02 - Vetores

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8
a
 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores 
1 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 2008. 
 
 
FÍSICA 1 
 
 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
 
16. Na soma A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12,0 m e um ângulo de 40,0
o
 no sentido anti-
horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de 15,0 m e um ângulo 
de 20,0
o
 no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de 
B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo. 
 (Pág. 59) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo, que mostra os vetores A e C: 
 
(a) O módulo de B é calculado por meio da seguinte relação: 
 
2 2
x yB B B
 (1) 
Portanto, precisamos agora calcular Bx e By para, em seguida, substituí-los em (1). Esse cálculo 
pode ser feito por meio das duas equações escalares contidas na equação vetorial A + B = C. A 
primeira delas é: 
 
x x xA B C
 
 
cos cosA x CA B C
 
 
cos cosx A CB A C
 
 
12,0 m cos 40,0 15,0 m cos 20,0 23,2879 mxB
 
A segunda equação escalar é: 
 
y y yA B C
 
 
sen senA y CA B C
 
 
sen seny A CB A C
 
 
12,0 m sen 40,0 15,0 m sen 20,0 12,8437 myB
 
Substituindo-se os valores de Bx e By em (1), teremos: 
 
2 2
23,2879 m 12,8437 m 26,5949 mB
 
 
26,6 mB
 
(b) O ângulo que B faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por: 
x
y
A
C
A
C
Cx
Cy
Ax
Ay
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1 1 12,8437 mtan tan 28,8776
23,2879 m
y
B
x
B
B
 
Embora a calculadora forneça como resultado para B o valor 28,9
o
, podemos ver na figura abaixo 
que devemos acrescentar 180
o
 a esse resultado para obter a resposta correta. 
 
Logo: 
 
180 28,8776 208,8776B
 
 
209B
 
 
25. Se B é somado a C = 3,0 i + 4,0 j, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo, 
com um módulo igual ao de C. Qual é o módulo de B? 
 (Pág. 59) 
Solução. 
Em primeiro lugar vamos determinar o módulo de C: 
 
2 2 2 23,0 4,0 25 5,0x yC C C
 
Vamos chamar de D o vetor soma de B e C. Como D aponta no sentido +y e possui módulo 5,0, 
teremos: 
 
5,0D j
 
Agora precisamos efetuar a operação mencionada no enunciado para obter B: 
 
B A D
 
 
B D C
 
 
5,0 3,0 4,0B j i j
 
 
3,0 1,0B i j
 
Portanto, o módulo de B vale: 
 
2 22 2 3,0 1,0 10 3,1622x yB B B
 
 
3, 2B
 
 
Os vetores B, C e D podem ser vistos no esquema abaixo: 
x
y
A
C
B
B
28,9
o
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3 
 b 
 
32. Na Fig. 3-33, um vetor a com um módulo de 17,0 m faz um ângulo = 56,0
o
 no sentido anti-
horário com o semi-eixo x positivo. Quais são as componentes (a) ax e (b) ay do vetor? Um 
segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo ’ = 18o em relação ao primeiro. 
Quais são as componentes (c) a’x e (b) a’y neste novo sistema de coordenadas? 
 
 
 
 Fig. 3-33 Problema 32 
 (Pág. 60) 
Solução. 
As componentes de a no sistema de coordenadas xy são: 
(a) ax 
 
cos 17,0 m cos 56,0 9,5062 mxa a
 
 
9,51 mxa
 
(b) ay 
 
sen 17,0 m sen 56,0 14,0936 mya a
 
 
14,1 mxa
 
As componentes 
'
xa
 e 
'
ya
 no sistema rotacionado são dadas pelas seguintes relações (tente deduzir 
essas relações): 
 
' ' 'cos senx x ya a a
 
 
' ' 'cos seny y xa a a
 
Logo: 
x0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
y
C
D
3 2 1
1
B
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(c) 
 
' ' 'cos sen 9,5062 m cos 18 14,0936 m sen 18 13,3961 mx x ya a a
 
 
' 13mxa
 
(d) 
 
' ' 'cos sen 14,0936 m cos 18 9,5062 m sen 18 10,4662 my y xa a a
 
 
' 10 mxa
 
 
43. Os três vetores na Fig. 3-35 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; = 30,0
o
. 
Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a; (c) a componente x e (d) a 
componente y de b; (e) a componente x e (f) a componente y de c. Se c = p a + q b, quais são os 
valores de (g) p e (h) q? 
 
 
 
 Fig. 3-35 Problema 43 
 (Pág. 60) 
Solução. 
(a) Como A está sobre o eixo x, teremos: 
 
3,00 mxa
 
(b) 
0,00 mya
 
Vetor B: 
(c) 
cos 4,00 m cos 30,0 3,4641 mxb b
 
 
3,46 mxb
 
(d) 
sen 4,00 m sen 30,0yb b
 
 
2,00 myb
 
(e) 
cos 90 10,0 m cos 120,0xc c
 
 
5,00 mxc
 
(f) 
sen 90 10,0 m sen 120,0 8,6602 myc c
 
 
8,66 myc
 
(g) e (h) Para calcular p e q devemos resolver o sistema de duas equações escalares embutidas na 
equação vetorial c = p a + q b, que são cx = p ax + q bx e cy = p ay + q by. Da primeira equação, 
teremos: 
 
x x xc pa qb
 
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x x
x
c pa
q
b
 (1) 
Da segunda, teremos: 
 
y y
y
c pa
q
b
 (2) 
Igualando-se (1) e (2): 
 
y yx x
x y
c pac pa
b b
 
Resolvendo a equação acima para p, teremos: 
 
8,6602 m 3,4641 m 5,00 m 2,00 m
6,6666
0,00 m 3,4641 m 3,00 m 2,00 m
y x x y
y x x y
c b c b
p
a b a b
 
 
6,67p
 
Agora podemos obter q a partir de (1): 
 
5,00 m 6,6666 3,00 m
4,3301
3,4641 m
x x
x
c pa
q
b
 
 
4,33q
 
 
51. Um barco a vela parte do lado americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0 
km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que 
distância e (b) em que sentido deve navegar para chegar ao ponto desejado? 
 (Pág. 61) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema vetorial da situação, em que r0 é a posição almejada pelo velejador, 
r1 é a posição alcançada pelo barco e r é o deslocamento que o barco deve sofrer para alcançar seu 
objetivo inicial. 
 
(a) De acordo com o esquema acima, temos a seguinte relação vetorial: 
 
0 1r r r
 
 
0 1 90,0 km 50,0 km 50,0 km 90,0 kmr r r j i i j
 
O módulo de r é: 
r
r1
r0
x
y
Lago Erie
90 km
50 km
’
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2 22 2 50,0 km 90,0 km 102,9563 kmx yr r r
 
 
103 kmr
 
(b) A direção de r é dada pelo ângulo 2: 
 
' 1 1
2
90,0 km
tantan 60,9453
50,0 km
y
x
r
r
 
Logo: 
 
'
2 2 180 60,9453 119,0546
 
 
2 119
 
 
54. São dados três deslocamentos em metros: d1 = 4,0 i + 5,0 j 6,0 k, d2 = 1,0 i + 2,0 j + 3,0 k e 
d3 = 4,0 i + 3,0 j + 2,0 k. (a) Determine r = d1 d2 + d3. (b) Determine o ângulo entre r e o 
semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d1 em relação a d2. (d) Qual é a 
componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2? (Sugestão: Para resolver 
o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-20; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.) 
 
 
cosaba b
 (3-20) 
 
 
 
 Fig. 3-20 
 
 
senc ab
 (3-27) 
 
 (Pág. 61) 
Solução. 
(a) 
 
1 2 3d d dr
 
 
4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 3,0 2,0r i j k i j k i j k
 
 
4,0 1,0 4,0 5,0 2,0 3,0 6,0 3,0 2,0r i j k
 
 
9,0 6,0 7,0r i j k
 
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(b) O ângulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitário 
k: 
 
cos 1 cosrz rzrr k r k
 
 
cos rz
r
r k
 (1) 
Agora precisamos calcular r.k e r. Cálculo de r.k: 
 
9,0 6,0 7,0 0 0 7,0r k i j k k
 
 
7,0r k
 
Cálculo de r: 
 
2 2 22 2 2 9,0 6,0 7,0x y zr r r r
 
 
12,8840r
 
Substituindo-se esses valores em (1), teremos: 
 
7,0
cos 0,5433
12,8840
rz
 
 
1cos 0,5433 122,9089rz
 
 
123rz
 
(c) A componente de d1 em relação a d2, que chamaremos d12, é d1 cos 12. Esse termo aparece no 
produto escalar dos dois vetores: 
 
1 2 1 2 12cosd dd d
 
 
1 2
1 12
2
cosd
d
d d
 
Ou seja: 
 
1 2
12
2
d
d
d d
 (2) 
Agora precisamos calcular d1 d2 e o módulo de d2. O produto escalar vale: 
 
2
1 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 10 18 12 md d i j k i j k
 
O módulo de d2 vale: 
 
2 2 22 2 2
2 2 2 2 1,0 2,0 3,0 3,7416 mx y zd d d d
 
Substituindo-se os valores de d1 d2 e d2 em (2), teremos: 
 2
12
12 m
3,2071 m
3,7416 m
d
 
 
12 3,2 md
 
(d) A componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2, que chamaremos d12 , é 
d1 sen 12. Esse termo aparece no módulo do produto vetorial dos dois vetores: 
 
1 2 1 2 12 12 2send d d dd d
 
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8 
 
1 2
12
2
d
d
d d
 (3) 
Agora só precisamos calcular |d1×d2|. O produto vetorial vale: 
 
1 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 27 6,0 13d d i j k i j k i j k
 
O módulo de d1×d2 é: 
 
2 2 2 2
1 2 27 6,0 13 30,5614 md d
 
Substituindo-se os valores de |d1×d2| e d2 em (3), teremos: 
 2
1 2
12
2
30,5614 m
8,1678 m
3,7416 m
d
d
d d 
 
12 8,2 md
 
 
58. Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada 
lança a bola a 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para o sudeste e a terceira 0,91 m para o 
sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a 
bola no buraco na primeira tacada. 
 (Pág. 61) 
Solução. 
As direções associadas aos termos nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste (SW) e noroeste (NW), 
podem ser conferidas na figura abaixo, que costuma ser chamada de “rosa dos ventos”: 
 
Considere o seguinte gráfico que mostra os três deslocamentos sucessivos sofridos pela bola: 
 
De acordo com o enunciado, os vetores a, b e c são definidos por: 
x
y
a
c
b
315
o
225
o
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9 
 
3,66 ma j
 
 
1,83 m cos 315 1,83 m sen 315b i j
 
 
0,91 m cos 225 0,91 m sen 225c i j
 
A tacada única d capaz de lançar a bola diretamente no buraco corresponde à soma vetorial a + b 
+c: 
 
d a b c
 
 3,66 m 1,83 m cos 315 1,83 m sen 315
 0,91 m cos 225 0,91 m sen 225
d j i j
i j
 
 
0,6505 m 1,7225 md i j
 
(a) O módulo de d vale: 
 
2 22 2 0,6505 m 1,7225 m 1,8412 mx yd d d
 
 
1,84 md
 
(b) O ângulo que d faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por: 
 
1 1 1,7225 mtan tan 69,3102
0,6505 m
y
d
x
d
d
 
 
69d
 
O vetor d pode ser visto no esquema abaixo: 
 
 
69. Um manifestante, com sua placa de protesto, parte da origem de um sistema de coordenadas xyz, 
com o plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva 
de 90
o
 à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre de 25 m de altura. (a) Em 
termos de vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante 
deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual á o módulo do deslocamento total, do 
início até este novo fim? 
 (Pág. 62) 
Solução. 
Considere o seguinte gráfico que mostra os deslocamentos sofridos pela placa: 
x
y
a
c
b
d
69
o
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10 
 
(a) O deslocamento total d é dado por: 
 
d a b c
 
 
40 m 20 m 25 m d i j k
 
O vetor d pode ser visto na figura abaixo. 
 
(b) Quando a placa cai no chão, sofre um deslocamento igual a c. Logo, seu novo deslocamento 
total e vale: 
 
e a b c c a b
 
 
40 m 20 m e i j
 
O módulo de e vale: 
 
2 2
40 m 20 m 44,7213 me
 
 
45 me
 
O esquema vetorial para essa situação será: 
 
 
71. Se B é somado a A, o resultado é 6,0 i + 1,0 j. Se B é subtraído de A, o resultado é 4,0 i + 7,0 
j. Qual é o módulo de A? 
 (Pág. 62) 
Solução. 
Vamos somar as duas equações mencionadas no enunciado para eliminar B e obter A. 
y
x
z
a
b
c
d
y
x
z
a
b
c
d
y
x
z
a
b
c
e
c
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6,0 1,0B A i j
 
 
4,0 7,0A B i j
 
O resultado da soma é: 
 
2 2,0 8,0A i j
 
Ou: 
 
1,0 4,0A i j
 
O módulo de A vale: 
 
2 2 2 21,0 4,0 17 4,1231x yA A A
 
 
4,1A
 
 
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12 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 1 
 
 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
 
16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, como 
mostra a Fig. 25. P é um pontopintado no aro da roda. No instante t1, P é o ponto de contato 
entre a roda e o chão. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revolução. Qual é o 
deslocamento de P nesse intervalo de tempo? 
 
 (Pág. 46) 
Solução. 
Considere o esquema a seguir: 
 
O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que é dado por: 
 
x yr i j
 
Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x é corresponde a meia volta da 
circunferência da roda ( R) e y é igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale: 
 
2 1,4137 m 0,90 mR Rr i j i j
 
 
1,4 m 0,90 mr i j
 
O módulo do deslocamento vale: 
 
2 2 2,2237 mr x y
 
 
2,2 mr
 
 
24. Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a 
distância do míssil é 3.200 m, a 40,0
o
 acima do horizonte. O míssil é seguido por 123
o
 no plano 
leste-oeste, e a distância no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento 
P
r
x
y
P
x
y
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13 
do míssil durante o período de contacto com o radar. 
 
 (Pág. 46) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
A posição inicial do míssil é dada por: 
 
0 0 0x yr rr i j
 
 
0 0 0cos senr rr i j
 
A posição final do míssil é dada por: 
 
x yr rr i j
 
 
cos senr rr i j
 
O vetor deslocamento do míssil é dado por: 
 
x yr i j
 
 
0 0cos cos sen senr r r rr i j
 
 
10.216,9370 m 33,5360 mr i j
 
 
10 km 33 mr i j
 
O módulo do deslocamento é: 
 
2 2 10.216,9921 mx yr r r
 
 
10 kmr
 
 
r0
r
r
x
y