Aula 8 Equações básicas na forma integral para um volume de controle

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 Profª. Mikele Cândida Sousa de Sant’Anna
Aula 8. Equações básicas na forma integral
1. Introdução
Para estudar fluidos em movimento, devemos decidir como
examinar um escoamento fluido. Existem duas opções disponíveis:
1. Podemos estudar o movimento de uma partícula individual de
fluido em um grupo de partículas conforme elas se movem
através do espaço. A desvantagem é a matemática associada ao
problema.
2. Podemos estudar uma região do espaço conforme o fluido
escoa através dela, que é a abordagem de volume de controle,
possui uma grande quantidade de aplicações práticas, a
desvantagem é que as leis físicas são aplicadas a matéria e não
diretamente a região do espaço.
0


sistemadt
dM
2. Leis Básicas para um sistema
As leis básicas que aplicaremos são a conservação da massa, a segunda
lei de Newton, o princípio da quantidade de movimento angular, e a
primeira e segunda leis da termodinâmica.
2.1 Conservação da massa
Para um sistema (por definição uma quantidade fixa de matéria, M, que
escolhemos), temos o resultado simples de que M= constante.
Entretanto, devemos expressar como equação de taxa
 
)()( sistemasistema VM
sistema VddmM 
2.2 A Segunda Lei de Newton
Para um sistema com movimento relativo a um sistema de referência
inercial, a segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as
forças externas agindo sobre o sistema é igual à taxa de variação com o
tempo da quantidade de movimento linear do sistema. sistemadt
Pd
F 





Onde a quantidade de movimento linear do sistema é dada por:
 
sistema sistemaM V
sistema VddmP 

2.3 O Princípio de Quantidade de
Movimento Angular sistemadt
Hd
T 





O princípio da quantidade de movimento angular (ou do momento da
quantidade de movimento) para um sistema estabelece que a taxa de
variação da quantidade de movimento angular é igual à soma de todos
os torques atuando sobre o sistema.
Onde a quantidade de momento angular no 
sistema é dada por:
 
)()( sistemasistema VM
VdVrdmVrH 

 
)(sistemaM
eixos TdmgrFrT

O torque pode ser reproduzido por
forças de superfície e de campo
(neste caso, a gravidade) e também,
por eixos que cruzam a fronteira.
2.4 A Primeira Lei da Termodinâmica
A conservação de energia para um sistema,
dEWQ 
Na forma de taxa:
sistemadt
dE
WQ 


 
Onde a energia total do sistema é dada por:
 
(sistema))( V
 VdedmeE
sistemaM
sistema 
2.4 A Primeira Lei da Termodinâmica
e,
gz
v
ue 
2
2
A taxa de transferência de calor, é positiva quando o calor é
adicionado ao sistema pela sua vizinhança;
QW
A taxa de trabalho, é positiva quando trabalho é realizado pelo
sistema sobre a vizinhançau
É a energia específicaV
É a velocidadez
É a altura (relativa a uma referência conveniente)
2.5 A Segunda Lei da Termodinâmica
Se uma quantidade de calor, δQ, for transferida para um sistema à
temperatura T, a segunda lei da termodinâmica estabelece que a
variação de entropia, dS, do sistema satisfaz a relação: T
Q
dS


Em base de taxa podemos escrever:
 
)()( sistemasistema VM
sistema VdssdmS Q
Tdt
dS
sistema
1


Onde a entropia total do sistema é dada por
3 Relação entre as derivadas do sistema e a
formulação para volume de controle
5 leis básicas;
Desenvolver uma expressão geral para converter uma equação de taxa
para um sistema em uma equação equivalente para um volume de
controle.
 
)()( sistemasistema VM
sistema VddmN 
N representa a quantidade de massa, ou a quantidade de movimento, ou a
quantidade de movimento angular, ou entropia de um sistema.
Correspondendo a essa propriedade extensiva, necessitaremos também da
propriedade intensiva η, (por unidade de massa).
3 Relação entre as derivadas do sistema e a
formulação para volume de controle
 
)()( sistemasistema VM
sistema VddmN sη S, então N
eE, então ηN
Vr, então ηHN
Vη, então PN
 ηM, então N







1
3 Relação entre as derivadas do sistema e a
formulação para volume de controle
 




)()(
.
sistemasistema SCVCsistema
AdVVd
tdt
dN 
É a relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer propriedade
extensiva, N, de um sistema e as vaiáveis dessa propriedade associadas
com um volume de controle, Teorema do Transporte de Reynods
Para converter a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva, de
um sistema para a formulação equivalente para o uso do volume de
controle.
3 Relação entre as derivadas do sistema e a
formulação para volume de controle
O sistema é a matéria que está passando através do volume de controle
escolhido e no instante escolhido.
Por exemplo, se escolhemos como um volume de controle a região
contida por uma asa de aeronave e por um limite imaginário retangular
em torno dela, o sistema seria a massa de ar que está instantaneamente
contida entre o retângulo e o aerofólio.
3 Relação entre as derivadas do sistema e a
formulação para volume de controle sistemadt
dN



É a taxa de variação da propriedade extensiva
do sistema N.


)(sistemaVC
Vd
t

É a taxa de variação da quantidade da
propriedade N dentro do volume de controle.
O termo calcula o valor instantâneo
de N dentro do volume de controle
VC Vd
Vη, então PN


3 Relação entre as derivadas do sistema e a
formulação para volume de controle
É a taxa na qual a propriedade N está saindo da
superfície de controle.
O termo calcula a taxa de transferência de
calor saindo através do elemento de área da
superfície de controle; multiplicando-se por ,
calcula-se a taxa de fluxo da propriedade N através do
elemento; e, por consequência, a integração calcula o
fluxo líquido de N para fora do volume de controle.

)(
.
sistemaSC
AdV


AdV

.Ad


3.1 Conservação de Massa
Para deduzir a formulação de volume de controle da conservação de
massa, fazemos:
 




)()(
.
sistemasistema SCVCsistema
AdVVd
tdt
dM 
1 ηM, então N
 




)()(
.
sistemasistema SCVCsistema
AdVVd
tdt
dN 
3.1 Conservação de Massa
 




)()(
.
sistemasistema SCVCsistema
AdVVd
tdt
dM 0.
)()(




sistemasistema SCVC
AdVVd
t


Taxa de aumento
de massa no VC
Taxa líquida de massa
para dentro do VC
3.1 Conservação de Massa
 

)()(
.
sistemasistema SCVC
AdVVd
t


 O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do
volume de controle, o segundo termo representa a taxa líquida de
fluxo de massa para fora através da superfície de controle.
 A soma da taxa de variação da massa dentro do volume de controle
com a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle
é zero.
 A equação da conservação da massa é também chamada da equação
da continuidade .
 Em outros termos, pode-se dizer que a taxa de aumento de massa no
volume de controle é de vida ao fluxo líquido de entrada de massa.
3.1.1 Casos especiais
0.
)()(




sistemasistema SCVC
AdVVd
t

 Considere primeiramente, o caso de um fluido incompressível, no
qual a massa especifica permanece constante.
 Quando ρ é constante, ele não é uma função do espaço e nem do
tempo.
 A integral de sobre todo o volume de controle é simplesmente o
volume total de controle. Assim, dividimos por ρ
Vd
0.
)(




sistemaSCAdV
t
V 
3.1.1 Casos especiais
 Para um volume de controle não deformável, de forma e tamanhos
fixos, = constante. A conservação de massa para escoamento
incompressível através de um volume de controle fixo torna-se
V SC AdV 0.

Para regime permanente ou transiente
0. SC AdV

Um caso útil é quando podemos aproximar uma
velocidade uniforme em cada entrada e saída
3.1.1 Casos especiais
A integral sobre uma superfície de controle é comumente
chamada de taxa de fluxo de volume ou vazão de volume, ou ainda
vazão volumétrica.
AdV

.
 SC AdVQ

.
 SC AdV 0.


Para escoamento permanente e compressível
ρ= ρ(x, y, z)
0. SC AdV


3.1.1 Casos especiais
Exemplo 1- escoamento uniforme em todas as seções
Fluxo de massa em uma junção de 
Tubos
Considere o escoamento permanente de
água em uma junção de tubos, conforme
mostrado no diagrama. As áreas das
seções são: A1=0,2m
2; A2=0,2m
2 e A3=
0,15m2. O fluido também vaza para fora
do tubo através de um orifício em (4)
com uma vazão volumétrica estimada em
0,1m3/s. As velocidades médias nas
seções 1 e 3 são V1=5m/s e V3=12m/s,
respectivamente. Determine a velocidade
do escoamento na seção 2.
3.1.1 Casos especiais
Exemplo 1- escoamento uniforme em todas as seções
Fluxo de massa em uma junção de Tubos
Determinar
A velocidade na seção 2
A1=0,2m
2
A2=0,2m
2
A3= 0,15m
2
V1=5m/s 
V3=12m/s
ρ=999 Kg/m3
Vazão em 4 =0,1m3/s
Dados
3.1.1 Casos especiais
Exemplo 1- escoamento uniforme em todas as seções
Fluxo de massa em uma junção de Tubos
Solução
Escolha um volume de controle fixo, conforme mostrado. Considere a
hipótese de que o escoamento na seção 2 é para fora e sinalize no
diagrama (se a hipótese for correta o resultado nos dirá)
 SC AdV 0.

Considerar:
(1)Escoamento permanente
(2)Escoamento incompressível
(3)Propriedades uniformes em cada seção
3.1.1 Casos especiais
Exemplo 1- escoamento uniforme em todas as seções
Fluxo de massa em uma junção de Tubos
Solução 1111. AVAV 

O sinal de é negativo na superfície (1) 
11.AV

Vamos examinar os três primeiros termos e os sentidos dos vetores
velocidades
3.1.1 Casos especiais
Exemplo 1- escoamento uniforme em todas as seções
Fluxo de massa em uma junção de Tubos
Solução 2222. AVAV 

O sinal de é positivo na superfície (1) 
22.AV

Vamos examinar os três primeiros termos e os sentidos dos vetores
velocidades
3.1.1 Casos especiais
Exemplo 1- escoamento uniforme em todas as seções
Fluxo de massa em uma junção de Tubos
Solução 3333. AVAV 

O sinal de é positivo na superfície (1) 
Vamos examinar os três primeiros termos e os sentidos dos vetores
velocidades 22.AV

04332211  QAVAVAV
3.1.1 Casos especiais
Exemplo 1- escoamento uniforme em todas as seções
Fluxo de massa em uma junção de Tubos
Solução
V2= -4,5m/s
 V2 representa o módulo da velocidade, que consideramos estar
apontando para fora do volume de controle. O fato de V2 ter sinal
negativo significa que, na verdade, temos uma entrada de
escoamento na seção (2)- a hipótese inicial não era válida!
 Este problema demonstra o uso de sinais para avaliar
0. SC AdV

 SC AdV 0.
