Lista de problemas - funções

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Problemas: Funções 
1) Se uma torneira despeja 30 l de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo 
que a torneira ficar aberta. Complete a tabela abaixo e responda: Qual o volume de água depois de t 
minutos? 
t 1 2 3 4 5 ............. 40 t 
v ............. 
2) Determina a área de um retângulo como função de seu comprimento, considerando que seu perímetro é 
20 metros. 
 
3) Um professor pediu para sua turma uma tarefa a ser realizada em grupo. Os grupos variam de 2 à 5 
componentes. A despesa de cada grupo, que será de R$ 60,00, será dividida entre seus elementos. 
Encontra uma expressão que especifique o valor a ser pago por um aluno do grupo em função do número n
de componentes. 
 
4) Às 9h20min da manhã, uma sonda lunar está a 1 000 pés acima da superfície da lua e começa uma descida 
vertical atingindo o solo lunar às 10 h 13 min da manhã. Supondo que a sonda mantenha uma velocidade 
constante, ache uma função D tal que D ( t ) expresse a altitude da sonda acima da lua como uma função de t. 
 
5) Uma caixa aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal de 20 por 16 centímetros cortando 
fora quadrados com lados de comprimento x de cada canto, dobrando os lados. 
a) Encontra a área lateral da caixa construída, em função de x.
b) Esboça o gráfico cartesiano da função e determina o domínio e a imagem da mesma. 
 c) Encontra o volume da caixa construída, em função de x. Quais os valores que poderão ser assumidos 
pela variável independente? 
 
6) Encontra uma expressão que determine a distância de um ponto da reta até a origem. 
 
7) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado igual a 4. Os pontos M e N, deslocam-se sobre os lados AB e 
AD de modo que se tenha AM = 2.AN. Se AN = x, determina: 
a) a área S do quadrilátero MCDN, em função de x; 
b) o valor de x para que a área desse quadrilátero seja máxima; 
c) o valor máximo da área citada em b. 
 
8) Hoje a população de um país é de 100.000.000 de habitantes e sua taxa de crescimento é de 2% ao ano. 
Supondo que essa taxa se mantenha, qual a fórmula que dá a população daqui a n anos? 
 
9) Em uma cultura o número de bactérias é dado por f(t)= 1000 30,5t (t é o tempo em horas). Encontra o 
valor de t para que o número de bactérias seja 9.000. 
 
10) Supõe que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade Qo, a
quantidade existente após t anos seja dada por Q(t) = Q0 e-0,05 t. Calcula t de modo que se tenha 
2
)( 0
Q
tQ = (Este valor de t é denominado meia-vida da substância). 
11) Segundo uma pesquisa, após x meses de constatação da existência de uma epidemia, o número de 
pessoas por ela atingidas é f ( x ) = x24.152
20000
�+
.
Supondo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número de pessoas atingidas 
por essa epidemia será de 2 000? 
 
12) Um pêndulo de comprimento constante L faz um ângulo J com sua posição vertical. Expressa a altura h 
como função do ângulo J .
C
D N
B
A
M
4
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• Respostas 
 
1) V(t) = 30t 
 
2) 210)( cccA �= , considerando 100 <<c
3) 
n
nD 60)( = , considerando }5,4,3,2{�n
4) 1000
53
1000)( +�= ttD
5) a) 2872 xxAl �= b) )8;0(�x (Domínio) ]162;0(=lA ( Imagem ) 
 
(c) xxxxV )216()220()( ��= ou xxxxV 320724)( 23 ��=
6) xxd =)(
7) a) 248)( xxxS �+=
b) ..2 cux=
c) ..12)2( auS =
8) ntP )02,0(000.000.100)( =
9) horast 4=
10) anost 86,13�
11) 7 dias 
 
12) )cos1()( �� �=Lh
o