Aula 4 Fluidoestática Forças de superfície e de campo

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 Profª. Drª. Mikele Cândida Sousa de Sant’Anna
Aula 3. FLUIDOESTÁTICA
Forças de superfície e de corpo
1. Equação básica da estática
Como a pressão aumenta com a profundidade aplicamos a
segunda Lei de Newton a um elemento diferencial de massa
Onde é o vetor gravidade local, é a massa específica e é o volume do
elemento. Em coordenadas cartesianas, de modo que:
g

 d
dxdydzd 
- Forças de campo
- Forças de superfície
Dois tipos de forças:
dxdydzgFd
B


 dgdmgFd B 

1. Equação básica da estática
1. Equação básica da estática
As forças de pressão sobre as outras faces do elemento são obtidas:
Combinando todas essas forças, obtemos a força superficial
líquida ou resultante agindo sobre o elemento:
)ˆ)()(
2
()ˆ)()(
2
( idydz
dx
x
p
pidydz
dx
x
p
pFd
S








)ˆ)()(
2
()ˆ)()(
2
( jdxdz
dy
y
p
pjdxdz
dy
y
p
p 






)ˆ)()(
2
()ˆ)()(
2
( kdxdy
dz
z
p
pkdxdy
dz
z
p
p 






Cada força de pressão é um produto de 3 fatores:
(1) Módulo da força de pressão;
(2) Área da face
(3) Um valor unitário é introduzido para indicar o sentido (versor)
1. Equação básica da estática
Agrupando e cancelando termos, obtemos: 
dxdydzk
z
p
j
y
p
i
x
p
Fd S )
ˆˆˆ(










O termo entre parênteses é denominado gradiente da (ou de)
pressão e pode ser escrito grad p ou p .

1. Equação básica da estática
 Em coordenadas retangulares
p
z
k
y
j
x
i
z
p
k
y
p
j
x
p
ippgrad )ˆˆˆ()ˆˆˆ( 


















O gradiente pode ser visto como operador vertical; tomando o
gradiente de um campo escalar obtêm-se um campo vetorial
dzdydxpdxdydzpgradFd
S
 )( 

Fisicamente, o gradiente de pressão é o negativo da força de
superfície por unidade de volume devido à pressão
 Combinamos as formulações desenvolvidas para as forças
de superfície e de campo, de modo a obter a força total
atuando sobre um elemento fluido, assim:
1. Equação básica da estática
BS FdFdFd


gp
d
Fd 



Ou por unidade de volume:
dzdydxgpFd )(
 
 dgpFd )(
 
Para uma partícula fluida, a segunda Lei de Newton
fornece
Para um fluido estático
Então,
Substituindo , obtemos:
1. Equação básica da estática
0

a
d
Fd 


0 gp


 dadmaF 

0a

dFd /

Uma equação vetorial → equivalente a três
equações de componentes → que devem ser
satisfeitas individualmente.
1. Equação básica da estática
0 g 
p
Força de pressão 
líquida por unidade 
de volume em um 
ponto
+ = 0
Força de campo por 
unidade de volume 
em um ponto
1. Equação básica da estática
z
z
p
y
y
p
x
x
p
z
y
x
 direção 0g
 direção 0g
 direção 0g















g- 0 0 








z
p
y
p
x
p
Escolhendo o eixo z apontando verticalmente para cima,
Sob essas condições:
 -g- 
dz
dp
(1) Fluido estático
(2) g é a única força de campo
(3) z é vertical e voltando ↑
Para cada componente:
 A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma
em qualquer direção.
 Logo: Se o fluido estiver em repouso, todos os seus pontos
também deverão estar.
2. Pressão em torno de um ponto
zyx ppp 
2. Pressão em torno de um ponto
A pressão aplicada num ponto transmite-se
integralmente a todos os pontos do fluido.
Importante em problemas de dispositivos que transmitem e ampliam uma
força através da pressão aplicada num fluido.
Fonte: http://www.hannaharendtcenter.org/?p=12102
Blaise Pascal
(1623-1662)
Fonte: tecnologiascp.wordpress.com
4.1 Princípio de Pascal
3. Teorema de Stevin
A diferença de pressão entre dois pontos de
um fluido em repouso é igual ao produto do
peso especifico do fluido pela diferença de
cotas dos dois pontos.
Simon Stevin
(1548 - 1620)
http://www.geocities.ws/saladefisica9/biografias/stevin.html
A) Na diferença de pressão entre dois pontos
não interessa a distância entre eles, mas a
diferença de cotas
)(
BABA
zzhpp  
3. Teorema de Stevin
http://www.mundoeducacao.com/fisica/consequencias-lei-stevin.htm
C) O formato do recipiente
não é importante
B) A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível
horizontal é a mesma;
3. Teorema de Stevin
D) Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num
recipiente for nula, a pressão num ponto à profundidade h é
dada por:
E) Nos gases, como γ é pequeno, se z não for muito grande,
pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles.
hp 
C
B
A
GÁS
CBA
ppp 
4. Variação de pressão em um fluido estático
4.1 Líquidos
Incompressíveis, ρ=constante.
constante  g
dz
dp 
Para a maioria das situações práticas de engenharia a variação
em g é desprezível, e deve ser considerada apenas em situações
de cálculo preciso.
http://www.ihu.unisinos.br/entrevistas/511481-os-oceanos-e-sua-importancia-para-os-servicos-ambientais-entrevista-especial-com-leandra-goncalves-
h p>p0
0 P0
z
Referência de nível e 
pressão
z < z0
Localização e pressão 
de interesse
z0
)()(
ou 
000
00
zzgzzgpp
gdzdp
z
z
p
p

 

 Fonte: www.oieduca.com.br
4. Variação de pressão em um fluido estático
4.1 Líquidos
É conveniente colocar a origem do sistema de coordenadas na
superfície livre e medir as distâncias para baixo dessa
superfície como positivas.
hzz 
0
ghppp 
0
A diferença de pressão entre dois pontos num fluido
pode ser medida da diferença de elevação entre os
dois pontos
Fonte: www.fem.unicamp.br
4.1 Líquidos
4.1.1 Manômetros
4. Variação de pressão em um fluido estático
Para manômetros de múltiplos líquidos:
a) Quaisquer dois pontos numa mesma elevação em um
volume contínuo do mesmo líquido estão a mesma pressão
b) A pressão cresce à medida que se desce na coluna de
líquido. Para determinar a diferença de pressão Δp entre
dois pontos separados por uma série de fluidos
Fonte: fisica.uems.br
Representa as massas específicas e 
as profundidades
Sensibilidade ↑
4.1.1 Manômetros
4. Variação de pressão em um fluido estático

i
ii hgp 
1. Para pressões elevadas: Usa-se líquidos manométricos
de elevadas densidades (Ex: Mercúrio)
2. Para pressões menores: Os líquidos manométricos tem
densidade manométrica mais baixa (Ex: água,
tetracloreto de carbono)
4.1.1 Manômetro
4. Variação de pressão em um fluido estático
Em muitos problemas de engenharia, ρ varia
consideravelmente com a altitude, e os resultados requerem que
essa variação seja levada em consideração.
Uma equação de estado ou uma informação de propriedade
pode ser usada para obtenção da correlação requerida para a
massa especifica.
4.2 Gases
4. Variação de pressão em um fluido estático
Bibliografia
Fox, R. W.; Pritchard, P. J.; McDonald, A. T.
Introdução à mecânica dos Fluidos. LTC. 7ªed.
2010.