão de cisalhamento atuante em duas seções de concreto da sapata (seções de referência) perpendiculares entre si, como representado logo a seguir, situando-as para fora das faces do pilar de uma distância igual à metade da altura útil da sapata (0,5.d).
Consideramos d, “a priori”, como sendo igual a (h-5) (em cm).
Nos dois cortes AA e BB, representamos as tensões normais atuantes e calculamos as forças cortantes decorrentes nas seções SR1 e SR2, como abaixo: 
As forças cortantes V1 e V2 serão calculadas por:
	(2.13)
Tais valores correspondem, numericamente, às áreas cinzentas mostradas nas distribuições de tensões da última figura.
Os valores das tensões intermediárias σi1 e σi2 (correspondentes às tensões sob SR1 e SR2) envolvidos nas expressões acima devem ser obtidos por semelhança de triângulos nos trapézios de tensões da mesma figura.
Com as forças cortantes assim obtidas, calculamos a seguir as tensões de cisalhamento de cálculo (majoradas) presentes nas seções SR1 e SR2, como segue:
	(2.14)
Onde:
 são as alturas úteis intermediárias sob SR1 e SR2 respectivamente e também são obtidas através de semelhança de triângulos.
Como critério de aceitação (e portanto, como garantia que o concreto da sapata não se romperá por cisalhamento) impõe-se que esses valores de tensão de cisalhamento não sejam superiores à tensão de cisalhamento última ().
Assim: , lembrando que .
Determinação das armaduras
Contrariamente às sapatas corridas, onde temos uma armadura principal e uma armadura secundária, nas sapatas isoladas teremos duas armaduras, ambas de tração, perpendiculares entre si, formando uma malha de barras de aço situada próximo à sua face inferior (armaduras positivas). Elas devem resistir aos momentos fletores atuantes em duas seções críticas também perpendiculares entre si e que localizam-se conforme mostrado na próxima figura:
Nos dois cortes AA e BB, representamos as tensões normais atuantes e calculamos os momentos fletores decorrentes nas seções SC1 e SC2, como abaixo:
As tensões normais intermediárias mostradas são as que ocorrem exatamente sob as seções críticas SC1 e SC2.
Os momentos fletores e serão calculados por:
	(2.15)
De posse desses momentos, calculamos as áreas de aço das armaduras necessárias à absorção dos mesmos, da maneira seguinte:
	(2.16)
O valor 0,8d presente em ambas as expressões corresponde ao braço de alavanca das resultantes de tração no aço e de compressão no concreto que atuarão nas seções críticas, sendo d a altura útil total da sapata (para a altura total h, portanto).
Lembramos que onde é o limite de resistência à escoamento do aço que desejamos empregar nessas armaduras; por exemplo, para o aço CA50 .
Usando unidades adequadas e compatíveis obteremos os valores das áreas de aço em cm²/m.
A partir destes números, basta escolher a bitola do aço desejado, que teremos condições de determinar quantas barras de aço serão necessárias para perfazer as áreas calculadas.
A armadura definida pela área terá suas barras dispostas paralelamente à dimensão a e a área definirá as barras paralelas ao lado b da sapata, ambas colocadas junto à face inferior da mesma, conforme já dito.
Exemplo de dimensionamento
Dimensionar e detalhar uma sapata isolada rígida para Vk = 60 tf; Mx = 5 tf.m; My = 10 tf.m; a0 = 40 cm; b0 = 20 cm; NSPT=10; fck = 20 MPa; aço CA 50A; Ølp = 12,5 mm (do pilar).
Resolução:
1) Pré-dimensionamento (englobando geometria e critérios de rigidez)
Os valores de a e b, foram obtidos da seguinte forma:
Adotamos , portanto:
2) Verificação das tensões do solo
Critério de aceitação:
 
O solo não se rompe!
3) Verificação das bielas comprimidas
As tensões normais atuantes nos pontos 2 e 4 podem ser assim calculadas:
As forças cortantes VI e VII serão calculadas por:
4) Tensões de cisalhamento de cálculo para as SRI e SRII
Assim: 
Portanto, , ou seja, o concreto não rompe.
5) Determinação das armaduras
Novas seções críticas fazem-se necessárias, conforme mostramos:
Os momentos fletores e serão calculados por:
De posse desses momentos, calculamos as áreas de aço das armaduras necessárias à absorção dos mesmos, da maneira seguinte:
Para .
Assim adotaremos para AsI e AsII, barras de 10 mm de diâmetro espaçadas a cada 10 cm.
6) Detalhamento
	N
	Ø (mm)
	Quantidade
	Comprimento
	Peso + 10% (kg)
	
	
	
	Unitário
	Total
	
	1
	10
	19
	2,32
	44,08
	30
	2
	10
	20
	2,12
	42,40
	29
	
	
	
	
	TOTAL
	59
Para o volume de 1,42m³ da sapata teremos a taxa de armadura
Exercícios propostos
Para a sapata isolada apresentada, pede-se: (A) a tensão normal máxima aplicada no solo; (B) o ponto onde ela ocorre; (C) o valor mínimo de SPT para que o solo não se rompa à compressão; e (D) a condição de rigidez está atendida? Dados: 
Para a sapata mostrada abaixo, (A) determine o mínimo valor de Vk para que a totalidade de sua base esteja comprimida. Não despreze o peso próprio. (B) Para o valor encontrado, qual deve ser o mínimo valor de SPT para que o solo não se rompa à compressão? (C) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. Dados: .
Para a sapata mostrada a seguir, (A) determine o máximo valor de p para que a totalidade de sua base esteja comprimida. Não desconsidere pesos próprios. (B) Para o valor de p encontrado, qual deve ser o mínimo valor de SPT para que o solo não se rompa à compressão? (C) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. Dados:
Para a sapata mostrada abaixo, (A) determine o máximo valor da carga uniforme distribuída p para que a totalidade de sua base esteja comprimida. Não despreze pesos próprios. (B) Para o valor encontrado, qual deve ser o mínimo valor de SPT para que o solo não se rompa à compressão? (C) As dimensões desta sapata satisfazem o critério de rigidez ? Demonstre. Dado: 
Para a estrutura esquematizada abaixo, (A) determine o máximo valor da carga horizontal Hk para que a totalidade da base da sapata esteja comprimida. Não despreze pesos próprios; e (B) Para o valor encontrado, qual deve ser o mínimo valor de SPT para que o solo não se rompa à compressão?. Dados: Vk = 0,5 tf; .
Sapata Associada
No projeto de fundações de um edifício com sapatas, o mais econômico é aquele com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, é necessário fazer a sapata associada. 
Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais pilares, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com desenho em planta retangular, trapezoidal, etc. Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada pode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). 
Geometria
Exemplificada por sapata sob 3 pilares.
Onde: 
 são adotados em função do carregamento e da capacidade de carga (NSPT) do solo.
	(2.17)
Onde:
 é o maior diâmetro dentre as armaduras longitudinais dos 3 (ou n) pilares.
 é a maior dimensão .
Esforços solicitantes equivalentes (atuantes no C.G. da sapata)
Força vertical de compressão resultante atuante no CG da sapata (2.18)
Momento fletor resultante, também no CG (2.19)
Com tais esforços solicitantes equivalentes (aplicado no CG da sapata), a partir desta virtualização, podemos prosseguir como se fora uma sapata isolada.
Exercícios propostos
Para a sapata associada representada abaixo determine: (A) a altura mínima da sapata para satisfazer a condição de rigidez; (B) resultantes na sapata (não despreze o peso próprio); (C) a tensão normal máxima de compressão na base da sapata , indicando o ponto onde ela ocorre. Dados: 
Sapata excêntrica (não alavancada)
GeometriaOnde: 
 é a função do carregamento e da capacidade de carda (NSPT) do solo.
	(2.20)
Onde:
 é o maior diâmetro dentre as armaduras longitudinais dos 3 (ou n) pilares.
 é a excentricidade do pilar em relação à sapata (excentricidade inicial ou real, de 1ª ordem).
	(2.21)
Esforços solicitantes equivalentes
	(2.22)
Onde:
Mk é o momento fletor devido à excentricidade do pilar.
Após esta virtualização, podemos prosseguir como se fora uma sapata isolada.